Filtres passifs. III 39. Un filtre comportant des résistances R, des capacités C et d autres composants linéaires a pour fonction de transfert

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1 Filtr paif I 4 Amplificatur élctif ) Un amplificatur élctif t rprénté ci-contr Il (t) g (t) (t) comport un ourc d courant commandé par la tnion d ntré, un réitanc, un inductanc t un condnatur ; g t un contant réll On uppo qu il débit ur un impédanc infini Eprimr a fonction d tranfrt n tnion H n fonction d g,,, t d la pulation ) a mttr ou la form H A t primr At, n fonction d g,, t + j 3) alculr, t g pour qu A, Ω, t pour qu la fréqunc corrpondant à oit f MHz 5 4) ul typ d filtrag réali ct amplificatur? 5) Détrminr l domain d fréqunc où il dépha par rapport à d moin d ϕ 6) ul t dan c domain la ariation trêm du rapport d amplitud V / V? II 3 Filtr paif Un génératur, non rprénté, appliqu au montag un tnion Vm co t ; l montag appliqu la tnion à un apparil non rprénté équialnt à un réitanc infini ) alculr la fonction d tranfrt compl H / n fonction d,, t ) Montrr qu l on put écrir H ( ) où t où t ont du contant à primr n + j fonction d, t 3) Pour qull alur d l gain G H t-il maimum? ul t a alur maimal G ma? 4) On uppo pour ctt qution grand Détrminr un prion approimati impl d / au oiinag d En déduir d prion approimati, mai impl d pulation t ( < ) délimitant la band paant à 3 db, c t-à-dir l intrall d pour lqul l gain t upériur à G ma / 5) Ecrir l équation rigouru donnant t pour qulconqu t l réoudr 6) omparr l prion d obtnu à partir d réultat d qution 4) t 5) 7) Eprimr (t) dan l du ca t 8) Tracr chématiqumnt l graph d G t φ n fonction d 9) tt théori t-ll alabl i l génératur branché à l ntré a un réitanc non null? i l récptur branché à la orti a un réitanc fini? III 39 Un filtr comportant d réitanc, d capacité t d autr compoant linéair a pour fonction d tranfrt H( j ) + j où t ont l rpréntation compl d tnion V m co t t V m co( t + ϕ) à l ntré t à la orti du filtr ) Eprimr n fonction d,, l cofficint d amplification H V / V pour c filtr ) On ouhait écrir la fonction d tranfrt ou la form : H( j ) Eprimr l + j σ contant σ (cofficint d amortimnt du filtr) t n fonction d t 3) Détrminr n fonction d,, l déphaag ϕ par a tangnt 4) Donnr l tablau d ariation d ϕ n fonction d 5) ull t la natur du filtr, pa ba, pa haut, pa band ou coup band? 6) Donnr la définition du gain G db primé n décibl n fonction d H 7) Détrminr l comportmnt aymptotiqu d G pour ; db DS : filtr, pag m m m m

2 8) t pour 9) Définir la band paant du filtr ) alculr ctt band paant ) a tnion d ntré t déormai la tnion triangulair rprénté ci-contr, E d fréqunc f, où a la alur calculé à la qution t dont la m décompoition d Fourir t 8Em ( t) co t + co(3 t) + co(5 t) + où E m olt 3 5 t On contat périmntalmnt qu la tnion d orti t niblmnt inuoïdal : E m Vm co( t + ϕ) Epliqur c fait ) alculr V m 3) alculr ϕ 4) a tnion d ntré t à prént un fonction qulconqu du tmp En utiliant l prion d la fonction d tranfrt, détrminr l équation différntill du cond ordr qui rli t 5) a tnion d ntré t à prént un échlon d tnion, c t-à-dir qu ( t ) pour t < t ( t) E pour t >, où E t un contant a figur ci-contr donn l graph d la tnion d orti n fonction du tmp ull t la alur numériqu d E? 6) ommntr l graph d ( t) rprénté cicontr : natur du régim? t-il proch ou éloigné du régim critiqu? condition initial? IV 4 ) alculr la fonction d tranfrt H / du filtr ci-contr quand a orti débit ur un charg d impédanc infini ) Définir t calculr on impédanc d ntré Z 3) Définir t calculr on impédanc d orti Z moynnant un crtain hypothè 4) alculr la fonction d tranfrt H / du filtr ci-contr quand a orti débit ur un charg d impédanc infini 5) Epliqur pourquoi H H 6) alculr la band paant du prmir filtr pour Ω t nf 7) On appliqu à l ntré du prmir filtr la tnion continu V olt ull t la tnion à la orti? 8) On appliqu à l ntré du prmir filtr la tnion V m co t, où V m olt t rad/ ull t la tnion à la orti? 9) On appliqu à l ntré du prmir filtr la tnion V + Vm co t ull t approimatimnt la tnion à la orti, ou form numériqu? ) Si t ont l alur minimal t maimal d ( t) t a alur moynn, l tau d ondulation d t λ alculr λ ) On branch à la orti un oltmètr d bonn qualité, donc «rm», réglé n continu u indiqu-t-il? ) On règl c oltmètr n altrnatif u indiqu-t-il? V 36 d aprè ptit min 3 ) filtr ci-contr débit ur un réitanc d utiliation infini En conidérant on comportmnt aymptotiqu à haut t ba fréqunc, détrminr an calcul a natur, pa ba, pa haut, pa band ou coup band ) Eprimr a fonction d tranfrt H / n fonction d / V co t Nota : n pa tranformr l prion obtnu an raion 3) Tracr qualitatimnt l diagramm d Bod d c filtr, c t-à-dir l du graph d GdB log H t ϕ arg( H ) n fonction d log On précira l équation d aymptot 4) ul t l plu grand, la pulation d coupur ou /? DS : filtr, pag m 5 A

3 5) On put conidérr c filtr comm contitué par la mi n éri d du cllul formé par un réitanc t un bobin ommnt modifir c montag pour obtnir un filtr dont la fonction d tranfrt t l carré d cll d un filtr n comportant qu un cllul,? épon g A I ) H ; ) A g ; ; ; 3) g, S ; j + j 8 8 tan ϕ 3,8 H ; 3,8 F ; 4) pa-band ; 5) f f f ( ) 4, 9956 MHz ; tan ϕ f f( + ) 5, 44 MHz ; 6) d à,9848 II ) H ; ) ; ; 3) ; ; 4) + j( ) G ma < < + ; 5) 4 + ; V m ; 7) i, Vm co t ; i, co ( t + 4 ) ; ; 6) G φ w 8) 9) alabl i l génératur branché à l ntré a un réitanc ; non alabl i l apparil branché à la orti a un impédanc fini III ) H ; ) 4 r g / ; σ ; 3) tan ϕ / ; 4) + tan ϕ + ϕ / 5) pa ba ; 6) GdB log H ; 7) G db ; 8) G db 4 log ( / ) ; 9) i H t la alur maimal d la fonction H ( ), la band paant t l domain d fréqunc pour lqul H t upériur à H ma ; ) l intrall d fréqunc (, ) ; ) l compoant d la éri d Fourir d fréqunc 3 f, 5f ont daantag atténué qu la compoant d fréqunc f ; ) Vm 4 E m /,573 olt ; 3) ϕ / ; d d 4) + dt dt + ; 5) E olt ; 6) régim pudopériodiqu proch du régim critiqu ; d () t () dt IV ) H ; ) l montag équiaut i à i d l ntré à un impédanc Z + j + ; 3) j l nmbl du circuit branché à l ntré t du filtr équiaut à un ourc d tnion n éri ac un impédanc Z ou Z ; 4) + j + j 3 Hz ; 7) + j + r g ma DS : filtr, pag 3

4 V ; 8) approimatimnt, in ( 5 5 t) ou,99 co( t, 47rad) ; 9) 5 +,in( t) n olt ; ) λ, ; ) olt ; ),4 olt DS : filtr, pag 4

5 orrigé I g g ) Zg H j + + j + j j ) En idntifiant l du formul, on obtint A g, d où n formant l produit t l quotint mmbr à mmbr d c du drnièr formul A, S 3,8 H 3,8 F 8 8 3) g f 4) t un pa-band f 5) Poon limit corrpondnt à tan ϕ ± ( ) f omm l domain t étroit, l calcul t plu impl n approimant la fonction par d ( / ) ( ) ( ) d tan ϕ tan ϕ tan ϕ ± f f( ) 4, 9956 MHz f f( + ) 5, 44 MHz 6) gain rt trè oiin d ; a alur trêm a liu pour ϕ ; alor il aut + tan ϕ co ϕ, 9848 ; il ari donc d à,9848 II Filtr paif ) D aprè l théorèm d Millman, H + + j + j j ) Il faut idntifir l du prion d H + j + j( ) ( ) En prnant l produit t l rapport mmbr à mmbr, on obtint : marquon qu l prion d n t pa cll d un circuit éri 3) G H t maimum quand oit ou ( ) Sa alur maimal + t G ma G 4) ma ( ) G > G > > / < < + ( / ) Soit ( ) ( ) ) f / d( f ) ( + / d En rmplaçant l différntill par d ptit ariation au oiinag d, on obtint, f ( ) f ( ) ( ) Si t grand, la band paant t niblmnt l intrall d fréqunc pour lqul : ( ) < < < + < < + DS : filtr, pag 5

6 5) pulation d coupur ont l olution d oit ± / dont l racin ont ± ± + 4 omm un pulation t poiti, l du olution accptabl ont : ) Dan l du ca, 7) Si, H, Vm co t Si, H V p m V ( ) p ( ( )) m j j t + ( ) co 4 4 ( t + j ) 4 8) Si H j φ G g log log H + j φ G 4 g 3dB H φ G g H j φ G 4 g 3dB H φ G j g log log G φ w 9) réultat rtnt alabl i l génératur branché à l ntré a un réitanc r, à condition qu on oit capabl d fair arir an changr V, c qui t az irréalit On put ongr à rmplacr par + r m Il n ont plu alabl i l apparil branché à la orti a un impédanc fini III ) omm H t d la form a + jb, on modul t H H a + b ( ) + ( ) H ) Il faut idntifir l du fonction d j, H( j ) + j + j σ g g σ du fonction ont idntiqu i : t t σ 3) omm H t d la form, on argumnt t compri ntr t t t tl qu a + jb ϕ tan b ϕ, oit a / tan ϕ / DS : filtr, pag 6

7 4) Poon, n accord ac un qution qui uit, omm H t d la form, où a t poitif à a + jb ba fréqunc t négatif à haut fréqunc t b t poitif + tan ϕ + ϕ / 5) filtr t pa ba 6) GdB log H 4 log + 7) Si, GdB 8) Si, G db 4 log ( 4 db/décad) 9) Soit H la alur maimal d la fonction H( ) a band paant t l domain d fréqunc pour lqul H ma t upériur à H ma ) omm H ma, la band paant t l domain où >, oit < 4 a band paant t + donc l intrall d fréqunc (, ) ) omm l filtr t pa ba t d band paant (, f ), l compoant d la éri d Fourir d fréqunc 3f, 5f ont daantag atténué qu la compoant d fréqunc f ; l ignal à la orti t donc intrmédiair ntr un ignal triangulair t un ignal inuoïdal d fréqunc f Si on néglig l harmoniqu dant l fondamntal dan, c ignal t inuoïdal ; a rpréntation compl t obtint n multipliant l fondamntal d 8E, oit m 4 Em p( jt), par H( j ), d où p( jt ) j j 4 Em ) Vm,573 olt 3) ϕ arg( H ) d 4) En rmplaçant j par dt dan [ + j + ( j) ], on obtint d d + + dt dt 5) E limt + olt 6) régim tranitoir t pudopériodiqu ; n fft, un régim apériodiqu n put pa comportr du intant différnt pour lqul la dérié d t null On put l érifir n calculant l dicriminant d l équation caractéritiqu, oit 4 t rmarquant qu il t négatif régim t rlatimnt proch du régim critiqu ; n fft, il y a trè pu d'ocillation d condition initial ont () t () dt IV ) mêm courant i trar t : + j + j i j H ) montag équiaut i à i d l ntré à un impédanc i Z + j 3) nmbl du circuit branché à l ntré t du filtr équiaut à un ourc d tnion n éri ac un impédanc Z,ou à un ourc d courant n parallèl ac ctt impédanc Slon l circuit branché à l ntré, pluiur répon ont poibl Si ur l ntré t branché un ourc d tnion, l équialnc / / Z DS : filtr, pag 7

8 modèl d Thénin modèl d Norton donn l équialnt uccif ci-contr : D où Z + j Si ur l ntré t branché un ourc d tnion n éri ac un réitanc 4) Voici du réolution poibl : a) Appliquon l théorèm d Millman au point A commun au du réitanc / ( A) t à la orti j + j + + j j j r g, alor Z ( A) / H j + j 3j j + ( j ) j alor qu H + j b) Appliquon l théorèm d Millman : / + / + au point A commun au du réitanc ( A) / + j + j ( A) / t à la orti ( A) ( ) / j + j + + ( + j ) + j [( + j )( + j) ] H + 3j + j + r alor qu H + j 5) Si on plac pluiur quadripôl n éri, la fonction d tranfrt d H H l nmbl t l produit d fonction d tranfrt d élémnt ( H H H ) i l impédanc d orti d chaqu élémnt t baucoup plu ptit qu l impédanc d ntré d l élémnt uiant En fft, dan l ca contrair, la fonction d tranfrt n t pa un propriété du ul quadripôl, ll dépnd aui d élémnt qui ont branché ur lui Or, d aprè l calcul d qution précédnt, l impédanc d orti du prmir étag t d l ordr d cll d ntré du cond étag 6) H t maimum pour t aut alor a fréqunc d coupur t tll qu + H ma H ma c H c fc 59 Hz 3 7 a band paant a du continu à 59 Hz 7) H V 8) H Si on n chrch pa l déphaag ntr la orti t l ntré, un bonn j + j jt Vm approimation t H, in( 5 t) n olt tt approimation t uffiant pour j j répondr au qution uiant Si on ouhait connaîtr l déphaag ntr l ntré t la orti, on put fair un calcul plu préci : jt j t Vm ( j) Vm Vm Vm 5 co t in,99 co( ) j + t t ϕ + ϕ,9365, 47rad 84, 3 DS : filtr, pag 8 g

9 5 9) +,in( t) n olt ), +, λ, ) oltmètr indiqu la alur moynn, oit olt ) oltmètr indiqu la alur fficac d la compoant altrnati, oit,,4 V marqu : i l oltmètr était trm, il indiqurait la alur fficac du ignal, oit +,4,5V V ) A ba fréqunc, un bobin t un court-circuit, donc A haut fréqunc, on impédanc t infini, donc On put donc préumr qu c filtr t pa-haut ) Millman : A ; j + j j + j A droit, t formnt un diiur d tnion : A A H + j j + j j j + j 3) A ba fréqunc, H log H 4 log ϕ + (t non, car l du prion ntr parnthè au dénominatur d l prion d H ont tout du un parti réll poiti t un parti imaginair négati ; oir aui qu H j/3) ) A haut fréqunc, log H ϕ Pour, H j /3 ϕ log H log log 4 log 4) Pour, H j /3, H /3 < /, donc la fréqunc + d coupur corrpond à >, oit > / Vm co t En fait, la fréqunc d coupur corrpond à,94 5) Pour qu la fonction d tranfrt d du quadripôl dipoé n éri oit l produit d fonction d tranfrt d c du quadripôl, il faut qu la réitanc d orti d la prmièr cllul oit trè ptit par rapport à cll d ntré d la cond ; or dan l montag, ll paraint du mêm ordr d grandur ; il faut donc intrpor un montag uiur ntr l du cllul DS : filtr, pag 9