2 Taux de variation et dérivée

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1 Tu de vrition et dérivée.1 Tu de vrition et dérivée en un point Q..1 Clculer le tu de vrition moyen TVM [;] f) pour les fonctions suivntes. cm cm ) f) = 1 b) f) = c) f) = 5 d) f) = 1 e) f) = + 5 Q.. Soit l fonction y =. Clculer le tu de vrition moyen de y sur l intervlle demndé. ) [; ]. b) [; ]. c) [;,1]. d) [;,01]. e) [;,001]. Q.. Identifier l vleur de h ou ) pour chcun des cs de l question précédente. Q.. Selon le numéro 1, vers quel nombre semble s pprocher le tu de vrition de y = entre et + h lorsque h diminue? Q..5 Utiliser l définition de l dérivée pour clculer f ) si f) =. Q..6 Soit l fonction f) = ) Clculer TVM [;] f). b) Clculer TVM [;b] f). c) Clculer TVM [;+h] f). d) Clculer f ) en utilisnt le résultt trouvé en b). e) Clculer f ) en utilisnt le résultt trouvé en c). Q..7 L fonction donnnt l ire d un cercle en centimètres crrés) pr rpport à son ryon en centimètres) est Ar) = πr ) Quelle est l vrition de l ire du cercle si le ryon psse de cm à cm? Bien indiquer les unités. b) Quelle est le tu de vrition moyen de l ire du cercle si le ryon psse de cm à cm? Bien indiquer les unités. c) Quelle est le tu de vrition instntné de l ire du cercle lorsque le ryon est de cm? Bien indiquer les unités. Q..8 Supposons que durnt les deu premières nnées de s vie, l msse en kilogrmmes) d un bébé en fonction du temps t en mois) écoulé depuis s nissnce est donnée pr l fonction mt) = 1 + 7t. ) Quelle est l msse du bébé à s nissnce? m8) m5) b) Évluer l epression et en donner un interpréttion. c) Quel est le tu de croissnce instntné de l msse du bébé lorsque celui-ci est âgé de 9 mois? Interpréter. d) Le bébé grossit-il plus rpidement à mois ou à 9 mois? Q..9 Clculer ) f ) pour f) = 1. b) f 1) pour f) = c) f 1) pour f) = 1 1. d) f ) pour f) = 6. e) f 0) pour f) =. +. Linéristion et fonction dérivée Q..10 Trouver l éqution de l droite qui donne une bonne pproimtion de l fonction spécifiée utour du point spécifié. ) f) = 1 utour de = 1 b) f) = utour de = c) f) = utour de = 1 Q..11 Trouver l dérivée des fonctions suivntes en utilisnt l définition. ) g) = + b) h) =

2 Q..1 Considérons l fonction f) dont le grphique est représenté ci-dessous. Q..15 Trouver l dérivée des fonctions suivntes. ) y = 9 b) f) = 7 c) y = 1 6 d) gt) = 1 t e) u = 5 f) f) = 1. Formules de dérivtion ) Pour quelles) vleurs) de l dérivée de cette fonction est-elle nulle? b) Pour quelles) vleurs) de cette fonction n est-elle ps dérivble? c) L dérivée de cette fonction est-elle plus grnde en = 1 ou en = 1? Q..1 Associer chcune des fonctions suivntes à s dérivée. Q..16 Trouver l dérivée des fonctions suivntes. ) f) = b) vt) = t c) h) = 5 d) t) = t e) y = 9 5 f) r) = 5 8r g) f) = h) y = i) f) = ) + 1) j) y = 5 ) k) f) = + 1) ) 1 l) gt) = t + 1 t ) m) hr) = ) r r + 1 ) b i) Q..17 Donner l dérivée de chcune des fonctions u point indiqué. ) f) = + 1 u point, 7). b) st) = t + t + t u point 1, ). c) y = 5 u point 1, 15 ). d) ft) = t t u point k, fk)). b) ii) b Q..18 Pour quelles) vleurs) de l courbe décrite pr l fonction f) dmet-elle une tngente horizontle ) f) = + 1. b) f) = + 1. c) f) = + 1. c) b iii) b Q..19 Pour quelles) vleurs) de, l courbe définie pr f) = dmet une droite tngente prllèle à l droite d éqution y = / 1? Q..1 Utiliser le tringle de Pscl pour développer les polynômes suivnts. ) + y) b) + ) 5. c) 1 r) 6. d) ). D 1 D m 1 = m Q..0 Pour quelles) vleurs) de, l courbe définie pr f) = dmet une droite tngente perpendiculire à l droite d éqution y = /5 1? D 1 D m 1 m = 1

3 Q..1 On projette verticlement vers le hut un objet. L huteur en mètres) de l objet t secondes près voir été lncé est donnée pr l fonction ht) = t,9t. ) À quelle huteur l objet se trouve-t-il u moment où il est lncé? b) Quelle est l vitesse initile de l objet? c) Quelle est l vitesse de l objet lorsqu il tteint l huteur de 60 m lors de s montée? d) Schnt qu il commencer à descendre u moment où s vitesse est nulle, quelle est l huteur mimle tteinte pr l objet? e) À quelle vitesse l objet toucher-t-il le sol? f) Trouver mthémtiquement l ccélértion de cet objet u temps t. Q.. Trouver l dérivée des fonctions suivntes en utilisnt l règle de dérivtion du produit. ) y = + 1) 5 ). b) t) = t t ) t t + 5 ). c) f) = 5 ) ). d) y = 1) 5) ). Q.. Trouver l dérivée des fonctions suivntes en utilisnt l règle de dérivtion du quotient. ) f) = + 1. b) y = + 1. c) dt) = t 5 5 t. d) f) = 1. Q.. Donner l dérivée de chcune des fonctions u point indiqué. ) f) = u point 0,1). b) y = t t ) ) t + t u point 1, 1). c) f) = u point 1, 5 8 ). Q..5 Soient u, v et w des fonctions dérivbles de. Montrer que d dw dv du uvw) = uv + uw + vw. Q..6 Montrer qu ucune droite de pente 1 n est tngente à l courbe de f) = 1. Q..7 Il y deu droites pssnt pr le point,0) qui sont tngentes à l courbe décrite pr l fonction f) = 8. Trouver les équtions de ces droites. Q..8 Le coût unitire moyen M pour fbriquer un certin nombre d unités d un produit dns une mnufcture est donné pr M) = C), où est le nombre d unités fbriquées et C), le coût totl pour fbriquer ces unités. ) Clculer M ). b) Évluer C ) lorsque M ) = 0. Q..9 Clculer l dérivée des fonctions suivntes. ) y = n 10 ) n c) y = 1 b) y = d) y = + 1). Dérivée de fonctions composées Q..0 Clculer l dérivée des fonctions suivntes. ) gt) = 1 5t ) 10 b) y = 5 + ) 7 c) f) = Q..1 Clculer dy et simplifier vos réponses. dt ) y = + et = t b) y = et = t + 9 c) y = 6 6 et = t Q.. Soit y =, = 6t 5t et z = 1 y. Clculer : ) dt b) dz dy et dt dz et dy t= y= + 1 d) g) = 1 mt e) t) = 1 + t f) f) = 5 8 dt d) dz dy et dt dz et t= 1 = 1 9 )

4 Q.. Clculer l dérivée des fonctions suivntes. [ ) y = + ) ] 5 + b) y = + ) 1 ) 18 c) ft) = t + π) 5t) + 1 ) d) y = + e) f) = Q..9 Trouver l pente de l droite tngente à l stéroïde / + y / =, illustrée ci-dessous, u point 1, ) Q.. Clculer l dérivée des fonctions suivntes. ) y) = b) y) = + ) ).5 Dérivée implicite et d ordre supérieur Q..5 Déterminer, prmi les équtions suivntes, celles qui définissent une fonction implicite. ) y = t + 1 t b) y = y + 1 Q..6 Clculer : si y + y = 6. b) dy si y = 5 + 6y. c) dt si + t = t +. si = y y y +. c) = y d) y + 5y = + y Q..7 Déterminer l éqution de l droite tngente à l courbe décrite pr l éqution + y = y u point 1,1). Q..8 Soit le cercle d éqution + y = r cercle de ryon r centré à l origine). Montrer que l droite pssnt pr l origine et un point 0,y 0 ) situé sur l circonférence du cercle est toujours perpendiculire à l droite tngente u cercle en ce point 0,y 0 ). Q..0 8 ) f ) ), si f) = b) y 9), si y = 7. c) d y, si y = + 1 ) 5. d) f 1), si f) = 5. e) d y =, si y = 7. f) f 5) ), si f) = Eercices récpitultifs Q..1 En utilisnt l définition de l dérivée, évluer les epressions demndées pour l fonction donnée. ) f) = ; f ). b) t) = t + bt + c ; dt. c) y = dy + 1 ;. = 1 d) g) = 1 ; g ). e) h) = ; h 0). 1 5 Q.. Clculer l dérivée des fonctions suivntes. ) y = b) y = c) y = d) y = 1 ) 7 e) y = f) y = g) y = h) y = ) ) i) y = ) + j) y = 7

5 Q.. L droite y = 17 est-elle tngente à l courbe de f) = 8? Si oui, déterminer le point de tngence. Q.. Soit l fonction f) = 9) +. Déterminer l ou les vleurs de telles que l droite tngente à l courbe de f en = et les es forment un tringle isocèle. Q..5 Lors d un test de collision, une voiture se déplce en ligne droite vers un mur situé à 90 m du point de déprt de l voiture. L position s de l voiture en mètres) à prtir de son point de déprt t secondes près son déprt est donnée pr st) = t + t. ) À quelle distnce du mur l voiture se trouve-t-elle s près son déprt? b) Quelle est s vitesse s près son déprt? c) À quelle distnce du mur l voiture se trouve-t-elle lorsque s vitesse est de 0 km/h? d) Combien de temps lui fut-il vnt d entrer en collision vec le mur? e) Quelle est s vitesse lors de l impct? f) Quelle est son ccélértion u moment de l impct? Q..6 Clculer l dérivée des fonctions suivntes. ) y = + ) 5 ) [ b) y = 5 ) ] Q..7 Clculer dy ) + y y = 1 b) y + 5 = 5y c) y = 5 7) 1 d) y = + ) 5 pour chcune des équtions suivntes. c) 1 y = 1 y d) y = y + y c) Sns trop de clculs, trouver une formule pour d6 uv) 6. Q..50 Trouver l vleur de k pour que l courbe d éqution y = + k soit tngente à l droite y = +. Indice : D bord fire un dessin de l sitution puis se demnder quelles sont les conditions pour qu elle soit possible. Q..51 À l ide de l formule générlisée du produit de n fonctions f 1 f n) = f 1f f n + f 1f f f n + + f 1 f n 1f n montrer l règle de dérivtion de f) = n. Q..5 Nous vons montré en clsse que n ) = n n 1 étit vlide lorsque n est un entier nturel. ) En utilisnt l formule de l dérivée du quotient, montrer que cette formule est vlide lorsque n est négtif donc si n = k vec k positif.) b) En utilisnt l dérivée implicite, montrer que cette formule est vlide lorsque n est une frction du type 1 k vec k nturel. c) Montrer ensuite à l ide de l dérivée d une fonction composée que l formule est vlide lorsque n est une frction b. Q..5 Clculer l dérivée des fonctions suivntes. ) y = b) y = c) y = d) y = ) 1 Q..5 Considérons l courbe Γ définie pr l éqution implicite y y = 1 ) Q..8 Pour chcune des équtions suivntes, clculer l pente de l tngente à l courbe u point donné. ) + 9y = 0 u point 1, ) b) y 1 + y) + = 0 u point 1, ) Q..9 Supposons que u et v sont toutes deu des fonctions de. ) Montrer que uv) = u v + u v + uv. b) Trouver une formule pour uv). L b 5

6 ) Déterminer l dérivée dy. b) Pour quelle vleur = b, l tngente à l courbe Γ est-elle verticle? c) Déterminer l lrgeur L du coeur. Q..55 Considérons l courbe Γ définie pr l éqution implicite + y ) = y ) y + y = 1 ) Déterminer l dérivée dy. b) Montrer que les tngentes à l courbe Γ sont horizontles u points d intersections vec le cercle unitire. c) Déterminer les points où les tngentes à l courbe Γ sont horizontles. 6

7 Réponses u eercices R..1 R..10 ) b) 18 c) 0 d) 1 e) 7 ) y = b) y = 1 c) y = R.. ) = 8 b) 19 c) 1,61 R.. d) 1,0601 e) 1, ) b) 1 c) 0,1 d) 0,01 e) 0,001 R.. 1 R..5 R..6 ) 7 b) b b 6 b lim = 1 = b + b + c) + h) + h) 6) = 1 + 6h + h 1 h d) f ) = lim b + b + ) = 11. b e) f ) = lim h h + h 1 ) = 11 R..7 ) 1π cm b) 6π cm c) 8π cm R..11 ) g 1 ) = + R..1 b) h ) = + 5) ) {,0,} b) {,} c) En = 1. R..1 ) ii) b) i) c) iii) R..1 ) + y + y + y b) c) r 6 6r r 0r + 15r 6r + 1. d) R..15 = 98 b) f ) = 7 R..16 = 6 7 d) g t) = 1 t e) du = 5 5 f) f ) = 1 R..8 ) 1 kg b) Entre l âge de 5 mois et 8 mois, l msse de ce bébé ugmenté à un tu moyen de kg/mois 0, kg/mois. c) À l âge d ectement 9 mois, le bébé grossit à un tu de m 9) = 7 75 kg/mois. d) À mois, cr m ) > m 9). R..9 ) f ) = 0 b) v t) = 1 c) h ) = 15 d) t) = e) dy = f) r) = 5 8r g) f ) = R..17 h) dy = i) f ) = j) dy = 0 ) k) f ) = l) g t) = 1t 1 t m) h r) = 8r + / r ) 0 b) c) 9 d) 1 6 e) ) b) c) 1 15 d) k 7

8 R..18 ) = b) = et = 1 c) = 1 et = 1 R..7 Indice : Trviller vec une droite de prmètres et b. S rrnger pour que l droite psse pr le point voulu. Chercher ce qui doit se produire u point de tngence lui donner un nom peut servir) pour que l droite soit tngente à l courbe. Les droites : y = + ety = + 6. R..19 On doit voir f ) = = 1, donc = R..0 On doit voir f ) = = 5, donc R..8 ) M ) = C ) C) C) est inconnu) b) C ) = C) = M) M )=0 on ne peut ller plus loin cr R..1 ) 50 m b) 15 m/s = c) 9 m/s 5,9 m/s R.. et = d) 61,8 m e) environ,71 m/s f) h t) = 9,8 m/s = R ) 1 t b) t) = t 1 t + 5 ) ) 1t + t t t ) ) g t) = 00t 1 5t ) 9 = 5 + ) 5 10 ) 1 t 5 5 t + 5 t 16t + 6t 5. c) f ) = = 18 9 R.. ) f ) = + 1). = 8 + 1). R.. ) f 0) = 9 c) d t) = t t 15t + 10 ) d) f ) = 5 t ) ). = 1 c) f 1) = dt t= R..5 Lissé à l étudint. Incice : que fites vous losrque vous multipliez nombres ensemble? R..6 Lissé à l étudint. Il fut montrer que l dérivée de f est différente de 1 pour toute vleur de. R..9 = nn 1 n 1) = 1 + 1) + = ) = ) 8 = ) + 1) = 7 c) f 5 ) = d) g 6 + 1) ) = 1) e) t) = m 1 + t) f) f 5 ) = 8 ) 1 + t mt = 1 m t1 + t) R..1 dt = ) 1t ) = 8t t ) 8t = 1/) t) = = 6 5 6) 1 1/) = ) t + 9 R.. ) dt = 1t 5 et = 19 dt t= b) dz dy = 1 dz y et = 1 dy y= 9 ) 5 1 8

9 dt = 1t 5 6t 5t d) dz = 1 et dy et = 17 dt t= 1 11 dz = 7 = 1 9 R.. [ = 5 + ) ] + + ) + ) ) + = 6 + )1 ) ) c) f t) = 6 0t 5π ) t + π 5t = + 1 ) ) + ) e) f 1 ) = ) + 1 R.. ) y ) = d ) 1/) 1/ = 1/) ) 1/) 1/ d ) 1/) = 1/) ) 1/) 1/ 0 d 1 + ) 1/) = 1/) ) 1/) 1/ 1 + ) 1/ d 1 + ) = 1/) ) 1/) 1/ 1/1 + ) 1/) ) b) R..5 = y ) = d + ) ) = + ) ) d + ) ) = + ) ) 0 + d ) ) = + ) ) ) d ) ) = + ) ) ) ) ) b et d R..6 = 6 y y y + = + ) ) ) b) dy = 0y 10 c) dt = t + t t y + ) = 9 6y y ou y + y R..7 y = + R..8 Lissé à l étudint. Utiliser le fit que le produit des pentes doit Ítre de -1. R..9 R..0 ) f ) ) = 10 b) y 9) = 0 c) d y = 0 ) ) + 1 d) f 1) = R..1 ) 7 b) t + b R.. = = = ) = 1 1 ) 6 e) dy = + 1 f) dy = 15 1 g) dy + = h) dy = ) 1) i) dy = ) j) dy = 11 ) R.. Oui, u point, 5). e) d y = = 105 f) f 5) ) = c) 1 d) + e) - 9

10 R.. = 71 R..5 ) 80 m b) 6 m/s 1,6 km/h) c) 6,7 m ou = 7. d) 10 s e) 1 m/s 50, km/h) f) 1 m/s 1,96 km/h ) R..6 = + ) 5 ) ) = 18 [ 5 ) ] ) ) 15 5 = 1 = + ) 17 + ) R..7 + y = y = 6y y + 9 y = y + y 1 + 6y ou y 1 6 y = y ) R..5 = ) y = ) = 0 si = y = ) n eiste ps si y = 0 donc = 1. y d) L lrgeur est L = 7/18 R..55 Indice : Utiliser le chngement de vrible + y = r dns l epression dy pour déterminer les zéros de l dérivée. = 1 + y ) y + y + 1) b) En substitunt, + y = r dns dy, on obtient donc y = 0 si r = ±1 dy 1 r = yr + 1) c) En substitunt, = 1 y dns Γ, on obtient 1 = 1 y ), y = ± 1 On conclut insi que = ± puisque ce point est sur le cercle unitire. R..8 ) 9 b) R..9 ) Lissé à l étudint. b) Lissé à l étudint. c) Si vous n rrivez ps fcilement, clculer d uv). R..50 k = ou k = 5 R..51 Lissé à l étudint. Une preuve rigoureuse nécessiterit l méthode d induction, mis vous pouvez trouver l idée. R..5 R..5 Lissé à l étudint. = ) = ) = ) ) 1) 6 = 7 1 ) 10

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