Correction exercices : probabilités

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1 Partie : Probabilités Exercice! et " sont incompatibles donc ;$! "& =0 Correction exercices : probabilités )$! "& =)$!& +)$"& )$! "& =0,+0, 0= 0, )$! & = )$!& = 0,8 et )$"4& = 0, Exercice ) On note la probabilité que soit tiré. insi, la probabilité que soit tiré est égale à ; la probabilité que soit tiré est, La somme des probabilités est égale à donc +++++= soit = et = 8 =. La probabilité d obtenir un est donc, soit ; = ) a. On note! l événement «le résultat d un lancer est pair». On a donc )$!& = ;. La situation est # modélisée sur l arbre ci-contre. )$!!& = = 4 b. Les deux tirages sont indépendants donc les probabilités sont multipliées entre elles : )$deux & = = 4 8 Exercice Si le jeton est tiré, pour que la somme soit égale à, il faut obtenir avec le dé ce qui se produit avec une probabilité égale à 8. On note! l événement «on obtient un». C Si le jeton est tiré, il faut que la somme des deux résultats de dés soit égale à 5. Un tableau représentant tous les tirages des deux dés montre que la probabilité que la somme soit 5 avec deux dés est $ soit 8. On note " l événement «la somme des deux tirages #C = de dés est 5». On obtient alors l arbre ci-contre. )= + = + 8 = + = 5 Exercice 4 )$D& =)$H444& 8 = )$H 8 & = 0,5 )$5& =)$H 8 H ; & =)$H 8 & +)$H ; & )$H 8 H ; & =0,5+0, 0,= 0,8 )$E& =)$H & 8 H ; = )$H 8 H ; & = 0,= 0, J J 5 8 Exercice 5 )! : «n obtenir aucun» ) chaque tirage, la probabilité de ne pas obtenir est K C. Les tirages sont indépendants donc )$! & =L K C M ) )$!& = )$! & = L K C M 4) O )$!& 0, 0,0 0,4 0,58 0,58 0,5 0, 0,

2 5) Il faut donc que! soit supérieur à 8 pour que #$%& soit supérieur à 0,5. Il faut donc au moins 8 dés. Exercice On construit l arbre ci-contre qui représente la situation. On note G et H le nom de l urne choisie et - le tirage d une boule blanche et I d une boule noire. U #$-& = + = + = 5 Exercice ) L arbre ci-contre représente la situation. % est le er joueur et - le ème joueur et l indice représente le nombre de doigts choisi. Les neuf tirages sont équiprobables. V On note ' l événement «% et - choisissent le même nombre de doigts». #$'& = = ) On note : «le nombre total de doigts est pair» #$& = 5 Exercice 8 ) La probabilité de gagner si on achète un billet sur les 00 alors qu il y a billets gagnant est ) La situation est représentée sur l arbre ci-contre. On note % «le er billet est gagnant» et - «le ème billet est gagnant». #$% -& = = = 85 Exercice 00 / : ) #$& = : > ) % : «obtenir au moins un en lançant deux dés» donc % : «n obtenir aucun en lançant deux dés». #$% & =@ > C = C donc #$%& = #$% & = C = :: #> #> #> ) - : «obtenir au moins un en lançant trois dés» donc -F : «n obtenir aucun en lançant trois dés». #$-F& =@ > # = :C C:> donc #$-& = #$- F& = :C C:> = =: C:> Exercice 0 On note J : la zone centrale, J C la zone intermédiaire et J # la zone extérieure. K LM = 0 C =00 K L8 = 0 C 0 C =00 K LO = 0 C 0 C =500 L aire totale de la cible est 0 C soit 00. #$J : & = :P =P = : = #$J C & = #P =P = : # et #$J #& = P =P = = Exercice ) Pour la ère amie, il y a choix possible pour son mois de naissance. Pour la ème amie, il y a aussi choix possible et de même pour la ème amie. Les mois de naissance étant indépendant les uns des autres, on multiplie entre eux les nombres de choix. Cela représente donc # choix, soit 8 possibilibés. ) % : «aucune des amies n est nées le même mois». 00

3 ) Pour la ère amie, il y a choix possibles. La ème amie n a plus que possibilités pour ne pas être née le même mois. La ème amie n a alors plus que 0 choix. Cela fait donc 0 possibilités, soit 0 4) &'( * =,#. =,.,,, = et &'(* = &'( * = =,/,/.Q,.,.,. /. /. /. 5) ombre de choix possible pour les 4 mois de naissances : $ ombre de choix possibles pour que les 4 mois soient différents : 0 &'( * =,.,,, = = donc &'(*,. = = $, =8 =8 =8 Pour cinq amies : &'( * =,.,,, = Q = Q= donc &'(* =,. S,$$,$$ Donc il faut au moins cinq amies pour que la probabilité qu au moins deux d entres elles soient nées le même mois soit supérieure à 0,5. ) &'(* = #8 #8$ #8# #$, 0,5 #8 8S Il y a donc plus d une chance sur deux pour que sur 5 personnes, au moins deux soient nés le même jour. Exercice ) On utilise l arbre ci-contre pour représenter les différentes possibilités. &'(* = 0 = 4 0 = 5 &'* = 0 = 5 &''* = = 4 0 = 5 On pouvait aussi calculer &''* à l aide de &'(* &'* ) Le nombre de pièces totale du sac est maintenant de E, il y a pièces de euro donc " pièces de euros. On obtient alors l arbre suivant : 0 0 a. % = /./ +./ / /-./.:-./. / = = b. ( est une fonction rationnelle de la forme U V avec +$-./ W: 4-,. donc W est dérivable sur )0; + ) et W Z -,. =4 et [:,,-,. donc [ est dérivable sur )0; + ) et [ Z -,. =, donc ( est dérivable sur )0; + ) et ( Z -,. = WZ -,.[-,. W-,.[ Z -,. [-,. = 4-,,. 4-,.-,. -,,. = 4, 4, 4-,, 4,+. -,,. = 4, 4, 8, +4,+, 8 -,,. = 4, +, 8 -,,. Le dénominateur est clairement positif donc ( Z -,. est du signe de 4, +, 8. Δ= 4%= =8 Donc 4, +, 8 est du signe de = 4 sauf entre les racines :, + =.]. _ ` car 8 = donc 8 = = 4 =8 4 et, =.]: _ ` =.+=O: #=Q.Q = 4 =.+=O. #=Q.Q =+ 4,

4 Signe de ( Z #,% + 0 Variations de ( D après le tableau de variations, ( présente un maximum en + 4 or + 4,5 donc le maximum de ( est atteint entre = et =4. Pour connaître la valeur maximale de 4, nous allons calculer les valeurs 4 # et 4 $ qui sont les deux maximums potentiels. 4 # = 4 = = 4 $ = 4 4 = Donc 4 # =4 $ et la valeur maximale de 4 est / # Exercice ) Un tirage simultané correspond à un tirage successif sans remise. : Pour un tirage d un mâle puis d une femelle, la probabilité est.. = =. : En effet, la probabilité de tirer un mâle en premier est et ensuite il ne reste plus que poussins dont femelles. Pour un tirage d une femelle puis d un mâle, la probabilité est La probabilité d obtenir deux sexes différents est =. :. = =. :. +. : :%#.% soit # = = =. = =. = #=.% ) Pour déterminer à quel moment la probabilité est maximale, on étudie la fonction 4#,% = #-.%#-:% -#=-.% de définition et # :%#.% #=.% = -8. définie sur ); + ). 4 est une fonction rationnelle donc est dérivable sur son ensemble = Z #,% =, #,=,% #4, %#, = % #, =,% = = 4,#, = 4, # +4,+, = #, =,% = =,= +4, #, =,% = Le dénominateur est clairement positif donc 4 Z #,% est du signe du numérateur I#,% =, = +4,. Pour étudier le signe de I, on calcule Δ =4 = 4 # % # % = donc I est du signe de = sauf entre les racines, =.$: = = et,.= = =+., + + Signe de 4 Z #,% + 0 Variations de 4 0 Comme +, et que est un nombre entier, la probabilité " va être maximale soit pour # =, soit pour #=4. Calculons les deux valeurs : "'( = ) $ = Q # - 0,5 et "'4( = = /- 0,5 # - /- $ / )Q Il faut donc que # soit égal à 4 pour que la probabilité d obtenir deux poussins de sexes différents soit maximale. On aura alors 5 mâles et femelles. Partie : Variables aléatoires, espérance, écart-type Exercice La somme des probabilités est égale à donc "'0 =( = '0, + 0, + 0, + 0,( = 0, ;'0( = 0, 0,+ 0,+ 0,+ 0,= 0, H'0( = ' ( ) 0,+' ( ) 0,+ ) 0,+ ) 0,+ ) 0, 0, ) =0,4+0,+0,+0,8+,8 0,8=, donc a'0( =,,4 Exercice

5 La somme des probabilités est égale à donc 0,5 + 0, + 0,5 + + = ou encore +=0,. L espérance est nulle donc 0,5 0, + 0,5 + + = 0 ou encore + = 0,5 On résout le système : +=0, b + = 0,5 b =0, 00, +=0,5 b =0, =0,5 b 0, + = 0,5 =0,05 Exercice ) Pour la ère question, il y a choix. Pour la ème question, il y a choix. Pour la ème question, il y a choix et pour la 4 ème question, il y a choix. Ce qui fait un total de $ choix, soit ) a. Il n y a qu une seule possibilité pour avoir tout juste donc 04 = 5 5 b. Il n y a aussi qu une possibilité pour avoir tout faux donc 0 = 5 5 c. Il y a 4 possibilités d avoir exactement une réponse juste : soit elle est pour la ère question, soit la ème, soit la ème et soit la 4 ème D où 0' = $ 5 = 5 $ d. L événement d correspond à «ne pas avoir de réponses correctes», autrement dit d = d où 0d = 5 5 et donc 0 = 0 d = 5; 5 ) a. Si on a 4 réponses justes, on a 0 points. Si on a réponses justes et une fausse, on a points ( 5 ). Si on a deux réponses justes et deux fausses, on a 4 points ( 5 ). Si on a trois réponses fausses et une juste, on a 0 (le total est 5 = 4 donc on ramène la note à 0). Et si on a quatre réponses fausses, on a également 0. Donc 0 f0; ; 4; 0g b. Loi de probabilité de 0 : 00 =0 =04 = 5 5 ; 00 = = $ 5 = 5 $ en raisonnant comme pour l événement '. 00 =4 = = # car les deux réponses justes sont choisies parmi les quatre possibles d où 5 Q h$ i possibilités, soit. E 00 =0 = = ; car ce cas regroupe les deux événements et '. $ 5 5 c. G00 = $ +4 # Q +0=; + 5E + = E# = 5,5 $ $ $ $ Exercice 4 ) j k 5,5,5,5,5,5 5,5 05 = j k ) G05 = 5,5 5,5 5,5 5 +,5 5 +,5 5 +5,5 5 =0 Donc le jeu est équitable. Exercice 5 ), k & + 8 & 0 & 00 =, k 4 5 = ) G00 = l:5q + El 5# 5# +0 =l = 5Q.l 5# 5# ) G00 =0 8 &=0 &= Si la mise est de, alors le jeu est équitable., k =, k 4 8

6 Exercice a. Il y a 4 valeurs possibles pour et autant pour, cela donne donc équations possibles. Elles sont équiprobables car elles sont toutes différentes et les dés sont équilibrés. b. On représente tous les tirages possibles dans un tableau et le calcul de Δ correspondant à ' 4 Les valeurs possibles pour 0 sont 0; et. 0=0 quand Δ <0 0= quand Δ =0 0= quand Δ >0. On a donc, k 0 0 =, k 4 = 5 8 a b Exercice Une urne contient 5 boules rouges et 8 54 boules noires. (8 5) / Tirage avec remise ) ) ;4 = <.< +.< < 8 ) ( est de la forme U avec W :, 0, 54 V dérivable sur avec W Z,4 =0 et [ :,, ' dérivable sur o5 ; + o avec [ Z,4 =, donc ( est dérivable sur p5 ; + o et ( Z,4 = 0,', 0, 54, $ = 0,' +00,, $ 0, + 00 =, # Le dénominateur est clairement positif donc ( Z,4 est du signe de 0, + 00., ( Z,4 + 0 ' ; a le plus de chance de se réalise pour 8 =0 donc quand il y a autant de boules noires que de boules rouges. / Tirage sans remise ) Pour le er tirage, il y a 8 possibilités et il y en a 8 au ème tirage ; ceci fait donc 88 4 soit 8 ' 8 tirages possibles. ) ) ;4 = <.< =.@.@. 4), k 0 =, k ' ' 8 8 ' 8 emarque : pour calculer 0 = 4, on utilise que la somme des probabilités est égale à S04 = 8 ' 8 8' ' = ' ' 8 = 8' ' 8 S04 =0 8 ' +8 50=0 4/n- - - n-4/n-

7 Δ= donc il y a deux solutions : & ' =.#':'= = et &, =.#'.'= =5 Il faut donc qu il y ait ou 5 boules pour que le jeu soit équitable. Exercice 8 ) L urne contient boule rouge et 0 boules blanches, soit boules au total. a. Voir ci-contre.., b. /00 =0 ' ' =0 '' '' ) L urne contient &+ boules. a. Voir ci-contre b. /00 = ' = '. :' :' :' c. / & 0 car &+ 0 & 0 Il faut donc qu il y ait moins de 0 boules blanches pour que l espérance soit positive. d. /00 = ' '., :' = ' 00 & = 0&+ &= &=, Il faut qu il y ait boules blanches pour que l espérance soit égale à '.,.,, k 0 >00 =, k 0, k 0 >00 =, k & & + & +