Calcul des probabilités 2 (M-2.1)

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1 Calcul des probabilités (M-.) I. Probabilités sur u esemble fii. Défiitios Défiitio Ue expériece aléatoire est ue expériece dot il est impossible de prévoir l issue (mais o coaît toutes les issues possibles) Exemple U sac cotiet 7 boules umérotées : 4 rouges (R R R3 R4) et 3 blaches (B5 B6 B7) O tire au hasard ue boule du sac. C : «obteir le uméro 7» C= U évéemet élémetaire est ue issue possible. O appelle uivers l esemble des évéemets élémetaires. O le ote Ω Ω = A : «obteir u uméro impair» A= B : «obteir ue boule rouge» U évéemet est ue partie de Ω. U évéemet certai cotiet toutes les issues possibles. U évéemet impossible e se réalise jamais. La réuio de deux évéemets est l esemble des issues apparteat à l'u ou à l'autre (au mois l'u des deux) L itersectio de deux évéemets est l esemble des issues apparteat à l'u et à l'autre (aux deux e même temps) Deux évéemets icompatibles 'ot aucue issue commue. B= D : «obteir u uméro iférieur à 0» D= E : «obteir ue boule verte» E= A U B : «obteir ue boule AUB= A I B : «obteir ue boule AIB=... A : «obteir ue boule A = et A U A = AIA = Deux évéemets cotraires sot deux évéemets icompatibles dot la réuio forme l'uivers. Défiitio : La probabilité d u évéemet est u ombre qui mesure les chaces que cet évéemet a de se produire sur ue échelle qui va de 0 (pour l évéemet impossible) à (pour l évéemet certai) exemples : P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = P( A I B ) = P( A U B ) = Défiitio: soit Ω = { x x... x } l uivers d ue expériece aléatoire. O défiit ue loi de probabilité sur Ω lorsque : à chaque xi o associe sa propbalité p ( xi ) p ( x ) + p ( x ) p ( x ) = Remarque : Pour ue expériece doée das le modèle défii par ue loi de probabilité les distributios des fréqueces mesurées sur des séries de taille se rapprochet de la loi de probabilité quad deviet grad. Pour Ω = { R; R ; R3; R 4; B5; B6; B7} la loi de probabilité sur Ω est doée par: Pour Ω = { R; B}. Propriétés Soiet A et B deux évéemets de Ω : P ( )=0 P ( Ω) = 0 P ( A ) P ( A B )=P ( A )+P ( B ) P ( A B ) Remarque : si A et B sot deux évéemets icompatibles alors: p ( A B ) = p ( A) + p ( B ) P ( A )= P ( A ) Exemple: /0

2 Si chaque évéemet élémetaire est équiprobable (de même probabilité) alors : P ( A) = Nombre d'élémets de A Nombre de cas favorables = Nombre d'élémets de Ω Nombre de cas possibles Défiitio le ombre permutatios d u esemble de élémets est :!= (se dit "factorielle ") Remarque : l'ordre compte chaque élémet est utilisé ue fois et ue seule. =3 Applicatios: Le ombre de quartés possibles das ue course de quatre chevaux est : =4 Le ombre "mots" de 7 lettres coteat ue fois chaque lettre ABCDEFG : Sur TI : Sur Casio : Défiitio : soit E u esemble fii ayat élémets o ote le ombre de sous-esembles de E ayat élémets. Le ombre se lit «parmi» ou «combiaisos» de élémets pris parmi. Remarques : l ordre e compte pas les répétitios sot impossibles. 0 Le ombre est u etier aturel et iférieur ou égal à et par covetio o a : = 0 Propriétés : soit et deux etiers aturels tels que : = = = = = 0 ()() ()( ) ()( ) + = ( ) ( ) ( ) Le triagle de Pascal : =0 = = =3 =4 =5 =6 =0 = = =3 =4 =5 =6 (00)= (0)= (0)= (30)= (40)= (50)= (60)= ()= ()= (3)=3 (4)=4 (5)=5 (6)=6 ()= (3)=3 (4)=6 (5)=0 (6)=5 (3)= (43)=4 (53)=0 (63)=0 (44)= (54)=5 (64)=5 (55)= (65)=6 (66)= Exemples d'applicatios : Nombre de tirages possible au loto : Nombre de poigées de mais serrées das ue assemblée de persoes : Sur TI : Sur Casio : /0

3 3. Itersectio d'évéemets Exemple: Ue classe de 36 élèves âgés de 6 7 ou 8 as compred garços dot 8 âgés de 7 as et 3 âgés de 8 as. D autre part il y a 6 filles âgées de 8 as et ue seule âgées de 6 as. Le professeur de mathématiques iterroge u élève au hasard. Garço Fille Total 6 as 7 as 8 as Total O cosidère les évéemets : A : «l élève iterrogé a 6 as.» G : «l élève iterrogé est u garço.» B : «l élève iterrogé a 7 as.» F : «l élève iterrogé est ue fille.» ;AIC = ;BIC = AIB = C : «l élève iterrogé a 8 as.» ; A U BUC = Défiitio : o dit que les évéemets A B C formet ue partitio de l'uivers Ω O peut alors costruire la première ramificatio d'u arbre de probabilité: P( F I A ) = ; P( F I B ) = ; P( F I C ) = et P(F) = A B C Propriété : Si B B B formet ue partitio de l'uivers Ω alors pour tout évéemet A o a : P ( A )=P ( A B)+P ( A B )+ +P ( A B ) C est la formule des probabilités totales. Corollaire : Soit A et B deux évéemets : P ( A ) = P ( A B ) + P ( A B ) Probabilités coditioelles : Soiet E et C deux évéemets tels que l'évéemet C e soit pas impossible. La probabilité de l'évéemet E sachat l'évéemet C otée P C ( E ) est calculée e remplaçat l'uivers Ω par les issues de l'évéemet C. Exemple : O sait à l avace que l élève iterrogé a 6 as. Quelle est la probabilité pour que ce soit u garço? O sait à l avace que l élève iterrogé est u garço. Quelle est la probabilité pour qu'il ait 6 as? Propriété : PC ( E )= P ( C E ) P ( C) c'est-à-dire P ( C E )=P ( C ) PC ( E ) ou ecore «la probabilité d'ue feuille est obteue e multipliat les probabilités des braches». 3/0

4 Défiitio: O dit que évéemets E et C sot idépedats si la réalisatio de l u iflue pas sur la réalisatio de l autre. Aisi E et C sot idépedats si la probabilité de E est ichagée que l o sache si C est réalisé ou o. Théorème: E et C sot idépedats si et seulemet si PC ( E )=P ( E ) Aisi E et C sot idépedats si et seulemet si : P ( E C ) =P ( E ) P ( C ). Ne pas cofodre idépedats et icompatibles. Loi faible des grads ombres (éocé simplifié) : O cosidère ue expériece aléatoire et u évéemet E dot la probabilité est otée p=p ( E ). Probabilités Cette expériece aléatoire est répétée fois de faço idépedates. Statistiques O obtiet ue série statistique de costituée de valeurs E ou E. Soit f la fréquece de réalisatio de l'évéemet E sur ces expérieces. Si est grad alors il est «presque certai» que la fréquece f soit «très proche» de la probabilité p. Probabilités Par exemple : P ( p 0 0< f < p+0 0 ) pour suffisammet grad P ( p 0 00< f < p+0 00) pour suffisammet grad Évolutio de la fréquece de «pile» lors de lacers d'ue pièce équilibrée. II. Variables aléatoires discrètes à valeurs réelles. Gééralités Défiitio: Lorsqu'à chaque évéemet élémetaire de l'uivers Ω o associe u ombre réel o dit que l o défiit ue variable aléatoire sur Ω. O la ote e gééral X ou Y. Exemple : o lace u dé équilibré Ω = { ; ;3; 4;5;6}. Si o obtiet 6 o gage 7 sio o perd. O ote X le gai (u gai égatif est assimilé à ue perte). Évéemets défiis à partir d ue variable aléatoire : Si X est ue variable aléatoire et u réel alors «X pred la valeur» est u évéemet costitué des issues associées au ombre. O le ote (X = ). Exemple: (X=7)= (X=-)= (X=0)= Loi de probabilité d'ue variable aléatoire : c'est doer la probabilité des évéemets (X=) pour toutes les valeurs de possibles. Exemple: O présete parfois la loi sous la forme 7 - d u tableau : P(X=) Représetatio graphique : sur les abscisses figuret les valeurs prises par la variable aléatoire sur les ordoées les probabilités correspodates. La loi faible des grads ombres permet de cosidérer les probabilités comme des «fréqueces théoriques». Aisi o peut remplacer das les formules de la moyee et de la variace utilisées e statistiques les fréqueces fi par les probabilités pi où p i=p ( X=x i ). 4/0

5 Défiitios : L espérace d ue variable aléatoire discrète est doée par : E ( X ) = p x + p x p x i.e. E( X ) = = pi xi La variace d ue variable aléatoire discrète est doée par : V ( X ) = p ( x E ( X ) ) p ( x E ( X ) ) i.e. V ( X ) = p x p x ( E ( X ) ) i.e. V(X)= V(X)= = (E( X ) x ) i = xi pi ( E ( X ) ) pi L'écart-type d ue variable aléatoire discrète est doée par : σ ( X )= V ( X ) Exemple : avec le jeu de dé précédet o a E= et V= Le jeu est pas équitable : sur u très grad ombre de lacers o perd e moyee par lacer. Les écarts à cette moyee sot de l ordre de.... La loi biomiale Défiitio de la loi biomiale : Soit X la variable aléatoire égale au ombre de succès lors de la répétitio de expérieces idépedates avec pour probabilité de succès p lors de chaque expériece. O dit que X suit la loi biomiale de paramètres et p otée : B(p). Arbre probabiliste pour la loi B ( 4 p ) : Propriété : la variable aléatoire X suit la loi biomiale B ( ; p ) si et seulemet si pour tout etier [ 0 ; ] P ( X= ) = p ( p ) () Exemple : pour la loi biomiale B ( 4 ; 0 75 ) : P ( X= ) Propriétés : si la variable aléatoire X suit ue loi biomiale B ( ; p ) alors : E ( X )= p et V ( X )= p ( p ) 3. La loi de Poisso Défiitio de la loi de Poisso : sur u laps de temps fixé u phéomèe aléatoire pour lequel le futur est idépedat du 5/0

6 passé se produit e moyee λ fois. Soit X la variable aléatoire égale au ombre de réalisatio du phéomèe sur ce laps de temps. La variable aléatoire suit alors ue loi de Poisso de paramètre λ otée P ( λ ) et pour tout etier aturel λ λ o a P ( X= ) =e! Exemple : pour la loi de Poisso P(3) P ( X= ) Propriétés : si la variable aléatoire X suit ue loi de Poisso P ( λ ) alors : E ( X )=λ et V ( X )=λ Théorème : approximatio de la loi biomiale par la loi de Poisso. Quad u évéemet a ue faible probabilité p le ombre d'observatios de cet évéemet au cours d'u grad ombre d'expérieces idépedates suit ue loi B ( ; p ) pouvat être approchée par ue loi de Poisso P ( p ). Das la pratique si 30 et p 0 et p<5 alors l'approximatio est valide. Exemple : X suit la loi biomiale B ( 40 0 ) et Y suit la loi de Poisso P ( 4 ) : P ( X= ) P ( Y= ) Défiitio: deux variables aléatoires X et Y sot idépedates si et seulemet si pour tout i et tout j réels: P((X=i) (Y=j)) = P(X=i) P(Y=j) X i Loi de Y j P((X=i) (Y=j)) P(Y=j) Loi de X P(X=i) Y Propriétés : soiet X ue variables aléatoire défiie sur u uivers Ω et deux réels a et b alors : E ( ax +b )=a E ( X )+b V ( ax +b )=a V ( X ) Propriétés : soiet X et Y deux variables aléatoire défiies sur u même uivers Ω alors : E ( X+Y )=E ( X )+E ( Y ) E ( X Y )=E ( X ) E ( Y ) Si de plus les variables aléatoires X et Y sot idépedates alors : V ( X+Y )=V ( X )+V ( Y ) V ( X Y )=V ( X )+V ( Y ) III. Variables aléatoires cotiues à valeurs réelles. Gééralités Défiitio : La variable aléatoire X est dite cotiue lorsque X peut décrire tout u itervalle réel. Soit ]a ;b[ u itervalle l'évéemet : «a<x<b» est alors l esemble des issues associées à u ombre apparteat à l itervalle ]a ;b[. Exemple : o lace ue boule de bowlig puis o mesure e bout de piste la positio de la boule par rapport au milieu 6/0

7 de la piste. «-05<X<05» : «X<-» = «0<X<00» : Défiitio : O défiit la loi de probabilité cotiue de X lorsque pour tout itervalle I o coaît la valeur de P ( X I ) Propriété caractéristique : P(X Ë)= et pour tous itervalles I et J disjoits : P ( X I J ) = P ( X I ) + P ( X J ) y Défiitio : ue foctio f défiie sur Ë est ue desité de probabilité si et seulemet si : + pour tout x Ë 0Âf(x) et f ( x) dx = Exemple : la foctio défiie par : ] f(x)=cos(πx)+ si x ; [ f(x)=0 sio - 0 x Propriété : si la foctio f est ue desité de probabilité alors ue loi de probabilité de la variable aléatoire X est doée par : b P(a<XÂb)= f ( x )dx a Remarques : P(X=a)=0 P(a<X<b)=P(aÂX<b)=P(a<XÂb)=P(aÂXÂb) y Défiitio : X état ue variable aléatoire la foctio de répartitio de X est la foctio défiie sur Ë par : F(t)= P ( X Â t ) E particulier si X est ue variable aléatoire cotiue admettat la foctio f pour - t desité de probabilité alors la foctio de répartitio de X est : F (t ) = 0 x f ( x )dx Exemples : pour la foctio f précédete : F ( t ) = P ( a <X b ) =F ( b ) F ( a ) F ( x) = 0 et lim F ( x) = Propriété : si F est ue foctio de répartitio alors F est croissate sur Ë xlim x + Défiitio : si X est ue variable aléatoire cotiue admettat la foctio f pour desité de probabilité alors : E( X ) = + x f ( x )dx V (X ) = + ( x E ( x) ) f ( x )dx Remarque : ces défiitios sot aalogues au cas des variables aléatoires discrètes e remplaçat le sige somme Σ par + ue itégrale...dx et les probabilités p ( X=x i ) par la desité de probabilité f ( x ). Propriété : soiet a et b deux réels alors E ( ax +b )=ae ( X )+b et V ( ax +b )=a V ( X ). La loi ormale Défiitio : soiet deux réels m et σ>0 ue variable aléatoire suit la loi ormale N ( m; σ ) si et seulemet si sa t m σ ( e desité de probabilité est f ( x )= σ π ) 7/0

8 Remarque : la loi N(0;) est appelée loi ormale cetrée (car m=0 ) réduite (car σ= ) elle a doc pour desité de x probabilité la foctio f défiie sur ℝ par f ( x )= e π La foctio de répartitio de la loi N(0;) est doée par des tables ou grâce à la calculatrice aisi pour évaluer x P ( <X< ) = e dx : π sur ue table il suffit de lire les valeurs de F() et F() puis d'évaluer F ( ) F ( )= sur TI : puis saisir Pour ue loi ormale N ( m; σ ) il est possible d'ajouter les deux argumets : ormalcdf(a;b;m; σ ) sur casio : puis saisir Pour ue loi ormale N ( m; σ ) il est possible d'utiliser Pour iverser la foctio de répartitio c'est-à-dire pour par exemple détermier x tel que P ( X<x ) =0 975 : sur TI : puis saisir Pour ue loi ormale N ( m; σ ) il est possible d'ajouter les deux argumets : ivnorm(p;m; σ ) sur casio : il est possible d'utiliser Propriétés : si X suit ue loi ormale N ( m; σ ) alors : E ( X )=m V ( X )=σ et σ ( X )=σ Propriété : soiet X ue variable aléatoire suivat ue loi ormale N ( m; σ ) et deux réels a 0 et b. Alors la variable X m aléatoire ax +b suit ue loi ormale N ( a m+b ; a σ ). E particulier la variable aléatoire T= suit la loi σ ormale cetrée réduite. 8/0

9 Exemple : si X suit la loi ormale N(3;4) alors la variable aléatoire X 3 suit la loi ormale cetrée réduite. Propriétés : soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates suivat respectivemet la loi ormale N ( m; σ ) et la loi ormale N ( m' ; ( σ ' ) ) alors : la variable aléatoire X+Y suit la loi ormale N ( m+m' ; σ +( σ ' )) la variable aléatoire X Y suit la loi ormale N ( m m' ; σ +( σ ' )) 3. Approximatios de lois utilisat la loi ormale Théorème de la limite cetrée : soiet variables aléatoires X X X idépedates et suivat la même loi d'espérace m et d'écart-type σ. Si est grad alors la loi ormale N ( m; σ ) est ue boe approximatio de la loi de la variable aléatoire S=X +X + X. Aisi pour S ue variable aléatoire suivat la loi ormale N ( m; σ ) si est grad o a pour tous réels a<b : P ( a<s<b ) P ( a<s<b ) Applicatio aux lois biomiales : soiet variables aléatoires X X X idépedates de même loi telle que P ( X i = )= p et P ( X i =0 )= p alors E ( X i )= p et V ( X i )= p ( p ). Doc e vertu du théorème de la limité cetrée si est grad alors la loi ormale N ( p; p ( p ) ) est ue boe approximatio de la loi de la variable aléatoire S qui e réalité suit ue loi biomiale B ( p ). X +X + +X la variable aléatoire égale à la moyee des σ variables aléatoires X X X. Si est grad alors la loi ormale N m ; est ue boe approximatio de la loi de la variable aléatoire M. Aisi pour M ue variable aléatoire suivat la loi ormale N m ; σ si est grad o a pour tous réels a <b : P ( a<m <b ) P ( a<m<b ) Corollaire : avec les hypothèses précédetes soit M = ( ( ) ) Applicatio aux fréqueces : O cosidère ue populatio dot les élémets possèdet ue certaie propriété avec ue fréquece f. Soit la variable aléatoire F qui à tout échatillo aléatoire prélevé avec remise et d'effectif fixé associe la fréquece avec laquelle les élémets de cet échatillo possèdet cette propriété. La variable aléatoire F suit ue loi biomiale B ( ; f ) doc : E ( F )= f et V ( F )= f ( f ) D'où : E ( F )= f et V ( F )= f ( f ) f ( f ) Pour suffisammet grad F suit doc approximativemet la loi ormale N f ;. ( 9/0 )

10 Distributio d'échatilloage asymptotique de la fréquece : ; ; ; ;. Pour visualiser sous forme d'aire cette loi de probabilité chaque rectagle cetré sur u ombre du type avec { 0 ; ; ; } possède ue base de largeur et ue aire égale à P F =. { Remarque : La variable aléatoire F est discrète et pred ces + valeurs das l'esemble 0 ; ( 0/0 } )