= arctanx. 1+x. 1. Résoudre g(x) = 0. R R. x sh 2 (x) ch(x) 1. Exercice { 7. Soit g : Résoudre les équations suivantes : (arcsinx) 2 dx.

Transcription

1 Lycée Joffre Année PCSI Feuille 9 TD n 9: Analyse et fonctions usuelles Fonctions trigonométriques Exercice Résoudre les équations suivantes : cos (x sin (x = 0 4sin(xcos(x = cos (x+cos(x = 4 4 cos(x sin (x = 0 Exercice Déterminer les primitives/intégrales suivantes : (arcsinx dx tarctant 0 arctan tdt Exercice Etablir les formules suivantes en précisant pour quelles valeurs de x elles sont vérifiées: arcsin( x arcsin( = arcsin( arcsin( x arccos(x+arccos( x = π arcsin(x+arcsin( x = 0 Exercice 4 Simplifier les expressions suivantes: arctan +arctan 5 +arctan 8 arctan+arctan+arctan(+ Exercice 5 arcsin(x arcsin(x = arcsinx arctan(x+arctan(x = π 4 Exercice 6 arcsin(x = arcsin 4 5 +arcsin 5 arccos(x = arcsin(x arcsin(tanx = x 4 arcsin( x +x = arctanx Exercice { 7 R R Soit g : x sh (x ch(x Résoudre g(x = 0 Étudier les variations de g En déduire une valeur de x telle que g(x 0 Exercice 8 Etudier et représenter graphiquement la fonction définie par x π ( +sin(x arcsin On donnera l ensemble sur lequel elle est définie, l ensemble sur lequel elle est dérivable, sa dérivée, son tableau de variations et ses limites et sa représentation graphique Fonctions hyperboliques Exercice 9 Calculer les primitives suivantes : ch xsh x

2 chxsh x (t + chtdt Exercice 0 Montrer les formules trigonométriques suivantes: ch(a+b = ch(ach(b+sh(ash(b sh(a+b = sh(ach(b+sh(bch(a ch(a b = ch(ach(b sh(ash(b sh(a b = sh(ach(b sh(bch(a Exercice Résoudre ch(x + sh(x = 4 Exercice Etudier la fonction x sh(x ch(x Exercice Soient n N, (a,b R, calculer n k=0 ch(a+kb et n k=0 sh(a+kb Logarithmes Exercice 4 Démontrer que ln(x+ +x +ln( +x x = 0 en précisant avant les valeurs de x pour lesquelles ces expressions sont définies Exercice 5 Montrer que pour tout x >, ln(+x x En déduire que pour tout n N, n >, (+ n n e ( n n Exercice 6 Montrer que pour tout a,b > 0, (ln(a+ln(b ln( a+b 4 Puissance et exponentielle Exercice 7 Déterminer les limites suivantes: a lim x + x/x b lim x 0 x x c lim x 0 +x/x Exercice 8 ax x = ( x x e x +e x = e+ Exercice 9 Résoudre les systèmes suivants { 8 x = 0y x = 5y { e x e y = a xy = Exercice 0 Résoudre (+x y (x+x(+x y (x+4y(x = 0 sur R en effectuant le changement de variable t = arctan x (c est-à-dire en posant z(t = y(tan(t Memo Comment déterminer le domaine de définition/dérivabilité? Utiliser son cours (ce qui implique de le connaître sur le bout des doigts Comment étudier la réciproque d une fonction bijective? Utiliser le cours et les résultats sur la monotonie, la continuité, la dérivabilité ou les limites de la réciproque d une fonction Comment résoudre une équation avec des fonctions circulaires réciproques? Appliquer une fonction circulaire en prenant garde aux intervalles sur lesquels on travaille pour raisonner par équivalence (ou pour être conscient qu on ne travaille pas par équivalence et qu il faut donc ensuite vérifier que les valeurs obtenues sont effectivement solution du problème initial 4 Comment résoudre une équation avec des fonctions hyperboliques? Poser X = e x

3 Exercice = t arctant t Correction partielle du td 9 y = arcsinx puis IPP (arcsin x x+arcsinxcos(arcsinx (+t = t arctant+ arctant t On fait une intégration par parties avec u = arctant,v = donc v = t et u = +t On a 0 arctant = [tarctant] 0 t +t = π 4 [ln(+t ] 0 = π 4 ln Exercice 4 On note α = arctan +arctan 5 +arctan 8 Les réels, 5 et 8 sont tous inférieurs à donc, par croissance de arctan, arctan < arctan = π 6 et de même pour arctan 5 et arctan 8 On a donc α < π 6 + π 6 + π 6 = π et α > 0 Comme tan est injective sur [0, π [, on a α = arctan +arctan 5 +arctan ( 8 tanα = tan arctan +arctan 5 +arctan 8 On sait que tan(a+b = tana+tanb tanatanb Donc or tan(arctan 5 +arctan 8 = tanα = +tan(arctan 5 +arctan 8 tan(arctan 5 +arctan 8 = On a donc tanα = + = Comme α ]0, π, on a α = π 4 On procède de la même façon en posant β = arctan+arctan+arctan(+ On a + > > > donc, par croissance de arctan, arctan( > π 6 (et de même pour arcsin et arctan( +, donc β > π Comme arctan a pour image [ π, π ], on a β < π Or tan est injective sur ] π, π [ donc β = arctan+arctan+arctan(+ ( tanβ = tan arctan+arctan+arctan(+ On trouve alors tanβ = et comme β ] π, π, on a β = 7π 6 Exercice 6 On remarque que 4 5 < et 5 < donc arcsin 4 5 +arcsin 5 < π + π 6 = π On peut donc appliquer sin et obtenir une équation équivalente Le calcul donne x = 6 On remarque que si x 0, alors arcsinx [ π,0] et arccosx [π,π], l équation n a alors pas de solution On suppose donc x > 0, alors les deux membres de l équation appartiennent à [0, π ], on peut donc appliquer sin et on trouve x = 5 Si x / [ π, π ], cette équation n a pas de solution De plus, cette équation n est définie que si tanx [,] soit x [ π 4, π 4 ] On applique sin et on trouve sinx = tanx ce qui impose sinx = 0 ou cosx = Dans les deux cas, la seule solution possible (dans l intervalle [ π 4, π 4 ] est x = 0 4 Si x [,], on a bien x +x [,] (écrivez-le si vous avez un doute Les deux membres appartiennent à [ π, π ] donc on peut appliquer sin On obtient x = sin(arctanx = xcosarctanx et comme cos est positif +x sur cet intervalle et que cos = +tan, on a cosarctanx = = +tan(arctanx +x L équation est donc équivalente à 65 x +x = x +x ce qui est équivalent à x = 0 ou = +x soit x = ±

4 Exercice 7 On a g(x = 0 ch (x ch(x = 0 ch (x ch(x = 0 On pose X = ch(x, alors X X = 0 (X +(X = 0 X = ou X = Comme ch(x, x R, on ne peut avoir ch(x =, donc g(x = 0 ch(x = Il suffit donc de résoudre ch(x = e x +e x 4 = 0 e x 4e x + = 0 On pose Y = e x, alors Y 4Y + = 0 a pour racine Y = ±, ce qui implique x = ln(± La fonction g est dérivable sur tout R de dérivée g (x = sh(xch(x sh(x = sh(x(ch(x Comme ch(x, x R, on a ch(x 0, x R et le signe de g dépend donc du signe de sh(x Ainsi, g (x 0 x 0 On a g(0 = 0 donc répond à la question ց ր -

5 Exercice 9 4 sh4 x sh(4x x 8 = (t+sht shtdt = (t+sht cht Exercice 0 gauche On part de l expression de droite et on développe En simplifiant, on retombe sur l expression de Même méthode On applique la première égalité à b et on utilise la parité et l imparité de ch et sh idem Exercice On trouve x = ln 4+ 5 Exercice 5 On peut étudier les variations de f(x = ln(+x x f est dérivable et sa dérivée vaut f (x = x +x = +x donc f est croissante sur ],0[ et décroissante sur ]0,+ [, elle est donc majorée par sa valeur en 0 c est-à-dire 0; On a donc f(x 0 x ],+ [ donc ln(+x x Il suffit d appliquer l inégalité de la question précédente à n et n puis de passer à l exponentielle Attention, il faut n >, sinon la deuxième inégalité n a pas de sens Exercice 6 On sait que pour tout α,β > 0, on a αβ α +β (car (α β 0 On a (lna+lnb = ln ab or ab = a b ( a +( b = a+b Il suffit maintenant d appliquer la croissance de la fonction ln pour avoir le résultat Exercice 8 On a x x = ( x x xlnx = xln( x lnx( x x = 0 x = ou x = 4 On a e x +e x = e+ e x + e e = e+ On pose X = e x, on a alors X (+ex +e = 0, le discriminant x = ( e e donc il y a deux racines mais une seule positive:, la solution recherchée est donc x tel que ex = e soit x = ln Exercice 9 Pour le premier, on remarque que cela implique x = 8 x donc 4 x = et x = d où y = 5 Pour le second, si a 0, il n y a pas de solution Sinon, on a x + y = lna et xy = donc x et y sont les solutions de X lnax + = 0 Le discriminant vaut (lna 4 donc pour lna < c est-à-dire pour a ]e,e [, il n y a pas de solution réelle Si a = e, on a x = y = ; si a = e, on a x = y = Enfin, si a ]0,e [ ]e,+ [, alors les solutions sont ( lna+ (lna 4, lna (lna 4 4 et ( lna (lna 4, lna+ (lna 4 4