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1 étection et Estimation GEL Hiver 5 Tests Neyman-Pearson Règles de Bayes: coûts connus min π R ( ) + ( π ) R ( ) { } Règles Minimax: coûts connus min max R ( ), R ( ) Règles Neyman Pearson: coûts pas connus On utilise les règles Neyman-Pearson pour les problèmes où les coûts ne sont pas connus. À cause de l'histoire du développement du test Neyman-Pearson, il y a un vocabulaire un peu diffèrent que le vocabulaire qu'on a vu jusqu à maintenant. On voit la différence dans les noms des erreurs. Erreur Type : Erreur Type : choisir H quand H est vraie - fausse alarme P F la probabilité d'une fausse alarme choisir H quand H est vrai un raté P M la probabilité d'un raté onc, H : pas de cible présente H : présence d'une cible La probabilité de détection, P, est la probabilité qu'on décide qu'il y a une cible, quand elle est vraiment présente. P la probabilité de détection - P M La taille d'une règle P F la probabilité d'une fausse alarme. La puissance d'une règle P la probabilité de détection. On peut toujours trouver une règle de décision pour rendre la probabilité d'une des erreurs très petites, en laissant la probabilité de l'autre erreur grandir. Les règles de décision Neyman-Pearson minimisent la probabilité d'une erreur, en garantissant que l'autre ne devient pas trop grande. On a un maximum pour la probabilité de fausse alarme, et on essaie de maximiser la probabilité de détection sujet à cette restriction sur la probabilité de fausse alarme. La règle Neyman-Pearson sujet à NP arg max P ( ) P F ( ) Alpha s'appelle le niveau du test ou le niveau d'importance (significance level). P F s'appelle la puissance, donc NP est la règle la plus puissante au niveau, où >, et fixée. Par exemple, on peut écrire le problème comme le suivant: 9 févr. 5 Règle Neyman-Pearson page

2 étection et Estimation GEL Hiver 5 Je ne peux pas supporter un taux de fausse alarme plus grand que.%. Quelle est la plus grande probabilité de détection possible? Avec quelle règle de décision? règle randomisée Une règle randomisée est une correspondance de à [,] avec l'interprétation que pour chaque y, (y) est la probabilité avec laquelle on accepte l'hypothèse H quand l'observation est y. Exemples: ) règle ordinaire (fonction indicateur) ( y) ( y) I ( y) onc, quand L(y) τ, on accepte l'hypothèse H avec probabilité un, ça veut dire, toujours. Quand L(y)<τ, on l'accepte avec probabilité éro, i.e., jamais. ) règle minimax Ly ( ) > τ π ( y) q L( y) τ L Ly ( ) < τ onc, quand L(y)>τ, on accepte l'hypothèse H avec probabilité un, ça veut dire, toujours. Quand L(y)τ on l'accepte avec probabilité q. Quand L(y)<τ, on l'accepte avec probabilité éro, i.e., jamais. Pour le problème Neyman-Pearson, on fait l'hypothèse que la règle est une règle randomisée pour simplifier la mathématique. P F probabilité que quand H est vrai choisit H P( choisit H ) E Y { ( )} où la notation E lqest l'espérance conditionnée à la vérité d'hypothèse H. onc, la probabilité de fausse alarme est la probabilité qu'il n'y a pas de cible, mais on décide qu'une cible est présente. Pour voir cette relation rappele-vous que P( choisir H H ) P( choisir H Y y, H ) p( y H ) dy P F P( choisir H Y y) p( y) dy { } ( y ) p ( y ) dy E ( y ) indépendant de H e la même manière on arrive à P E Y { ( ) } ( y ) p ( y ) dy 9 févr. 5 Règle Neyman-Pearson page

3 étection et Estimation GEL Hiver 5 Le lemme de Neyman-Pearson a trois parties. On commence avec une hypothèse sur la forme de la solution. Cette forme est une comparaison du rapport de vraisemblance avec un seuil avec une randomisation, et la règle Neyman-Pearson atteint exactement la probabilité de fausse alarme permet (P F ). ) On verra au début que cette forme a une probabilité de détection plus grande que toutes les règles qui sont acceptables, i.e., avec P F. ) On verra qu'une règle de cette forme existe toujours. 3) On verra que c'est la seule forme que la règle Neyman-Pearson peut prendre. Lemme de Neyman-Pearson Pour un système avec H : YP et H : YP, les points suivants sont vrais: ) [optimisation] Suppose que est n'importe quelle règle de décision avec P F ( ) et soit n'importe quelle règle de décision de la forme où, γ y R S T bg sont tels que P F ( ) Ly ( ) > p( y) > p( y) γ( y) L( y) p( y) p( y) Ly ( ) < p( y) < p( y). ans ce cas, P ( ) P ( ). ) [existence] Pour chaque (,), il existe une règle de décision, NP, de la forme * sauf avec γ(y)γ (une constante) pour laquelle P F ( NP ). 3) [unicité] Suppose que est n'importe quelle règle de décision Neyman-Pearson de taille. ans ce cas, il faut que ait la forme * sauf sur un ensemble de y avec probabilité éro sous les deux hypothèses. Preuve de l optimisation Considére les trois possibilités pour la relation entre le rapport de vraisemblance et le seuil eta: le rapport est plus grand, le rapport est égal, le rapport est plus petit. On va examiner les trois possibilités, et voir l effet sur le produit suivant y y p y p y p y > p y pbyg pbyg > bg y y y bg bg e j p p e bg bgjc bg bgh pbyg pbyg pb yg pbyg bg y γ( y) bg y bg y? * p y < p y pbyg pbyg < bg y y y bg e j p p bg e j p p 9 févr. 5 Règle Neyman-Pearson page 3

4 étection et Estimation GEL Hiver 5 onc on peut écrire que pour toutes les valeurs de y e bg bgjc bg bgh y y p y p y Comme c est vrai pour toutes les valeurs de y, je peux prendre l intégral de cette expression sur tout l espace des observations, et cette intégrale sera aussi plus grande ou égale à éro. e byg byg jc p b y g p b y g dy h Je vais séparer les quatre termes dans le produit yp ydy yp ydy+ yp ydy yp ydy ou onc on a la relation bgbg bgbg bg bg bg bg L N M yp ydy yp ydy yp ydy yp ydy P e j P ej P F ej P F ej e j e j e j e j P P P P F F On sait que la taille de la règle proposée est exactement, donc P P P ( ) ( ) [ ( )] La taille de la règle arbitraire n est jamais plus grande que, donc l expression du côté droit est jamais négative, donc Pe j Pej Q.E.. P P ej ej F O Q P Preuve de partie deux, l'existence: Cette partie de la preuve est très importante. C'est une preuve constructive, donc on va trouver les valeurs de γ et qui donnent une probabilité de fausse alarme juste égale à alpha. ) Considére la probabilité sous hypothèse éro que L(y)> comme une fonction du seuil. Appele le numéro, pas négatif, le plus petit tel que P (L(y)>). P (L(y)>) 9 févr. 5 Règle Neyman-Pearson page 4

5 étection et Estimation GEL Hiver 5 Ça veut dire que est le seuil le plus petit qui donne une probabilité de fausse alarme pas plus grande qu'alpha. ans le graphique la probabilité de fausse alarme est continue, mais il peut arriver que la fonction soit discontinue. En tout cas, la fonction est toujours monotone, décroissante, et continue du côté gauche. Qu arrive-t-il aux points de discontinuités? P (L(y)>) ans le deuxième graphique on peut voir une courbe avec deux points de discontinuités. Supposons que la première discontinuité arrive a un point qu on appelle, et la deuxième au point. On appelle P (L(y) ) la probabilité P (L(y)> ), et P (L(y)> ). La hauteur de la discontinuité est juste la probabilité que le rapport de vraisemblance est exactement égale au P (L(y) ) seuil à ce point. onc à un point de continuité on a P (L(y)), mais à un point de discontinuité, P (L(y))>. Si on considère une contrainte arbitraire sur la probabilité de fausse alarme, il est possible que tombe dans un endroit où la courbe est continue, ou dans un endroit où elle est discontinue. On va considérer les deux possibilités séparément. est dans une partie continue P (L(y) ) γ peut être arbitraire est dans une partie discontinue P (L(y) )> il faut choisir γ avec attention La règle de décision aura la forme NP R S T γ Ly ( ) > Ly ( ) Ly ( ) < 9 févr. 5 Règle Neyman-Pearson page 5

6 étection et Estimation GEL Hiver 5 On peut calculer la probabilité de fausse alarme avec cette règle de décision: Fe NPj NP NP { } bg bg P E Y y p y dy p y dy + γ P L y + p y dy Ly bg> Ly bg< P L y > + γ P L y Si tombe dans une région continue, la valeur de γ n est pas importante parce que Fe NPj bg bg P P L y > + γ P L y + γ Si tombe dans une région discontinue, la valeur de γ nous permettra d arriver à la valeur exacte de : onc on définit γ Fe NPj bg bg P P L y > + γ P L y P L y > P L y la partie qui manque la hauteur de discontinuité La hauteur de la discontinuité est la probabilité que le rapport de vraisemblance est juste égal au seuil, donc le dénominateur. La distance entre la probabilité de fausse alarme P (L(y) ) désirée,, et la probabilité actuelle pour le -P seuil est le numérateur. Si on forme le (L(y)> ) rapport entre ces deux hauteurs, on arrivera à la valeur de γ qui donne une probabilité de fausse alarme exactement égale à. Voila la preuve de la partie deux. Q.E.. 3) Supposons que ' est une règle Neyman- Pearson de niveau de la forme désirée, et " est une autre règle Neyman-Pearson avec n'importe quelle forme. Les deux sont règles Neyman-Pearson, donc les deux ont une probabilité de détection maximum, donc les probabilités de détection sont égales. Encore on utilise le résultat que ej ej ej ej P P et P, P F F e bg bgjc bg bgh y y p y p y 9 févr. 5 Règle Neyman-Pearson page 6

7 étection et Estimation GEL Hiver 5 ou Pour les règles de décision ici, ( ) ( ) ( ) ( ) P P PF P F. ( ) ( ) ( ) PF PF PF onc il faut que P F e j. On peut montrer que e bg y bg yjcpbg y pbg yhdy P P P + P e j e j e j e j F F Comme l argument de l intégration n est jamais négatif, il faut que l argument soit éro, sauf peut-être dans les deux ensembles: un ensemble avec probabilité éro sous hypothèse éro et sous hypothèse un l ensemble avec p (y) p (y) ans l ensemble avec p (y) p (y), la règle de décision peut prendre une valeur qui est une fonction de l observation y, mais cette forme sera la forme désirée, la forme dans l équation *. Q.E.. En conclusion, on a vu encore que la règle de décision optimale prend la forme d'un test sur le rapport de vraisemblance, la comparaison du rapport vers un seuil. Le seuil est une fonction du rapport de vraisemblance et. Il faut considérer la probabilité que le rapport est plus grand qu'un seuil, comme fonction du seuil.. On cherche la valeur la plus petite avec P (L(y)>). Si P (L(y)>), on a fini. 3. Sinon, il faut randomiser. Exemple: Test de position avec un bruit Gaussien H : Y N (, ) H : Y N (, ) Le rapport de vraisemblance: p y p y by g by g by g b gf e + e e by g e + y On calcule la probabilité sous hypothèse éro que le rapport de vraisemblance est plus grand qu un seuil. 9 févr. 5 Règle Neyman-Pearson page 7

8 étection et Estimation GEL Hiver 5 ( ) ( ) + y ( ) + P L( y) > P e > P y > ln + + P y > P y> + P y> ln ln ( y ) e dy Φ π onc, il faut trouver ' tel que Φ nécessaire de randomiser. F onc, Φ, ou Φ + Pearson comme NP R S T F ( ). La fonction est continue, donc il n'est pas La fonction Φ(x) est bien connue, comme les fonctions x, cos(x), etc. Elle est une fonction continue, monotone et donc, l'inverse existe toujours et il y a un seul inverse. On cherche le seuil de Neyman-Pearson, donc le ' le plus petit qui a PF P ( L( y) > ) Φ.. On peut écrire la règle Neyman- y + y < Φ Quelle est la probabilité de détection? P PLy ( ) > + γ PLy ( ) PLy ( ) > P y> ** Φ ' ( y ) F I K J e dy Φ π F b g+ I F KJ Φ Φ Φ Φ ΦΦ d d b g ' i où dsnrrapport de signal à bruit. onc on a une expression pour la probabilité de détection pour le niveau d'alarme fausse. Si le niveau est fixé, ** est une expression pour la probabilité de détection comme fonction du rapport de signal à bruit. Cette expression s'appelle fonction de puissance (power function). F 9 févr. 5 Règle Neyman-Pearson page 8

9 étection et Estimation GEL Hiver 5 On peut aussi imaginer le SNR fixé, et P est une fonction du niveau. Cette fonction s'appelle caractéristiques opérateurs du récepteur (ROCs, receiver operating characteristics). d d.5 P P d SNR (d) fonction de puissance P F ROCs Exemple: Le canal binaire -λ -λ λ λ Le rapport de vraisemblance pour le canal binaire était ( ) L y λ λ λ y λ si y λ λ L( y) λ si λ si y si y On va trouver NP pour un canal avec λ et λ tel que λ + λ <. 9 févr. 5 Règle Neyman-Pearson page 9

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