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1 5.1 Activités Activité n 1 : Découverte Depuis le théorème de Pythagore, vous avez appris à utiliser la touche racine carrée de votre calculatrice. De plus, vous avez été surpris(e) par certaines réponses. Par exemple, en tapant 8, vous obtenez. En effet, votre calculatrice essaie de donner la valeur exacte du calcul demandé. Un autre exemple, si vous tapez cos60, vous obtenez. Encore une racine carrée! Mais que connaissez-vous sur cette racine carrée? Une petite mise au point s impose. 1. Quelle est la différence entre et 1,414?. Pouvez-vous trouver un nombre dont le carré est 16?. Que signifie résoudre l équation x = 400? 4. Déterminer toutes les solutions à cette équation x = Calculer la longueur de l hypoténuse d un triangle rectangle dont les deux côtés de l angle droit mesurent respectivement 16 et Pourquoi avez-vous donné seulement une des deux solutions à l équation x = 400? 7. Les mathématiciens notent cette solution positive 400 et ils l appellent racine carrée de Donner alors une première définition à la racine carrée d un nombre a. 9. Quelle condition devez-vous poser quant au nombre a? 10. Compléter la définition suivante : Soit a un nombre... Le nombre... dont le... est égal à a est la... de a. On note ce nombre D un point de vue historique, c est le mathématicien allemand Christoph Rudolff ( ) qui introduisit en 155 la notation pour la racine carrée. En 167, un philosophe et mathématicien français ajoute la barre du haut pour former le symbole. appelé radical. Il nomme le nombre sous le radical, le radicande. Quel est le nom de ce célèbre scientifique ( )? 1. Avez-vous compris? a) Soit un nombre positif dont le carré est 49. Que dire de ce nombre? b) Recopier et compléter : 6 = 6 donc 6 = = 11 donc... = 11 c) Recopier et compléter : 9 =... 5 =... 1 =... 0 =... d) Recopier et compléter : 4 =... 9 =... 1,7 =... Avec a un nombre positif, a =... e) Recopier et compléter : =... Avec a un nombre positif, a =... f ) Encadrer 4 par deux nombres entiers consécutifs. g) Quelle expressions sont fausses : 7 =...,6 =... (1) 49 = 7 () 9 = () ( 5) = 5 (4) 0,1 = 0,01 h) Dans le cas où un nombre entier possède sa racine carrée entière, on dit que ce nombre entier est un carré parfait. Par exemple, 11 est un carré parfait puisque sa racine carrée est un nombre entier. En effet, 11 = 11. Citer tous les carrés parfaits compris entre 0 et 56. N. SANS page 1 Lycée Jean Giono Turin

2 Activité n : Racines carrées et opérations usuelles... Partie A : la multiplication 1. Compléter le tableau suivant : a b a b a b a b a b Que pouvez-vous conjecturer?. Démonstration : 0, a) Montrer que ( a b) = a b. b) Que dire du signe de a b? c) En déduire que a b = a b. 4. Avez-vous compris? Recopier et compléter : La racine carrée d un... est égale au produit des... 1 = =... Partie B : la division Par une démarche analogue, prouver que la racine carrée d un quotient est égale au quotient des racines carrées. Calculer les expressions suivantes : a) b) c) 0 9 Partie C : la somme On choisit a = 9 et b = Calculer a+ b.. Calculer a+b.. Que constatez-vous? Effectuer un bilan. 4. Une extension : Pour calculer 169 5, Julien dit que cette différence est égale à 144. A-t-il raison? Justifier! Activité n : Équation du type x = a Quels sont les nombres dont le carré est 49? 5? 7?. Existe-t-il des nombres dont le carré est -9? - 6? Justifier!. Selon toi, combien existe-t-il de solution(s) pour les équations suivantes : a) x = 16 b) x = 1 c) x = 0 d) x = Factoriser x 10 puis résoudre l équation x = Combien de solution possède l équation (x+) = 5? 6. Résoudre cette équation (x+) = 5. N. SANS page Lycée Jean Giono Turin

3 5. Des exercices d application directe Exercice n 1 : Définitions Soit le nombre 5, mettez-le au carré puis prenez la racine carrée du résultat. Recommencer avec 10. Puis avec 0,4. Que remarquez-vous? Justifier!. Soit le nombre 6, prenez la racine carrée de ce nombre, puis mettez le résultat au carré. Recommencer avec 11. Puis avec 0,81. Que remarquez-vous? Justifier!. Calculer A = 15 B = ( 1) C = 5,7 5,7 D = ( 4,1) 4. Calculer A = 49 B = 144 C = 0, Recopier et compléter :... = 1... = = 8 Exercice n : Un tableau de compréhension Compléter directement le tableau sur la fiche. x 16 x 5 x 49 Exercice n : De la réduction utile... Réduire, si possible, les expressions suivantes. A = ( 7) B = ( 7) C = (5 ) D = 4 5 E = 4+5 F = 7 5 Exercice n 4 : Calculer avec des racines carrées Soit A = x x+4. Calculer A pour x = 7 puis pour x =.. Développer et réduire : B = ( ) C = (1 ) D = ( +5) E = (4 )(4+ ). Exercice n 5 : Comme au brevet... Soit a = + 7 et b = 7 1. Calculer a puis b.. Calculer a b.. Quels résultats sont des nombres entiers? 5. Utiliser les formules et simplification Exercice n 6 : Du basique En utilisant les formules et sans calculatrice, exprimer sous la forme d un nombre entier les expressions suivantes : A = 18 B = 0,5 C = 6,5 D = 6 9 E = En utilisant les formules et sans calculatrice, simplifier et donner le résultat sous la forme d un entier les expressions suivantes : A = B = C = D = N. SANS page Lycée Jean Giono Turin

4 Exercice n 7 : Une simplification guidée Recopier et compléter les égalités suivantes afin d obtenir un produit de deux entiers positifs dont le premier est un carré parfait. a) =... b) 500 =... 5 c) 75 = d) 80 = Écrire les nombres suivants sous la forme a b où a et b sont deux entiers positifs, b étant le plus petit possible. a) b) 500 c) 75 d) 80. Avez-vous compris? Écris les nombres suivants sous la forme a b où a et b sont deux entiers positifs, b étant le plus petit possible. a) 8 b) 50 c) 98 d) 147 Exercice n 8 : Réduire une somme avec des radicaux Une trivialité! Écris les expressions suivante sous la forme a ou a avec a un entier relatif. a) A = 4 b) B = c) C = 7 9 d) D = Exprimer sous la forme a avec a un nombre entier.. En déduire une réduction de la somme A = Exprimer chaque expression suivante sous la forme a b avec b le nombre entier le plus petit possible. a) A = b) B = c) C = Des utilisations Exercice n 9 : En géométrie.... Le triangle MNP est tel que MP = 5, MN = 66 et NP = 669. (les unités sont en centimètre). 1. Montrer que le triangle MNP est rectangle.. Donner la valeur exacte de son aire, puis sa valeur arrondie au dixième, en centimètres carrés. Exercice n 10 : Une formule à connaître par cœur... Soit un carré ABCD de coté a. L objectif est de déterminer une formule pour obtenir la longueur de ses diagonales. 1. Soit a = 5cm. Déterminer la mesure exacte d une des ses diagonales.. Recommencer avec a = 7cm.. Conjecturer une formule pour obtenir la mesure exacte des diagonales d un carré de côté mesurant a. 4. Prouver cette conjecture. Exercice n 11 : Vitesse cinétique La formule de l énergie cinétique d un corps est E c = 1 mv avec E c l énergie cinétique en joules, m la masse du corps en kilogrammes et v la vitesse en mètres par seconde. 1. Rappeler la signification de l énergie cinétique.. Un hippopotame pesant 500 kg peut-il avoir la même énergie cinétique qu un guépard pesant 50 kg et se déplaçant à 14 m/s? N. SANS page 4 Lycée Jean Giono Turin

5 Exercice n 1 1. Avec votre calculatrice, calculer : La nature a horreur du vide et les mathématiques des radicaux au dénominateur Prouver ce résultat!. À vous de jouer, écrire les quotients suivants avec un dénominateur entier. a) A = b) B = 5 7 c) C = 5. Encore plus fort! Avec votre calculatrice, calculer 1 1. Encore une fois, prouver ce résultat! 4. À vous de jouer, écrire les quotients suivants avec un dénominateur entier. a) A = 5. Les nombres b) B = 1 et + sont-ils égaux? c) C = 1 Exercice n 1 : Avec la trigonométrie... L objectif est de déterminer les valeurs exactes de certains lignes trigonométriques. 1. Avec votre calculatrice, calculer cos45 et sin45.. Nous allons prouver ces deux valeurs. Soit ABC un triangle rectangle et isocèle en A avec AB = 1 cm. Avec une astuce, donner la valeur exacte de BC. Quel est la mesure des angles ÂBC et ÂCB? Avec les formules de trigonométrie, déterminer la valeur exacte de cos45 et de sin45.. Avec votre calculatrice, calculer cos60 et sin Nous allons prouver ces deux valeurs. Soit ABC un triangle équilatéral de côté 1 cm et H le milieu de segment [BC]. Montrer que ABH est un triangle rectangle en H. Montrer que AH =. Quelle est la mesure de l angle ÂBH? En déduire les valeurs exactes de cos60 et sin Nous avons vu que pour deux angles complémentaires, le sinus de l un est égal au cosinus de l autre. Que pouvez-vous en déduire pour les valeurs exactes de cos0 et sin0. 6. Et maintenant, déterminer les valeurs exactes de tan0, puis tan45 et enfin tan Compléter alors le tableau suivant : Angle x cosx sinx tanx N. SANS page 5 Lycée Jean Giono Turin

6 5.5 Et au brevet SVP Exercice n 14 : centres étrangers Partie A : On donne A = (x ) (x )(1+x). 1. Développer et réduire A.. Avec la forme développée de A, calculer A pour x =. Prouver que l expression factorisée de A est : (x )( x 4). 4. Résoudre l équation A = 0. Partie B : 1. On donne B = a) Sophie pense que B peut s écrire plus simplement sous la forme. Prouver que Sophie a bien raison. b) Éric pense que Sophie a raison car, avec sa calculatrice, lorsqu il calcule , il trouve deux fois le même résultat : 5, Que penser du raisonnement d Eric?. On donne C = Sophie et Éric calculent C : Sophie trouve 1 et Éric trouve 4. Qui a raison? Justifier. Exercice n 15 : Centres étrangers Questions enchaînées On pourra utiliser les résultats donnés à certaines questions pour continuer le problème Dans tout l exercice, l unité de longueur est le centimètre. ABC est un triangle tel que AB = 6 cm, BC = 10 cm et ÂBC = 10. La hauteur issue de A coupe la droite (BC) au point H. La figure ci-dessous n est pas en vraie grandeur. A C B H 1. Tracer la figure en vraie grandeur.. a) Calculer la mesure de l angle ÂBH. En déduire que BH =. b) Prouver que AH =, puis calculer l aire du triangle ACH (on donnera la valeur exacte). c) Prouver que AC = 14.. M est un point du segment [BC] tel que CM = 6,5. La parallèle à (AH) passant par M coupe le segment [AC] en N. a) Compléter la figure. b) Prouver que NM =. c) Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Déterminer l aire du trapèze AHMN. Donner une valeur approchée à l unité près de cette aire. N. SANS page 6 Lycée Jean Giono Turin

7 5.6 Équations du type x = a Exercice n 16 : Du vocabulaire..... Les questions suivantes sont indépendantes. 1. Trouver tous les nombres dont le carré est égal à 6.. Mentalement, résoudre l équation x = 5.. Existe-t-il des nombres réels tels que leur carré soit 100? Exercice n 17 : De la pratique Dans l ensemble des réels, résoudre les équations suivantes : 1. x = 9. x = 5. x = 0 4. x = π 5. x = x = x 5 = x = 6x +45 Exercice n 18 : Astuce Julien cherche tous les nombres tels que : le carré de la somme du triple de ce nombre et de 1 soit égal à 16. Certains élèves ont cherché à résoudre l équation : (x+1) = 16. Ils ont alors écrit que cette équation était équivalente à x+1 = 4. Ensuite, ils ont trouvé que x = 1. Qu en pensez-vous?. Dans l ensemble des réels, résoudre astucieusement les équations suivantes : a) (x+1) = 9 b) (x+9) = 0 c) (x 1) = 5 d) 4(t ) 6 = De la recherche Exercice n 19 : La hauteur d un triangle équilatéral.... Soit un triangle équilatéral dont le côté mesure a. Montrer que la hauteur mesure a. Exercice n 0 : Ensemble de nombres Faire une recherche sur les différents ensembles de nombres vus jusqu à la troisième. Les ensembles sont : N, Z, D, Q et R.. Déterminer à quel ensemble (le plus petit possible) appartiennent les nombres suivants : a),8 b) 5 c) 6 d) π e) f) 0, Exercice n 1 : irrationnel ;-) Nous allons prouver que est un nombre irrationnel à l aide d un raisonnement par absurde. Supposons que soit un nombre rationnel. Cela signifie qu il existe a et b deux entiers naturels premier entre eux tels que = a b. 1. Démontrer que, dans ce cas, on aurait a = b.. En étudiant les derniers chiffres possibles de a et de b, démontrer que l on ne peut pas trouver deux entiers a et b premiers entre eux tels que a = b.. Conclure. N. SANS page 7 Lycée Jean Giono Turin

8 1. Correction exercice 15 A N C M 10 B H. a) = 60. L angle ÂBH mesure 60 degrés. b) Le triangle ABH est rectangle en H, on peut donc appliquer la trigonométrie : sinâbh = AH AB d où sin60 = AH 6. Or sin60 =, donc = AH 6 = AH. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABH, rectangle en H, on trouve : AB = AH + BH soit 6 = ( ) + BH. Soit BH = 6 ( ) = 6 9 = 6 7 = 9. Donc BH = cm. Comme les points C, B et H sont alignés dans cet ordre, CH = CB+BH = 10+ = 1 cm. L aire du triangle ACH rectangle en H est donc : CH AH = 1 = 9 cm. c) En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ACH, rectangle en H, on trouve : AC = AH + CH = ( ) +1 = = 196 donc AC = 196 = 14 cm.. a) Voir figure. b) On reconnaît une configuration de Thalès dans les triangles CNM et CAH. Comme les droites (MH) et (NA) sont sécantes en C. De plus (NM) // (AH), on peut donc appliquer le théorème de Thalès. NM AH = CM NM soit CH = 6,5 1 donc NM = 6,5 1 = 6,5 = c) Première méthode, grâce à la formule de l aire du trapèze : (grande base + petite base) hauteur = (AH+NM) MH. AH = ; NM = =. AH = ; MH = CH CM = 1 6,5 = 6,5. L aire ( du trapèze AHMN est donc : ) ( + 6 ) 6, = = = cm Deuxième méthode : pour calculer l aire du trapèze AHMN, on soustrait à l aire du triangle rectangle CAH (calculée dans la question b), celle du triangle rectangle CMN. L aire du trapèze AHMN est donc : 9 9 CM NM 9 8 = 9 = ,5 = = 9 5 cm. 1,5 = 9 19,5 4 = N. SANS page 8 Lycée Jean Giono Turin

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