Simulation numérique des transferts couplés conduction rayonnement au cours des procédés de formage du verre.

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1 Simulatin numérique des transferts cuplés cnductin raynnement au curs des prcédés de frmage du verre. Luc-Henry DOREY 1, Linel TESSÉ 1*, Arjen ROOS 2, Frédéric FEYEL 2. 1 Département d Énergétique Fndamentale et Appliquée (DEFA) 2 Département de Matériaux et de Structures Métalliques (DMSM) Office Natinal d Études et de Recherches Aérspatiales (ONERA) BP72 29 avenue de la Divisin Leclerc Châtilln FRANCE * (auteur crrespndant : Linel.Tesse@nera.fr ) Résumé - L bjectif de cette étude cnsiste à mdéliser et calculer en 3D le refridissement du verre en curs de frmage. Pur cela, la cnductin dans le verre a été calculée par la méthde des éléments finis, tandis que les transferts radiatifs nt été évalués par la méthde stchastique de Mnte Carl, dans une apprche ptimisée. Le cuplage entre cnductin et raynnement a été réalisé par méthde de cuplage partitinnée. Après avir été validé en cnfiguratin mndimensinnelle, ce cuplage a été ptimisé de manière à réduire le temps de calcul, en vue d une applicatin directe sur une cnfiguratin industrielle à gémétrie cmplexe. Nmenclature c capacité calrifique massique, J.kg -1.K -1 h cefficient de cnvectin, W.m -2.K -1 L ν j luminance mnchrmatique du raynnement d équilibre, à la température de la maille j, W.m -2.Sr -1.m N S nmbre de mailles surfaciques N V nmbre de mailles vlumiques p puissance radiative vlumique, W.m -3 P puissance émise par la maille q et ea absrbée par la maille j, W P puissance échangée entre les mailles q et P % j, W Estimatin statistique de la quantité P furnie par la méthde de Mnte Carl (myenne sur les cntributins des chemins ptiques) t T temps, s température, K Symbles grecs ρ masse vlumique, kg.m -3 λ cnductivité thermique, W.m -1.K -1 σ(q) écart type de la quantité Q Indices et expsants 1, 2 relatif à la pari 1 u 2 i initial j, q relatif à la maille j u q ν mnchrmatique ARM grandeur calculée par la méthde ARM ERM grandeur calculée par la méthde ERM 1. Intrductin Les industriels se turnent de plus en plus vers la mdélisatin pur résudre des prblèmes multiphysiques liés à la cnceptin de systèmes dnt la gémétrie est suvent cmplexe. Les perfrmances crissantes des nuveaux calculateurs permettent d envisager des calculs faisant intervenir différents phénmènes physiques cuplés, tels que les transferts thermiques par cnductin, cnvectin et raynnement, le transprt de fluide réactif, u les défrmatins mécaniques de structures. L un de ces prblèmes multiphysiques, le refridissement du verre en curs de frmage, intéresse particulièrement les industriels verriers, dans le but de mieux cntrôler les prcédés

2 de prductin qui cnditinnent la qualité des articles prduits (verre plat, buteilles, fibres de verre). Saint-Gbain Recherche (SGR) a initié une cllabratin avec l ONERA dans le but de mdéliser en 3D et avec précisin les transferts cnductifs et radiatifs, dminants dans le verre à haute température (à partir de 800 K). Ntns que le verre est un milieu semitransparent dans lequel la diffusin est cnsidérée cmme étant négligeable dans cette étude. Dans une première apprche, la mdélisatin en 3D est validée sur un cas physique mndimensinnel. Dans la sectin 2, les différents aspects de la mdélisatin snt détaillés. On présente les prpriétés du verre ainsi que les méthdes numériques mises en œuvre. Par ailleurs, le principe de la méthde de cuplage est expliqué en sectin 3. Enfin, les résultats du calcul mndimensinnel de validatin du cuplage snt expsés en sectin Aspects de la mdélisatin 2.1. Cnductin dans le verre Le verre cnsidéré pssède des prpriétés thermphysiques dépendantes de la température, ce qui rend le prblème de cnductin nn-linéaire. Ainsi, sa cnductivité λ varie de 1 à 2 W.m -1.K -1 entre 300 et 1500 K, tandis que sa capacité calrifique massique c varie de 820 à 1500 J.kg -1.K -1 sur le même intervalle de température. La masse vlumique ρ du verre vaut 2450 kg.m -3. Ces grandeurs nt été mesurées par SGR [1]. Le calcul instatinnaire des transferts cnductifs est réalisé avec le cde de thermmécanique ZéBuLN, dévelppé cnjintement par l ONERA, l Écle des Mines de Paris et Nrthwest Numerics. Dans ce cde, la méthde des éléments finis est utilisée pur résudre l équatin de la chaleur cmbinée à la li de Furier : T ρ c ( T ) div( λ( T ) gradt ) = p, (1) t ù p est le terme surce de puissance radiative (en W.m -3 ) dnt le calcul est détaillé dans la sus-sectin suivante Transferts radiatifs dans le verre Les mesures des prpriétés radiatives du verre effectuées par SGR révèlent la pssibilité d apprcher les variatins spectrales du cefficient d absrptin et de l indice de réfractin par un mdèle multi-bandes cmpsé de six bandes spectrales larges, sur lesquelles ces grandeurs snt cnstantes. Le cefficient d absrptin varie de 10 à 10 5 m -1 tandis que l indice de réfractin prend des valeurs cmprises entre 1,43 et 1,5 [1]. Les transferts radiatifs snt calculés par le cde ASTRE, dévelppé par l ONERA et l Écle Centrale Paris. La méthde statistique de Mnte Carl est utilisée pur résudre l Équatin de Transfert du Raynnement (ETR). Rappelns [2] que cette méthde cnsiste à calculer le flux radiatif sur chaque maille surfacique et la puissance radiative vlumique dans chaque maille vlumique du dmaine, en suivant la trajectire d un grand nmbre de rayns issus aléatirement de chaque maille (surfacique et vlumique) du dmaine. Cette méthde de réslutin est bien adaptée aux gémétries 3D cmplexes. Tessé et al. [3] nt dévelppé dans ASTRE deux méthdes de Mnte Carl, ERM (Emissin Reciprcity Methd) et ARM (Absrptin Reciprcity Methd), utilisant le principe de réciprcité pur déterminer les puissances échangées :

3 L égalité P ν νjq L ea ea ea νj Pν = Pν jq Pν = Pν 1. (2) Lν q = P n est pas vérifiée rigureusement en appliquant la méthde de Mnte Carl. Cette dernière furnit en effet une estimatin statistique pur chacune de ces grandeurs, ce qui permet d btenir les deux méthdes ARM et ERM : ~ ERM ~ N V Pν q = Pν et + N S ~ ARM ~ Pν q = Pν jq. (3) j= 1 N + V N S j= 1 La méthde ERM permet de calculer la puissance radiative de la maille q uniquement à partir des rayns partant de cette maille, alrs que, avec la méthde ARM u la méthde de Mnte Carl cnventinnelle, le calcul de la puissance radiative dans une maille n est pssible que lrsque tus les rayns partant de tutes les mailles nt été générés. Le lecteur purra se référer à l article [3] pur plus de détails. Ces méthdes réciprques nt mntré une nette diminutin du temps de calcul nécessaire pur atteindre la cnvergence, par rapprt à la méthde de Mnte Carl cnventinnelle, dans le cas d une épaisseur ptique élevée u de faibles gradients de température. Dans cette étude, n a utilisé une méthde hybride ptimisée, ORM (Optimized Reciprcity Methd), dévelppée par Dupirieux et al. [4], qui cmbine les avantages de ERM et ARM. Elle cnsiste à chisir, pur chaque puissance échangée entre deux mailles q et j, la méthde dnnant l écart type le plus faible, suivant le critère : ~ σ ( P ~ σ ( P ERM ν ARM ν ) = ) L νj νq L, (4) btenu en cnsidérant les mailles ptiquement minces, et une distributin nn-unifrme de rayns (nmbre de rayns issus d une maille prprtinnel à la puissance émise par celle-ci). Cette méthde ptimisée a été validée sur de multiples cas [4]. 3. Méthdes de cuplage Le cuplage par méthde partitinnée cnsiste à cupler des cdes existants pur chaque phénmène physique mdélisé. Pur cupler les deux cdes ASTRE et ZéBuLN, il s agit de cncevir un algrithme d rdnnancement capable de gérer les échanges cncernant, d une part, le champ de puissance radiative calculé par ASTRE et transmis à ZéBuLN, et d autre part, le champ de température calculé par ZéBuLN et transmis à ASTRE. Cet algrithme dit puvir également cntrôler l exécutin de chaque cde pur les besins de la cnvergence du calcul cuplé, au myen d arrêts et de reprises du calcul. Plusieurs algrithmes et stratégies nt été mis en place, pur satisfaire deux bjectifs. Le premier cnsiste à btenir des résultats instatinnaires les plus précis pssibles afin de valider le cuplage, et le secnd vise à l ptimisatin du cuplage en vue de réduire le temps de calcul. Pur cela, n utilisera le cuplage frt qui a l avantage d être précis, et le cuplage faible pur sa faible cnsmmatin en temps de calcul. On détaille ci-après ces algrithmes et stratégies, inspirés du travail de J.-D. Garaud [5] sur les méthdes de cuplage aér-thermmécanique. Il précise en particulier les fndements thériques des méthdes de cuplage partitinnées.

4 3.1. Cuplages frt et faible On distingue deux types d algrithmes de cuplage, schématisés sur la Figure 1. Le plus simple, le cuplage faible, est cnstitué du calcul de cnductin thermique entrecupé après chaque pas de temps (u itératin) d un calcul de raynnement. Quant au cuplage frt, il impse la cnvergence des deux cdes à chaque itératin : le dernier pas de temps du calcul de cnductin est recalculé tant que le critère de cnvergence n est pas respecté. Ce critère impse une valeur maximale à la variatin de puissance entre deux itératins de cnvergence. Figure 1: Algrithmes de cuplage faible et frt Sus-cyclage et prédicteur Deux stratégies nt été mises en œuvre afin d accélérer le calcul. Le sus-cyclage cnsiste à calculer plusieurs pas de temps du calcul de cnductin entre chaque calcul de raynnement. Le pas de temps de la cnductin est alrs disscié du pas de temps du cuplage. Cette stratégie permet de réduire significativement le temps de calcul, en sachant que celui-ci est cnsmmé à 90% par le cde ASTRE. Les prédicteurs visent à augmenter la stabilité des deux algrithmes frt et faible. Plutôt que d utiliser pur le calcul de cnductin le champ de puissance radiative calculé par ASTRE à l instant dnné, n peut utiliser sa valeur prédite à l instant de cuplage suivant, calculée par extraplatin linéaire de la puissance sur le précédent pas de temps du cuplage. Dans le cas du cuplage faible, ce prédicteur linéaire a permis une améliratin de la précisin des résultats. Utilisé en cuplage frt, il permet d accélérer le calcul, en réduisant le nmbre d itératins nécessaires à la cnvergence entre les deux cdes. 4. Résultats et discussin Le calcul de validatin 1D cnsiste à calculer le refridissement d une plaque de verre infinie de 4 mm d épaisseur, à une température initiale T i = 963 K, placée dans l air ambiant à 300 K, pendant 16,67 s. Les cnditins du calcul snt schématisées sur la Figure 2. La surface inférieure de la plaque est sumise à une cnditin de cnvectin mdélisant le cntact avec le cnvyeur (h 1 = 95 W.m -2.K -1 ), tandis que sa surface supérieure est sumise à la cnvectin naturelle (h 2 = 3,3 W.m -2.K -1 ). Le pas de temps du calcul de cnductin, déterminé par étude de sensibilité, est pris égal à 0,1 s. Du pint de vue radiatif, deux paris grises 1 et 2, d émissivités respectives ε 1 = 0,90 et ε 2 = 0,94, snt situées de part et d autre de la plaque. Leur température est fixée à 300 K. Le dmaine de calcul cmprend uniquement la plaque de verre. Ce dmaine est 3D, pur les besins du cde ASTRE, et décupé dans une seule directin, suivant l épaisseur de la plaque. On précise que les deux cdes ASTRE et ZéBuLN utilisent le même maillage. Afin de traiter une cnfiguratin strictement mndimensinnelle (plaque infinie de 4 mm

5 d épaisseur), n applique sur les faces latérales des cnditins de symétrie (réflexin spéculaire ttale) pur le calcul de raynnement, et des cnditins de pari adiabatique pur le calcul de cnductin. Les phénmènes de réfractin et réflexin aux interfaces air/verre snt mdélisés par une cnditin aux limites particulière appliquée sur les faces inférieure et supérieure de la plaque, utilisant ntamment les lis de Snell-Descartes pur la réfractin et la réflexin. Figure 2 : Schéma du cas de validatin 1D Dans un premier temps, le calcul cuplé a été réalisé en cuplage frt sans sus-cyclage, afin d btenir des résultats de référence. L évlutin temprelle du prfil de température dans l épaisseur de la plaque est présentée sur la Figure 3. On y bserve le refridissement du verre en tus pints, avec une dissymétrie des prfils due à la valeur élevée du cefficient de cnvectin en x = 0. A t = 16,67 s, le prfil de température est cmparable à celui btenu numériquement par SGR, ce dernier ayant été précédemment validé par l expérimentatin. Figure 3: Prfils de température dans l épaisseur de la plaque, à 4 s, 8 s, 12 s et 16,67 s. L évlutin temprelle de la puissance radiative en deux pints dans l épaisseur est tracée sur la Figure 4. Les valeurs négatives de la puissance indiquent une perte nette d énergie. Le refridissement du verre implique une diminutin en valeur abslue de la puissance au curs du temps. Le verre, dnt l épaisseur ptique est élevée, cnfine en partie l énergie en x = 1 mm (puissance faible en valeur abslue), tandis qu en x = 0,2 mm, la prximité du milieu extérieur permet une bnne évacuatin de l énergie.

6 Figure 4: Évlutin temprelle de la puissance radiative vlumique, à 0,2 mm et 1 mm d épaisseur. Dans un secnd temps, le calcul cuplé a pu être ptimisé dans le but de réduire le temps de calcul. Plutôt que d utiliser un cuplage frt nn sus-cyclé avec prédicteur linéaire, n a intrduit la stratégie de sus-cyclage assciée au cuplage faible et au prédicteur linéaire. Dans ces cnditins, un pas de temps de cuplage de 1 s a permis de diminuer d un facteur 7,6 le temps de calcul. 5. Cnclusin Cette étude a permis de calculer en 3D le refridissement du verre à haute température, en prenant en cmpte les deux phénmènes dminants dans cette situatin : la cnductin et le raynnement. La méthde de Mnte Carl, utilisée ici dans une versin ptimisée, permet le calcul précis des échanges radiatifs. Les méthdes de cuplage mises en œuvre nt permis de réaliser un gain en temps de calcul grâce au sus-cyclage et à l empli d un prédicteur linéaire. Les premiers calculs industriels 3D de refridissement de buteilles en curs de frmage, nn présentés ici, nt été réalisés par applicatin directe du cuplage présenté. Références [1] Dnnées détaillées cnfidentielles. [2] J. Taine, E. Iacna, J-P. Petit, Transferts thermiques, 4 e édn (2008), Dund. [3] L. Tessé, F. Dupirieux, B. Zamuner, J. Taine, Radiative transfer in real gases using reciprcal and frward Mnte Carl methds and a crrelated-k apprach, Int. J. Heat Mass Transfer, 45 (2002), [4] F. Dupirieux, L. Tessé, S. Avila, J. Taine, An ptimized reciprcity Mnte Carl methd fr the calculatin f radiative transfer in media f varius ptical thicknesses, Int. J. Heat Mass Transfer, 49 (2006), [5] J.-D. Garaud, Dévelppement de méthdes de cuplage aér-therm-mécanique pur la prédictin d instabilités dans les structures aérspatiales chaudes. Thèse de dctrat, ONERA Université Pierre et Marie Curie, Remerciements Nus remercins l équipe de Saint-Gbain Recherche qui a participé à cette étude.