Électromagnétisme. Chapitre 3 : Mouvements de particules chargées dans des champs électriques et magnétiques

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1 Lcée François Arago Perpignan M.P.S.I Électroagnétise Chapitre 3 : Mouveents de particules chargées dans des chaps électriques et agnétiques L étude des ouveents de particules chargées dans des chaps électriques et agnétiques présente du fait de son vaste doaine d applications un intérêt considérable. Elle nous perettra notaent de coprendre le fonctionneent des tubes cathodiques d oscilloscopes, des accélérateurs et analseurs de particules. bjectifs : Savoirs : connaître l epression de la force de Lorent connaître l epression de l énergie potentielle dont dérive la coposante électrique de la force de Lorent Savoirs faire : déteriner le ouveent d une particule chargée en présence d un chap électrique unifore ou d un chap agnétique unifore indépendants du teps déteriner la vitesse acquise par une particule chargée dans un chap électrique 1 Force de Lorent eercée sur une particule chargée 1.1 Epression Dans un référentiel d étude R supposé galiléen, on considère une particule ponctuelle M de charge q de asse aniée d une vitesse v. Cette particule est souise à l action siultanée d un chap électrique E et d un chap agnétique. La force qui s applique sur cette particule est appelée force de Lorent et s écrit : ( E F Lorent = q + v F e = q E coposante électrique de la force de Lorent avec = q v coposante agnétique de la force de Lorent F Les chaps électriques et agnétiques considérés seront unifores et indépendants du teps. Rearques : - l unité SI du chap électrique E est le volt par ètre (V 1, celle du chap agnétique est le tesla (T - rearquons que le rapport E est hoogène à une vitesse S. énet 1

2 1.2 Puissance de la force de Lorent La puissance de la force de Lorent s écrit : ( FLorent P = F Lorent v = q E v + q ( FLorent P = q E ( F v = P e ( v v r v noral à ( v = v v = 0 n ontrera ultérieureent que le poids d une particule chargée est négligeable devant la force de Lorent. Le théorèe de la puissance cinétique s écrit alors : de ( c dt = P FLorent ( = P Fe Seule la coposante électrique de la force de Lorent est responsable de la variation d énergie cinétique de la particule, elle peret d accélérer ou de décélérer la particule, i.e. de odifier la nore de la vitesse de la particule. La coposante agnétique de la force de Lorent ne travaille pas. 2 Action d un chap électrique unifore et indépendant du teps sur une particule chargée 2.1 Étude générale Position du problèe Une particule ponctuelle M de charge q de asse entre avec une vitesse initiale v 0 = v 0 (cos α e + sin α e dans une région où règne un chap électrique E = E e unifore et indépendant du teps. E v0 α Figure 1 Mouveent d une particule chargée dans un chap électrique En pratique, un chap électrique E unifore et indépendant du teps peut être produit par des plaques planes parallèles portées à des potentiels différents (aratures d un condensateur plan, électrodes planes. Coparons le poids de la particule à la coposante électrique de la force de Lorent. Prenons l eeple d un électron de asse = 9, kg et de charge q = e = 1, C souis au chap de pesanteur g = 9, 8 s 2 et à un chap électrique d intensité E. n a : g q E E car les chaps électriques usuels sont tels que E 1 V 1 Dans les conditions epérientales, le poids de la particule est toujours négligeable devant la coposante électrique de la force de Lorent. Dans la région où règne le chap électrique, on réalise un vide poussé (pression très faible, inférieure à 10 5 bar pour éviter les collisions entre les particules en ouveent et les olécules du ilieu. S. énet 2/13

3 2.1.2 Étude dnaique Le principe fondaental de la dnaique s écrit a = F e d v a = dt = q E Le ouveent de la particule est uniforéent varié. En intégrant par rapport au teps, on obtient l epression de la vitesse de la particule à tout instant : q v = E t + v0 La trajectoire est contenue dans le plan foré par E et v 0 : le ouveent de la particule est plan. En intégrant encore une fois par rapport au teps, on obtient l epression du vecteur position de la particule à tout instant : M = q E t 2 + v 0 t + M 0 2 La particule étant à l instant initial en, il vient M 0 = 0, il vient : M = q E t 2 + v 0 t (1 2 Par projection, on obtient les équations horaires du ouveent de la particule = 0 = q 2 E t2 + v 0 sin α t = v 0 cos α t En éliinant t entre les coposantes et, on obtient l équation de la trajectoire Si α π/2, il vient : = q E 2 v0 2 cos2 α 2 + tan α La trajectoire est un arc de parabole, d ae parallèle (, contenu dans le plan (. Si α = π/2 ( v 0 colinéaire à E, il vient : = 0 La trajectoire est une droite, il s agit de l ae ( Étude énergétique Déterinons l epression de l énergie potentielle de la particule souise à un chap électrique E. Rappelons la relation entre le chap électrique et le potentiel électrique : E = grad V E d M = dv S. énet 3/13

4 Le travail éléentaire de la coposante électrique de la force de Lorent s écrit : ( Fe δw = F e d M = q E d M = q dv = d (q V = de p La coposante électrique de la force de Lorent est donc une force conservative qui dérive de l énergie potentielle E p telle que : E p = q V Puisque la particule n est souise qu à des forces conservatives, le théorèe de l énergie écanique s écrit : de = 0 = E = Cte L énergie écanique de la particule se conserve et on peut écrire : E = E c + E p = 1 2 v2 + qv = Cte (2 2.2 Application : principe de l oscilloscope analogique Description générale Le tube d un oscilloscope est une apoule dans laquelle sont installés un canon à électrons, deu sstèes de plaques déflectrices et un écran qui devient luinescent sous l ipact des électrons. Ce tube est à sétrie clindrique d ae ( horiontal. L apoule de verre et les générateurs qui iposent les différences de potentiel entre les plaques ne sont pas représentés. canon à électrons cathode Anode de focalisation Anode d accélération P 1 P 1 P 2 P 2 Y X écran Accélération des électrons Figure 2 Schéa de principe d un tube cathodique d oscillloscope Une cathode, portée au potentiel V C, éet des électrons de asse = 9, kg et de charge q = e = 1, C avec une vitesse quasi nulle. Ces électrons arrivent sur l anode portée au potentiel V A et la traversent par une petite ouverture située sur l ae ( avec une vitesse v 0 = v 0 e. Sachant que la tension appliquée entre l anode et la cathode vaut 2, V, recherchons la vitesse des électrons à la sortie du canon. Cathode (V C E M v U 0 > 0 Anode (V A Figure 3 Canon à électrons S. énet 4/13

5 Eprions la conservation de l énergie écanique d un électron entre la cathode (C et l anode (A : E,C = E,A e V C = 1 2 v2 0 e V A La vitesse d un électron à la sortie du canon est : A.N. : v 0 = 2 1, v 0 = 2 e (V A V C 9, , = 2, s 1 Rearque : les lois de la écanique classique ne sont valables que tant que les vitesses des électrons restent inférieures au diièe de la célérité de la luière c 3, s 1. Il serait donc préférable d adopter un traiteent relativiste du problèe. Entre le canon à électrons et les deu sstèes de plaques déflectrices, la vitesse des électrons reste constante égale à v 0 = v 0 e car l on néglige l action de tout chap dans cette one Déviation des électrons Le faisceau d électrons passe alors dans les deu sstèes de plaques déflectrices. Ces dernières produisent la déviation du faisceau d électrons avant qu il ne frappe l écran. La déviation selon (X est assurée par la paire de plaques (P 1, P 1. La tension entre les plaques P 1 et P 1 est iposée de anière que le spot balae l écran périodiqueent de gauche à droite, à vitesse constante. Cette tension est appelée tension de balaage. Nous considérerons pour la suite que la tension entre les plaques (P 1, P 1 est nulle. La déviation selon (Y est assurée par la paire de plaques (P 2, P 2 souises à la tension U que l on esure et que l on souhaite afficher. Nous considérerons pour la suite que la tension U entre les plaques (P 2, P 2 est une constante positive. Recherchons la relation entre la tension U et l ordonnée Y du point d ipact de l électron sur l écran. Y d P 2 (U > 0 E v0 l l 2 α v 1 D I Y P 2 Écran Figure 4 Déviation électrostatique S. énet 5/13

6 La tension U eistant entre les plaques déflectrices (P 2, P 2 est reliée à la nore du chap E par la relation : U = d/2 dv = d/2 E d M = d/2 E d = E d d/2 d/2 d/2 D après l étude dnaique du 2.1.2, l équation de la trajectoire d un électron entre les plaques (P 2, P 2 s écrit : = e E 2 v0 2 2 = e U 2 d v0 2 2 car α = 0 La trajectoire est un arc de parabole. Entre la sortie des plaques déflectrices (P 2, P 2 et le point d ipact de l électron sur l écran I, le ouveent de l électron est rectiligne unifore car on néglige l action de tout chap dans cette one. Recherchons l ordonnée Y du point d ipact de l électron sur l écran. L équation de la tangente à la parabole en = l a pour équation : ( d (l = ( l d l A la sortie des plaques déflectrices (P 2, P 2, on a : (l = e U 2 d v0 2 l 2 et ( d = e d l U d v0 2 l Finaleent, l équation de la tangente à la parabole en = l s écrit : = e U l ( d v0 2 l 2 Cette tangente, qui est colinéaire à la vitesse v 1 de l électron à la sortie des plaques déflectrices (P 2, P 2 et coupe l ae ( au point de côte l 2. Les plaques déflectrices (P 2, P 2 ont donc dévié la vitesse de l électron d un angle α = ( v 0, v 1 tel que : ( d tan α = = e U l d d v0 2 L écran étant situé à la distance l + D de l origine, l ordonnée Y du point d ipact de l électron sur 2 l écran vérifie : tan α = Y = Y = e l D D d v0 2 U La déviation est bien proportionnelle à la tension U que l on esure et que l on souhaite afficher à l écran. l S. énet 6/13

7 3 Action d un chap agnétique unifore et indépendant du teps sur une particule chargée 3.1 Étude générale Position du problèe Une particule ponctuelle M de charge q de asse entre avec une vitesse initiale v 0 = v 0 (cos α e + sin α e dans une région où règne un chap agnétique = e unifore et indépendant du teps. α v0 Figure 5 Mouveent d une particule chargée dans un chap agnétique Coparons le poids de la particule à la coposante agnétique de la force de Lorent. Prenons l eeple d un électron de asse = 9, kg et de charge q = 1, C anié d une vitesse v 10 5 s 1 souis au chap de pesanteur g = 9, 8 s 2 et à un chap agnétique d intensité. n a : g q v < car pour les chaps agnétiques usuels 10 4 T Dans les conditions epérientales, le poids de la particule sera toujours négligeable devant la coposante agnétique de la force de Lorent Étude énergétique En appliquant le théorèe de la puissance cinétique il vient : de ( c F ( dt = P = q v v = 0 La coposante agnétique de la force de Lorent ne travaille pas. Elle ne odifie pas l énergie cinétique de la particule, qui reste constante au cours du ouveent. Ce dernier est donc unifore Étude dnaique Le principe fondaental de la dnaique s écrit a = F q ( a = v Par projection, on obtient : ẍ = q ẏ n peut rearquer que la grandeur ω c = q Elle est appelée pulsation cclotron. ÿ = q ẋ = 0 est hoogène à l inverse d un teps. S. énet 7/13

8 Caractéristiques du ouveent dans la direction de. En intégrant la troisièe équation différentielle et en tenant copte des conditions initiales [ż(0 = v 0 cos α et (0 = 0], il vient : ż = v 0 cos α et = v 0 cos α t La particule est donc aniée d un ouveent unifore selon (. Caractéristiques du ouveent dans le plan noral à. Les deu preières équations différentielles sont des équations différentielles linéaires à cœfficients constants du preier ordre couplées, que l on va résoudre par la éthode de substitution. En intégrant la deuièe équation différentielle et en tenant copte des conditions initiales [ẏ(0 = 0 et (0 = 0], il vient : ẏ = q En reportant cette epresssion dans la preière équation différentielle, il vient : ( 2 ( 2 q q ẍ = ẍ + = 0 En tenant copte des conditions initiales [ẋ(0 = v 0 sin α et (0 = 0], la solution de cette équation différentielle s écrit : = ( q q v 0 sin α sin t En reportant dans l équation en ẏ, il vient : ẏ = q ( ( q q q v 0 sin α sin t = v 0 sin α sin t En intégrant cette équation différentielle et en tenant copte de la condition initiale [(0 = 0], il vient : = [ ( ] q q v 0 sin α cos t 1 En éliinant t entre les coposantes et, on obtient l équation de la trajectoire : ( ( 2 q v 0 sin α = q v 0 sin α de la fore 2 + ( C 2 = R 2 en introduisant C = q v 0 sin α R = q v 0 sin α = v 0 sin α ω c La particule décrit dans le plan noral à un cercle de centre C (0, C et de raon R avec une période T c = 2 π = 2 π ω c q. La conjugaison des deu ouveents conduit à un ouveent hélicoïdal. La trajectoire de la particule est une hélice de raon R = q v 0 sin α = v 0 sin α et de pas h = v 0 cos α T c = ω c 2 π v 0 cos α. q S. énet 8/13

9 3.2 Siulations nuériques A l aide de logiciels de siulations nuériques, on peut vérifier l influence des différents paraètres sur la nature du ouveent Influence de la direction de la vitesse initiale de la particule par rapport à celle du chap agnétique Considèrons une particule chargée aniée d une vitesse initiale v 0 placée dans un chap agnétique = e. Si v 0 est parallèle à : La coposante agnétique de la force de Lorent est nulle, le ouveent de la particule est donc rectiligne unifore Si v 0 est perpendiculaire à ( : la trajectoire de la particule est un cercle de centre C 0, q v 0 et de raon R décrit avec une période T c = 2 π = 2 π ω c q. Si l orientation de v 0 est quelconque : la trajectoire de la particule est une hélice S. énet 9/13

10 h v0 C R h v 0 Figure 6 Mouveent hélicoïdal d une particule chargée négativeent dans un chap agnétique Figure 7 Projection du ouveent d une particule chargée négativeent dans le plan noral au chap agnétique Influence de l intensité du chap agnétique et de la nore de la vitesse initiale de la particule Considèrons une particule chargée aniée d une vitesse initiale v 0 placée dans un chap agnétique = e telle que v 0 est perpendiculaire à. Le ouveent de la particule est donc un cercle de raon R = v 0 q. Lorsque augente, Lorsque v 0 augente, le raon de la trajectoire diinue. le raon de la trajectoire augente. 3.3 Applications phsiques Spectrographe de asse Un spectrographe de asse est un appareil destiné à séparer les isotopes d un êe éléent (les noau isotopes ont le êe nobre de protons et différent par le nobre de neutrons. Deu isotopes ont la êe réactivité chiique, il est ipossible de les séparer par des éthodes chiiques (foration de précipités, distillation,.... n a donc recours a des éthodes phsiques, coe le spectrographe de asse. chabre d ionisation V M E accélérateur V N déviateur M 1 M 2 Figure 8 Spectroètre de asse Le élange des deu isotopes peut être ionisé en le bobardant avec des électrons : les chocs entre les électrons et les atoes arrachent les électrons périphériques des atoes. Les ions sont alors triés à l aide d un dispositif approprié pour qu ils sortent de la chabre d ionisation en aant la êe charge q (positive. Les ions ainsi forés sont accélérés grâce à un chap électrique unifore créé entre des plaques parallèles portées à des potentiels différents. S. énet 10/13

11 Le faisceau parallèle d ions ainsi foré arrive dans une one où règne un chap agnétique unifore et orthogonal à la vitesse des particules entrainées. Chaque tpe d ion prend alors une trajectoire circulaire dont le raon dépend du rapport charge/asse. r deu isotopes ont des asses différentes. Coe ils ont été triés pour avoir la êe charge, les trajectoires des deu isotopes ne sont pas les êes ce qui peret de les séparer. La distance entre les deu points d arrivée des deu isotopes est égale la différence des diaètres des deu cercles. Avec des chaps agnétiques de valeurs usuelles, la distance M 1 M 2 est de l ordre du centiètre. Des fentes règlables placées au niveau de M 1 et M 2 perettent de récupérer ces isotopes et de connaître la quantité de chacun. Les spectroètres de asse sont très utilisés en laboratoire pour faire des analses de atériau. Par eeple la police scientifique peut trouver par spectroétrie la provenance d une trace de boue car la coposition isotopique de la terre varie d un lieu à l autre Accélérateurs de particules : le cclotron Le cclotron est un accélérateur de particules qui utilise l action cobinée d un chap électrique et d un chap agnétique. E Figure 9 Cclotron Le cclotron est foré de deu cavités en fore de dei-clindre les "dees" séparés par un petit intervalle. Les particules chargées sont injectées au centre du dispositif. Un chap agnétique unifore perpendiculaire à la vitesse agit dans chaque dee. Les particules décrivent dans chaque dee un dei-cercle de raon R = v q, de vitesse angulaire ω c = q. La vitesse est constante dans le dee puisque la force agnétique ne travaille pas. Un chap électrique E règne dans l espace entre les dees grâce à une tension alternative u appliquée entre les dees ; ce chap accèlère les particules dans l espace entre les dees ; si la période de cette tension u est égale à la durée d un tour, si sa pulsation est ω c = q alors le chap E dans l intervalle entre les dees change de sens chaque dei-tour et les particules sont accélérées deu fois par tour. Les particules décrivent une succession de dei-cercles de raon croissant jusqu à ce qu elles sortent du dispositif. La vitesse peut atteindre une valeur proche de celle de la vitesse de la luière. L intérêt du cclotron est de pouvoir accélérer très forteent les particules sans être contraint d appliquer une tension très élevée. S. énet 11/13

12 4 Mouveent dans les chaps électrostatique et agnétostatique Il suffit de coposer les deu ouveents obtenus précédeent. Voilà deu cas siples E et parallèles suivant e : L équation du ouveent s écrit : Il vient : d v dt d v dt = q ( E = q + v v e + q E e Par intégration de la projection sur les aes, avec les êes conditions initiales que ci-dessus il vient : dv dt = q ( q v v = v 0 sin α cos t = ( q q v 0 sin α sin t dv dt = q ( v = q v = v 0 sin α sin dv dt = q t = = [ ( q q v 0 sin α cos t E v = q E t + v 0 cos α = 1 q E 2 t2 + v 0 cos α t ] 1 n a toujours une hélice ais, le ouveent étant accéléré suivant e pas constant. par le chap E le pas de l hélice n est h 4 > h 3 h 3 > h 2 h 2 > h 1 h 1 Figure 10 Mouveent hélicoïdal à pas variable d une particule chargée négativeent dans un chap agnétique et un chap électrique parallèles E et croisés avec = e et E = E e : L équation du ouveent s écrit : Il vient : Par projection, on obtient : dv dt = q v dv dt = q v + q dv dt = 0 E d v dt d v dt = q ( E = q + v v e + q avec les conditions initiales E e 0 = 0 ; v 0 = v 0 sin α 0 = 0 ; v 0 = 0 0 = 0 ; v 0 = v 0 cos α S. énet 12/13

13 Les deu preières équations différentielles sont des équations différentielles linéaires à cœfficients constants du preier ordre couplées, que l on va résoudre ici par la éthode coplee. n introduit alors une nouvelle variable coplee u telle que u = + i. D après les équations du ouveent, on en déduit que : du dt = i q u + i q E = du dt + i q u = i q E dont une solution s écrit : u(t = E + C e i (q t/ = v = E ( q + C cos t ( où C est une constante déterinée par les C.I. q v = C sin t Les conditions initiales perettent de déteriner la constante d intégration C et il vient : v = E ( + v 0 sin α E ( v = v 0 sin α E sin v = v 0 cos α ( q cos ( q t t = = E t + ( v 0 sin α E q = ( v 0 sin α E q = v 0 cos α t ( q sin [ 1 cos t ( ] q t Le ouveent suivant ( est unifore à la vitesse v 0 cos α. Le ouveent dans le plan est ccloïdal avec ou sans boucles. (voir figure - pour v D = E = v 0 sin α E = V Dc le ouveent est parfaiteent ccloïdal - pour v D > V Dc la ccloïde est allongée le ouveent s effectue sans boucles, - pour v D < V Dc la ccloïde est raccourcie les boucles apparaissent. La particule subit une vitesse de dérive v D = E e perpendiculaireent à l ae de l hélice. Autreent dit, le ouveent est hélicoïdal de pas constant dans le référentiel en translation à la vitesse v D. Trochoïde v D < 1 2 v 0 sin α Ccloïde v D = 1 2 v 0 sin α Trochoïde v D > 1 2 v 0 sin α Figure 11 Mouveent d une particule chargée négativeent dans un chap agnétique et un chap électrique perpendiculaires S. énet 13/13