n n ( K ), on note σ ( A) = 0, autrement dit, A est diagonale. . n AE = E A implique a = a a) A la somme des termes de A. Exercice 1 Pour A Mn

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1 Opératios sur les matrices Exercice Pour A M ( K o ote σ ( A la somme des termes de A O pose J= Vérifier JAJ = σ( AJ = ( M ( K σ( A ak A a ij JAJ J c ij = l k= l= = l l= = AJ = ( b ij avec bij ai = = = ( avec cij = bk j= akl = σ( A k= k= l= et Exercice Pour ijk l { } o ote Eij et Ek l les matrices élémetaires de M ( K d idices ( ij et ( kl alculer Eij Ek l Eij = ( δpi δqj pq et Ek = ( δ δ l pk ql pq A= Eij Ek l = ( apq avec apq = ( δpi δr j ( δrk δq = ( δrj δrk δpi δq = δjk δpi δq Aisi Eij Ekl = δjk Eil l l l r= r= Exercice Soit λ λ des élémets de K deux à deux disticts et D= diag( λ λ Détermier les matrices de M ( K commutat avec D Soit A= ( a ij M ( K = AD= ( b ij avec bij = aij λj et = DA= ( c ij avec cij = λiaij O a AD= DA si et seulemet si ij aij λi= aij λj soit aij ( λi λj = Les λ λ état deux à deux disticts : AD= DA si et seulemet si i j a ij = autremet dit A est diagoale Exercice 4 Soit A= ( a M ( K Motrer que M ( K A= A λ K A= λ I ij ij ij AE = E A implique a = a et a = pour k i doc A= λi Réciproque immédiate ii j j ik alcul des puissaces d ue matrice Exercice 5 alculer A pour N et les matrices A suivates : a A a b = b A= a cosθ siθ c A= siθ cosθ a A Aisi A a = avec a+ = + a e itroduisat b= a+ o obtiet a = = b Par récurrece : A a a b = a cosθ siθ c Par récurrece : A= siθ cosθ

2 Exercice 6 O cosidère la matrice : A = alculer = = = et o pose = A I pour N et e déduire l expressio de A pour ( + ( omme et I commutet : A = ( I+ = I+ + = Exercice 7 alculer A pour A = de deux maières différetes a Par récurrece : A = b A= I+ avec = O et formule du biôme Exercice 8 O cosidère la matrice A= 4 a alculer A A+ I E déduire que A est iversible et calculer so iverse b Pour détermier le reste de la divisio euclidiee de X par X X+ c E déduire l expressio de la matrice A a A A+ I= omme A( A+ I = I o a A = A+ I= b X X+ = ( X( X Sachat que le reste de la divisio euclidiee cosidérée est de la forme ax+ b e évaluat e et o détermier a et b et o obtiet : X = ( X X+ QX ( + ( X+ c O peut remplacer X par A das le calcul qui précède et o obtiet : + + A = ( A A+ IQA ( + ( A+ ( I= ( A+ ( I= Iversio de matrice a b Exercice 9 Soit A ( = c d M K Observer que A ( a+ da + ( ad bci = A quelle coditio A est-elle iversible? Détermier alors La relatio A ( a+ da + ( ad bci = est immédiate Si adbc alors A est iversible et Si ad bc= alors A a da ( + = A d b A (( a di A = + = ad bc ad bcc a Par l absurde si A est iversible A est régulière doc A= ( a+ di puis A= O Absurde

3 Exercice alculer l iverse des matrices carrées suivates : a A= b = c = A = 4 = et = Exercice Justifier que A= M ( R est iversible et détermier A A est iversible car triagulaire supérieure à coefficiets diagoaux o uls x y y y y x ( x x y = = x= y+ y + y x x= y doc A = x = y + y x= y x= y Exercice Soit A= ( aij M ( telle que i aij < aii Motrer que A est iversible j i Notos les coloes de A et supposos λ + + λ= Si m= max( λ λ alors puisque pour tout i λa i ij = o a qui est absurde Par suite ( est libre et doc A iversible j= λ i j i λ j ij ii a < m ce a Exercice Soit N \{ } et iπ ω= exp O pose ( k ( l ( alculer AA E déduire que A est iversible et calculer k A= ( a k l avec ak ω l = ( ( l A= ω M ( k l A k l A= ( b kl avec bk = ak = ω = ω ( ( ( k( l l l k m m k m l l m= m= m= ( ( ( ( l l AA= ( c k l avec ck = akm bm = ω ω = ( ω k Si k=l alors ω l = et ckk = k Si k l alors ω l et Aisi kl ( ω = = ω c k l k l AA= I O e déduit que A est iversible et que Exercice 4 Soit A= 5 a ( A+ I = O a alculer ( A+ I b E déduire que A est iversible A = A b A + A + A+ I= O doc A est iversible et A = ( A + A + I

4 Exercice 5 Soit A= ( δij M ( R a alculer A b Motrer que A est iversible et exprimer a A= J I avec J = J doc A A ( J I ( A ( I = + = + b A= I pour = ( A ( I doc A est iversible et = A Exercice 6 Soit A M ( K telle que la matrice I+ A soit iversible O pose = ( I A( I+ A a Motrer que = ( I+ A ( I A b Motrer que I+ est iversible et exprimer A e foctio de a omme ( I+ A( I A = ( I A( I+ A o a e multipliat à droite et à gauche par ( I A( I A ( I A ( I A + = + b ( I+ A( I+ = ( I+ A + ( I A = I doc I+ est iversible et ( I ( I+ = ( I+ A( I A = A Traspositio ( I A ( I+ = ( I+ A + la relatio Exercice 7 Détermier ue coditio écessaire et suffisate pour que le produit de deux matrices symétriques soit ecore ue matrice symétrique t t t t Soit A M ( K Sachat ( A = A o a ( A = A A= A Le produit de deux matrices symétriques est ue matrice symétrique si et seulemet si les deux matrices commutet Exercice 8 Motrer que A ( R et S ( R sot des sous-espaces vectoriels supplémetaires de M ( R O peut procéder de maière élémetaire ou exploiter que l applicatio T : M ( R M ( R défiie par t TA ( = A est u edomorphisme ivolutif doc ue symétrie vectorielle ce qui assure que les espaces ker( T Id =S ( R et ker( T+ Id =A ( R sot supplémetaires Structures formées de matrices a b c Exercice 9 Soit E= Mabc ( c a b = /( abc R b c a Motrer que E est ue sous-algèbre commutative de M ( R dot o détermiera la dimesio Mabc ( = ai+ bj+ ck avec I= M ( J= M ( et K M E= Vect( IJK est u sous-espace vectoriel de dimesio de M ( R = ( = J MabcMa ( ( b c = ( aa + bc + cb I+ ( ab + ab + cc J+ ( ac + ac + bb K Doc E est ue sous algèbre (visiblemet commutative de M ( R a b c Exercice Soit E l esemble des matrices de la forme Mabc ( a b = a avec abc R Notre objectif est d établir que l iverse d ue matrice iversible de E appartiet ecore à E sas pour autat calculer cet iverse

5 a Motrer que ( E+ est u R -espace vectoriel dot o précisera la dimesio b Motrer que ( E+ est u aeau commutatif c A quelle coditio sur ( abc R la matrice A= Mabc ( est-elle iversible das M ( R? O suppose cette coditio vérifiée E cosidérat l applicatio f : E E défiie par f ( X = AX motrer que A E a Mabc ( = ai + bj + ck avec I J = = et K= J = O observe que : E= Vect( IJK Par suite E u sous-espace vectoriel de M ( R De plus la famille ( IJK est libre c est doc ue base de E et par suite dime= bde plus I E Mabc ( Ma ( b c = Ma ( a bb cc E et MabcMa ( ( b c = ( ai+ bj+ ck ( ai + bj + ck = aai + ( ab + abj + ( ac + bb + ca K E Doc E est u sous-aeau de M ( R De plus MabcMa ( ( b c = Ma ( b c Mabc ( doc E est u aeau commutatif c A est iversible si et seulemet si a (ici A est triagulaire supérieure f ( λ X+ µ Y = A( λ X+ µ Y = λ AX+ µ AY= λ f ( X + µ fy ( f est u edomorphisme de E Soit X E si X kerf alors AX= O puis A AX= O d où X= O Par suite kerf= {} f est u edomorphisme ijectif d u K -espace vectoriel de dimesio fiie c est doc u automorphisme Par suite E telle que f ( = A= I E multipliat par A o coclut A = E Exercice Matrices de permutatio : Soit N \{ } Pour σ S o ote Pσ ( δi σ( j ij ( = M ( R appelée matrice de permutatio associée à σ a Motrer que ( σσ S o a : P( σ σ = P( σ P( σ b E déduire que E= { Pσ ( / σ S } est u sous-groupe de GL ( R isomorphe à S t c Vérifier que ( P( σ = P( σ a = ( e e la base caoique de R Notos f σ l edomorphisme caoiquemet associé à Pσ ( Pour tout j o a fσ ( ej = eσ( j Par suite ( f f ( e f ( e b I = P(Id σ σ j = σ σ puis P( σ σ = P( σ P( σ P( σ P( σ E o a P( σ P( σ = P( σ σ E j P( σ E o a P( σ P( σ = P( σ σ = P(Id = I doc P( σ GL ( R et P( σ = P( σ E O peut alors coclure que E est u sous-groupe de GL ( R L applicatio P : S E qui à σ associe Pσ ( est u morphisme de groupe surjectif Soit σ ker P o a P( σ = I doc j σ( j = j soit σ= Id t c P( σ ( δj σ( i ij ( δ ( ( ij δ ( ij P( σ σ j i iσ j = = = = Exercice Soit E l esemble des matrices de ( a M K de la forme + b b A= b a b avec ( ab K a Motrer que E est u sous-espace vectoriel de M ( K e doer ue base b Motrer que E est u sous-aeau commutatif de ( M K c Détermier les iversibles de E d Détermier les diviseurs de zéro de E

6 a E= Vect( IJ avec J= ( IJ forme ue base de E b E M ( K I E Soit A= a+ bj E et = c + dj E A = ( a ci + ( bdj E et A= ( aci + ( ac+ bdj car J = O Aisi E est u sous-aeau de M ( K De plus A= A doc E commutatif ac= c Avec les otatios précédetes A= I si et seulemet si { ad+ bc= Par suite A est iversible si et seulemet si a ac= d Avec les otatios précédetes A= si et seulemet si { ad+ bc= Par suite A est diviseur de zéro si et seulemet si a= Représetatio matricielles d ue applicatio liéaire Exercice Détermier la matrice relative aux bases caoiques des applicatios liéaires f suivates : a f : R R ( xyz ( x+ yy x+ z b f : R R ( xyz ( y+ zz + xx + y [ X] [ X] c f : R R P PX ( + 4 [ X] d f : R R P ( P( P( P( P(4 O ote A la représetatio matricielle cherchée a A = b A = c A 4 8 = d A= Exercice 4 O cosidère les sous-espaces vectoriels supplémetaires de R suivats : P= ( xyz R x+ y z= et D= Vect( w où w= ( { } O ote = ( ijk la base caoique de R O ote p la projectio vectorielle sur P parallèlemet à D q celle sur D parallèlemet à P et efi s la symétrie vectorielle par rapport à P et parallèlemet à D a Former la matrice de p das b E déduire les matrices das de q et de s a Pour u= ( xyz calculos pu ( = ( x y z omme pu ( u D λ K tel que pu ( = u+ λ w omme pu ( Px + y z = ce qui doe λ= ( x+ y z et doc pu ( = (( x y+ z y( x+ y+ z Par suite Mat ( p = b omme q= I p et s= p I Mat ( q = et Mat ( s =

7 Exercice 5 Soit ϕ l edomorphisme de R [ ] défii par ϕ ( P = PX ( + X a Ecrire la matrice A de ϕ das la base caoique de R [ ] b Justifier que A est iversible et calculer i a A= ( M ( R avec b ϕ j ij + + ( P = PX ( doc ϕ i j j = i Exercice 6 Soit A= ( aij ij + M+ ( R avec a a Pour k : base ( X X A X ( k k ji i X = ( X d où A = (( j ij + a Exprimer ϕ ( P pour tout P R [ X] m b alculer A pour tout m N c alculer A b ϕ m ( P = PX ( + m doc c ϕ ( P = PX ( doc ij j = i et ϕ LR ( [ X] représeté par A das la k k k i k i k ϕ( X = X X ( X i = i = + Par suite ϕ ( P = PX ( + i= i= k k k k i i ϕ( X ( X m m ji = + = m X i d où A = ( m a ij ij + ϕ k= ( k k ji X = ( X d où A = (( a ij ij + Exercice 7 Soit E u K -espace vectoriel de dimesio et f L ( E tel que omme f et Motrer qu il existe ue base de E das laquelle la matrice de f est f x E tel que f ( x Posos Si λe + λe + λe = doc λx+ λf ( x + λf ( x = E appliquat Puisque f à cette relatio o a f ( x λ = car o sait e = xe = f x e = f x ( ( f = f ( x o a λ= et sas plus de difficultés o motre aussi λ = et λ = La famille = ( e e e est libre e dimesio c est doc ue base de E De plus Mat ( f = comme voulu f = Exercice 8 Soit E u K -espace vectoriel de dimesio N et f L ( E tel que f = et Motrer qu il existe ue base de E pour laquelle : Mat ( f = f Soit x kerf U tel x existe puisque osidéros = ( f ( x f ( x x f Supposos λ f ( x + + λf ( x + x= E y appliquat successivemet f f Id o obtiet λ= λ = puis λ = car est ue famille libre formée de = dime vecteurs c est doc ue base de E De plus Mat ( f est de la forme coveable f ( x Exercice 9 Soit E u K -espace vectoriel de dimesio fiie N Soit f u edomorphisme de E tel que f = et f

8 a omme f a Justifier qu il existe x E tel que = ( x f ( x f ( x f ( x forme ue base de E b Détermier les matrices de f f f das cette base c E déduire que { g L( E / g f= f g} = Vect(Id f f f x E f ( x Si λx+ λf ( x + + λ f ( x = alors : f o obtiet e composat avec e composat successivemet avec Par suite = ( x f ( x f ( x f ( x λ f ( x = d où λ = f f I o obtiet successivemet λ= λ = λ = est libre et forme doc ue base de E b Mat ( f A Mat ( f A = = = = Mat ( f A = = c Notos g ( = { g L( E g f= f g} Il est clair que Vect( I f f f g ( Iversemet soit g ( f otos gx ax afx a les composates de gx ( das O a a ( = + ( + + a f ( x ( ( = ( ( = ( + + af ( x gfx f gx af x gf ( ( x = f ( gx ( = af ( x a Par suite Mat ( a g = = ai + aa + + a A a a a Doc g= ai + af + + a f Vect( I f f Aisi ( f = Vect( I f f f hagemet de base Exercice Soit A= O ote = ( e e e la base caoique de Soit f l edomorphisme de R dot la matrice das est A O pose ε= ( ε= ( ε= ( et = ( ε ε ε a Motrer que costitue ue base de R b Ecrire la matrice de f das cette base c Détermier ue base de kerf et de Imf R

9 a Aisémet la famille est libre puis c est ue base car formée de trois vecteurs e dimesio b f ( ε = ε f ( ε = ε f ( ε = doc Mat ( f = c O observe que ε ker f et ε ε Imf Le théorème du rag permet de coclure : ( ε est ue base de ker f et ( ε ε est ue base de Imf Exercice Soit E u K -espace vectoriel mui d ue base = ( ijk a A Soit f l edomorphisme de E dot la matrice das est A= a alculer A Qu e déduire sur f? b Détermier ue base de Imf et kerf c Quelle est la matrice de f relativemet à ue base adaptée à la supplémetarité de Imf et kerf? = = A f est ue projectio vectorielle b E résolvat les équatios f ( x = x et f ( x = o obtiet que ( uv forme ue base de Imf et ( w forme ue base de ker f avec u= i+ jv = i+ k et w= i+ j+ k c Mat ( uvw ( f = Exercice Soit A= O ote = ( e e e la base caoique de Soit f l edomorphisme de R dot la matrice das est A a Détermier kerf et Imf Démotrer que ces sous-espaces sot supplémetaires das R b Détermier ue base adaptée à cette supplémetarité et écrire la matrice de f das cette base c Décrire f comme composée de trasformatios vectorielles élémetaires R a kerf= Vect( u avec u= ( Imf= Vect( vw avec v= ( w= ( omme = ( uvw est libre o peut coclure que kerf et Imf sot supplémetaires das b est ue base adaptée à la supplémetarité de kerf et Imf Mat ( f = c f est la composée commutative de l homothétie vectorielle de rapport avec la projectio vectorielle sur Imf parallèlemet à kerf Exercice Soit f LR ( représeté das la base caoique par : a Soit =(ε ε ε avec ε= ( ε= ( ε= ( Motrer que est ue base b Détermier Mat ( f c alculer Mat ( f pour tout N R

10 a Ras b Mat ( f = c Par récurrece : Mat ( f = Par chagemet de bases P= P = et + Mat ( f = Exercice 4 Soit E u K -espace vectoriel de dimesio mui d ue base = ( e e e Soit f L ( E détermié par Mat ( f = = A O pose ε= e+ e ε = e+ e et ε = e+ e+ e a Motrer que = ( ε ε ε forme ue base de E et détermier la matrice de f das b alculer A a ras f ( ε = ε f ( ε = ε f ( ε = ε+ ε doc Mat ( f = = b Par récurrece d où A = + = puis A = PP avec P = Exercice 5 Soit E u K -espace vectoriel de dimesio mui d ue base = ( e e e Soit f L ( E détermié par Mat ( f = = A O pose ε= e+ e ε = e+ e et ε = e+ e+ e a Motrer que = ( ε ε ε forme ue base de E et détermier la matrice de f das b alculer A ( ( ( omme ci-dessus avec = puis A = + ( ( + ( + Exercice 6 Soit E u K -espace vectoriel mui d ue base = ( e e e Soit f l edomorphisme de E dot la matrice das est A= ε= e+ ee Soit = ( ε ε ε la famille défiie par ε= ee ε = ee a Motrer que est ue base de E et former D= Mat ( f b Exprimer la matrice de passage P de à et calculer P

11 c Quelle relatio lie les matrices ADP et P? d alculer A pour tout N a est libre et doée de trois vecteurs e dimesio c est ue base de E f ( ε = ε f ( ε = ε f ( ε = ε doc D= diag( b P= et P = c A= PDP d A = PDP = + + Exercice 7 Soit E u K -espace vectoriel mui d ue base = ( e e e Soit f l edomorphisme de E dot la matrice das est A = a Motrer qu il existe ue base = ( ε ε ε de E das laquelle la matrice représetative de f est ue matrice diagoale D de coefficiets diagoaux : et b Détermier la matrice de passage P de à alculer P c Quelle relatio lie les matrices ADP et P? d alculer A pour tout N a E recherchat des vecteurs tels que f ( x = x fx ( = x et f ( x = x o observe que ε= ( ε = ( et ε = ( covieet De plus ces trois vecteurs formet ue famille libre et doc ue base de R b P= Mat = P = c A= PDP + d A = = Exercice 8 Soit E u K -espace vectoriel de dimesio et = ( e e e ue base de E 4 O cosidère les matrices A= et D = Soit f l edomorphisme de E dot la matrice das la base est A a Motrer qu il existe ue base = ( ε ε ε de E telle que la matrice de f das soit D b Détermier la matrice P de GL ( R telle que A= PDP alculer P c alculer pour tout N A d E déduire le terme gééral des suites ( x ( y et ( N N x = x+ = 4x ( y+ z y= et pour tout N : y+ = xz z= z+ = x yz a E résolvat les équatios : fu ( = fu ( = u et fu ( = u o trouve que z N défiies par : ε= e+ e+ e ε= e e et ε= e+ e sot des vecteurs tels que f ( ε = f ( ε = ε f ( ε = ε

12 omme rg = la famille = ( ε ε ε forme ue base de E ette base coviet b P= P = + c A = PDP = = + + x d Posos X= y O observe X = AX Par récurrece + X= AX z + x= Avec X = o obtiet y = + z= Rag d ue matrice Exercice 9 alculer le rag de familles de vecteurs suivates de R : a ( x x x avec x= ( x = ( et x= ( b ( x x x avec x= ( x = ( et x = ( c ( x x x avec x= ( x = ( et x= ( a rg( x x x = b rg( x x x = c rg( x x x = Exercice 4 alculer le rag des applicatios liéaires suivates : a f : K K défiie par f ( xyz = ( x+ y+ zx y+ zx + y z b c K K défiie par f ( xyz = ( xyy zz x f : 4 4 K K défiie par f ( xyzt ( x y tx z t x y z t x y z f : a rg( f = b rg( f = c rg( f = 4 = Exercice 4 alculer le rag des matrices suivates e foctio des paramètres : cosθ cos θ a b+ c c+ a a+ b b cosθ cos θ cos θ bc ca ab cos θ cosθ cos 4θ a b c b b a a Notos A= b+ c c+ a a+ b rg( A = rg a b a c rg a b a c = bc ca ab ca ( b ba ( c ( bc( ac E discutat les 5 cas possibles : rg( A = ard { abc } cosθ cos θ b Notos A cosθ cos θ cos θ = rg( A = rg cosθ si θ siθ si θ cos θ cosθ cos 4θ cos θ siθ si θ si θ Si siθ= alors rg( A = Si siθ alors rg( A = rg cosθ siθ siθ rg cosθ siθ = = cosθ si θ si θ cos θ si θ Résumos : Si θ [ π] rg( A = sio rg( A =

13 c Notos A la matrice étudiée Si a= b= alors rg( A = Si a et b= alors rg( A = Si a et b alors e effectuat successivemet : a a b a b a b o obtiet : rg( A = a a ( b Doc si a = ( b alors rg( A = sio rg( A = Exercice 4 Soit f LR ( l edomorphisme caoiquemet associé à M= a Doer le rag de f b Détermier ue base de so oyau et ue équatio de so image c alculer M a rg rg rg = = = ( Si est pair alors rg( M = sio rg( M = b Das le cas impair c est immédiat Das le cas pair : kerm= Vect et Im M : x x + x+ + x x= c M= I+ N avec N= matrice de permutatio k k M N k = = avec = k= k Exercice 4 Soit A et deux matrices carrées d ordre telles que A= O Motrer que l ue au mois de ces matrices est de rag iférieur ou égal à Soit u et v les edomorphismes de R caoiquemet associés à A et omme u v= o a Imv keru puis rg( v = dim kerv dim keru Par suite dim keru+ dim kerv puis dim keru ou dim kerv O a alors respectivemet rg( u = rg( A ou rg( v = rg( Exercice 44 Soit A Mp ( K de rag r Motrer qu il existe des matrices et respectivemet das Mr ( K et Mrp ( K telles que A=

14 omme rg( A = r ( PQ GLp ( K GL ( K tel que A= PJQ r I r Posos D= Mr ( K et E= O ( Ir Orp Mrp ( K rr O a A= avec = QD M ( K et = EP M ( K r Exercice 45 Motrer que les matrices carrées d ordre suivates sot iversibles et détermier leur iverse par la méthode de Gauss : a a A= a b = c = a E effectuat successivemet les opératios élémetaires : + a + a + a o obtiet : A b E effectuat successivemet les opératios élémetaires : o obtiet : c E effectuat successivemet les opératios élémetaires : puis ecore o obtiet : A = rp a a a a = a a A Systèmes d équatios liéaires = Exercice 46 Discuter selo m paramètre réel la dimesio des sous-espaces vectoriels de R suivats : x my z x y mz + + = a F= ( xyz + + = R { b F= ( xyz R x+ my+ z= mx+ y+ mz= mx+ y+ z= m si m= a rg m m = { doc sio { si m= dimf= sio m si m= si m= b rg m = si m= doc dimf= si m= m sio sio Exercice 47 O cosidère pour m paramètre réel les sous-espaces vectoriels de R : F= {( xyz R x+ my+ z= et mx+ ymz=} et G= {( xyz R x my+ z= } a Détermier la dimesio de F et G b Discuter selo la valeur de m la dimesio du sous-espace vectoriel F G

15 m a rg = m m doc dimf= et rg( m = doc dimg= m si b rg m m m = = { doc sio { si m= dimf G= m sio Exercice 48 Résoudre e foctio du paramètre m les systèmes suivats d icoues complexes : x y+ z= m a mx+ y+ z= mx+ y+ z+ t= x + my z = b x + my + z = m c x + my + z + t = m xy z= x+ y+ mz= m x+ y+ mz+ t= m+ a Si m= alors S= {( yy / y } m+ m m alors S = {( } Si m si m= b rg m = si m= m sio + m ( + m Si m et m alors S = m m m Si m= alors S= {( xy xy / xy } Si m = alors système icompatible S = c Si m= : système icompatible S = mx y z t = x+ y+ mz+ t= m+ Si m : x+ my+ z+ t= m ( my + ( m z= x+ y+ mz+ t= m+ mm ( + ( m+ z+ t= m m mm ( + S= z y= z z ( m+ z / z m m m Exercice 49 Soit ab Résoudre le système : ax+ by+ z= x + aby + z = b x+ by+ az= ax+ by+ z= x+ by+ az= x + aby + z = b x+ by+ az= b ( ay + ( a z= a b ( ay + ( a z= a x+ by+ az= ba ( y+ ( az = b ( a( + az = ba Si a a et b : a b ab + b a x= y= z= b ( a ( a+ ( a ( a+ ( a ( a+ x+ by+ z= Si a= alors = Si b alors S = Si b= alors S : x+ y+ z= = b x+ by z= Si a= alors xy z= x=y by z= Si b alors S = Si b= alors { { 6y z= z=y = b+ Si b= alors o obtiet l équatio de compatibilité = S =

16 Exercice 5 Résoudre le système d équatios suivat d icoues complexes : x + x + x + + x = x + x + x + + x = x + x + x + + x = x + x + x + + x = Par les opératios élémetaires : L LL L LL o obtiet le système équivalet : x+ x + + x= x + + x= Doc S = {( } x + x= x= Exercice 5 Résoudre le système d équatios suivat d icoues complexes : x + x = x + x + x = x + x + x 4 = x + x + x = x + x = x= x x = x x= x x x = x x = x x = + = x + x + x = x si [ ] x x = = x = x si = [ ] x + x + x = x si = [ ] x + x = x + x= Doc si [ ] alors S = {(} et si = [ ] alors S = {( x x x x x x / x } Exercice 5 Soit a a poits du pla complexe Détermier à quelle(s coditio(s il existe au mois u polygoe à sommets z z tel que : a i est le milieu de zi z i + et a est le milieu de [ z z ] z+ z = a O veut résoudre le système : de matrice : z + z= a z z = a Si est impair alors la matrice est iversible et le système possède ue solutio uique : z z a z z a z + z = a + = + = z z a z z z a z a + = + = + = z z a a z z ( a a a = + = + ( ( z= ( a a+ a+ + ( a Si est impair alors le système est de ramer das possède ue solutio Si est pair alors le système possède ue solutio ssi a a+ + a = david Delauay