Exemples de questions de sujets d'oraux possibles. Session 2013.

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1 Exmpls d qustions d sujts d'oraux possibls. Sssion 0. Complxs. Donnr la ou ls réponss justs. Soit A, B dux points d'affixs rspctivs : a= 5 i 5 t b = i 6 a. Soit n N;. Un argumnt d a n st n b. O appartint à la médiatric d [AB]. c. OAB st un triangl rctangl. d. L crcl circonscrit à OAB a pour rayon a. l'argumnt d a n st n arg (a ) ; a= 5 ( +i )= 5 ( + i ) st Vrai t arg (a )= π b st faux car OA OB il suffit d'obsrvr ls moduls d a t b. a = 5 t b = c ( OA, OB )=arg (b a )= π 6 ( π ) = π donc a.. La répons c. st Vrai L triangl st rctangl n O d. Théorèm d la médian : K miliu d l hypoténus [AB] st l cntr du crcl circonscrit du triangl rctangl t l rayon st alors OK= AB or AB= b a =6 (calculatric) donc d st vrai. Espac Vrai/Faux { x= t La droit y = t, t R t l plan P : x y 5 z = 0 n sont ni orthogonaux ni parallèls. z = t u ( ) st vctur dirctur d la droit. n : ( 5 ) st vctur normal d P. u t n n sont pas colinéairs donc la droit n'st pas orthogonal au plan. u. n = + ( )+ 5= 6+0=0 Ls vcturs sont orthogonaux la droit t l plan sont parallèls. L'affirmation st donc fauss Donnr la ou ls bonns réponss. Dans un rpéré orthonormé, soit P l plan d'équation x y z = 0 t d la droit d rprésntation paramétriqu : { x= t y =t z = 8 t t R a..p t d sont sécants. b. P t d sont strictmnt parallèls. c. d st inclus dans.p. mêm raisonnmnt, ls vcturs n sont pas orthogonaux danc la droit t l plan n sont pas parallèls t c'st a qui st vrai

2 Exmpls d qustions d sujts d'oraux possibls. Sssion 0. Intégration Donnr la ou ls réponss justs... La valur moynn d : a. la fonction cosinus sur [ 0 ; ] st 0. b. la fonction invrs sur [ ] ; st. la valur moynn d'un fonction continu sur [a,b] st b a f (t ) dt alors. b a π 0 cos (t )dt= π 0 π [ sin (t ) ] π 0 = π ( sin (π ) ( sin (0 )) )= π (0 0 )=0 a. st vrai. t dt= [ln (t ) ] = Donnr la ou ls réponss justs... K= x x d x= ( ln ( ) ln ( )) = = a. ln b. ln 5 c. ln d. autr b. st faux Il faut calculr l'intégral pour justifir. (L'utilisation corrct d la calculatric put aussi srvir ici) Soit u (x )=x alors u' ( x )= x t u' ( x ) = x u ( x ) x = x x Or j sais qu'un primitiv sur I d u' u sur I. Un primitiv d f st donc : ln (u ) d là : x ainsi : f ( x )= x = u' ( x ) u ( x ) st ln (u ) si u st positiv sur I. Ici I=[;] t u st positiv K= [ ln ( x ) ] = ( ln (5 ) ln ( ) )= ln ( 5 ) = ln (5 )!!!!! Dans ls répons proposé ln() st là comm pièg à ln(5)-ln() Faits attntion.!!!! Vous pouvz répondr d. autr avc la bonn répons mais il faut aussi obsrvr qu 5=5 donc qu ln (5 )=ln (5 )=ln (5 ) donc b. st aussi répons vrai. t Loi continus. Quand Brad jou avc son ju vidéo, la duré d vi moynn du monstr qu'il combat st 0 minuts. On admt qu la variabl aléatoir T qui associ à un parti joué la duré d vi du monstr, n minuts, suit un loi xponntill d paramètr.. Justifir qu la valur d st 0,.. Qull st la probabilité qu l monstr a..soit ncor n vi après dix minuts. b. périss avant la vingtièm minut? c. soit ncor combatif à la cinquièm minut t succomb avant la dixièm?. Au bout d'un quart d'hur, l monstr st ncor vaillant. Calculr la probabilité qu'il n surviv pas au-dlà d vingt-cinq minuts.

3 Exmpls d qustions d sujts d'oraux possibls. Sssion 0.. Cours l'spéranc d'un loi xponntill st l'invrs du paramètr λ donc : E (X )= λ λ=0, Il faut dans ct xrcic savoir rapplr qu'll st la définition du calcul d la probabilité d la loi xponntill... Rappl cours... On définit alors un loi d probabilité X sur [0,+õ[ applé loi xponntill d paramètr λ n posant : pour tous 0ÂcÂd P (c X d)= c d λ λt dt=[ λ t ] c d On a ncor : P (xâa )=p (X<a )= 0 a f λ (t)dt= λa t P (X a )= P (XÂa )= ( λa )= λ a f λ la fonction défini sur [0;+õ[ par : f λ (t )=λ λ t st la fonction d n s i t é d la loi E ( λ ) En pratiqu X désign souvnt duré d vi, xprimé n annés, d un noyau radioactif ou d un composant élctroniqu, la duré d un tmps d attnt tc P (c<x<d ) s intrprèt comm la msur d l air rprésnté par l intégral.. P (T 0 )=0,68 calculatric dirct..ou ^(-0, 0)=^-=/ 0,68. P (T 0 )=0,865 idm. P T 5 (T 0 )=P ( T 5 ) 0,9 j'utilis ici la propriété d duré d vi sans viillissmnt d la loi xponntill (voir propriété t sa démo p 0) L calcul put aussi s fair à la main à partir d la définition d la probabilité conditionnll. Soit Y un variabl aléatoir suivant la loi normal N 9 ; t U la variabl cntré réduit associé.. La probabilité P Y 7 st égal à : a. P Y b. P Y c. P U d. P U. On donn P U 0,5 =0 69. On a alors : a. P Y 0 = 0,69 b. P Y 0 = 0 69 c. P U 0,5 = 0,69 d. P 0,5 U 0,5 = 0 8. bonns réponss a. Pour comprndr voir l cours sur la loi normal : la courb d la dnsité st symétriqu par rapport à la droit d'équation x=μ=e (Y ) ici μ=e (Y )=9 mais aussi d puisqu U= Y μ σ = Y 9. (U<0,5 ) (Y<0 ) donc b. st vrai. aussi ( Y ) (U )

4 Exmpls d qustions d sujts d'oraux possibls. Sssion 0. Par symétri d la courb P(U<0,5)=P(U>0,5) donc c. st vrai. d. n put êtr vrai un probabilité n'étant jamais négativ. Un usin utilis un machin automatiqu pour rmplir ds sachts d flur d sl. Sur chaqu sacht, l poids nt d flur d sl annoncé st 00 g. Mais un obsrvation statistiqu montr qu'n fait, l poids nt d sl par sacht suit un loi normal d moynn t d'écart typ = 0.9 g. La machin st réglé sur = 0.6 g. Qull st la probabilité qu l poids nt d sl d'un sacht qulconqu soit infériur au poids annoncé? Sur qull valur d faut-il réglr la machin pour qu'au plus % ds sachts aint un poids d sl infériur a 00 g? Y suit N( 0.6 ; 0.9²) alors P (Y 00) 0,077 (calculatric) Si Y suit N( μ ; 0.9²) alors P (Y 00 ) 0,0 dès qu μ 0,7 (par ssais...) Analys I. Soit f la fonction défini sur R { } par : f x = x x Justifir rapidmnt tous ls élémnts qui figurnt dans l tablau d variation d f. x + sign d f f Il faut dérivr, sign d la dérivé t limits... II. On définit la suit u n n N par u 0 = t, pour tout n 0 u n = u n 9,. Démontrr qu, pour tout ntir n 0 u n = n. Démonstration par récurrnc... initialisation n n=0 simpl, hérédité si vrai n k alors u k + = u k +9= ( ( ) k + + )+9=( ) k+ 6+9= ( ) k + +. III. a) Résoudr l inéquation ( I ) : x 6<0 b) Résoudr l équation ( E ) : ln (x )+ln ( x+ )=ln ( x+ ) a) x < x <ln ( ) x< +ln () domain d'étud R b) Domain d'étud ( x >0 t x+>0 t x+>0 ) x> dans c cas,

5 Exmpls d qustions d sujts d'oraux possibls. Sssion 0. (E) ln ( ( x ) ( x +) ( x ) ( x + ) x+ ) =0 = 0 = x =x+ x² x =0 x+ ctt drnièr équation du nd admt dux solutions rélls : t mais comm x ]: ;+ [ sul x = st un solution d (E). Échantillonnag. Un grossist a achté clés USB à un fabricant qui lui a crtifié qu 60 % avaint un capacité d Go t 0 % un capacité d Go. Un tchnicin prélèv au hasard 00 clés USB parmi ls qulls 0 ont un capacité d Go. a) Détrminr l'intrvall d fluctuation asymptotiqu au suil d 95 % d la proportion d clés d Go pour un échantillon d taill 00 b) Qull hypothès l tchnicin put-il tstr par ctt méthod? c) L tchnicin doit-il alrtr son patron? La situation st bin tll qu n=00>0 np=00**0,6>5 n(-p)=00**0,>5 Un intrvall d fluctuation asymptotiqu au suil d 95 % d la proportion d clés d Go st alors : I n =] p ( p ) p,96 ; p+, 96 p ( p ) n n [ I 00 = ]0,55; 0,68 [ avc p=0,6 t n=00 on obtint : b) il put tstr si la proportion annoncé par l fabricant st bin raisonnabl avc un risqu d 5 % d s trompr. c) 0 00 =0,550 ctt valur n'appartint pas à I % avc 5 % d risqu d s trompr... Il signal au patron... donc il put rjtr l'hypothès d 6 % ds français s déclarnt allrgiqus aux pollns d flurs. On étudi la fréqunc f ds prsonns allrgiqus sur un échantillon d 00 prsonns.. Sous l'hypothès p = 0.6. détrminr l'intrvall d fluctuation asymptotiqu au suil d 95 % d la variabl aléatoir F corrspondant a la fréqunc d prsonns allrgiqus sur un échantillon d taill 00.. Sur ls 00 prsonns, on trouv 0 prsonns allrgiqus. Au suil d décision d 5 %, put-on considérr qu l'échantillon obsrvé présnt un nombr anormal d prsonns allrgiqus?. n=00>0, np=00 0,6>5 t n ( p )>5 ls conditions sont réunis t comm précédmmnt IF=]0,7;0,0[.. 0 =0, IF L'hypothès p=6 % n put êtr rjté avc un risqu infériur à 0,05 00

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