Exercices sur les déterminants

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1 Eercces sur les détermts ot u réel Clculer le détermt e focto de 5 E dédure pour quelles vleurs de l mtrce 4 est versble Pour tout eter turel p o ote D p l esemble des dvseurs postfs de p s D et Pour tout couple ( ) d eters turels o pose O cosdère ue pplcto f de ds O ote A B b et C c b et c f Démotrer que A BC ; e dédure det A Applctos : M m Clculer le détermt de l mtrce s D les mtrces de défes pr f de er cs : m ombre de dvseurs commus à et e cs : m somme des dvseurs commus à et 3 e cs : m PGCD 3 ot u eter turel supéreur ou égl à A ) ot Démotrer que s pour tout X o det D D ds chcu des cs suvts : A X det X lors A Idcto : o ote r le rg de A ; utlser le ft qu l este u couple P Q A PJ Q où J r r Ir (mtrce écrte pr blocs où les désget des mtrces) ) ot A B Démotrer que s pour tout X o det A X det B X 4 Détermt d ue mtrce compgo Clculer le détermt lors A B (détermt d ordre ) tel que 5 ot A ue mtrce de M dot tous les coeffcets vlet ou Démotrer que le détermt de A pprtet à et est dvsble pr 6 O suppose qu l este deu mtrces A et B de GL ( étt u eter turel o ul) telles que AB BA Démotrer que est pr ; ;; y ; y ;; y deu fmlles de réels y y y O cosdère l mtrce A y y y y y y 7 ot et Démotrer que l o : det A y Idcto : O ote B e ; e ;; e Écrre A det e y u ; e y u ;; e y u l bse coque de B et l o pose u ; ;; et utlser l multlérté du détermt 8 ot u eter turel supéreur ou égl à Pour tout eter comprs etre et u ses lrge o pose Clculer : D 9 ot b c d c ' d ' d '' des réels Clculer le détermt d ordre 4 suvt : ot u eter turel supéreur ou égl à b c d b c' d ' b c d '' b c d ) Clculer le détermt de l edomorphsme T : X X P P X ) Clculer le détermt de l edomorphsme T : X X P X P ' P Idcto : o pourr effectuer l opérto L L L L L 3

2 ot u eter turel supéreur ou égl à 4 Clculer le détermt 3 (détermt d ordre ) O pose f f f f f f f f f O utlser des opértos élémetres de l forme C C C ) O cosdère l pplcto : X X P P X P X Démotrer que est u edomorphsme de X Que vut le degré de P? P X et u eter turel supéreur ou égl à ) ot P P P P P 3 P O pose D P P P Démotrer que s deg P lors D Idcto : utlser des opértos élémetres de l forme C C C et utlser * 3 ot E u espce vectorel de dmeso fe et f u edomorphsme de E tel que f et f ) ot u vecteur de E tel que f Démotrer que f f B est ue bse de E ) Écrre l mtrce de f ds B det f d 3 ) Clculer 4 ot p u proecteur de rg r det d p Clculer 5 ot A u esemble et K u corps commuttf O ote F l esemble des foctos de A ds K mu de s structure coque d espce vectorel O cherche à démotrer pour tout eter turel l proprété P : f «pour toute fmlle ; lbre de foctos de F l este ue fmlle ; det f» ; ) Démotrer que l proprété P est vre ) ot u eter turel supéreur ou égl à O suppose P d élémets de A telle que Démotrer que et e dédure que l proprété P est vre Autre méthode : utlsto de l dulté (système usolvet) ot f f foctos léremet dépedtes de A ds K O pose E = Vect( f f ) Pour tout A o ote : E K f f ) Démotrer que l fmlle A egedre E * ) E dédure qu l este des élémets de A tels que det M où M est l mtrce de terme géérl m f 6 ot u eter turel supéreur ou égl à et f ue pplcto de ; ds Pour tout eter comprs etre et u ses lrge o pose Clculer : D 7 ) ot P u polyôme de X de degré Démotrer que l fmlle (P P ' P () ) est ue bse X ) ot ; ;; Pour tout eter turel ;; ; o pose P X P X f ue fmlle de ombres complees deu à deu dstcts Démotrer que l fmlle est lbre Idcto : o pourr utlser l forme suvte de l formule de Tylor : P X P X P' X P X (pour tout réel )! 8 ot u eter turel supéreur ou égl à U u l mtrce de défe pr u ) ot Démotrer que U est semblble à l mtrce U ' u ' défe pr u ' et ' Idcto : rsoer e termes d edomorphsmes ) ot et b deu réels O cosdère l mtrce M de m s et m b s Eprmer A e focto de U et de I ; e dédure det A u pour

3 9 ot u eter turel supéreur ou égl à Pour tout réel o pose : Clculer D Idcto : o pourr dérver D D!!!!! 4 ) ot M ue mtrce de O ote M l mtrce de cougués de ceu de l mtrce M Comprer det M et det M telles que AB BA ) ot A et B deu mtrces de det A B Démotrer que l o : 3 ) ot A et B deu mtrces de A B Démotrer que l o : det B A s cos 5 ot b c tros réels O pose : D s b cos b s c cos c Démotrer que D b c c b dot les coeffcets sot les b c c b s s s 4s s s ot u eter turel tel que ot et ; ;; O cosdère l mtrce A y ; y ;; y deu fmlles de réels de défe pr y Écrre A comme produt de deu mtrces et clculer det A ot u eter turel supéreur ou égl à et et b deu réels Pour tout réel o pose : D b b b ) Démotrer que D est u polyôme e de degré féreur ou égl à ) E dédure l epresso de D e focto de b et ot (G ) u groupe ) ot u élémet fé de G Démotrer que l pplcto : g g est u homomorphsme du groupe G ds lu-même ) Démotrer que G B G est u homomorphsme ectf de groupes 6 ot E u espce vectorel de dmeso 3 sur u corps commuttf K ot u u u 3 tros vecteurs quelcoques de E Clculer det u B u u u 3 u u 3 où B est ue bse de E 7 ) ot réels strctemet postfs tels que O cosdère l focto f défe pr f Démotrer que f est ue focto polyôme de degré ) Démotrer que f dmet rces réelles deu à deu dstctes 3 ) ot A et B deu mtrces de Démotrer que l focto det A B degré 8 O pose E est ue focto polyôme et détermer u mort de so où est u eter turel supéreur ou égl à O ote l esemble E p p p O cosdère l mtrce où Clculer det A P A s p p ; so 3 ot u eter turel o ul fé O pose 3 Détermer l sgture de pprtet à 9 ot A et B deu mtrces quelcoques de K Comprer det I AB et det I BA I I B Idcto : cosdérer les produts pr blocs et A I I AB mtrce detté d ordre I BA B I où I désge l I A I

4 3 ) ot f ue symétre d u espce vectorel de dmeso fe O ote E l esemble des vecteurs vrts pr f et E l esemble des vecteurs t-vrts pr f (c est-à-dre dot l mge pr f est égle à leur opposé) Démotrer que det f ) O pose E dm E et l o cosdère l pplcto T de E ds lu-même qu à toute mtrce A ssoce l mtrce t A Démotrer que T est u edomorphsme de E et clculer so détermt 3 ) Clculer le détermt de l mtrce A ) Clculer le détermt de l mtrce B b b ère méthode : drectemet pr opértos élémetres e t méthode : e démotrt que B TT t so défe pr défe pr où T t 3 ) ot b b c c supéreur ou égl à 3) O cosdère l mtrce M m O pose U Démotrer que M ) Applcto : c c m est l mtrce de défe pr m b cd b d et V m défe pr t s et d d des -uplets (où désge u eter turel b d UV Clculer le détermt de M O cosdère u -uplet de réels O cosdère l mtrce A défe pr s Clculer det A 33 ot A et B deu mtrces de Clculer A B B B B A B B A B M ( ) (l s gt de mtrces crrées d ordre 3) (l s gt d u détermt pr blocs où l mtrce A est écrte fos sur l B B A grde dgole et où l o complété le reste de l mtrce vec l mtrce B) 35 ) ot M ue mtrce de O ote M l mtrce de cougués de ceu de l mtrce M Comprer det M et det M telle que t A A ) ot A ue mtrce de Démotrer que det A dot les coeffcets sot les 36 ot u eter turel supéreur ou égl à 3 Clculer le détermt de l mtrce A de Utlser ue récurrece ; eprmer le détermt de A à l de des termes de l sute H défe pr H 37 O pose E b c d b d c et F où b c d sot 4 complees c d b d c b Clculer E pus FE et e dédure F sous l forme d u produt de 4 fcteurs degré e b c d 38 ot u eter turel supéreur ou égl à A telle que tous les élémets de l dgole soet des eters reltfs prs et tous les utres ot coeffcets soet des eters reltfs mprs ) Démotrer que det A est u eter reltf mpr ) E dédure que s est pr lors l mtrce A est versble 39 ot u eter turel supéreur ou égl à A telle que tous les élémets de l dgole ot ) Démotrer que s A est trgulre lors com A est trgulre ) Démotrer que s A est symétrque lors com A est symétrque Le résultt reste-t-l vlble s A est tsymétrque? 4 ot ombres complees * Clculer le détermt de l mtrce crrée d ordre de terme géérl m E dédure e prtculer le détermt des mtrces crrées d ordre de termes gééru m et m 34 ot et b b deu -uplets de réels vec 3 Clculer le détermt de l mtrce M de terme géérl b

5 det 6 3 ) det ) det A B B X det B X 4 D Y C Y p p p Réposes ; o pplque le ) à C O peut oter que l opérto L L L L L est ps ue opérto élémetre 5 C C C C C C 3 C C C 3 Les premères coloes sot doc fctorsbles pr 7 Démrrer du bs : L L L L L L L L L det A! 9 D 8bc C C C Ue ère fos mprs pus ue e fos coloes de Le détermt est égl à 5 ystème usolvet : eercce de Mchel Querc sur l dulté oluto élève MPIB (Lubeu) ée scolre 3-4 f f formes léres lbres Démotros qu l este upposos qu l este tel que Ker f Ker f f f lée Absurde Doc A \ f A lbre! * ot g E g f g f g f Cosdéros p f p f p f p p A tel que A \ tel que f f f tel que f p p p f p g f p D près le théorème du prologemet lére f g f

6 A Doc egedre E* D f f f f f f f ) O repred les mêmes m f M C M C M M det I ; det det det det M Doc A tel que det M 6 O pose C ; C ; C Alors D det f C ; f C f C ;; f C O développe grâce à l multlérté du détermt D f Autre méthode : f : ; f f f f f f O effectue u «ettoyge» pr coloe selo l techque du pvot de Guss f f f f f f f f f f f 3 f f f 3 f f f f f f 3 f 3 f f f f f 3 f 3 f f

7 Verso orgle : ot u eter turel tel que et u eter turel tel que ot ; ;; et y ; y ;; y deu fmlles de réels O cosdère l mtrce A de défe pr y Écrre A comme produt de deu mtrces et clculer det A J vs écrt u verso : meu b p p p p C p C p p p y y y c y C det A C V V y y y 4 ) A B A BA B M det A B det A B det A B det A B 3 ) A B det det A B B A B A A B det A B A B A B B det A B M det A Bdet A B det A Bdet A B 6 L fmlle est lée cr u u u u u u 3 3 (opértos sur les lges) (opértos sur les coloes) Doc le détermt est ul 7 ) f () = det (( ) X + U ; ( ) X + U ; ; ( ) X + U) X (des zéros sur toutes les lges suf sur l lge ) et U f ) O observe u chgemet de sge etre et Comme l y u chgemet de sges l focto f s ule u ombre mpr de fos ( ; 3 ; 5 etc) l focto s ule 3 fos ds u tervlle l y urt quelque chose d cohéret l focto s ult u ombre pr de fos ce sert mpossble L focto f dmet doc rces Melleure ustfcto : ) Notos C et X Alors det f C X C X C X X X C X X det C X C X C C X C X det det X X C X X Or

8 Pr sute est du sge de O e dédut que f chge de sge etre et Doc f dmet rces Or f est du sge de Doc s est pr f Or f O e dédut ue -ème rce de f s est mpr f Or f O e dédut ue -ème rce de f 3 ) polyôme deg f rg B O pose r rg B Il este deu mtrces P et Q de det A PJ Q f r det PP AQ Q PJ r Q GL tel que B PJ Q r det P det P AQ J det Q r 8 O déft pour l phrse H : «det A» P \ E p p p p p A A A A I A A A A det A A A A A A 3 E : esemble des vecteurs qu «doet» leur opposé 3 ps de ps de ps de ) ère méthode : C C C

9 3 det A C A b U Vect A U Vect C C C Or dm Vect A U et 3 e méthode (melleure) : L L L L L L 3 L L L Détermt trgulre ) ère méthode : C C C e commeçt pr l derère coloe det B 3 3 e méthode : det M det A B det A B ère méthode : det M det A bua b U vec A et Le détermt est multlére det M U e méthode : O pose A et U

10 Questos de cours sur les détermts gture d ue permutto (défto et clcul pour ue trsposto) Formes multléres ; crctère lteré 3 Détermt d ue mtrce et de s trsposée 4 Détermt de Vdermode 5 Détermt d ue mtrce trgulre 6 Détermt de l composée de deu edomorphsmes 7 Fmlles lées et formes multléres (et détermt) 8 Défto d u cofcteur ; développemet d ue mtrce à l de des cofcteurs 9 Détermt d ue fmlle lée Pots fes d ue permutto Ue permutto d ordre peut-elle dmettre - pots fes? ystème de Crmer (défto formules de Crmer) Prler de GL GL et de L 3 Doer l formule du détermt d ue mtrce crrée d ordre à l de de l défto 4 ot E u espce vectorel sur u corps commuttf K ot E Compléter : s p est ue fmlle lée lors p Démotrer ce résultt E dédure l coséquece suvte : E est de dmeso fe et s p > dm E lors l seule forme p-lére lterée sur E est detquemet ulle p Mchel Querc (Dulté)