I. Droites parallèles

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1 Chapitre 6 : position relative de droites Etudier la position relative de deu droites, c est se demander : si elles sont parallèles si elles sont sécantes, et dans ce cas là déterminer les coordonnées du point d intersection Voici un tableau récapitulatif des positions relatives de deu droites à partir de leur équation réduite. équation de D = k = m+p équation de = k = k = m +p Positions relatives de D et D et D sont parallèles D et D sont sécantes m = m m m D et sont parallèles D et sont sécantes Représentation D k k p D k p D p p p D 4 I. Droites parallèles Propriété deu droites parallèles à l ae des ordonnées D : = k et : = k sont parallèles. deu droites sécantes à l ae des ordonnées D : = m + p et : = m + p sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur, autrement dit : m = m Eemple : Voici les équations réduites de plusieurs droites. Sans tracer ces droites, indiquer les droites parallèles. (d ) : = 5+ (d ) : =,5 (d ) : = +6 (d 4 ) : = 4 (d 5 ) : = 5 5 (d 6 ) : = 7 (d 7 ) : = (d 8 ) : = 5+ (d 9 ) : = Méthode : Prouver que deu droites sont parallèles si on connaît déjà les équations, il suffit d utiliser la propriété ci-dessus si on demande si deu droites non parallèles à l ae des ordonnées (AB) et (CD) sont parallèles, on calcule les coefficients directeurs m (AB) et m (CD) puis on conclut. Remarque : pour prouver que deu droites sont sécantes, on montre que les droites ne sont pas parallèles, c est-à-dire que les coefficients directeurs sont différents.

2 Chapitre 6 : position relative de droites Eemple : Soient A( ; ), B( ; ), C(4 ; ) et D( ; 5). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles? Même question avec : A( ; ), B( ; 4), C(0 ; ) et D( ; ). II. Droites sécantes et sstème d équation Propriété Si deu droites (D) et ( ) sont sécantes, le point d intersection de ces deu droites est le point M(;) dont le couple de coordonnées (; ) est solution du sstème d équations formé avec les deu équations de ces deu droites. On a deu situations : une droite parallèle à l ae des ordonnées D : = k et une droite sécante à l ae des ordonnées D : = m+p. Les droites sont sécantes et le point d intersection M(; ) est tel que le couple (; ) est la seule solution du sstème (S) suivant : = k = m+p deu droites sécantes à l ae des ordonnées D : = m +p et D : = m + p telles que m m sont sécantes. le point d intersection M(;) est tel que le couple (;) est la seule solution du sstème (S) suivant : = m+p = m +p Méthode : Déterminer les coordonnées du point d intersection de deu droites sécantes on justifie que les droites sont sécantes (sans quoi le sstème a une infinité de solution ou aucune solution) on résout le sstème d équations formé avec les deu équations de droite par identification ou substitution. Eemple : les droites d équations = et = + sont sécantes (car la première est parallèle à l ae des ordonnées et la seconde est sécante à cet ae ). Le point d intersection M(;) a des coordonnées qui vérifient le sstème = = +

3 Chapitre 6 : position relative de droites Ce sstème est particulièrement simple à résoudre par substitution : on "substitue" (c est à dire on remplace) dans la seconde équation : = = = + donc : = 7 Le point d intersection des deu droites est donc P(;7) Conseil : faire le dessin pour vérifier les droites d équations = 5 + et = + sont sécantes (car elles n ont pas le même coefficient directeur). Le point d intersection a des coordonnées qui vérifient le sstème : = 5+ = + On résout ce sstème par identification : on a 5+ = + donc = +5+ donc = 7 donc = 7 on remplace ensuite par 7 dans la plus smpathique des deu équations de droites, ici = +, on a alors = 7 + = 9 7 Le point d intersection a donc pour coordonnées Conseil : faire le dessin pour vérifier ( 7 ; 9 ) 7 Méthode : interpréter un sstème de deu équations linéaires Lors de la résolution d un sstème de deu équations linéaires du premier degré à deu inconnues avec des coefficients non nuls, chaque équation peut se transformer en une équation réduite de droite. Résoudre un sstème de deu équations linéaires du premier degré à deu inconnues revient à la recherche des points d intersection de deu droites à partir de leurs équations réduites. Ces deu droites peuvent être : sécantes(coefficients directeurs différents). Le sstème a une unique solution. confondues strictement (même équation réduite). Le sstème a une infinité de solution. parallèles strictes. Le sstème n a aucune solution. III. Eercices Eercice : Déterminer l équation réduite de (D) sachant que (D) est parallèle à la droite d équation = et passe par le point A( ; ). (a) Soient A( ; ), B( ; ), C(4 ; ) et D( ; 5). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles? (b) Même question avec : A( ; ), B( ; 4), C(0 ; ) et D( ; ). Eercice : Trouver l équation de la droite passant par A et parallèle à d. d : = 5 et A( ; ) d : = et A( ; ) d : = +5 et A( ; ) Eercice : Déterminer le nombre de solutions des sstèmes suivants :

4 Chapitre 6 : position relative de droites 4 = = 4 = 4 = 6 = +5 = 4 5 = = 8 Eercice 4 : 4 Eercice 5 : 4 À l aide du graphique ci-contre, donner les solutions des sstèmes suivants. = +4 = + = + = = +4 = Soient A(0 ; ), B(5 ; 7), C( ; 7) et D(9 ; ). Après avoir montrer que (AB) et (CD) sont sécantes, calculer les coordonnées de leur point d intersection. Soient d et d d équations respectives = + et = + 5, calculer les coordonnées de leur point d intersection. Eercice 6 : Dans un repère (O; I, ) du plan, placer : A(; ), B(; 6), C( ; ), D( ; 0), E(; ), F(; ), G(; 5). Les points A, B et C sont-ils alignés? ustifier. Indication : on peut calculer l équation de la droite (AB), puis vérifier si le point C appartient à la droite (AB) ou non. Les points suivants sont-ils alignés? ustifier. (a) B, E et F (b) B, E et G Eercice 7 : Dans un repère (O;I,), tracer les droites (d ), (d ), (d ) d équations (a) (d ) : = 4 (b) (d ) : = +6 (c) (d ) : = 4 (a) ustifier pourquoi les droites (d ) et (d ) sont sécantes. (b) Calculer les coordonnées du point M d intersection des droites (d ) et (d ). Mêmes consignes que (a) et (b) pour les droites (d ) et (d ) qui se coupent en N. Eercice 8 : Dans un repère (O;I,), tracer les droites (d ), (d ), (d ) d équations (a) (d ) : =,5 (b) (d ) : = (c) (d ) : = 0,5+6 Calculer les coordonnées du point M d intersection des droites (d ) et (d ). Calculer les coordonnées du point N d intersection des droites (d ) et (d ).

5 Chapitre 6 : position relative de droites 5 Eercice 9 : D 4 D D D À partir du graphique ci-contre, déterminer les équations des droites proposées. Déterminer, par le calcul puis vérifier la cohérence de vos résultats graphiquement, les coordonnées des points d intersection de : (a) D et D (b) D et D (c) D 4 et D (d) D et D 5 D 5 Eercice 0 : Au bar de la poste, 5 amis profitent de la terrasse au soleil. Ils ont commandé cafés et thés. Le serveur leur demande 0,0. Ils sont rejoints par 4 amis qui commandent cafés et thé. Cette fois-ci, le serveur leur demande 7,0. Afin que les amis puissent paer chacun leur part, dé-terminer le pri d un thé et d un café. Eercice : Trouver deu nombres dont la différence est 7 et dont la différence de leur carré est. Eercice : Amira va faire les boutiques. Elle achète dans un même magasin deu T.shirts et une jupe pour 9,70. La semaine suivante, elle reçoit un teto du magasin pour des ventes privées : réduction de 50% pour les T.shirts et de 0% sur les jupes. Elle décide de faire des cadeau à sa mère et ses sœurs et achète si T.shirts et jupes. Elle pae 7,56. Quelle somme ces ventes privées lui ont-elles fait économiser? Eercice : Pour son anniversaire, Emma a reçu, de la part de ses grand-parents un bon de 400 utilisable au Pagnol, une salle de spectacle. La programmation pour l année 0-0 propose 0 pièces de théâtre à 4 par pièce et 40 films à 8 par films. Passionnée par les deu tpes de spectacle, elle voudrait voir autant des deu. Elle appelle le nombre de pièces et le nombre de films qu elle pourra voir. Déterminer la relation qui lie et si Emma dépense la totalité de son bon. Epliquer pourquoi ne peut pas être égal à. Dans un repère orthonormal, construire la représentation graphique de cette équation. 4 Déterminer les points de la représentation qui ont des coordonnées entières. 5 Choisir pour Emma la combinaison qui lui permettra de voir presque autant de films que de pièces de théâtre.