Savoir-faire 2 : Savoir déterminer une fonction affine connaissant deux nombres et leurs images

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1 Par cœur : définition d une fonction affine Automath Réviser les fonctions affines Soit a et b deux réels. Une fonction définie sur R par : f(x) = ax + b est appelée fonction affine. De plus, a = Variation des images = f(x ) f(x ) Variation des antécédents x x pour tout réel x, x distincts Savoir-faire : Savoir reconnaître une fonction affine à partir d une formule Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont affines? ( ) x f x g ( x) x h ( x) x i ( x) ( x ) ( x ) Savoir-faire : Savoir déterminer une fonction affine connaissant deux nombres et leurs images ) Déterminer la fonction affine f telles que : f ( ) et f ( ) ) Soit g une fonction affine telle que : g ( ) et g ( ). Déterminer g () Savoir-faire : Savoir étudier les variations d une fonction affine ) Etudier les variations de f définie par f(x) = x + ) Etudier les variations de f définie par g(x) = x+ Par cœur : Dans un repère, si une fonction est affine alors sa représentation graphique est une droite La réciproque est fausse : les droites parallèles à l axe des ordonnées ne sont pas des représentations graphiques de fonction Savoir-faire : Savoir représenter graphiquement une fonction affine Représenter graphiquement la fonction définie par : f ( x) x Savoir-faire : Savoir étudier le signe de ax + b ) Etudier le signe x ) Etudier le signe de x 9 Savoir-faire 6 : Déterminer graphiquement des fonctions affines Par lecture graphique, retrouver de quelles fonctions f, f, f les droites D, D, D sont les représentations graphiques. Automath - Fonctions affines.docx F. de Verclos Lycée Saint-Marc (Lyon) Le /0/0

2 Pour réviser les fonctions affines : correction Savoir-faire : Reconnaître une fonction affine à partir d une formule f ( x) x f (x) est de la forme ax b avec a et b f est affine. x g ( x) x g (x) est de la forme ax b avec a et b g est affine. h ( x) x h n est pas une fonction affine à cause du carré. Pour le montrer formellement : h ( 0) h ( ) h ( ) h() h(0) h() h(0) on vérifie facilement que est différent de 0 0 Comme les accroissements des images ne sont pas proportionnels aux accroissements de la variable, h n est pas affine. i ( x) ( x ) ( x ) i ( x) ( x ) ( x ) x x x 6x 90x i (x) est de la forme ax b avec a 0 et b i est affine. Savoir-faire : Déterminer une fonction affine connaissant deux nombres et leurs images f telle que : f ( ) et f ( ) La fonction f est affine donc f ( x) ax b avec Variation des images f () f ( ) a Variation des antécédents ( ) Ainsi, f ( x) x b ( ) Comme f ( ), f ( ) b donc 9 Et donc f ( x) x 6 b 9 Le calcul de a peut se faire en utilisant un tableau donc a Variation des images Variation des antécédents Autre méthode : f est affine donc f(x) = ax + b Comme f() = on a : a + b = Comme f( ) = on a : a + b = Automath - Fonctions affines.docx F. de Verclos Lycée Saint-Marc (Lyon) Le /0/0

3 a + b = On résout { a + b = donc {a + b = b = + a donc {a + + a = b = + a a = donc { b = + a a = donc { b = + = 9 donc f(x) = 9 x + g telle que g ( ) et g ( ) La fonction g est affine donc g( x) ax b avec Variation des images g() g( ) a Variation des antécédents ( ) Ainsi, g( x) x b ( ) Comme g ( ), b donc donc g() = + = b donc g ( x) x Autre méthode : g est affine donc g(x) = ax + b Comme g() = on a : a + b = Comme f( ) = on a : a + b = a + b = On résout { a + b = donc {a + b = b = + a a + + a = donc { b = + a a = donc { b = + a a = donc { b = + = donc g(x) = x + donc g() = + = Savoir-faire : Savoir étudier les variations d une fonction affine ) Soit u v dans R En multipliant chaque membre par négatif u v En ajoutant à chaque membre u + v + Donc g(u) g(v) Donc g inverse l ordre sur R, donc g est décroissante sur R ) g(x) = x+ = x + En multipliant chaque membre par positif En ajoutant à chaque membre Donc g(u) g(v) u v Donc g conserve l ordre sur R, donc g est croissante sur R u + v + Automath - Fonctions affines.docx F. de Verclos Lycée Saint-Marc (Lyon) Le /0/0

4 Pour se vérifier : soit f(x) = ax + b une fonction affine ) Si a > 0 f est croissante sur R ) Si a < 0 f est décroissante sur R ) Si a = 0 f est constante sur R Savoir-faire : Représenter une fonction La fonction f est de la forme ax b avec a et b Sa représentation graphique est donc une droite : pour la tracer, il suffit de déterminer deux points. Comme f ( 0) 0 et f ( ), la droite passe par les points de coordonnées : (0 ; ) et ( ; ) Savoir-faire : Savoir étudier le signe de ax + b ) x positif? x 0 x x x négatif? x Valeur de x Signe de x ) x 9 positif? x 9 x 9 x x 9 négatif? x Valeur de x + Signe de x Pour se vérifier ax + b est du signe de a à «droite du 0» et du signe contraire sinon. Valeur de x? + Signe de ax + b signe de a 0 signe de a Automath - Fonctions affines.docx F. de Verclos Lycée Saint-Marc (Lyon) Le /0/0

5 Savoir-faire 6 : Savoir déterminer graphiquement une fonction affine Ce savoir-faire n est pas dans le DS des S6 et S8! La fonction f est affine donc ( x Variations des images 9 f ) est de la forme ax b avec a Variations des antécédents Et b f (0) donc f ( x) x La fonction f est affine donc f ( x ) est de la forme ax b avec Variation des images a = = = Variations des antécédents + et b f(0) donc f (x) = x Automath - Fonctions affines.docx F. de Verclos Lycée Saint-Marc (Lyon) Le /0/0

6 La fonction f est affine donc f ( x ) est de la forme ax b avec Variations des images 0 a 0 et b f(0) donc f ( x) Variations des antécédents Automath - Fonctions affines.docx F. de Verclos Lycée Saint-Marc (Lyon) Le /0/0 6