Probabilités. 1 Trois coeurs. 2 Trois dés. 3 L'as de pique

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1 Probabilités Trois coeurs O tire trois cartes successivemet et sas remise das u jeu de 3 Probabilité our que les trois soiet des coeurs? 7 60 Trois dés O jette trois dés ; robabilité d'obteir les faces,, et 3? 36 3 L'as de ique O tire 3 cartes das u jeu de 5 ; A : 'o tire u seul as' ; B : 'o tire l'as de ique' ; motrer que A et B sot idéedats P A ; P B P A B P A P B 4 A et B état deux évéemets d'u esace robabilisé, motrer que P A B P A P B 4 d'égalité et étudier le cas otos a P A, b P B et c P A B étae c 0 doc c c + 4 ab + 4 car 0 c a, b Doc Il y égalité c ab + 4 seulemet si a b c c ab 4 étae 4ab a + b a b a + b + c + 4c Doc ab c 4 ; il y a égalité seulemet si a b et c 0

2 5 Le susect gaucher L'isecteur chargé d'ue equête est covaicu à 60% de la culabilité d'u susect Ue ouvelle ièce à covictio ermet soudai d'armer que le crimiel est gaucher Or 7% des idividus das la oulatio sot gauchers Commet l'isecteur doit-il réarécier la culabilité du susect, s'il se trouve que le susect est gaucher? Au déart, la robabilité que le susect soit gaucher est 007 Quad o ared que le couable est gaucher, la robabilité que le susect soit gaucher est : P G D'où : P C G P G C P C P G 50 0, Y X + X + O cosidère ue suite X de variables aléatoires idéedates de même loi de Beroulli de aramètre ]0, [ O ote our tout etier : Y X + X +, T Y et Z T a Doer la loi de Y, so esérace et sa variace b Calculer cov Y, Y + c Calculer l'esérace et la variace de Z d Pour tout ε > 0, calculer limp Z < ε e Y et Y q sot-elles idéedates? a E Y E Z V Y b cov Y, Y + c V T 4 d P Z ε V Z ε ted vers 0 e Y et Y q sot idéedates si q 7 Y i X i X i+ Soit X ue suite de variables aléatoires idéedates suivat toutes ue loi de Beroulli de aramètre ]0, [ O ote, our i, Y i X i X i+ a Doer la loi de Y i b Calculer cov Y i, Y i+ our i, c O cosidère T Y et S T ; motrer que, our tout ε > 0, lim P S > ε 0 a Loi de Beroulli B b cov Y, Y m 3 4 si m, 0 si m > c V T V T + V Y + cov T, Y V T + V Y + cov Y, Y, doc d'où : V T V T V T doc V S ted vers 0 O utilise esuite l'iégalité de Bieaymé-Tchebychev

3 8 Y X X + X + Soit X 0 ue suite de variables aléatoires idéedates suivat ue loi de Beroulli de aramètre ]0, [ O ote, our tout 0, Y X X + X + Doer la loi de Y Y i et Y j sot-elles idéedates si i et j sot deux etiers aturels disticts? Calculer la variace de Y Calculer la loi de Y + Y 9 A X X Soit X 0 ue suite de variables aléatoires idéedates suivat ue loi de Beroulli de aramètre ]0, [ O ote, our tout, A X X ; les A sot-ils idéedats? Soit T ω mi { /X ω X ω}, ou 0 si cet esemble est vide Calculer P T 0 P A ; idéedats si ; P T q + q ; P T Suites de boules de même couleur Ue ure cotiet ue roortio ]0, [ de boules oires et ue roortio q de boules blaches ; o eectue des tirages successifs avec remise Soit X la logueur de la remière suite de boules de même couleur, Y la deuxième Détermier la loi cojoite de X, Y, la loi de X, celle de Y ; motrer que E X X et Y sot-elles idéedates? P X i Y j i+ q j + j q i+ ; P X i i q + q i ; P Y j q j + j q E X +q q Pour l'idéedace : P X q ; P Y + q ; P X Y q D'où : P X P Y P X Y q Doc, si, X et Y e sot as idéedates Réciroquemet, o vérie que si : Trois hôtels i, j, P X i Y j P X i P Y j ersoes se réartisset au hasard et idéedammet les us des autres das trois hôtels ; soit X i le ombre de ersoes qui choisisset l'hôtel H i ; détermier la loi de X i, uis la loi et la variace de X + X ; covariace de X, X? Loi biomiale, 3 ; V X + X V X 3 V X 3 q 9 ; cov X, X 9 ombre de lacers variables O cosidère ue ièce à deux faces, ile et face et o ote la robabilité d'obteir ile O lace cette ièce jusqu'à ce que l'o obtiee le remier ile O ote la variable aléatoire égale au ombre de lacers eectués O relace alors cette ièce fois et o cosidère la variable aléatoire X égale au ombre de iles obteus au cours de ces lacers - Détermier la loi de - Détermier la loi coditioelle de X sachat, 3- Calculer la robabilité P X 0, uis la robabilité P X Calculer la robabilité P X, our O ourra motrer que si x ], [ et : + x x 3

4 4- Motrer que la variable aléatoire X admet ue esérace et la calculer 5- Retrouver ce résultat sas utiliser la loi de X s - P q - P X q 3- P X 0 q +q ; P X +q ; si : P X q +q + 4- E X q +q + 5- Pour, o déit X ar X ω si ω et si das la deuxième suite de lacers le ième est u ile P q, doc P X q, doc E X E X q 3 ombre de tirages variables Ue ure cotiet ue boule rouge et deux blaches ; o eectue tirages avec remise ; X est le ombre de boules rouges obteues j a Motrer que si 0 j, alors j j j b Loi de X? Combie de tirages sot écessaires a d'obteir au mois ue rouge avec ue robabilité suérieure à 0,95? c O eectue X tirages ; soit Y le ombre de boules rouges obteues au cours de ces X tirages ; détermier P Y j X, P Y j X d Détermier la loi de Y ; commeter b Loi biomiale ; 3 0, 05, soit 8 j c P Y j X j j 3 ; P Y j X j j j 3 d Loi biomiale de aramètre 9 4 Deux iles cosécutifs U joueur lace ue ièce truquée telle que la robabilité d'obteir ile soit égale à et la robabilité d'obteir face soit égale à q, ]0, [ O ote T la variable aléatoire reat la valeur si l'o obtiet deux iles cosécutifs our la remière fois au -ième lacer O ote P T a Calculer our 5 b Exrimer + e foctio de + et o ourra utiliser le remier lacer c O suose que 3 ; doer l'exressio de e foctio de b + q + + q c Pile Face cosécutifs U joueur lace ue ièce truquée telle que la robabilité d'obteir ile soit égale à et la robabilité d'obteir face soit égale à q, ]0, [ Pour, o ote A l'évèemet : 'la séquece Pile-Face surviet our la remière fois au -ième lacer' O ote P A a Calculer b Calculer la robabilité de l'évèemet A : 'la séquece Pile-Face surviet au mois ue fois' c Calculer la robabilité de l'évèemet B : 'la séquece Pile-Pile aaraît sas que Pile-Face aaraisse avat a q q q, si q b P A c P B 4

5 6 Maximum avec remise Ue ure cotiet boules umérotées de à, O eectue tirages avec remise, et our [, ] o ote Z le uméro de la boule tirée au -ième tirage E, o ose M max Z,, Z a Pour i [, ], calculer P M i b Motrer que si Y est ue variable aléatoire réelle à valeurs das [, ], alors : E Y P Y i i c E déduire E M, uis trouver la limite de E M lorsque ted vers +, aisi qu' u équivalet de E M lorsque ted vers + a P M i i b voir le cours c E M q q 7 Maximum sas remise ; xé : E M ted vers ; xé : E M + désige u etier aturel suérieur ou égal à O disose d'ue ure coteat boules umérotées de à O e tire simultaémet O ote X la variable aléatoire égale au lus grad des uméros obteus armi les boules tirées et Y la variable aléatoire égale au lus etit des uméros obteu armi les boules tirées a Détermier la loi de X b Motrer que + + Calculer alors l'esérace de la variable aléatoire X c Détermier la loi du coule X, Y d Si, détermier la loi coditioelle de Y sachat X Y ; détermier P X Y e X et Y sot-elles idéedates? a P X b E X + + c Si j i : 0 sio d P Y j X Y si [, ], 0 sio P X i, Y j P Y j X Y P X Y i j P Y j X + j P X Y P X Y Résultat qui e déed as de j ; la loi coditioelle est doc uiforme our j : déduit que P X Y O e résultat qu'o eut aussi trouver directemet e X et Y e sot as idéedates, sauf si ; e eet : P Y X 0, mais P X et P Y e sot as uls, sauf si 5

6 8 Blaches et oires Motrer que si 0, + + Ue ure cotiet boules blaches et boules oires O tire les boules ue à ue et sas remise jusqu'à l'obtetio de la derière boule oire ; soit X la variable aléatoire égale au uméro du tirage où l'o obtiet la derière boule oire a Trouver P X ; P X b Détermier la loi de X c Calculer l'esérace de X P X ; P X ; P X m m / ; E X Deux lois de Poisso cocurretes à u éage Le ombre de véhicules assat quotidieemet à u éage e directio de la mer est ue variable aléatoire X qui suit ue loi de Poisso de aramètre λ ; le ombre de véhicules assat quotidieemet à ce même éage e directio du lat ays est ue variable aléatoire Y qui suit ue loi de Poisso de aramètre µ ; o suose X et Y idéedates Sachat que véhicules sot assés u jour doé, quelle est la robabilité our que soiet assés e directio de la mer? Est-ce ue loi coue? P X X + Y Il s'agit d'ue loi biomiale PXPY PX+Y λ µ λ+µ 0 Loi de Poisso et emballages Ue société reçoit des roduits ; o suose que chaque roduit a la robabilité d'être détérioré ; o aelle X le ombre de roduits détériorés a O suose que la société reçoit roduits ; quelle est la loi de X? b O suose que le ombre de roduits reçus Y suit ue loi de Poisso de aramètre λ ; calculer P X Y c Détermier la loi de X a loi biomiale B, ; b P X Y e λ λ! ; c loi de Poisso de aramètre λ U modèle simle de diusio de deux gaz dû à Ehrefest O cosidère deux ures A et B ; A cotiet boules blaches et B boules oires ; à chaque étae, o choisit ue boule das A et ue boule das B, et o les ermute : celle qui était das A asse das B, et réciroquemet O ote X le ombre de boules blaches das A arès étaes ; e articulier, X 0 O cosidère l'ue des boules blaches ; o déit U ar U si cette boule est das A arès étaes, U 0 sio ; e articulier, U 0 a Exrimer la loi de U + à artir de celle de U b Détermier l'esérace de U c Détermier l'esérace de X ; trouver lim E X ; comarer E X et sa limite 6

7 Soit P U ; + + ; + doc lim E X Deux dés e arallèle E X O disose de deux dés : u rouge et u bleu que l'o suose équilibrés O eectue ue successio de lacers de chacu des deux dés O aelle X le ombre de lacers écessaires our que le dé rouge amèe u six et Y le ombre de lacers écessaires our que le dé bleu amèe u six a Préciser la loi de chacue de ces variables aléatoires, leurs eséraces et leurs variaces Calculer, our tout etier aturel, P X > b O déit M mi X, Y : le ombre de lacers écessaires our que le remier des deux dés amèe u six et T Y X ; calculer, our tout etier aturel, P M > ; e déduire la loi de M ; réciser so esérace c Calculer, our tout etier aturel o ul et tout etier relatif i, P M T i E déduire la loi margiale de T ; vérier que Z P T i d Les variables aléatoires M et T sot-elles idéedates? a Loi géométrique ; E X 6 ; V X 30 ; P X > 5 6 q b P M q q : loi géométrique de aramètre q ; E M q c P M T i q + i ; P T i +q q i d Oui 3 Délacemets das le la U oit M se délace das le la mui d'u reère orthoormé O, i, j ; au déart, M O ; à chaque étae, il se délace d'u as das l'ue des quatre directios i, i, j, j ; ses coordoées arès délacemets sot des variables aléatoires réelles X et Y a Calculer P X, P Y, et P X Y ; X et Y sot-elles idéedates? b Trouver ue relatio etre E X et E X + ; calculer E X ; o ourra oser X+ X + U, où U est ue variable aléatoire réelle à réciser c Détermier P X 0 Y 0 a P X 4 ; P Y 4 ; P X Y 0 Doc X et Y e sot as idéedates b P U P U 4 ; P U 0 E X V X c P X 0 Y 0 est ulle si est imair ; si m : P X 0 Y 0 4 m m π Pour cela, o eut d'abord motrer que X + Y et X Y sot idéedates 4 La roulette russe a Joe et Bill jouet à la roulette russe avec u istolet à six cous qui cotiet ue seule balle O fait tourer le barillet ue seule fois au debut du jeu Soit la variable aléatoire égale à la durée du jeu Détermier la loi de et so esérace Joe joue le remier Quelle est la robabilité our que Joe meure le remier? Joe a-t-il réellemet itérêt à débuter le jeu? b O fait tourer le barillet avat chaque essai, mêmes questios 7

8 a Il s'agit d'ue loi uiforme sur [, 6] E 3, 5 ; robabilité our que Joe meure : 0,5 b Loi géométrique de aramètre 6 E 6 ; robabilité our que Joe meure : c'est la robabilité que soit imair ; o trouve 6 5 L'idicateur d'euler Soit ; o choisit de maière équirobable u des etiers comris etre et ; soit u diviseur de et A l'évéemet : le ombre choisi est divisible ar a Calculer P A b Motrer que si,, r sot les diviseurs remiers de, les évéemets A, A r sot mutuellemet idéedats c E déduire le calcul de ϕ a P A ; o ote B A ; P B b U etier est multile de,, j si et seulemet s'il est multile de leur roduit j c U etier est remier avec si et seulemet s'il 'est divisible ar aucu des j ; soit B l'évèemet ' est remier avec ' : r B j Ces évéemets état idéedats, B a our robabilité : P B 6 La foctio ζ de Riema B j r P B j j r j O xe u réel s > ; o déit ue robabilité sur ar P ζs o dit que P est la loi dzéta de s aramètre s Pour tout etier, o désige ar A l'esemble des multiles de a Justier que P est bie ue robabilité b Calculer P A our tout c Motrer que la famille A, où décrit l'esemble des ombres remiers P, est idéedate d E déduire que : P P, uis l'idetité d'euler : ζ s s P s j a Il est clair que b P A s ζs s c Soit,, r des ombres remiers disticts ; soit B j A j ; l'itersectio B r j B j est l'esemble des multiles de r ; avec b : r P B P B j j d Soit,, r les r remiers ombres remiers ; soit C r l'esemble des etiers qui e sot divisibles ar aucu des ombres,, r r P C r s j car c'est ue itersectio d'évèemets mutuellemet idéedats De lus, lim P C r P d'arès le théorème de cotiuité décroissate r j 8

9 7 Elimiatio directe Das u touroi, les joueurs sot oosés de la maière suivate La remière mache est disutée ar les joueurs J 0 et J Le gagat est oosé das la deuxième mache à u ouveau joueur J, le gagat de la deuxième mache est oosé à u joueur J 3, etc Le remier joueur à avoir remorté trois maches cosécutives remorte le rix Tous les joueurs sot de même force et chacu a doc ue robabilité de remorter ue mache à laquelle il articie Pour tout etier 0, o ote la robabilité que J joue au mois ue fois et q celle qu'il remorte le rix Calculer et q our 5 Si le joueur J joue, quels joueurs est-il suscetible d'aroter lors de la remière mache qu'il disute? 3 Motrer que our 4, o a Calculer our tout etier aturel les robabilités et q 5 Quelle est la robabilité our que le jeu e se termie as? s 0 3 ; ; ; q 8 Lors de la remière mache qu'il disute, si 4, J e eut aoter que J ou J 4 Pour 3 : La robabilité our que le jeu e se termie as est majorée ar ; e eet, si J e joue as, c'est que le jeu s'est termié avat Or ted vers 0, doc la robabilité our que le jeu e se termie as est ulle 8 Loi hyergéométrique H,, O se doe, et + ; ue ure cotiet boules gagates et boules erdates ; o ote la roortio de boules gagates O xe, - Motrer que 0 - O tire boules sas remise ; X est le ombre de boules gagates tirées ; trouver la loi de X 3- E déduire E X 4- Retrouver E X directemet 5- O suose maiteat xé, +, et 0 ]0, [ ; motrer que H,, coverge e loi vers ue loi biomiale - Utiliser le coeciet de X das + X + - P X 3- E X 4- X est la somme de variables suivat ue loi de Beroulli de aramètre 5- et sot xés ; o étudie P X Doc P X 0 0 9

10 9 L'ure de Polya Ue ure cotiet iitialemet ue boule blache et ue boule oire O tire au hasard ue boule, o ote sa couleur, uis o la remet das l'ure et o y ajoute ue ouvelle boule de cette même couleur ; il y a doc trois boules das l'ure O tire à ouveau au hasard ue boule, o ote sa couleur uis o la remet das l'ure avec ue ouvelle boule de cette même couleur, et aisi de suite Les tirages successifs sot suosés mutuellemet idéedats O ote X le ombre de boules blaches das l'ure à l'issue des remiers tirages ; détermier la loi de X O motre ar récurrece sur que our tout, X suit ue loi uiforme sur, + 30 Le collectioeur O commercialise des boîtes de chocolat coteat chacue ue image ; il y a images diéretes, umérotées de à ; u collectioeur achète des boîtes jusqu'à osséder toutes les images ; o e récise as s'il cosomme le chocolat O aelle le ombre total de boîtes achetées - Motrer que l'exériece se termie resque sûremet - O ote le ombre de boîtes qu'il faut acheter quad o ossède images distictes et qu'o veut ue image de lus ; détermier la loi de 3- Détermier l'esérace de - La robabilité que l'image j e soit as obteue à l'issue de achats est P A j, La robabilité que l'ue des images au mois e soit as obteue à l'issue de achats est : P j A j, j P A j, ε 0 La robabilité que l'exériece e se termie as est majorée ar ε our tout, doc vaut 0 - Il s'agit d'ue loi géométrique de aramètre 3- E, d'où E 0 3 Loi uiforme avec deux dés j j H l O lace deux dés qu'o e suose i idetiques i équilibrés ; motrer qu'il est imossible que la somme S suive la loi uiforme sur, O ourra utiliser les foctios géératrices Suosos l'existece Doc G G G S X X X X G X G X X X Par ailleurs, G X est u olyôme de degré 5 qui a doc au mois ue racie réelle ; mais X X 'a as de racie réelle, cotradictio 0