Ensembles et dénombrement

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1 Esembles et déombremet O Itroductio historique à la cardialité des esembles 0.1 Quelle défiitio de l ifii? La otio d esemble, au ses actuel du terme, a été formalisé que très récemmet, début XXiè siècle, ar des mathématicies comme Zermelo, Fraekel et Joh Vo euma qui ot axiomatisé la théorie des esembles. Il aura fallu, our e arriver là, deux mille ciq-cets as de tâtoemets et d erraces, et reocer à défiir le terme même d esemble autremet qu e tat qu objet mathématique satisfaisat les axiomes de la théorie des esembles. Pour se redre comte de cette difficulté, attachos-ous à la comréhesio de deux otios esemblistes : le discret et le cotiu. Chez les savats grecs de l atiquité, our lesquels les mathématiques sot avat tout géométriques, le discret est le oit et le cotiu la lige. E scieces le discret exrime our eux l istat, et le cotiu la durée. Zéo d Elée, au Viè siècle avat otre ère, étudie ces otios à travers ue série de aradoxes destiés à motrer que i l esace, i le tems, e sot costitués d élémets idivisibles, i idivisibles à l ifii. Das Achille et la tortue, Achille fait la course avec la tortue. Comme il est lus raide il lui laisse de l avace. Si l o découe l esace de faço discrète alors, lorsqu Achille aura rejoit la ositio de déart de la tortue, cette derière aura rogressé et sera ecore devat lui. O se retrouve alors das ue cofiguratio idetique à celle de déart, et e réétat ce raisoemet à l ifii il est imossible à Achille de rattraer la tortue L esace e eut doc être découé à l ifii sous eie de redre le mouvemet imossible. Aristote coaît les aradoxes de Zéo et y doe ue réose radicale e iterdisat l ifii actuel. Si Achille rattrae la tortue c est tout simlemet arce que le ( mouvemet ) cotiu est as découable e ue ifiité discrète de arties, de la même faço que la droite est as ue successio, même ifiie, de oits. Pour Aristote l ifii est toujours e deveir, jamais actuel ; il est iatteigable, tel la lige d horizo qui recule au fur et à mesure que l o s e raroche. 0.2 Le tout et la artie Euclide, das ses Elémets, doe ue remière défiitio de la otio d esemble. Il arle de ombre qu il défiit comme ue multitude comosée d uités ; ue multitude qui, comme our Aristote, est fiie, et éoce l axiome du tout et de la artie : Le tout est lus grad que la artie Cet axiome, comme beaucou d autres, reose sur ue iterrétatio ituitive, voire aïve, du réel : toute artie (stricte ) d u esemble lui est strictemet iférieure e ombre d élémets. Qu e est-il vraimet? 0.3 Deux mille as de stagatio Les travaux des savats grecs vot rofodémet ifluecer les scietifiques jusqu à l éoque cotemoraie, et eu de rogrès sur la otio d esemble aurot lieu jusqu au XIXième siècle malgré quelques timides avacées : Galilée remarque aisi que, si l o associe à chaque etier so uique double, alors il devrait y avoir autat de ombres etiers que de ombres airs! Pour autat cela e remet as e cause, selo lui et ses cotemorais, l axiome du tout et de la artie. E effet N, qui est ifii, e eut as être u tout ; l axiome e s y alique doc as. Les travaux de Newto et Leibiz au XVIIIième siècle, sur le calcul différetiel et la otio de limite, ermettet eux de lever d acies aradoxes comme celui de Zéo : Si Achille rattrae la tortue, ce est as arce qu il est imossible de diviser l esace à l ifii, mais arce que si l o admet que c est ossible alors, ar assage à la limite das la somme discrète ifiie des écarts qui séaret Achille de la Tortue, le résultat est fii! 2015/ l. garcia

2 0.4 Cator, u géie des mathématiques La véritable avacée sur la théorie des esembles a doc lieu au cours du XIXiè siècle : Bolzao, Riema, Dedekid vot etit à etit décostruire la visio ituitive de la otio d esemble, mais c est surtout Cator qui fodera, das ses cotributios, ce que l o aelle aujourd hui la théorie des esembles. Cator comred que, our comarer la gradeur de deux esembles, il suffit de comter leurs élémets simultaémet. Il défiit aisi la otio d équiotece etre esembles : Deux esembles sot équiotets si et seulemet si il existe ue bijectio qui les relie S il est ossible d associer, à chaque élémet d u esemble doé, u élémet et u seul d u autre esemble, c est que ces deriers ot écessairemet le même ombre d élémets. O dit que ces esembles ot le même cardial. C est aisi le cas de N et 2N qui sot e bijectio ar 2, alors même que 2N N! L axiome du tout et de la artie, qui est valide quad les esembles sot fiis, e l est lus quad ils devieet ifiis, et le lie aturel qui est fait etre l iclusio A B et l iégalité Card(A) < CardB e tiet lus. Partat de ce costat, Cator éoce tout ue série de résultats fodametaux : N et 2N ot le même cardial, qui est le même que celui de N, Z, Q ou N 2! R a as le même cardial que N, mais il est idetique à celui de [0; 1], P(N), R 2 ou de tout itervalle ouvert o vide de R! L ifii eut être actuel et il existe ue ifiité de cardiaux ifiis. Tous ces résultats l amèet à redéfiir la otio de ombre. Commet, e effet, quatifier et comarer des cardiaux ifiis etre eux? Il défiit our cela la otio de ombres ordiaux, où trasfiis, qui gééraliset la otio de ombre cardial fii (c-à-d etier aturel ) aux esembles ifiis, e ermettat de comter leurs cardiaux et de les comarer etre eux. Ces otios, très délicates, e serot as abordées das le cours. 0.5 Le discret et le cotiu Ue fois sa théorie des ombres trasfiis mise e lace, Cator motre que (1) Le cardial de N est le lus etit ombre trasfii qu il soit. Tout esemble ayat le cardial de N est aelé déombrable. Le déombrable et le fii mesuret le discret. Le cardial du déombrable est oté ℵ 0. (2) Le cardial de R est le cotiu. Tout esemble ayat ce cardial à la uissace du cotiu. Il motre que ce cardial vaut 2 ℵ0. (3) La uissace du cotiu est immédiatemet suérieure à celle du déombrable. Cette hyothèse, que Cator e rouve as, costitua le remier des roblèmes de Hilbert ( voir TD 2 ) éocés e Godel démotra e 1938 que, si l o se lace das la théorie des esembles de Zermelo-Fraekel avec axiome du choix ( ZFC ), o e ouvait as réfuter cette hyothèse. E 1963 Cohe démotra, toujours das le cadre ZFC, qu o e eut as o lus la déduire des axiomes. Cette hyothèse est dite idécidable das la théorie actuelle des esembles. O e sait toujours as si elle est vraie ou fausse. (4) L esemble des ratioels est dese das celui des réels, c-à-d que l o eut asser du discret déombrable au cotiu ar des limites. Les travaux de Cator sot si révolutioaires à so éoque qu ue boe artie de ses cotemorais les rejettet das u remier tems. La commuauté mathématique les accetera, das sa majorité, quelques déceies lus tard et Hilbert e dira que : 0.6 Coclusio ul e doit ous exclure du aradis que Cator a crée Si l o rered les questios soulevées ar les savats de l atiquité, o eut réodre, avec os coaissaces actuelles et das le cadre des théories esemblistes majoritairemet accetées, que : L ifii eut être actuel, ou otetiel. Il existe ue ifiité d ifiis actuels ; ce sot les ombres trasfiis. U esemble est dit discret si il est fii ou déombrable. U esemble est dit cotiu si il a le cardial de R. O eut asser du déombrable au cotiu e utilisat la otio de limite. O e sait as, ar cotre, si il existe u ifii strictemet comris etre le déombrable et le cotiu. 2015/ l. garcia

3 I Cardial d u esemble 1.1 Esembles équiotets Défiitio 2.1 : Deux esembles E et F sot dits équiotets si et seulemet si il existe ue bijectio de E vers F. 1.2 Esemble fii Défiitio - théorème 2.2 : U esemble E est dit fii si il existe u etier aturel tel que E et [[1; ] soiet équiotets. Das ce cas l etier est uique. Sio, o dit que E est ifii. Preuve : ADMIS 1.3 Cardial d u esemble Défiitio 2.3 : Soit E u esemble. (1) Si E est fii o aelle cardial de E, que l o ote Card(E) ou E, l uique etier tel que E soit équiotet à [[1; ]. (2) Si E est ifii, le cardial de E est u ombre trasfii ( HP ). Remarques : Le cardial de E eut-être iterrété comme le ombre de ses élémets disticts etre eux. Par exemle, comme {1, 2, 3} = {1, 1, 2, 3, 3, 3, 3} alors Card({1, 1, 2, 3, 3, 3, 3}) = Card({1, 2, 3}) = 3 Le cardial d u esemble fii est toujours u etier aturel. Par exemle { m + 1 si m Card ([m; ]) = 0 sio Tout esemble fii de cardial est idexable ar [1; ] Le cas de l esemble vide : Par covetio Card ( ) = 0 Autres exemles : e cours 1.4 Axiome du tout et de la artie Proriété 2.4 : Soit E u esemble fii. Si F est u sous-esemble de E alors F est fii et Card(F ) Card(E) 1.5 Esembles ifiis déombrables Défiitio 2.5 : U esemble E est dit déombrable si et seulemet si : E est équiotet avec N 2015/ l. garcia

4 O e déduit, et c est l u des riciaux itérêts de la déombrabilité d u esemble, que : Corollaire 2.6 : Tout esemble déombrable est idexable ar les etiers ( sous forme de suite ar exemle ). Exemles : Voici ue liste d esemble déombrable. La reuve, our certais d etre eux, sera faîte e exercice : aisi que les roduits cartésies de ces esembles : ou ecore N, Z, D, Q N 2, Z 2, Q 2 etc,... N N, N Z Q... N, Z [X], O remarque que, das le cas des esembles ifiis, l axiome du tout et de la artie est lus valide : Alors que ces trois esembles ot le même cardial, celui de N!! 1.6 Esembles ifiis o déombrables N Z Q Z[X] La théorie deviet ici beaucou lus comlexes. Nous e arleros ici que du cardial de R Défiitio-théorème 2.7 : Cator R est as déombrable. So cardial est le cotiu. Tout esemble équiotet à R a la uissace du cotiu. Preuve : Peut-être e classe ar la méthode de Cator qui utilisa u rocédé dit diagoal. Exemles : Nous admettros que : [0; 1], [0; [, R, P(N), R, R [X], R[X], {0; 1} N, C 0 (R)... ot tous la uissace du cotiu, et o retiedra e articulier l exemle des suites biaires, {0; 1} N, qui jouera u rôle imortat e robabilités. Remarques : Tout esemble qui est as déombrable est as idexable ar les etiers. O e eut doc as lister tout les élémets de R sous forme de suite... Il existe ue ifiité de ombres trasfiis. E articulier P(R), F(R) ot u cardial strictemet lus grad que celui du cotiu. 1.7 Desité de Q das R Cette artie du cours est as directemet liée à la otio de cardial. Il s agit d u comlémet de cours démotré ar Cator et Dedekid : Défiitio-théorème 2.8 : Cator - Dedekid L esemble des ratioels vérifie les deux roriétés suivates, équivaletes etre elles : (1) Pour tout réel x il existe ue suite de ratioels (r ) N qui coverge vers x. (2) État doé deux réels disticts x et y il existe toujours u ratioel r strictemet comris etre x et y. O dit que Q est dese das R. Preuve : ADMIS Remarques : La desité de Q das R ermet, ar exemle, d affirmer qu il suffit de coaître les roriétés d ue foctio cotiue sur les seuls ratioels our la coaitre sur R e itégralité. 2015/ l. garcia

5 II Proriétés des cardiaux fiis 2.1 Réuio : cas articuliers Proriété 2.9 : la formule du crible à deux esembles Soiet E et F deux sous-esembles d u esemble fii, alors : E articulier si E et F sot disjoits alors Card(E F ) = Card(E) + Card(F ) Card(E F ) Card(E F ) = card(e) + Card(F ) O eut gééraliser cette formule : Proriété 2.10 : la formule du crible à trois esembles Soiet E, F et G trois sous-esembles d u esemble fii, alors : Card(E F G) = Card(E)+Card(F )+Card(G) Card(E F ) Card(E G) Card(F G)+Card(E F G) E articulier si E, F et G sot disjoits alors Card(E F G) = Card(E) + Card(F ) + Card(G) Preuve : e cours. 2.2 Réuio : cas gééral, la formule de Poicarré Théorème 2.11 : la formule du crible ( Poicarré ) Soiet (E k ) k N ue famille de sous-esembles d u esemble fii, alors : ( ) Card E k = ( 1) j+1 Card(E k1... E kj ) 0 k j=1 0 k 1<...<k j = Card(E k ) k=0 Card(E k1 E k2 ) 0 k 1<k ( 1) j+1 0 k 1<...<k j ( 1) +1 Card(E 1... E ) Card(E k1... E kj ) 2.4 Partitio Défiitio 2.12 O dit qu ue famille (E k ) 0 k de sous-esembles d u esemble fii E est ue artitio de E si : (1) E = 0 k E k (2) i [0; ], j [0; ] : i j alors E i E j = Exemles e cours Cas articuliers : U sous-esemble et so comlémetaire formet toujours ue artitio O déduit de cette défiitio et de la formule de Poicarré 2015/ l. garcia

6 Proriété 2.13 Soit (E k ) 0 k ue artitio d u esemble fii E alors : card(e) = Card(E k ) k=0 e articulier our tout sous-esemble A de E o a : Card(A) = Card(E) Card(A) Exemles e cours 2.5 Produit cartésie Proriété 2.14 Soit (E k ) 1 k ue famille d esembles fii alors : Card(E 1 E 2... E ) = Card(E k ) k=1 e articulier : si E 1 = E 2 =... = E = E o a : si = 2 o a Card(E ) = (Card(E)) Card(E 1 E 2 ) = Card(E 1 ) Card(E 2 ) Preuve : ADMIS III Déombremet ( cas fii ) Déombrer u esemble sigifie détermier so cardial. Das ce aragrahe tous les esembles sot fiis. 3.1 Déombremet des -listes Défiitio 2.15 : Soit N. O aelle -liste ( ou -ulet ) d élémets d u esemble E toute suite de élémets de E, c-a-d tout élémet de E, doc de la forme : (x 1,..., x ) : i [1; ], x i E Théorème 2.16 : Soiet et deux etiers aturels o uls. Alors : (1) L esemble des -listes d u esemble à élémets est équiotet à l esemble des alicatios de [1; ] vers [1; ]. (2) Il y a -listes d u esemble à élémets. Autremet dit si E et F sot deux esembles tels que Card(E) = et Card(F ) = alors Card ( E F ) = Card(E) Card(F ) = Preuve : e cours Remarque : O utilise les -listes our déombrer le choix de élémets successifs d u esemble fii, avec d évetuelles réétitios. 2015/ l. garcia

7 3.2 Déombremet des arragemets et ermutatios Défiitio 2.17 : Soiet et deux etiers aturels o uls. O aelle -arragemet d u esemble E toute -liste d élémets disticts de E. Si E cotiet élémets, o ote A le ombre d arragemets à élémets de E. Théorème 2.18 : Soiet et deux etiers aturels o uls. Alors : (1) L esemble des -arragemets d u esemble à élémets est équiotet à l esemble des ijectios de [1; ] vers [[1; ]. (2) Si > o a A = 0, sio si alors A = ( 1)...( + 1) =! ( )! Preuve : e cours Remarque : Si = 0 o ose A 0 = 1. O utilise les -arragemets e cas de choix successifs de élémets armi, sas réétitios. Défiitio - roriété 2.19 : Soit u etier aturel o ul. U -arragemet d u esemble E à élémets est aelé ermutatio. L esemble des ermutatios d u esemble à élémets est équiotet à l esemble des bijectios de [1; ]. U esemble à élémets cotiet! ermutatios. Remarque : O utilise les ermutatios das les cas où l o souhaite ordoer tous les élémets d u esemble fii, sas réétitios. IV Combiaisos Nous allos faire le lie etre les coefficiets biomiaux vus e remière aée et le déombremet. 4.1 Défiitio Défiitio 2.20 : Soit E u esemble à élémets et u etier aturel. O aelle ( combiaiso ) de élémets de E toute artie de E à élémets O ote (qui se lit armi ) le ombre de combiaisos à élémets d u esemble à élémets. Remarques : le ombre de combiaiso se ote arfois C das ue combiaiso les élémets sot deux à deux disticts l ordre des élémets d ue combiaiso a as d imortace 2015/ l. garcia

8 4.2 Déombremet des combiaisos Théorème 2.21 : Soit E u esemble ( ) à élémets et u etier aturel. Alors : si > o a = 0 sio si alors ( ) ( 1)...( + 1) = =!!!( )! = A! ( ) Preuve : e cours. O utilise le fait que = A! Remarque : O utilise les combiaisos das les cas de choix simultaés de élémets armi, sas cosidératio d ordre et sas réétitios. Proriété 2.22 : Soit E u esemble à élémets. Alors : Card(P (E)) = 2 Preuve : e cours. V Coefficiets biomiaux Ce aragrahe rered et comlète le cours de remière aée 5.1 Raels de remière aée Raels 2.23 : Soiet et deux etiers aturels tels que. Alors : ( ) ( ) ( ) Cas articuliers : = 1 = = 1 ( 0) ( 1 ) Formule de symétrie : = ( ) Formule de récurrece : = ( ) 1 ( 1, 1) ( ) ( 1) ( ) 1 1 Formule de Pascal : + = ( 1, 1) 1 Preuve combiatoire de la formule de Pascal : e cours. 5.2 Formule de Vadermode Proriété 2.24 : Soiet m, et trois etiers aturels tels que m +. Alors : ( ) + m = k=0 ( )( ) m k k Preuve combiatoire de la formule de Vadermode : e cours. VI Coclusio La coaissace des -listes, -arragemets et combiaisos ermettet de résoudre de ombreux roblèmes de déombremet das le cas fii. La riciale difficulté est de choisir le bo outil armi les trois. Le tableau suivat devrait vous aider : 2015/ l. garcia

9 Ordre imortat Réétitios ossibles Calcul Exemles -liste oui oui code -arragemet oui o ( A ) tiercé -combiaiso o o loto 2015/ l. garcia