Variables aléatoires réelles

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1 23 Variables aléatoires réelles Pour ce paragraphe, (Ω, B, P est un espace probabilisé Définition et propriétés des variables aléatoires réelles Définition 23.1 On dit qu une application X : Ω R est une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P si : A B R, X 1 (A B On dit aussi qu une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P est une application mesurable de (Ω, B dans (R, B R. Remarque 23.1 Pour B = P (Ω toute application X : Ω R est une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P. Donc, dans le cas où Ω est dénombrable, en prenant B = P (Ω pour tribu d événements, toute application X : Ω R est une variable aléatoire. En utilisant le théorème 21.2, on a le résultat suivant. Théorème 23.1 Une application X : Ω R est une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P si, et seulement si : x R, X 1 (], x] B Démonstration. Le théorème 21.ous dit que B R = σ (X 1, où X 1 = {], x] x R}. Si X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P, on a alors X 1 (], x] B pour tout réel x puisque ], x] B R. Réciproquement, soit X : Ω R telle que X 1 (], x] B pour tout réel x. On note : A = { A B R X 1 (A B } et on veut montrer que A = B R. Pour ce faire, on montre que c est une tribu qui contient X 1, ce qui implique que B R A et comme A B R, on a l égalité attendue. Par hypothèses, on a X 1 A B R. Avec Ω = X 1 (R et R X 1, on déduit que Ω A. Si A A, on a alors : X 1 (R \ A = Ω \ X 1 (A B et R \ A A. 555

2 556 Variables aléatoires réelles Si (A n n N est une suite d éléments de A, on a alors : ( X 1 A n = n N n NX 1 (A n B et n NA n A. Donc A est une tribu et A = B R, ce qui signifie que X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P. Si X : Ω R est une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P, nous noterons : (X A pour X 1 (A = {ω Ω X (ω A} où A B R ; (X = x pour X 1 ({x} = {ω Ω X (ω = x} où x est un réel ; (X x pour X 1 (], x] = {ω Ω X (ω x} où x est un réel ; (X < x pour X 1 (], x[ = {ω Ω X (ω < x} où x est un réel. Exercice 23.1 Montrer qu une application X : Ω R est une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P si, et seulement si : x R, X 1 (], x[ B Solution 23.1 Comme les intervalles de la forme ], x[ sont des boréliens, la condition est nécessaire. Réciproquement, soit X : Ω R telle que X 1 (], x[ B pour tout réel x. Pour montrer que X est une variable aléatoire réelle, il nous suffit de montrer que X 1 (], x] B pour tout réel x, ce qui résulte de : X 1 (], x] = X 1 ( + n=1 ], x + 1 n[ = + n=1 (] X 1, x + 1 [ n Exercice 23.2 On suppose que Ω est dénombrable. Montrer qu une application X : Ω R est une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P si, et seulement si : Solution 23.2 Résulte du fait que : x R, X 1 ({x} B X 1 (], x[ = ω Ω X 1 (X (ω X(ω<x la réunion étant dénombrable pour Ω dénombrable. Définition 23.2 On dit qu une application X : Ω R est une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, B, P si X (Ω est dénombrable et si X 1 ({x} B pour tout réel x. Dans le cas où X (Ω est fini, on dit que X est étagée. Théorème 23.2 Une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, B, P est une variable aléatoire. Démonstration. On a X (Ω = {x i i I} où I est une partie de N et pour tout réel x, on a : X 1 (], x] = {ω Ω X (ω x} puisqu il s agit d une réunion dénombrable. = {ω Ω X (ω = x i où i I et x i x} = X 1 ({x i } B i I x i x

3 Définition et propriétés des variables aléatoires réelles 557 Théorème 23.3 Si X est une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, B, P et f une application de R dans R, alors f X est une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, B, P. Démonstration. On a X (Ω = {x i i I} où I est une partie de N et en conséquence (f X (Ω = {f (x i i I} est dénombrable. Si y R \ (f X (Ω, on a (f X 1 ({y} = et si y = f (x k (f X (Ω, on a : (f X 1 ({y} = {ω Ω f (X (ω = f (x k } = X 1 ({x i } B i I f(x i =f(x k Donc f X est une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, B, P. Théorème 23.4 L ensemble V R (Ω, B, P des variables aléatoires réelles définies sur (Ω, B, P est un espace vectoriel sur R stable par multiplication (c est une R-algèbre. Démonstration. Pour la structure d espace vectoriel, il suffit de prouver que V R (Ω, B, P est un sous-espace vectoriel de l espace R Ω de toutes les applications de Ω dans R. La fonction identiquement nulle X : ω est une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P puisque pour tout réel x, on a : X 1 (], x] = ( x = { si x < Ω si x B Soient X, Y dans V R (Ω, B, P et x R. Pour tout ω (X + Y 1 (], x[, on a X (ω + Y (ω < x et il existe un nombre rationnel r ω tel que : X (ω < r ω < x Y (ω ce qui entraîne X (ω < r ω, soit ω X 1 (], r ω [ et Y (ω < x r ω, soit ω Y 1 (], x r ω [. On a donc : (X + Y 1 (], x[ A = r QX 1 (], r[ Y 1 (], x r[ Réciproquement si ω A, il existe un rationnel r tel que X (ω < r et Y (ω < x r, ce qui entraîne (X + Y (ω < x et ω (X + Y 1 (], x[. En définitive : (X + Y 1 (], x[ = r QX 1 (], r[ Y 1 (], x r[ B comme réunion dénombrable d éléments de la tribu B et X + Y V R (Ω, B, P. Soient X dans V R (Ω, B, P, λ R et x R. Si λ =, on a alors λx = V R (Ω, B, P. Pour λ >, on a : (] (λx 1 (], x] = X 1, x ] B λ et pour λ <, on a : (λx 1 (], x] = X 1 ([ x λ, + [ B Donc V R (Ω, B, P est un R-espace vectoriel.

4 558 Variables aléatoires réelles En écrivant que XY = 1 ( (X + Y 2 (X Y 2, il nous suffit de montrer que le carré 4 d une variable aléatoire est une variable aléatoire pour en déduire que V R (Ω, B, P est stable par multiplication. Pour X dans V R (Ω, B, P et x R, on a (X 2 1 (], x] = si x < et pour x, ω Ω, on a : X 2 (ω x x X (ω x ce qui entraîne que : ( X 2 1 (], x] = X 1 ([ x, x ] B et donc X 2 V R (Ω, B, P. On rappelle que si A est une partie de Ω, on définit alors sa fonction caractéristique par : χ A : Ω { R 1 si ω A ω χ A (ω = si ω Ω \ A Pour A =, on a χ A = et pour A = Ω, on a χ A = 1. Exercice 23.3 Montrer que si n est un entier naturel non nul, A 1,, A n des éléments de B et λ 1,, λ n des réels, alors X = n λ k χ Ak est une variable aléatoire réelle sur (Ω, P (Ω, P. Solution 23.3 Il suffit de montrer que, pour tout A B, χ A V R (Ω, B, P puisque V R (Ω, B, P est un espace vectoriel réel. Pour A =, on a χ A = V R (Ω, B, P et pour A, x R, on a : (χ A 1 (], x] = {ω Ω χ A (ω x} si x < = Ω \ A si x < 1 Ω si x 1 B et donc χ A V R (Ω, B, P. Exercice 23.4 Montrer que si X V R (Ω, B, P, alors X V R (Ω, B, P. En déduire que pour X, Y dans V R (Ω, B, P, max (X, Y et min (X, Y sont dans V R (Ω, B, P. Solution 23.4 Pour X dans V R (Ω, B, P et x R, on a ( X 1 (], x] = si x < et pour x, ω Ω, on a : X (ω x x X (ω x ce qui entraîne que : et donc X V R (Ω, B, P. Il en résulte que : ( X 1 (], x] = X 1 ([ x, x] B max (X, Y = 1 2 (X + Y + X Y V R (Ω, B, P et : min (X, Y = 1 2 (X + Y X Y V R (Ω, B, P

5 Loi d une variable aléatoire réelle. Fonction de répartition 559 Exercice 23.5 Montrer que si X est une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, P (Ω, P et f une application de R dans R, on a alors : f X = f (x χ X 1 ({x} x X(Ω Solution 23.5 On a X (Ω = {x i i I} où I est une partie de N. Pour tout ω Ω, il existe un indice k I tel que X (ω = x k et : f (x i χ X 1 ({x i } (ω = f (x k = f X (ω i I du fait que χ X 1 ({x i } (ω = pour i k (dans ce cas X (ω = x k x i et ω / X 1 (x i et χ X 1 ({x k } (ω = 1. Définition 23.3 On dit qu une application f : R R est borélienne si : A B R, f 1 (A B R Théorème 23.5 Si X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P et f une application borélienne de R dans R, alors f X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P. Démonstration. Pour tout A B R, on a : (f X 1 (A = {ω Ω (f X (ω A} = { ω Ω X (ω f 1 (A } = X 1 ( f 1 (A B donc f X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P Loi d une variable aléatoire réelle. Fonction de répartition Théorème 23.6 Si X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P, alors l application : définit une probabilité sur (R, B R. P X : B R [, 1] A P X (A = P (X 1 (A Définition 23.4 Si X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P, on dit alors que la mesure de probabilité P X définie par le théorème précédent est la loi de X et que la fonction de répartition de P X est la fonction de répartition de X. On la note F X Dans le cas où P X admet une densité, on dit que c est la densité de X. La fonction de répartition d une variable aléatoire réelle est donc définie par : x R, F X (x = P X (], x] = P (X x.

6 56 Variables aléatoires réelles Exemple 23.1 Si X est étagée avec X (Ω = {x 1,, x n } où x 1 < x 2 < < x n, alors la fonction de répartition F X est une fonction en escaliers croissante, nulle sur ], x 1 [, égale à 1 sur [x n, + [ et : { P (X = x1 = F X (x 1 P (X = x k = F X (x k F X (x k 1 (2 k n Ce qui résulte de : si x < x 1 k F X (x = P (X x = P (X = x i si x [x k, x k+1 [ 1 si x [x n, + [ En effet : pour x < x 1, on a (X x = ; pour x [x k, x k+1 [, on a (X x = (X = x 1 (X = x k ; pour x [x n, + [, on a (X x = Ω. Dans le cas où X est une variable aléatoire à densité, on a : x R, F X (x = P (X x = P (X < x = où f : R R + est une fonction continue par morceaux telle que x f (t dt f (t dt = 1. Exemple 23.2 Si n un entier naturel non nul, on dit qu une variable aléatoire réelle X suit une loi uniforme discrète si X (Ω = {1,, n} et : k {1,, n}, P (X = k = 1 n On note X U ({1,, n}. Cette loi permet de décrire les expériences aléatoires où il y a équiprobabilité. Exemple 23.3 Si p un réel dans ], 1[, on dit qu une variable aléatoire réelle X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si X (Ω = {, 1} et : On note X B (p. P (X = = 1 p, P (X = 1 = p. Exemple 23.4 Si n un entier naturel non nul et p un réel dans ], 1[, on dit qu une variable aléatoire réelle X suit une loi binomiale de paramètres n et p, si X (Ω = {, 1,, n} et : On note X B (n, p. k {, 1,, n}, P (X = k = C k np k (1 p n k Exemple 23.5 Si p un réel dans ], 1[, on dit qu une variable aléatoire réelle X suit une loi géométrique de paramètre p, si X (Ω = N et : On note X G (p. k N, P (X = k = p (1 p k

7 Loi d une variable aléatoire réelle. Fonction de répartition 561 Exemple 23.6 Si λ un réel strictement positif, on dit qu une variable aléatoire réelle X suit une loi de Poisson de paramètre λ, si X (Ω = N et : On note X P (λ. λ λk k N, P (X = k = e k! Exemple 23.7 Si λ est un réel strictement positif, on dit qu une variable aléatoire réelle X suit une loi exponentielle de paramètre λ, si X (Ω = R et pour tout réel x, on a : x λ e F X (x = P (X x = λt dt = 1 e λx si x si x < On note X E (λ. Exemple 23.8 Si σ est un réel strictement positif et µ un réel, on dit qu une variable aléatoire réelle X suit une loi normale (de Gauss de paramètres µ et σ si X (Ω = R et pour tout réel x, on a : On note X N (µ, σ. F X (x = P (X x = 1 x σ 2π e (t µ2 2σ 2 Exercice 23.6 Un concours de tir au pistolet entre deux compétiteurs A et B est constitué d une suite d épreuves consistant, pour chacun des compétiteurs, en un tir visant à atteindre une cible. Les deux compétiteurs tirent simultanément, chacun d eux disposant de sa cible personnelle. On associe à ce concours une expérience aléatoire. On suppose que toutes les épreuves sont mutuellement indépendantes et que pour chaque épreuve : le compétiteur A a la probabilité 2 de toucher sa cible ; 3 le compétiteur B a la probabilité 1 de toucher sa cible ; 2 les résultats obtenus par A et B sont indépendants. À l issue de chaque épreuve, il faut avoir touché sa cible pour être autorisé à poursuivre le concours, sinon on est éliminé. Le concours cesse lorsque les deux compétiteurs ont été éliminés. Pour tout entier n 1, on considère les événements suivants : A n : à l issue de l épreuve n, seul A n est pas éliminé ; B n : à l issue de l épreuve n, seul B n est pas éliminé ; C n : à l issue de l épreuve n, aucun compétiteur n est éliminé ; D n : à l issue de l épreuve n, les deux compétiteurs sont éliminés ; C est l événement certain et A, B, D sont impossibles. 1. Calculer les probabilités suivantes : P (A n+1 A n, P (B n+1 A n, P (C n+1 A n, P (D n+1 A n, P (A n+1 B n, P (B n+1 B n, P (C n+1 B n, P (D n+1 B n, P (C n+1 C n, P (B n+1 C n, P (C n+1 C n, P (D n+1 C n. 2. On note X la variable aléatoire égale au numéro de l épreuve à l issue de laquelle a lieu la première élimination. dt

8 562 Variables aléatoires réelles (a Calculer P (X = 1. On suppose dans les questions suivantes que n 2. ( n (b Calculer P C k. (c Calculer P (X > n. (d En déduire P (X = n. n (e Calculer lim P (X = k. (f Montrer que P (X > n 1 = P (X = n + P (X > n. (g Montrer que np (X > n + n kp (X = k = n 1 P (X > k. (h En déduire lim 3. Pour n N on note X n = par X n+1 = AX n. (a Déterminer A. n kp (X = k. P (A n P (B n P (C n P (D n k= et A M 4 (R est la matrice de transition définie (b Déterminer une matrice diagonale D et une matrice inversible P telle que A = P DP. (c Calculer X n en fonction de X pour tout entier naturel n. (d Calculer Solution 23.6 lim X n. 1. On a : P (A n+1 A n = 2 3, P (B n+1 A n =, P (C n+1 A n =, P (D n+1 A n = 1 3, P (A n+1 B n =, P (B n+1 B n = 1 2, P (C n+1 B n =, P (D n+1 B n = 1 2, 2. P (C n+1 C n = 1 3, P (B n+1 C n = 1 6, P (C n+1 C n = 1 3, P (D n+1 C n = 1 6. (a P (X = 1 = P (A 1 + P (B 1 + P (D 1 = 2 3. ( n ( (b P C k = P C n n 1 C k P (C 2 C 1 P (C 1 = 1 3. n ( n (c P (X > n = P (C n = P C k = 1 3. n (d P (X = n = P (X n P (X n = n 1 3 = 3. ( n n n 1 (e lim P (X = k = lim 3 1 = lim (1 13 = 1. k 1 3 k n (f Résulte de (X > n 1 = (X = n (X > n.

9 Loi d une variable aléatoire réelle. Fonction de répartition 563 (g On a : (h On a : P n = np (X > n + = n n 3 + k n n 1 = P (X > k. k= n kp (X = k ( 1 3 k k = n 1 k= 1 3 k avec : n n 1 kp (X = k = P (X > k np (X > n k= n 1 = (P (X > k P (X > n k= p (X > k p (X > n = p (X = k + 1 ou ou n n = p (X = j = k 3 n j=k+1 3. ce qui donne : et lim n n kp (X = k = 3 2. (a On a un processus de Markov avec : kp (X = k = n A = n 3 n (b A est diagonalisable avec P 1 AP = D et P 2 = I 4 où : 4 D = , P = 6 (c X n = A n X = P D n P X

10 564 Variables aléatoires réelles (d On a : et lim X n = 23.3 Espérance X n = A n X = P D n P 1. 1 = ( 1 3 n 2 n 3 n 3 n 1 3 n 2 n + 3 n Pour ce paragraphe, X est une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé (Ω, B, P. Définition 23.5 Si X est à valeurs positives, l espérance de X est l élément de R + = [, + ] défini par : E (X = P (X > t dt L application t P (X > t = 1 F X (t est décroissante à valeurs positives. Elle est donc Riemann-intégrable sur tout segment [, x] avec x > et la fonction : x x P (X > t dt qui est croissante admet une limite, éventuellement égale à +, quand x tend vers +. Avec : P (X > t = 1 P (X t = 1 F X (t on a : x P (X > t dt = x x F X (t dt Exercice 23.7 Calculer E (X pour X suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Solution 23.7 Si X E (λ alors : P (X > t = 1 F X (x = { e λx si t 1 si t < et : E (X = e λt dt = 1 λ Lemme 23.1 Si X est une variable aléatoire réelle étagée positive sur (Ω, B, P avec X (Ω = {x 1,, x n }, on a alors : n E (X = x k P (X = x k

11 Espérance 565 Démonstration. On peut supposer que x 1 < x 2 < < x n et on a : si t < x 1 k F X (t = P (X = x i si t [x k, x k+1 [ 1 si t [x n, + [ donc : et : 1 si t < x 1 P (X > t = 1 F X (t = 1 k P (X = x i si t [x k, x k+1 [ si t [x n, + [ x1 x2 E (X = P (X > t dt + P (X > t dt + + P (X > t dt + P (X > t dt x 1 x n 1 x n x2 ( xn n 1 = x 1 + (1 P (X = x 1 dt P (X = x i dt x 1 x n 1 ( n 1 = x 1 + (1 P (X = x 1 (x 2 x P (X = x i (x n x n 1 xn soit en notant p k = P (X = x k pour 1 k n : ( n 1 E (X = x 1 + (1 p 1 (x 2 x 1 + (1 p 1 p 2 (x 3 x p i (x n x n 1 = x 1 (1 (1 p 1 + x 2 ((1 p 1 (1 p 1 p 2 + x n 1 ((1 p 1 p n 2 (1 p 1 p n 1 + x n (1 p 1 p n 1 = p 1 x 1 + p 2 x p n 1 x n 1 + p n x n puisque p p n 1 + p n = 1. Exercice 23.8 Calculer E (χ A pour tout élément A de B. Solution 23.8 On a χ A (Ω = {, 1} et : E (χ A = P (χ A = 1 = P (A Exercice 23.9 Calculer E (X pour X suivant une loi uniforme discrète, une loi de Bernoulli, une loi binomiale. Solution 23.9 Si X U ({1,, n}, alors : E (X = n k n =n Si X B (p, alors : E (X = p

12 566 Variables aléatoires réelles Si X B (n, p, alors en tenant compte de kcn k = ncn 1 k 1 pour 1 k n, on a : n n E (X = kcnp k k (1 p n k = np Cn 1p k 1 k 1 (1 p n 1 (k 1 n 1 = np Cn 1p j j (1 p n 1 j = np (p + 1 p n 1 = np. j= Lemme 23.2 Si X, Y sont deux variables aléatoires réelles étagées positives sur (Ω, B, P et λ un réel positif, on a alors : E (λx + Y = λe (X + E (Y Démonstration. Soit Z = λx + Y. Pour tout z Z (Ω, on note : I z = {(x, y X (Ω Y (Ω λx + y = z} C est un ensemble fini puisque contenu dans X (Ω Y (Ω qui est fini. Pour tout z Z (Ω, on a la partition : (Z = z = (x,y I z (X = x (Y = y donc : et : avec : E (Z = z Z(Ω = P (Z = z = zp (Z = z = z Z(Ω (x,y I z P ((X = x (Y = y z (x,y I z P ((X = x (Y = y zp ((X = x (Y = y z Z(Ω (x,y I z = (λx + y P ((X = x (Y = y z Z(Ω (x,y I z = (λx + y P ((X = x (Y = y (x,y X(Ω Y (Ω = λ x X(Ω y Y (Ω x y Y (Ω P ((X = x (Y = y + P ((X = x (Y = y = P y Y (Ω y Y (Ω = P ((X = x y x X(Ω P ((X = x (Y = y (X = x (Y = y puisque ((Y = y y Y (Ω est un système complet d événements et : P ((X = x (Y = y = P (X = x (Y = y x X(Ω x X(Ω = P ((Y = y

13 Espérance 567 puisque ((X = x x X(Ω est un système complet d événements. Ce qui nous donne : E (Z = λ xp ((X = x + yp ((Y = y x X(Ω y Y (Ω = λe (X + E (Y. Définition 23.6 On dit qu une suite (X n n N de variables aléatoires réelles sur (Ω, B, P converge vers une variable aléatoire réelle X sur (Ω, B, P si pour tout ω Ω, la suite réelle (X n (ω n N converge vers X (ω (ce qui revient à dire que la suite de fonctions (X n n N converge simplement vers X sur Ω. Théorème 23.7 Une variable aléatoire réelle positive sur (Ω, B, P est limite d une suite croissante de variables aléatoires réelles étagées positives. Démonstration. Soit X une variable aléatoire réelle positive sur (Ω, B, P et (X n n N suite de variables aléatoires réelles sur (Ω, B, P définie par : la où : A n,k = X n = n2 n 1 k= k χ A n,k ( k 2 X < k + 1 B n Chaque X n est une variable aléatoire réelle étagée positive. Pour ω Ω et n > X (ω, il existe un unique entier k {,, n 1} tel que : k 2 X (ω < k + 1 n (pour X (ω < n, on a X (ω < n, donc k = [ X (ω] n 1 et k X (ω < k + 1, ce qui signifie qu il existe un unique entier k {,, n 1} tel que ω A n,k, donc X n (ω = k et : X (ω X n (ω < 1 La suite (X n n N converge donc simplement vers X. Il reste à montrer que (X n n N est croissante. Pour ω Ω et n 1, on a deux possibilités. Soit X (ω < n et alors X n (ω = k 2 où k = n [2n X (ω], c est-à-dire que k 2 X (ω < k + 1 n 2 et : n k X n+1 (ω = 2 si k n 2 = 2k 2k + 1 X (ω < n 2n+1 2 2k + 1 n+1 si 2k + 1 X (ω < k + 1 = 2k qui donne dans tous les cas X n (ω X n+1 (ω. Soit X (ω n et alors X (ω / A n,k pour k n 1 puisque X (ω n k + 1, ce qui donne X n (ω = X n+1 (ω.

14 568 Variables aléatoires réelles Lemme 23.3 Si X, Y sont deux variables aléatoires réelles positives sur (Ω, B, P telles que X Y, on a alors E (X E (Y. Démonstration. Si X Y, on a alors (X > t (Y > t pour tout réel t, donc P (X > t P (Y > t et : E (X = P (X > t dt P (Y > t dt = E (Y. Théorème 23.8 (Beppo-Levi Si (X n n N est une suite croissante de variables aléatoires réelles positives sur (Ω, B, P qui converge vers une variable aléatoire réelle X sur (Ω, B, P, on a alors : E (X = lim E (X n dans R +. Démonstration. Avec X n X n+1 X ((X n n N converge en croissant vers X, on déduit que E (X n E (X n+1 E (X, donc (E (X n n N est croissante dans R +, elle est donc convergente (éventuellement vers + et lim E (X n E (X. D autre part, pour tout réel t >, la suite ((X n > t n N est croissante et : (X > t = n N (X n > t (X n (ω > t pour un entier n entraîne X (ω = lim entraîne X n (ω t pour n grand, ce qui donne : m + m n X m (ω X n (ω > t et X (ω > t donc pour tout m 1 : m P (X > t = P (X > t dt = lim P (X n > t m = lim lim P (X n > t dt m lim E (X n P (X n > t dt et E (X lim E (X n. m Remarque 23.2 L égalité lim P (X n > t dt = lim P (X n > t dt est justifiée par le théorème de convergence monotone qui nous dit que : si (f n n N est une suite croissante de fonctions de I = [, m] dans R + telle que pour tout n N la fonction f n est continue par morceaux et lim f n = f avec f est continue par morceaux, alors f (x dx = lim f n (x dx. Théorème 23.9 Si X, Y sont deux variables aléatoires réelles positives sur (Ω, B, P et λ un réel positif, on a alors : E (λx + Y = λe (X + E (Y m I I

15 Espérance 569 Démonstration. En désignant respectivement par (X n n N et (Y n n N une suite croissante de variables aléatoires réelles positives et étagées sur (Ω, B, P qui converge vers X et Y, la suite (λx n + Y n n N est étagée positive, converge en croissant vers λx + Y et on a : E (λx + Y = lim E (λx n + Y n = lim λe (X n + E (Y n = λe (X + E (Y Pour toute variable aléatoire X sur (Ω, B, P, on désigne par X + et X les variables aléatoires sur (Ω, B, P définies par : X + = max (X, = 1 2 (X + X et X = max ( X, = 1 ( X X = min (X, 2 On peut remarquer que : X = X + X et X = X + + X Définition 23.7 On dit qu une variable aléatoire X sur (Ω, B, P est intégrable si E (X + < + et E (X < +. Définition 23.8 Si X est une variable aléatoire sur (Ω, B, P qui est intégrable, son espérance est le réel : E (X = E ( X + E ( X Théorème 23.1 Une variable aléatoire X sur (Ω, B, P est intégrable si, et seulement si E ( X < + et dans ce cas, on a : E (X = (1 F X (t dt F X ( t dt Démonstration. Supposons X intégrable. Avec X = X + + X, on déduit que E ( X = E (X + + E (X < +. Réciproquement si E ( X < +, avec X + X, on déduit que E (X + E ( X < +. Exercice 23.1 Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, B, P. Montrer que si X Y avec Y intégrable, alors X est intégrable. Solution 23.1 Si X Y avec Y intégrable, on a alors E ( X E ( Y < + et X est intégrable. Théorème L ensemble L 1 R (Ω, B, P des variables aléatoires intégrables sur (Ω, B, P est un sous-espace vectoriel de l espace V R (Ω, B, P des variables aléatoires réelles sur (Ω, B, P et l application : E : L 1 R (Ω, B, P R X E (X est une forme linéaire.

16 57 Variables aléatoires réelles Démonstration. On a E ( = E (χ = P ( =. Donc L 1 R (Ω, B, P. Pour λ R et X, Y dans L 1 R (Ω, B, P, on a : avec : λx + Y λ X + Y E ( λ X + Y = λ E ( X + E ( Y < + donc E ( λx + Y < + et λx + Y L 1 R (Ω, B, P. Il en résulte que L 1 R (Ω, B, P est un sous-espace vectoriel V R (Ω, B, P. Pour X, Y dans L 1 R (Ω, B, P, on a : donc : et : ce qui donne : soit : X + Y = (X + Y + (X + Y = ( X + X + ( Y + Y (X + Y + + X + Y = (X + Y + X + + Y + E ( (X + Y + + E ( X + E ( Y = E ( (X + Y + E ( X + + E ( Y + E ( (X + Y + E ( (X + Y = E ( X + E ( X + E ( Y + E ( Y Pour X dans L 1 R (Ω, B, P et λ R+, on a : E (X + Y = E (X + E (Y (λx + = λ 2 (X + X = λx+ et (λx = λ ( X X = λx 2 donc : E (λx = E ( (λx + E ( (λx = E ( λx + E ( λx = λ ( E ( X + E ( X = λe (X Pour λ R, on a : avec λ >, donc : (λx + = λ 2 (X X = λx et (λx = λ ( X X = λx+ 2 Pour λ = c est clair. E (λx = E ( (λx + E ( (λx = E ( λx E ( λx + = λ ( E ( X + E ( X = λe (X Théorème Si X est une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, P (Ω, P avec X (Ω = {x i i I} où I est une partie de N et f est une application de R dans R +, on a alors, dans R + : E (f X = f (x i P (X = x i i I

17 Espérance 571 Démonstration. Si X (Ω est fini, avec : f X = f (x χ X 1 ({x} = x X(Ω n f (x i χ X 1 ({x i } (exercice 23.5 et la linéarité de l espérance, on déduit que : n E (f X = f (x i E ( χ X 1 ({x i } = f (x i P ( X 1 ({x i } i I = f (x i P (X = x i. i I Si X (Ω = {x i ; i N} est infini dénombrable, la suite de variables aléatoires (X n n N définie par : n X n = f (x i χ X 1 ({x i } i= est croissante (f est à valeurs positives et converge vers f X (pour ω Ω, il existe un entier m tel que X (ω = x m et pour n m, on a X n (ω = f (x m = f X (ω, donc le théorème de Beppo-Levi nous dit que : E (f X = = lim E (X n = + lim n f (x i P (X = x i i= n= f (x n P (X = x n = i I f (x i P (X = x i Exercice Montrer que si X est une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, P (Ω, P qui est intégrable, on a alors : E ( (X E (X χ Ω 2 = i I (x i E (X 2 P (X = x i Solution On applique le théorème précédent avec la fonction f définie sur R par : f (x = (x E (X 2 On a alors pour tout ω Ω : f X (ω = (X (ω E (X 2 = ((X E (X χ Ω (ω 2 À toute fonction f : R R, on associe les fonctions f + et f définies par : f + = max (f, et f = max ( f, = min (f, Ces fonctions sont à valeurs positives.

18 572 Variables aléatoires réelles Lemme 23.4 Si X est une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, P (Ω, P avec X (Ω = {x i i I} où I est une partie de N et f une fonction de R dans R, on a alors : E ( f + X = f (x i P (X = x i i I f(x i E ( f X = i I f(x i f (x i P (X = x i E ( f X = i I f (x i P (X = x i Démonstration. Comme f + est à valeurs positives et X discrète, on a : E ( f + X = i I f + (x i P (X = x i = f (x i P (X = x i i I f(x i et même chose pour f. Avec : (f X + = 1 2 (f X + f X = 1 2 (f + f X = f + X et : on déduit que : (f X = 1 2 ( f X f X = 1 2 ( f f X = f X E ( f X = E ( (f X + + (f X = E ( f + X + f X = E ( f + X + E ( f X = f (x i P (X = x i f (x i P (X = x i i I i I f(x i f(x i = i I f (x i P (X = x i Théorème (de transfert Si X est une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, P (Ω, P avec X (Ω = {x i i I} où I est une partie de N et f une fonction de R dans R telle que f X soit intégrable, on a alors : E (f X = i I f (x i P (X = x i Démonstration. En utilisant la démonstration du théorème précédent, on a : E (f X = E ( (f X + (f X = E ( f + X f X = E ( f + X E ( f X = i I f(x i = i I f (x i P (X = x i + f (x i P (X = x i f (x i P (X = x i i I f(x i

19 Espérance 573 On en déduit que si X est une variable aléatoire réelle discrète intégrable sur (Ω, P (Ω, P avec X (Ω = {x i i I} où I est une partie de N, on a alors : E (X = i I x i P (X = x i cette série étant absolument convergente dans le cas où l ensemble dénombrable I est infini. Exercice Calculer E (X pour X suivant une loi géométrique, une loi de Poisson. Solution Si X G (p, alors : E (X = p + n 1 k (1 p k = np n C k 1 n 1p k 1 (1 p n 1 (k 1 = np Cn 1p j j (1 p n 1 j = np (p + 1 p n 1 = np. j= Si X P (λ, alors : E (X = e λ + + k λk k! = λ j e λ λ j! = λ. j= Lemme 23.5 Si X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, P (Ω, P possédant une densité f, on a alors : et : E ( X + = tf (t dt, E ( X = E ( X = t f (t dt tf (t dt Démonstration. La suite (X n n N de variables aléatoires réelles étagées positives définie par : où : A n,k = X n = n2 n 1 k= k χ A n,k ( k 2 X < k + 1 n converge en croissant vers X + (voir la démonstration du théorème Le théorème de Beppo-Levi nous dit alors que E (X + = lim E (X n avec : E (X n = = = n2 n 1 k= n 1 k= n 1 k= ( k k 2 P n k k 2 X < k + 1 n ( ( k + 1 F X k+1 f (t dt k F X ( k

20 574 Variables aléatoires réelles On peut alors écrire que : n tf (t dt E (X n = et tenant compte de : on déduit que : et : E ( X + = n n n 1 k= n 1 k= k+1 k k+1 k 1 n2n 1 k= f (t dt (t k2 f (t dt n (t k2 f (t dt n k+1 f (t dt = 1 k tf (t dt E (X n 1 lim E (X n = lim n f (t dt = 1 tf (t dt = n f (t dt tf (t dt De manière analogue, on vérifie que la suite (Y n n N de variables aléatoires réelles étagées positives définie par : où : B n,k = Y n = converge en croissant vers X et E (X = et : n ce qui donne E (X = Enfin : E (Y n = n2 n 1 k= k χ B n,k ( k + 1 < X k lim E (Y n avec : n2 n 1 k= n2n 1 tf (t dt E (Y n tf (t dt. k= k k f (t dt k+1 k k+1 E ( X = E ( X + + E ( X = ( t k f (t dt 1 t f (t dt Théorème Si X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, P (Ω, P possédant une densité f et intégrable, on a alors : E (X = tf (t dt

21 Variance, écart type, covariance 575 Démonstration. En reprenant la démonstration du théorème précédent, on a pour X possédant une densité f et intégrable : E (X = E ( X + E ( X = tf (t dt Exercice Déterminer l espérance d une variable aléatoire à densité qui suit une loi exponentielle de paramètre λ >, une loi de Gauss de paramètres σ > et µ R. Solution Laissée au lecteur. Exercice Montrer que si X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, P (Ω, P possédant une densité f, on a alors : et si de plus X est intégrable, alors : E ( X 2 = E ( (X E (X χ Ω 2 = Solution Laissée au lecteur. On admet le théorème suivant. t 2 f (t dt (t E (X 2 f (t dt Théorème Si X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, P (Ω, P possédant une densité f, ϕ : R R une fonction borélienne telle que la variable aléatoire ϕ X soit intégrable, on a alors : E (ϕ X = ϕ (t f (t dt 23.4 Variance, écart type, covariance Pour ce paragraphe, X est une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé (Ω, B, P. Définition 23.9 On dit que X est de carré intégrable si la variable aléatoire X 2 est intégrable. Théorème L ensemble L 2 R (Ω, B, P des variables aléatoires de carré intégrable sur (Ω, B, P est un sous-espace vectoriel de l espace L 1 R (Ω, B, P des variables aléatoires réelles intégrables sur (Ω, B, P. Pour X, Y dans L 2 R (Ω, B, P la variable aléatoire XY est dans L1 R (Ω, B, P et l application : ϕ : (L 2 R (Ω, B, P2 R (X, Y E (XY est une forme bilinéaire, symétrique et positive sur L 2 R (Ω, B, P. Définition 23.1 La variance d une variable aléatoire X L 2 R (Ω, B, P est le réel défini par : V (X = E ( (X E (X 2 et son écart type de X est le réel : σ (X = V (X

22 576 Variables aléatoires réelles Si X dans L 2 R (Ω, B, P, la variable aléatoire centrée réduite associée à X est la variable aléatoire définie par X = X E (X. σ (X Théorème Si X L 2 R (Ω, B, P est discrète avec X (Ω = {x i i I} où I est une partie de N, on a alors : V (X = i I (x i E (X 2 P (X = x i Exercice Déterminer la variance, après avoir justifié son existence, d une variable aléatoire discrète suivant une loi uniforme discrète, une loi de Bernoulli, une loi binomiale, une loi géométrique, une loi de Poisson. Solution Laissée au lecteur. Théorème Si X L 2 R (Ω, B, P est une variable aléatoire possédant une densité f, on a alors : V (X = (t E (X 2 f (t dt Exercice Déterminer la variance, après avoir justifié son existence, d une variable aléatoire à densité qui suit une loi exponentielle de paramètre λ >, une loi de Gauss de paramètres σ > et µ R. Solution Laissée au lecteur. Théorème Pour X L 2 R (Ω, B, P, on a : V (X = E ( X 2 (E (X 2 (formule de Köenig et : (a, b R 2, V (ax + b = a 2 V (X De la formule de Köenig, on déduit que E (X 2 (E (X 2, l égalité étant réalisée si, et seulement si, la variance est nulle. Dans le cas discret avec P (X = x i > pour tout i I, l égalité E (X 2 = (E (X 2 équivaut à x i = E (X pour tout i I. Définition La covariance de deux variables aléatoires X et Y dans L 2 R (Ω, B, P est le réel défini par : Cov (X, Y = E ((X E (X (Y E (Y et le coefficient de corrélation de X et Y est la réel : ρ (X, Y = Cov (X, Y σ (X σ (Y Définition On dit que deux variables aléatoires X et Y dans L 2 R (Ω, B, P sont non corrélées si Cov (X, Y =. Exercice Montrer que pour X et Y dans L 2 R (Ω, B, P, on a ρ (X, Y 1. Solution Laissée au lecteur.

23 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev 577 Théorème 23.2 Pour X et Y dans L 2 R (Ω, B, P, on a : et l application : Cov (X, Y = E (XY E (X E (Y ψ : (L 2 R (Ω, B, P2 R (X, Y Cov (X, Y est une forme bilinéaire, symétrique et positive sur L 2 R (Ω, B, P. Dire que X et Y dans L 2 R (Ω, B, P sont non corrélées revient à dire que E (XY = E (X E (Y. Théorème Soient X 1,, X n dans L 2 R (Ω, B, P et λ 1,, λ n des réels On a : ( n V λ k X k = n λ 2 kv (X k + 2 Cov (X j, Y k 1 j<k n et dans le cas particulier où les variables aléatoires X k sont deux à deux non corrélées, on a : ( n n V λ k X k = λ 2 kv (X k 23.5 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev Théorème (Markov Soit X une variable aléatoire réelle positive sur (Ω, B, P. Pour tout réel ε >, on a : P (X ε E (X ε Exercice Montrer l inégalité de Markov dans le cas discret. Solution Comme x i pour tout i I N, on a : E (X = i I P (X = x i x i i I x i ε P (X = x i x i x P (X = x i = xp (X ε. i I x i ε Théorème (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Soit X L 2 R (Ω, B, P. Pour tout réel ε >, on a : P ( X E (X ε V (X. ε 2 Démonstration. On applique l inégalité de Markov à la variable aléatoire réelle positive Y = (X E (X 2. On a : P ( X E (X ε = p ( Y ε 2 E (Y ε 2 = V (X ε 2.

24 578 Variables aléatoires réelles En prenant ε = tσ (X avec t >, l inégalité de Bienaymé-Tchebychev s écrit : ou encore : P ( X E (X tσ (X 1 t 2 P ( X E (X < tσ (X 1 1 t 2 et peut s interpréter en disant que la variance de X est une mesure de la dispersion des valeurs de X autour de la moyenne E (X. L inégalité de Bienaymé-Tchebychev peut être utilisée pour montrer le théorème de Bernstein relatif à l approximation uniforme sur [, 1] d une fonction continue par une suite de fonctions polynomiales. Exercice À tout entier naturel non nul n et tout réel x [, 1] on associe la variable aléatoire X n,x qui suit une loi binomiale B (n, x, c est-à-dire que X n,x est à valeurs dans {, 1,, n} et sa loi de probabilité est définie par : j {, 1,, n}, P (X n,x = j = C j nx j (1 x n j. À ( toute fonction f continue sur [, 1] et à valeurs réelles, on associe la variable aléatoire Y n,x = Xn,x f. En notant {y,, y p } les valeurs prises par Y n,x, on a : n k {,, p}, P (Y n,x = k = P (X n,x = j. 1. Montrer que l espérance de Y n,x est donnée par : où B n est l opérateur de Bernstein. j n f( j n=y k E (Y n,x = B n (f (x, 2. Pour ε >, on désigne par η > un réel tel que f (x f (y < ε pour x, y dans [, 1] vérifiant x y < η (uniforme continuité de f sur [, 1] et, pour x fixé dans [, 1], on note : { ( } J 1,x = j {, 1,, n} j f f (x n < ε { ( } J 2,x = j {, 1,, n} j f f (x n ε (a Montrer que : B n (f (x f (x ε + 2 f j J 2,x P (X n,x = j. (b Montrer que : B n (f (x f (x ε + 2 f P ( Y n,x f (x ε. (c Montrer que : B n (f (x f (x ε + 2 f P ( X n,x nx n η.

25 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev 579 (d En utilisant l inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que : Solution et conclure. 1. L espérance de Y n,x est donnée par : B n (f (x f (x ε + f 2n η 2 2. (les ensembles E (Y n,x = = = p y k P (Y n,x = k = k= p k= j n f( n=y j k n f j= ( j n f { j {,, n} f p k= y k j n f( j n=y k ( j P (X n,x = j = n P (X n,x = j n f j= C j nx j (1 x n j = B n (f (x ( j P (X n,x = j n ( } j = y k forment une partition de {,, n}. n (a Avec n Cnx j j (1 x n j = n P (X n,x = j = 1, on peut écrire que : j= j= n ( ( j B n (f (x f (x = f f (x C j n nx j (1 x n j j= ε Cnx j j (1 x n j + 2 f Cnx j j (1 x n j j J 1,x j J 2,x ε + 2 f j J 2,x P (X n,x = j. (b On a : P ( Y n,x f (x ε = k p y k f(x ε = = P (Y n,x = k k p j n y k f(x ε f( n=y j k j n f( j n f(x ε P (X n,x = j P (X n,x = j = j J 2,x P (X n,x = j et l inégalité précédente s écrit : B n (f (x f (x ε + 2 f P ( Y n,x f (x ε.

26 58 Variables aléatoires réelles (c Comme l événement Y n,x f (x implique X n,x n x η, on a : P ( Y n,x f (x ε P ( X n,x nx n η et l égalité annoncée. (d Avec nx = E (X n,x et l inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a : P ( X n,x nx n η V (X n,x = n 2 η 2 ce qui donne : x (1 x n η 2 1 4n η 2, B n (f (x f (x ε + f 2n η 2 < 2ε pour n n où n est un entier indépendant de x. La convergence uniforme vers f sur [, 1] de la suite (B n (f n 1 s en déduit alors. Exercice 23.2 Soit I = [, b] avec b >. Si f est une fonction continue sur I, on la prolonge en une fonction continue sur R + en posant f (x = f (b pour x supérieur ou égal à b. 1. Montrer que pour toute fonction f appartenant à C (I et pour tout entier naturel n strictement positif on peut définir une fonction u n (f appartenant à C (I en posant : + ( k n x I, u n (f (x = e nx k f n k! xk. 2. Montrer, en s inspirant de l exercice précédent, que pour toute fonction f appartenant à C (I la suite de fonctions (u n (f n 1 converge uniformément vers f sur I (une démonstration directe de ce résultat est possible mais peu évidente. Solution 23.2 Soient n N, x [, b] et f : R + R uniformément continue et bornée. Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi de Poisson de paramètre nx. On a : ( ( X X E (X = nx, E = x, V (X = nx, V = x n n n et : + ( ( ( k n u n (f (x = e nx k X f n k! xk = E f. n k= Avec l uniforme continuité de f sur R +, on peut trouver, pour tout réel ε >, un réel η > tel que : (x 1, x 2 ( R + +, x1 x 2 η f (x 1 f (x 2 ε. On a alors pour tout n 1 et tout x [, b], en notant χ A la fonction caractéristique de l ensemble A et en utilisant l inégalité de Bienaymé-Tchebychev : ( u n (f (x f (x = X (f E f (x n ( ( ( ( X E f f (x X n χ X n x + E f f (x η n χ X n x >η ( X ε + 2 f P n x > η V ( X n ε + 2 f η 2 ε + 2 f x nη 2 k= ε + 2b f η 2 1 n 2ε pour n assez grand (uniformément par rapport à x. Et c est terminé.

27 Variables aléatoires réelles indépendantes Variables aléatoires réelles indépendantes Définition Soient n 2 et X 1, X 2,, X n des variables aléatoires réelle sur (Ω, B, P. On dit que ces variables aléatoires sont mutuellement indépendantes si pour tous boréliens B 1, B 2,, B n, on a : ( n n P (X i B i = P(X i B i. L événement n (X i B i sera aussi noté (X 1 B 1,, X n B n. Théorème Soient n 2 et X 1, X 2,, X n des variables aléatoires réelle discrètes sur (Ω, B, P. Ces variables aléatoires sont mutuellement indépendantes si, et seulement si, pour n tous boréliens (x 1, x 2,, x n dans X i (Ω, on a : ( n P (X i = x i = n P(X i = x i. Démonstration. La condition nécessaire est évidente en prenant pour boréliens des B i = {x i }. Montrons que la condition est suffisante. Avec : n (X i B i = ( n (X 1 = x 1 (X i B i = x 1 B 1 x 1 B 1 X 1 (Ω ( i=2 (X 1 = x 1 n (X i B i l ensemble B 1 X 1 (Ω étant dénombrable puisque X 1 est discrète, on déduit que : ( n ( n P (X i = x i = P (X 1 = x 1 (X i B i x 1 B 1 X 1 (Ω En itérant ce procédé un nombre fini de fois, on obtient : ( n ( n P (X i = x i = P (X i = x i = = = x 1 B 1 X 1 (Ω x 1 B 1 X 1 (Ω x 1 B 1 X 1 (Ω x n B n X n(ω x n B n X n(ω P(X 1 = x 1 n P(X i B i X i (Ω = i=2 i=2 n P(X i = x i x n B n X n (Ω n P(X i B i. P(X n = x n

28 582 Variables aléatoires réelles Exercice Soient n 3 et X 1, X 2,, X n des variables aléatoires réelle discrètes sur (Ω, B, P mutuellement indépendantes. 1. Montrer que les variables aléatoires X 1 + X 2, X 3,, X n sont mutuellement indépendantes. 2. En déduire que pour tout entier r compris entre 2 et n 1, les variables aléatoires X X r, X r+1,, X n sont mutuellement indépendantes. Solution Pour tout réel x, on a : (X 1 + X 2 = x = x 1 X 1 (Ω (X 1 = x i (X 2 = x x 1 l ensemble X 1 (Ω étant dénombrable puisque X 1 est discrète. On a donc : P (X 1 + X 2 = x = P ((X 1 = x i (X 2 = x x 1 Pour x réel et (x 3,, x n dans donc : ( P (X 1 + X 2 = x (X 1 + X 2 = x x 1 X 1 (Ω = x 1 X 1 (Ω n X i (Ω, on a : i=3 n (X i = x i = i=3 x 1 X 1 (Ω n (X i = x i = i=3 x 1 X 1 (Ω = x 1 X 1 (Ω = P (X 1 = x i P (X 2 = x x 1 (X 1 = x i (X 2 = x x 1 P x 1 X 1 (Ω ( = P (X 1 + X 2 = x et X 1 + X 2, X 3,, X n sont mutuellement indépendantes. 2. Par récurrence fini sur r compris entre 2 et n 1. n (X i = x i i=3 (X 1 = x i (X 2 = x x 1 P (X 1 = x i P (X 2 = x x 1 n (X i = x i i=3 n P(X i = x i i=3 P (X 1 = x i P (X 2 = x x 1 n P(X i = x i i=3 n P(X i = x i Théorème Si X et Y sont deux variables aléatoires sur (Ω, B, P intégrables et indépendantes, elles sont alors non corrélées et on a : E (XY = E (X E (Y i=3 et : V (X + Y = V (X + V (X

29 Convergence en probabilité et en loi Convergence en probabilité et en loi Définition Soient (X n n N une suite de variables aléatoires réelles sur (Ω, B, P et X une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P. On dit que la suite (X n n N converge en probabilité vers X si : ε >, lim P ( X n X ε =. Théorème (loi faible des grands nombres Soit (X n n N une suite de variables ( aléatoires réelles dans L 2 R (Ω, B, P deux à deux indépendantes et de même loi X. La suite n 1 X n n + 1 k= converge en probabilité vers E (X. En fait, on peut affaiblir les hypothèses X n L 2 R (Ω, B, P pour obtenir un résultat plus fort! Théorème (loi forte des grands nombres Soit (X n n N une suite de variables ( aléatoires réelles dans L 1 R (Ω, B, P deux à deux indépendantes et de même loi X. La suite n 1 X n n + 1 k= converge en probabilité vers E (X. n N n N Définition Soient (X n n N une suite de variables aléatoires réelles sur (Ω, B, P, (F n n N la suite des fonctions de répartition associées et X une variable aléatoire réelle sur (Ω, B, P. On dit que la suite (X n n N converge en loi vers X si : lim F n (x = F (x en tout point de continuité x de la fonction de répartition F de X. Exercice Soit (X n n N une suite de variables aléatoires réelles sur (Ω, B, P telle que, pour tout n N, la variable aléatoire X n suit une loi binomiale de paramètres n et λ n, où λ > est donné.. Montrer que (X n n N converge en loi vers une variable aléatoire X suivant une loi de Poisson de paramètre λ (convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson. Solution Laissée au lecteur. Définition On dit qu une suite (X n n N de variables aléatoires réelles est une suite de variables aléatoires réelles indépendantes si pour tout n 2, les variables aléatoires X 1,, X n sont mutuellement indépendantes. Théorème (central limite Soit (X n n N une suite de variables aléatoires ( réelles dans n L 2 R (Ω, B, P indépendantes et de même loi X. La suite de variables aléatoire (X k E (X σ (X n converge en loi vers une variable aléatoire X suivant une loi de Gauss de paramètres et 1. n N

30 584 Variables aléatoires réelles

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