a 0 = = (24) pm : rayon de Bohr de H = 1/ (61) : constante de structure fine 2.1 Rappels: l atome d hydrogène non relativiste

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1 7 Chapite L atome d hydogène isolé Notations: q e = C : chage de l électon q p = q e à 0 pès : chage du poton m e = kg : masse de l électon M p = kg : masse du poton Pou allége les expessions, on intoduia e = q e 4πɛ 0 µ H = m em p m e+m p : Masse éduite de l hydogène. Enfin, on définit = = pm : ayon de Boh de H α = e hc h m e e = / : constante de stuctue fine. Rappels: l atome d hydogène non elativiste L atome d hydogène "non elativiste" est constitué d un poton et d un électon en inteaction coulombienne. Pa extension, le taitement poua s applique à n impote quel système de deux paticules chagées de signe opposé en inteaction deutéium, titium, ions hydogénoïdes, antihydogène pe + 996, positonium e + e 95, muonium µ + e 960, hydogène muonique pµ... Apès sépaation des paties coespondant au mouvement d ensemble de l atome, du mouvement elatif dans le cente de masse, on obtient le hamiltonien coespondant au mouvement dans le cente de masse de la paticule elative: H 0 = P + V. µ

2 8 CHAPITRE. L ATOME D HYDROGÈNE ISOLÉ qui est constitué du teme d énegie cinétique on a intoduit ici µ la masse éduite d un système hydogénoïde quelconque et du teme d énegie potentielle coulombienne: V = Zq 4πɛ 0 = Ze. Le Hamiltonien. peut ête éécit à l aide de l opéateu L caé du moment cinétique: H 0 = h µ + µ L + V.3 H 0 commute avec toutes les composantes du moment cinétique obital L i et donc en paticulie avec L et L z avec lesquels il fome un ensemble d opéateus qui commutent. On peut donc touve une base d états popes communs à H 0,L et L z. Ceux-ci s écivent:,θ,φ n,l,m l = ψ n,l,ml,θ,φ = R n,l Y m l l θ,φ.4 où R n,l et Y m l l θ,φ constituent la patie adiale et la patie angulaie de la fonction d onde espectivement. On appelle que les hamoniques sphéiques sont états popes de L et L z avec les valeus popes h ll + et hm l espectivement : Les nombes quantiques n, l, m l sont : n =,,3... : nombe quantique pincipal l = 0,,...n : nombe quantique obital l m l l : m l nombe quantique magnétique L Y m l l θ,φ = h ll + Y m l l θ,φ.5a L z Y m l l θ,φ = hm l Y m l l θ,φ.5b Les valeus popes de H 0 ne dépendent que de n et sont données pa E n = Z E I n.6 Ces états sont dégénéés n fois. E I est l énegie d ionisation du niveau fondamental de H: On définit la constante de Rydbeg pa E I = µ e4 h = µ m e e = µ m e h a 0 = µc α.7 R = m e e 4 On a donc E I = R H = µ m e R = 3.59 ev h = cm.8 Les états atomiques sont epéés pa la valeu de n et une lette associée à l, en adoptant la convention : l = noté s p d f g...

3 .. RAPPELS: L ATOME D HYDROGÈNE NON RELATIVISTE 9 On obtient ainsi les obitales atomiques s; s, p; 3s, 3p, 3d... Les fonctions d onde des pemies niveaux d énegie sont données dans les tableaux suivants. avec Y m l l Hamoniques sphéiques l m Y m l l θ,φ Y m l l x,y,z 0 0 /4π /4π 0 3/4π cos θ 3/4π z/ 3/8π sin θ e iφ 3/8π x + iy / 0 5/4π 3 cos θ 5/4π z x y / 5/8π sin θ cos θ e iφ 5/8π x + iy z/ 5/3π sin θ e iφ 5/3π x + iy / θ,φ = m l Y m l l θ,φ complexe conjugué Fonctions adiales et densité adiale de pobabilité n l Fonction R n,l Densité de pobabilité u n,l = Rn,l 0 3/ 4 3 exp 0 3/ 3 3/ /a0 exp 3 0 3/ / 7a 0 6 exp 3/ exp a a 0 3a a On peut emaque que l expession généale de ces paties adiales est le poduit d une exponentielle décoissante de "potée" n pa un polynôme en / de degé n et de plus petit teme en / l. On en déduit que le nombe de nœuds de la patie adiale est égal à n l. En paticulie, cela signifie que les obitales de l maximal l = n ne s annullent pas et pésentent un maximum unique en = a n = n. Pa ailleus, seules les obitales s l = 0 sont non nulles en = 0. Allue des pincipales obitales atomiques cf

4 0 CHAPITRE. L ATOME D HYDROGÈNE ISOLÉ. Stuctue fine de l atome d hydogène.. Temes supplémentaies au potentiel coulombien Pou des énegies faibles, l Hamiltonien d un électon soumis à un champ électique déivé d un potentiel cental φ peut s écie H = H 0 + W SF.9 où H 0 est donné pa cf eq.. H 0 = p m e + V.0 avec V = q e φ V = e /, pou l atome d hydogène, est l Hamiltonien d ode zéo non elativiste. L opéateu W SF est un teme coectif appelé Hamiltonien de stuctue fine, qui tient compte des effets elativistes. On l écit sous la fome : où est la coection de cinématique elativiste, est appelé teme de Dawin et W SF = W c + W D + W SO. p4 W c =. 8 m 3 e c W D = W SO = h 8 m e c V.3 dv m e c d l.s.4 est le teme spin-obite avec l le moment cinétique obital de l électon et s son spin. Cette expession de W SF ésulte d un développement limité de l équation elativiste de Diac à l ode en v /c. Le Hamiltonien de stuctue fine est écit avec m e et non pas la masse éduite µ. L expession exacte écite en fonction de µ est plus complexe et ne s acate de la fome donnée ici que d une quantité tès faible, en m e /M P.

5 .3. AUTRES CORRECTIONS.. Règles de sélection de W SF - Mode de calcul des coections Comme les niveaux de H 0 sont dégénéés n fois si on ne tient pas compte du spin ou n fois en tenant compte du spin, on va utilise la théoie des petubations au e ode pou des systèmes dégénéés. Pou cela, il faut diagonalise la estiction de W SF à chacun des sousespaces popes E n de H 0. Les sous-espaces E n sont engendés pa tous les états n,l,m l où l et m l pennent toutes les valeus possibles. Tout opéateu commutant avec L et L z se touve donc diagonal dans ce sous-espace. C est le cas de W c et W D qui ne font inteveni que la vaiable et donc n agissent que su la patie adiale. W SO est diagonal dans la base couplée n,l,s; j,m j. Comme les éléments de matice de W c et W D ne dépendent que de l, et que le passage de la base découplée n,l,m l ; s,m s à la base couplée s effectue à l intéieu d un sous-espace E n,l, ces opéateus estent diagonaux dans la base couplée. En conclusion, W SF est diagonal dans la base couplée. La coection au e ode de la théoie des petubations poua donc ête effectuée en penant diectement cette patie diagonale. On va donc maintenant calcule successivement les éléments de matice de chacun des temes de W SF...3 Calcul des coections de stuctue fine pou les niveaux n = et a. Teme de cinématique elativiste b. Teme de Dawin c. Teme spin - obite..4 Bilan.3 Autes coections.3. Lambshift.3. Effet de volume du noyau.4 Stuctue hypefine de l atome d hydogène.4. Stuctue hypefine dipolaie magnétique.4. Stuctue hypefine quadupolaie électique