Développer les expressions suivantes en utilisant une des identités remarquable A = (X 2)² A = (X +2)(X 2) B = (5 X)² B = (5 X)(5 + X) C = (1 3X)²
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- Germain Croteau
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1 EXERCICE 1 A = (x + 2)² B = (3 + x)² C = (x + 5)² D = (2x + 1)² E = (1 + 3x)² F = (3x + 2)² G = (5x + 3)² H = (x² + 1)² I = (3 + 4x)² J = (3x² + 4)² Développer les expressions suivantes en utilisant une des identités remarquable A = (X 2)² A = (X +2)(X 2) B = (5 X)² B = (5 X)(5 + X) C = (1 3X)² C = (X + 3)(X 3) D = (3 X)² D = (3X 1)(3X + 1) E = (2X 1)² E = (2X + 1)(2X 1) F = (3 5X)² F = (5 + 3X)(5 3X) G = (3X 2)² G = (3X 2)(3X + 2) H = (4X 3)² H = (3 + 4X)(3 4X) I = (1 X²)² I = (X3 + 1)(X3 1) J = (4 3X²)² J = (4X² + 3)(4X² 3) EXERCICE 2 Développer les expressions suivantes en utilisant l identité remarquable qui convient : A = (x + 4)² B = (2 - x)² C = (x + 1)(x 1) D = (2x + 1)² E = (3 2x)² F = (7x + 5)² G = (5x + 6)(5x 6) H = (4 8x)² I = (3 + 4x)(3 + 4x) J = (3 + x)(x 3) EXERCICE 3 Développer et réduire A = (x + 1)² + (x 3)² B = (3 x)² + (x + 5)² C = (x 2)² + (x + 4)(x 4) D = (x + 1)(x 1) + (x + 4)² E = (x 5)² + (2x + 7)(2x 7) A = (2x + 1)² (x + 3)² B = (2x + 3)² (x 7)(x + 7) C = (x + 2)(x 2) (x 3)² D = (x 5)² (2x 7)(x 5) E = (3x + 1)(x 2) (2x 3)² EXERCICE 4 Souligner le facteur commun dans chaque expression: A = 3x + 3y C = -3a + 3b E = 7x + 12x B = -6(3x 2) (3x 2)(x 4) D = (x + 2)(x + 1) + (x + 2)(7x 5) F = (2x + 1)² + (2x + 1)(x + 3) G = (x + 1)(2x 3) + (x + 1)(5x + 1) H = (3x 4)(2 x) (3x 4)² I = (6x + 4)(2 + 3x) + (2 + 3x)(7 x) J = (3 + x)(5x + 2) + (x + 3)² EXERCICE 5 Factoriser chaque expression en utilisant la formule «ka + kb = k(a + b)» : A = 4x + 4y B = C = 8a + 8b D = E = 2 + 2x F = 7a + 7 G = 4x² + 4x H = 6y + 6y² I = 3x² + 5x J = 2ab + b² EXERCICE 6 Écrire le terme souligné sous forme d un produit puis factoriser l expression : A = 4A + 12 = 4A = 4(A + 3) B = 5X + 10 C = 6X 24 D = 36 4X E = 7X + 14 F = 35 5X G = 8X 24 H = 12X + 18 I = 6 15X J = 30X 42 EXERCICE 7 Factoriser les expressions suivantes : A = 13(x + 2) + 5(x + 2) B = 7(2x 3) + 2(2x 3) C = 3x(x + 2) 5(x + 2) D = 4(x + 3) + 9x(x + 3) E = 7x(3x + 1) 10x(3x + 1) F = (x 3)(2x + 1) + 7(2x + 1) G = (x + 1)(x + 2) 5(x + 2) H = (3 x)(4x + 1) 8(4x + 1) I = 5(1 + 2x) (x + 1)(1 + 2x) J = -6(3x 2) (3x 2)(x 4) A = (x + 1)( 3 x) + (x + 1)(2 + 5x) B = (x + 2)(x + 1) + (x + 2)(7x 5) C = (x + 3)(3 2x) (x + 3)(5 + x) D = (2x + 1)(x 5) (3x + 1)(2x + 1) E = (x 6)(2 x) (2 x)(3 + 4x) A = (x + 1)² + (x + 1)(3x + 1) B = (2x + 1)² + (2x + 1)(x + 3) C = (x 3)² (x 3)(4x + 1) D = (x + 1)(2x 5) + (2x 5)² E = (3x 4)(2 x) (3x 4)²
2 EXERCICE 8 Transformer l expression soulignée, pour faire apparaître le facteur commun, puis factoriser : A = (x + 1)(x + 2) + (2x + 2)(3x 4) B = (x 1)(2x + 1) + (6x + 3)(3 x) C = (10x 5)(x + 2) + (1 x)(2x 1) D = (3x + 1)(2x + 6) (x + 3)(5x 1) E = (x + 1)(2x + 3) (8x + 12)(x + 2) F = (4x + 4)(1 2x) + (x + 1)² G = (2x + 1)² (x + 3)(10x + 5) EXERCICE 9 Retrouver l expression dont on connaît le carré : 4x² = ( 2x )² 9x² = ( )² 49x² = ( )² 36x² = ( )² 81x² = ( )² EXERCICE 10 Factoriser en utilisant la bonne identité remarquable : A = x² + 10x + 25 A = x² 2x + 1 B = x² + 6x + 9 B = 4x² 20x + 25 C = x + x² C = 9 6x + x² D = 4x² + 12x + 9 D = 36x² 12x + 1 E = 16x² + 40x + 25 E = x + 4x² A = (x + 1)² 4 B = (x + 2)² 9 C = (2x + 1)² 25 D = 16 (3x + 2)² E = 36 (4 3x)² A = (x + 1)² (2x + 3)² B = (2x 1)² (5 + x)² C = (4x 1)² (3x + 4)² D = (3x 4)² (6x + 1)² E = (x + 6)² (3x 1)² EXERCICE 11 Factoriser d abord l expression soulignée pour retrouver le facteur commun : A = (x + 2)(3x 1) + x² 4 B = (x + 4)(2x 1) + x² 16 C = (x 3)(x + 1) (x² 9) D = (2x + 1)(x 2) (x² 4) E = 25 x² (x 5)(2x + 3) F = (x + 3)² + (x + 3)(x + 1) + x² 9 G = (7 + 3x)(x + 1) (x + 1)² + x² 1 A = (x + 2)(3x 1) +7(x + 2) B = (x 3)² 25 C = (x - 4)(2x 1) + (x 4)² D = 9 (2 3x)² E = 4 (x² + 2x + 1) Écrire chaque nombre comme une somme puis utiliser l identité remarquable adaptée EXERCICE 12 pour calculer : Exemple : A = 101² = ( )² = 100² = = B = 102² C = 51² D = 1005² E = 201² F = 109² B = 98² C = 49² D = 990² E = 199² F = 91² B = C = D = E = B = 105² 95² C = 235² 234² D = 47² 53² E = 9876² 9875² EXERCICE 13 On donne : D = (2x 3)(5x + 4) + (2x 3)² Montrer, en détaillant les calculs, que D peut s écrire : D = (2x 3)(7x + 1) EXERCICE14 On considère l expression :E = (x 3)² (x 1)(x 2) a. Développer et réduire E. b. Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de :99 997² c. Factoriser l expression :F = (4x + 1)² (4x + 1)(7x 6) EXERCICE 15 On donne l expression algébrique :D = (3x + 1)(6x 9) (2x 3)² 1. Montrer que D peut s écrire sous la forme développée et réduite :D = 14x² 9x Calculer la valeur de D pour x = Factoriser 6x 9 puis factoriser D.
3 EXERCICE 1 A =(x + 2)²=x 2 + 4x + 4 B =(3 + x)²= 9 + 6x + x 2 C =(x + 5)²= x x + 25 D =(2x + 1)²= 4x 2 + 4x + 1 E =(1 + 3x)²= 1 + 6x + 9x 2 F =(3x + 2)²= 9x x + 4 G =(5x + 3)²= 25x x + 9 H =(x² + 1)²= x 4 + 2x I =(3 + 4x)²= x + 16x 2 J =(3x² + 4)²= 9x x Développer les expressions suivantes en utilisant une des identités remarquable A =(X 2)²= x 2 4x + 4 B =(5 X)²= 25 10x + x 2 C =(1 3X)²1 6x + 9x 2 D =(3 X)²= 9 6x + x 2 E =(2X 1)²= 4x 2 4x + 1 F =(3 5X)²= 9 30x + 25x 2 G =(3X 2)²= 9x 2 12x + 4 H =(4X 3)²= 16x 2 24x + 9 I =(1 X²)²= 1 2x 2 + x 4 J =(4 3X²)²= 16 24x 2 + 9x 2 A =(X +2)(X 2)= x 2 4 B =(5 X)(5 + X)= 25 x 2 C =(X + 3)(X 3)= x 2 9 D =(3X 1)(3X + 1)= 9x 2 1 E =(2X + 1)(2X 1)= 4x 2 1 F =(5 + 3X)(5 3X)= 25 9x 2 G =(3X 2)(3X + 2)= 9x 2 4 H =(3 + 4X)(3 4X)= 9 16x 2 I =(X3 + 1)(X3 1)= 9x 2 1 J =(4X² + 3)(4X² 3)= 16x 4 9 EXERCICE 2 Développer les expressions suivantes en utilisant l identité remarquable qui convient : A = (x + 4)²= x 2 + 8x + 16 B = (2 - x)²= 4 4x + x 2 C = (x + 1)(x 1)= x 2 1 D = (2x + 1)²= 4x 2 + 4x + 1 E = (3 2x)²= 9 12x + 4x 2 F = (7x + 5)²= 49x x + 25 G = (5x + 6)(5x 6)= 25x 2 36 H = (4 8x)²= 16 16x + 64x 2 I =(3 + 4x)(3 + 4x)= x + 16x 2 J = (3 + x)(x 3)= 9 x 2 EXERCICE 3 Développer et réduire A = (x + 1)² + (x 3)² = x 2 + 2x x 2 6x + 9 = 2x 2 4x + 10 B = (3 x)² + (x + 5)² = 9 6x + x 2 + x x + 25 = 2x 2 + 4x + 34 C = (x 2)² + (x + 4)(x 4) = x 2 4x x 2 16 = 2x 2 4x 12 D = (x + 1)(x 1) + (x + 4)² = x (x 2 + 8x + 16) = 2x 2 + 8x + 15 E = (x 5)² + (2x + 7)(2x 7) = x 2 10x (4x 2 49) = 5x 2 10x 24 A = (2x + 1)² (x + 3)² = 4x 2 + 4x + 1 (x 2 6x + 9) = 4x 2 + 4x + 1 x 2 + 6x 9 = 3x x 8 B = (2x + 3)² (x 7)(x + 7) = 4x x + 9 (x 2 49) = 4x x + 9 x = 3x x + 18 C = (x + 2)(x 2) (x 3)² = x 2 4 (x 2 6x + 9) = x 2 4 x 2 + 6x 9 = 6x 13 D = (x 5)² (2x 7)(x 5) = x 2 10x + 25 (2x 2 10x 7x + 35) = x 2 10x x x 35 = x 2 + 7x 10 E = (3x + 1)(x 2) (2x 3)² = 3x 2 6x + x 2 (4x 2 12x + 9) = 3x 2 6x + x 2 4x x 9 = x 2 + 7x 11 EXERCICE 4 Souligner le facteur commun dans chaque expression: A = 3x + 3y C = -3a + 3b E = 7x + 12x B = -6(3x 2) (3x 2)(x 4) D = (x + 2)(x + 1) + (x + 2)(7x 5) F = (2x + 1)² + (2x + 1)(x + 3) G = (x + 1)(2x 3) + (x + 1)(5x + 1) H = (3x 4)(2 x) (3x 4)² I = (6x + 4)(2 + 3x) + (2 + 3x)(7 x) J = (3 + x)(5x + 2) + (x + 3)² EXERCICE 5 Factoriser chaque expression en utilisant la formule «ka + kb = k(a + b)» : A =4x + 4y= 4(x + y) = 6(9 + 3) C =8a + 8b= 8(a + b) D = = 3(5 + 14) E =2 + 2x= 2(1 + x) F =7a + 7= 7(a + 1) G =4x² + 4x= 4x(x + 1) H =6y + 6y²= 6y(1 + y) I =3x² + 5x= x(3x + 5) J =2ab + b²= b(2a + b) EXERCICE 6 Écrire le terme souligné sous forme d un produit puis factoriser l expression : A =4A + 12 = 4A = 4(A + 3) B =5X + 10 C =6X 24= 6(x 4) D =36 4X= 4(9 x) E =7X + 14= 7(x + 2) F =35 5X= 5(7 x) G =8X 24= 8(x 3) H =12X + 18 = 6(2x + 3) I =6 15X = 3(2 5x) J =30X 42= 6(5x 7)
4 EXERCICE 7 Factoriser les expressions suivantes : A = 13(x + 2) + 5(x + 2) B = 7(2x 3) + 2(2x 3) C = 3x(x + 2) 5(x + 2) = (13+5)(x + 2) = (7+2)(2x 3) + 2(2x 3) = (3x-5)(x + 2) D = 4(x + 3) + 9x(x + 3) E = 7x(3x + 1) 10x(3x + 1) F = (x 3)(2x + 1) + 7(2x + 1) = (4+9x)(x + 3) = (7x-10x)(3x + 1) =[(x 3)+7](2x + 1)=(x+4)(2x + 1) G = (x + 1)(x + 2) 5(x + 2) H = (3 x)(4x + 1) 8(4x + 1) I = 5(1 + 2x) (x + 1)(1 + 2x) = [(x + 1)-5](x + 2)=(x-4)5(x + 2) = (-5 x)(4x + 1) = (4-x)(1 + 2x) J = -6(3x 2) (3x 2)(x 4) = [-6-(x-4)](3x 2) =[-2-x] (3x 2) A = (x + 1)( 3 x) + (x + 1)(2 + 5x) B = (x + 2)(x + 1) + (x + 2)(7x 5) = (x + 1)[( 3 x)+(2+5x)] = (x + 2)[(x + 1)+(7x-5)] = (x + 1)[ 4 4 x ] =(x+1)4(1-x) = (x + 2)[8x -4] =(x+2)(2x-1)4 C = (x + 3)(3 2x) (x + 3)(5 + x) D = (2x + 1)(x 5) (3x + 1)(2x + 1) = (x + 3)[(3 2x) (5 + x)] = (2x + 1)[(x 5) (3x + 1)] = (x + 3) (-2 x) = (2x + 1) (-2x 6)= (2x + 1)(-2)(x+3) E = (x 6)(2 x) (2 x)(3 + 4x) = (2 x)[ (x 6) (3 + 4x)]= (2 x)[-3x-9] A = (x + 1)² + (x + 1)(3x + 1) B = (2x + 1)² + (2x + 1)(x + 3) = (x + 1)[(x + 1)+(3x + 1)] = (2x + 1)[(2x + 1)+(x + 3)] = (x + 1)[4x + 2] = (2x + 1) (3x + 4) C = (x 3)² (x 3)(4x + 1) D = (x + 1)(2x 5) + (2x 5)² = (x 3)[(x 3)-(4x + 1)] = [(x + 1)+(2x 5)](2x 5) = (x 3)[ -3x 2] = [3x -4](2x 5) E = (3x 4)(2 x) (3x 4)² = [(3x 4)-(2 x)](3x 4) = [4x 6](3x 4) EXERCICE 8 Transformer l expression soulignée, pour faire apparaître le facteur commun, puis factoriser : A = (x + 1)(x + 2) + 2(x + 1)(3x 4) B = (x 1)(2x + 1) + 3(2x + 1)(3 x) =(x+1)[(x+2)+2(3x-4)] = (2x + 1)[(x 1) + 3(3 x)] = (x + 1)[x x 8] = (x + 1)[7x 6] = (2x + 1)[x x] = (2x + 1)(8 2x) C = 5(2x 1)(x + 2) + (1 x)(2x 1) D = (3x + 1)2(x + 3) (x + 3)(5x 1) = (2x 1)[5(x + 2) + (1 x)] = (x + 3)[2(3x + 1) (5x 1)] = (2x 1)[5x x] = (x + 3)[6x + 2 5x + 1] = (2x 1)[4x + 11] = (x + 3)[x + 3] = (x + 3) 2 E = (x + 1)(2x + 3) 4(2x + 3)(x + 2) F = 4(x + 1)(1 2x) + (x + 1)² = (2x + 3)[ (x + 1) 4(x + 2)] = (x + 1)[4(1 2x) + (x + 1)] = (2x + 3)[ 3x 1] = (x + 1)[5 7x] G = (2x + 1)² (x + 3)5(2x + 1)= (2x + 1)[(2x + 1) (x + 3)5] = (2x + 1)[ 3x 14] EXERCICE 9 Retrouver l expression dont on connaît le carré : 4x² = ( 2x )² 9x² = ( 3x )² 49x² = ( 7x )² 36x² = ( 6x )² 81x² = ( 9x )²
5 EXERCICE 10 Factoriser en utilisant la bonne identité remarquable : A = x² + 10x + 25 A = x² 2x + 1 = (x + 5) 2 = (x 1) 2 B = x² + 6x + 9 B = 4x² 20x + 25 = (x + 3) 2 = (2x 5) 2 C = x + x² C = 9 6x + x² = (6 + x) 2 = (3 x) 2 D = 4x² + 12x + 9 D = 36x² 12x + 1 = (2x + 3) 2 = (6x 2) 2 E = 16x² + 40x + 25 E = x + 4x² = (4x + 5) 2 = (10 2x) 2 = (2x 3)(2x + 3) = (4 3x)(4 + 3x) = (4x 5)(4x + 5) = (7x 6)(7x + 6) = (2 8x)(2 + 8x) = (2x 3)(2x + 3) = (4 3x)(4 + 3x) = (4x 5)(4x + 5) = (7x 6)(7x + 6) = (2 8x)(2 + 8x) A = (x + 1)² 4 = [(x + 1) 2][(x + 1) + 2] = (x 1)(x + 3) B = (x + 2)² 9 = [(x + 2) 2 3][ (x + 2) 2 + 3] = (x 1)(x + 5) C = (2x + 1)² 25 = [(2x + 1) 5][(2x + 1) + 5] = [2x 4][2x + 6] D = 16 (3x + 2)² = [4 (3x + 2)][4 + (3x + 2)] = [2 3x][6 + 3x] E = 36 (4 3x)² = [6 (4 3x)][6 + (4 3x)] = [2 + 3x][10 3x] A = (x + 1)² (2x + 3)² = [(x + 1) (2x + 3)][(x + 1) + (2x + 3)] = [ x 2][3x + 4] B = (2x 1)² (5 + x)² = [(2x 1) (5 + x)][(2x 1) + (5 + x)] = (x 6)(3x 4) C = (4x 1)² (3x + 4)² = [(4x 1) (3x + 4)][(4x 1) + (3x + 4)] = (x 5)(7x + 3) D = (3x 4)² (6x + 1)² = [3x 4 (6x + 1)][(3x 4) + (6x + 1)] = ( 3x 5)(9x 3) E = (x + 6)² (3x 1)² = [(x + 6) (3x 1)][(x + 6) + (3x 1)] = ( 2x + 7)(4x + 5) EXERCICE 11 Factoriser d abord l expression soulignée pour retrouver le facteur commun : A = (x + 2)(3x 1) + x² 4 B = (x + 4)(2x 1) + x² 16 = (x + 2)(3x 1) + (x 2)(x + 2) = (x + 4)(2x 1) + (x 4)(x + 4) = (x + 2)[(3x 1) + (x 2)] = (x + 4)[ (2x 1) + (x 4)] = (x + 2)(4x 3) = (x + 4)(3x 5) C = (x 3)(x + 1) (x² 9) D = (2x + 1)(x 2) (x² 4) = (x 3)(x + 1) (x 3)(x + 3) = (2x + 1)(x 2) (x 2)(x + 2) = (x 3)[(x + 1) (x + 3)] = (x 2)[(2x + 1) (x + 2)] = (x 3)[ 2] = (x 2)(x 1) E = 25 x² (x 5)(2x + 3) F = (x + 3)² + (x + 3)(x + 1) + x² 9 = (5 x)(5 + x) (x 5)(2x + 3) = (x + 3) 2 + (x + 3)(x + 1) + (x + 3)(x 3) = (5 x)(5 + x) + (5 x)(2x + 3) = (x + 3)[(x + 3) + (x + 1) + (x 3)] = (5 x)[ (5 + x) + (2x + 3)] = (x + 3)(3x + 1) = (5 x)(3x + 8) G = (7 + 3x)(x + 1) (x + 1)² + x² 1 = (7 + 3x)(x + 1) (x + 1) 2 + (x + 1)(x 1) = (x + 1)[(7 + 3x) (x + 1) + (x 1)] = (x + 1)[3x 5] A = (x + 2)(3x 1) +7(x + 2) B = (x 3)² 25 = (x + 2)[(3x 1) + 7] = [(x 3) 5][(x 3) + 5] = (x + 2)(3x + 6) = (x + 2)3(x + 2) = [x 8][x + 2] C = (x - 4)(2x 1) + (x 4)² D = 9 (2 3x)² = (x 4)[(2x 1) + (x 4)] = [3 (2 3x)][3 + (2 3x)] = (x 4)[3x 5] = [1 + 3x][5 3x] E = 4 (x² + 2x + 1)= 2 2 (x + 1) 2 = [2 (x + 1)][2 + (x + 1)] = [1 x][3 + x]
6 EXERCICE 12 Écrire chaque nombre comme une somme puis utiliser l identité remarquable adaptée pour calculer : Exemple : A = 101² = ( )² = 100² = = B = 102² = ( ) 2 = ( ) = C = 51² = (50 + 1) 2 = = 2601 D = 1005²= E = 201²= F = 109²= B = 98² (100 2) 2 = = C = 49² = (50 1) 2 = = D = 990² = E = 199²= F = 91²= B = ( )(100 5) = = C = 51 49= 2499 D = = E = = B = 105² 95² = (105 95)( ) = = 2000 C = 235² 234²= 469 D = 47² 53²= 600 E = 9876² 9875²= EXERCICE 13 D = (2x 3)(5x + 4) + (2x 3)²= (2x 3)[(5x + 4) + (2x 3)] = (2x 3)(7x + 1) EXERCICE14 On considère l expression :E = (x 3)² (x 1)(x 2) a. E = x 2 6x + 9 (x 2 2x x + 2) = x 2 6x + 9 x 2 + 2x + x 2 = 3x + 7 b.:99 997² correspond à E avec x = donc on a = c. F = (4x + 1)² (4x + 1)(7x 6)= (4x + 1)[(4x + 1) (7x 6)] = (4x + 1)[ 3x + 7] EXERCICE 15 On donne l expression algébrique :D = (3x + 1)(6x 9) (2x 3)² 1. D = (3x + 1)(6x 9) (2x 3)²=18x 2 27x + 6x 9 (4x 2 12x + 9) = 18x 2 27x + 6x 9 4x x 9 = 14x² 9x Avec x = 2 3, on a D = ( ) ( ) ( )2 = ( ) (9 9) (3 3)2 = x 9 = 3(2x 3) donc D = (3x + 1) 3(2x 3) (2x 3)²=(2x 3)[3(3x + 1) (2x 3)] = (2x 3)[9x + 3 2x + 3] = (2x 3)[7x + 6]
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