U.F.R. Economie Appliquée. Econométrie Appliquée Séries Temporelles

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1 U.F.R. Economie Appliquée Maîtrise d Economie Appliquée Cours de Tronc Commun Econométrie Appliquée Séries Temporelles Christophe HURLIN

2 Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 2 Chapitre 3 Identification des Processus ARMA

3 Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 3 La méthode d identification de Box et Jenkins (1976) est fondée sur la comparaison des moments empiriques de la série considérée aux moments théoriques associés aux différentes représentations potentielles. On se concentre ici sur les moments d ordre deux résumés par la fonction d autocorrélation (FAC) et la fonction d autocorrélation partielle (FAP). 1. Fonction d autocorrélation et fonction d autocorrélation partielle 1.1. Fonction d autocorrélation Définition Definition 1.1. La fonction d autocorrélation d un processus (x t,t Z), de moyenne E (x t )= m, notéeρ (k) ou ρ k, est définie par k Z : ρ (k) =ρ k = γ (k) (1.1) γ (0) avec ρ (k) [ 1, 1], et où γ (k) =γ k désigne la fonction d autocovariance, k Z : γ (k) =γ k = E [(x t m)(x t k m)] Remark 1. Les fonctions γ (k) et ρ (k) sont symétriques k Z : γ (k) =γ ( k) et ρ (k) = ρ ( k) Estimateur Definition 1.2. L estimateur de la fonction d autocorrélation, noté ρ (k) ou ρ k, obtenu pour un échantillon de T réalisations du processus (x t,t Z), est donné par k Z : γ (k) ρ (k) = γ (0) où γ (k) (ou γ k ) désigne l estimateur de la fonction d autocovariance k Z + (1.2) avec γ (k) = 1 T k (x t x t )(x t k x t k ) T k t=1 x t k = 1 T k T k t=1 x t

4 Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 4 D après le théorème central limite, la variable centré t ρk suit une loi normale centrée réduite : t ρk = ρ k ρ k L N (0, 1) k Z (1.3) V ( ρ k ) 1 2 T où V ( ρ k ) désigne l estimateur de la variance empirique des estimateurs ρ k : V ( ρ k )= 1 T K j= K En utilisant la symétrie des ρ k, on montre que : V ( ρ k )= 1 K 1+2 T ρ 2 j avec K<k (1.4) ρ 2 j j=1 (1.5) Proposition 1.3. La statistique de Student associée au test H 0 : ρ k =0, est donnée par : t ρk = ρ k V ( ρ k ) 1 2 L N (0, 1) k T Z Au seuil α =5%, si t ρk 1.96, on rejette l hypothèse H0, c est à dire la nullité de ρ k Fonction d autocorrélation partielle Définition L autocorrélation partielle d ordre k désigne la corrélation entre x t et x t k obtenue lorsque l influence des variables x t k i, avec i<k,a été retirée. Definition 1.4. L autocorrélation partielle d ordre k d un processus (x t,t Z), de moyenne E (x t )=m, notéep (k) ou p k, est définie par le dernier coefficient de la projection linéaire de x t+1 sur ces k plus récentes valeurs. k Z : x t+1 m = c 1 (x t m)+c 2 (x t 1 m) c k 1 (x t k m)+p k (x t k+1 m) (1.6) ou de façon équivalente par : c 1 c 2. = p k γ 0 γ 1. γ k 1 γ 1 γ 0. γ k γ k 1 γ k 2. γ 0 1 γ 1 γ 2. γ k = 1 ρ 1. ρ k 1 ρ 1 1. ρ k ρ k 1 ρ k ρ 1 ρ 2. ρ k (1.7)

5 Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 5 Remark 2. Pour un processus centré, la FAP est une fonction telle que k Z, p (k) [ 1, 1] Corollary 1.5. De façon générale, la fonction d autocorrélation partielle d un processus stationnaire (x t,t Z) satisfait la relation p k = P k P k k N (1.8) avec et P k = P k = 1 ρ 1. ρ k 1 ρ ρ k ρ 1. ρ 1 ρ 1 1. ρ ρ k 1. ρ k Remark 3. Les trois premières autocorrélations partielles sont donc déterminées par les relations suivantes : p 1 = ρ 1 (1.9) p 2 = ρ 2 ρ ρ 2 1 p 3 = ρ3 1 ρ 1 ρ 2 (2 ρ 2 )+ρ 3 (1 ρ 2 1) 1 ρ 2 2 2ρ 2 1 (1 ρ 2 ) (1.10) (1.11) Estimation Proposition 1.6. Un estimateur naturel p k de l autocorrélation partielle p k du processus (x t,t Z) consiste en l estimateur des MCO du dernier paramètre de la régression : x t+1 = c + p 1 x t + p 2 x t p k x t k+1 + ε t k Z (1.12)

6 Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 6 Apartirdelarelation(??), une autre façon d obtenir les estimateurs p k consiste à utiliser les estimateurs des autocorrélations ρ k de la façon suivante : p k = P k k N (1.13) P k avec 1 ρ 1. ρ k 1 P k = ρ ρ k 1. 1 et P k = 1 ρ 1. ρ 1 ρ 1 1. ρ ρ k 1. ρ k Cas particulier d un AR(p) Pour un AR (p) les coefficients p k pour k > p, sont distribués selon une loi normale de moyenne nulle et de variance : var ( p k ) 1 T k>p 2. Les caractéristiques des processus AR(p) On considère un processus (x t,t Z) stationnaire représenté par un AR (p) tel que : avec ε t i.i.d. (0, σ 2 ε). On pose x t = c + φ 1 x t φ p x t p + ε t Φ (L) x t = c + ε t avec avec φ 0 =1. Φ (L) =φ 0 p φ il i =1 φ 1 L φ 2 L 2... φ p L p i=1 Si le processus x t est stationnaire, alors toutes les racines du polynômes Φ (L) sont strictement supérieures à 1 en module, ce qui implique en particulier que Φ (1) = 0, dès lors m = E (x t )= c Φ (1) = c φ 0 p i=1 φ i = c 1 φ 1 φ 2... φ p (2.1)

7 Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin Fonction d autocorrélation Proposition 2.1. Lesautocovariancesetlesautocorrélationsd unprocessusar (p)(x t,t Z) satisfont la même équation aux différences homogènes que le processus lui même Fonction d autocovariance On cherche tout d abord à déterminer la fonction d autocovariance γ k = E [(x t m)(x t k m)] k Z (2.2) Proposition 2.2. La fonction d autocovariance γ k d un processus AR (p) (x t,t Z) satisfaitunerelationderécurrencedelaforme: φ1 γ γ k = 1 + φ 2 γ 2... φ p γ p + σ 2 ε k =0 (2.3) φ 1 γ k 1 + φ 2 γ k φ p γ k p k>0 avec γ k = γ k, k Z Preuve : On considère la définition de x t : D après la définition de la fonction γ k, on a k >0 x t = c + φ 1 x t φ p x t p + ε t (2.4) γ k = E [(x t m)(x t k m)] = E (cx t k )+φ 1 E (x t 1 x t k )... + φ p E (x t p x t k )+E(ε t x t k ) = φ 1 γ k 1 + φ 2 γ k φ p γ k p puisque E (ε t x t k )=0car x t k ne dépend que des ε t k j avec j 0. De la même façon : γ 0 = E (x t m) 2 = E (cx t )+φ 1 E (x t 1 x t )... + φ p E (x t p x t )+E(ε t x t ) = φ 1 γ k 1 + φ 2 γ k φ p γ k p + E (x t ε t ) = φ 1 γ k 1 + φ 2 γ k φ p γ k p + σ 2 ε car E (x t ε t )=σ 2 ε puisque x t peut s écrire sous la forme d une somme pondérée des chocs passés (théorème de Wold) : x t = Φ (L) 1 ε t = θ j ε t j avec θ 0 =1 j=

8 Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin Fonction d autocorrélation On sait que par définition : ρ (k) = γ (k) γ (0) (2.5) Proposition 2.3. La fonction d autocorrélation, notée ρ (k) ou ρ k, d un processus AR (p) (x t,t Z) satisfait une relation de récurrence de la forme : 1 k =0 Φ (L) ρ k =0 ρ k = φ1ρk 1 + φ2ρk φpρk p k Z (2.6) Ces relations sont connues sous le nom d équations de Yule-Walker. L autocorrélation d ordre k est donc déterminée par une équation aux différences homogènes d ordre k dont on peut donner la solution générale. Proposition 2.4. Si le polynôme Φ (L) admet p racines distinctes (λ i ) p i=1, l autocorrélation d ordre k est déterminée par la relation ρ k = A 1 1 λ 1 k + A 2 1 λ 2 k A p 1 λ p k (2.7) où les paramètres (A i ) p i=1 sont des constantes déterminées par les conditions initiales. Corollary 2.5. Suivant les valeurs des racines λ i on obtient deux cas : Si λ i est une racine réelle telle que λ i > 1, alors le produit A i λ k i décroit avec k et tend vers 0 (exponentielle amortie). Si λ i est une racine complexe de module strictement supérieur à l unité, on obtient alors une sinusoïde amortie Fonction d autocorrélation partielle Proposition 2.6. Les autocorrélations partielles, notés p k, d un processus AR (p) x t = c + φ 1 x t φ p x t p + ε t sont nulles pour tout ordre supérieur à p (p k =0, k >p)etnon nulles pour tout ordre inférieur à p. De plus on a p p = φ p (2.8)

9 Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 9 Preuve : Il suffit d identifier membres à membres les termes de la définition de la FAC et celle du processus x t. x t = c + φ 1 x t φ p x t p + ε t ce qui peut se récrire sous la forme x t+1 m = φ 1 (x t m)... + φ p (x t p+1 m)+ε t Dèslorslederniercoefficient de la projection linéaire de x t+1 sur les p plus récentes valeurs est égal à φ p. Remark 4. La fonction d autocorrélation partielle d un AR (p) s annule à l ordre p Les caractéristiques des processus MA(q) On considère un processus (x t,t Z) stationnaire, d espérance E (x t )=m, représenté par un MA(q) tel que : x t = m + ε t θ 1 ε t 1... θ q ε t q (3.1) avec ε t i.i.d. (0, σ 2 ε). On pose x t = c + Θ (L) ε t avec Θ (L) =1 θ 1 L θ 2 L 2... θ p L p avec θ 0 = Fonction d autocorrélation Fonction d autocovariance Proposition 3.1. La fonction d aucovariance γ k d un processus MA(q) (x t,t Z) défini par x t = m + ε t θ 1 ε t 1... θ q ε t q est donnée par la relation : 1+θ θ θq 2 σ 2 ε k =0 γ k = ( θ k + θ 1 θ k θ q k θ q ) σ 2 ε 0 <k q (3.2) 0 k>q

10 Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 10 Preuve : Pour obtenir ce résultat, il suffit derappelerquee (ε t ε t j )=0si j = 0et E ε 2 t j = σ 2 ε, j. On a : γ (k) = E [(x t m)(x t k m)] = E [(ε t θ 1 ε t 1... θ q ε t q )(ε t k θ 1 ε t 1 k... θ q ε t q k )] En developpant cette expression on retrouve le résultat général énoncé ci-dessus Fonction d autocorrélation Proposition 3.2. La fonction d autocorrélation ρ k d un processus MA(q) (x t,t Z) défini par x t = m + ε t θ 1 ε t 1... θ q ε t q est donnée par la relation : ρ k = γ k γ 0 = 1 θ k +θ 1 θ k θ q k θ q 1+θ 2 1 +θ θ2 q 0 k =0 0 <k q k>q (3.3) Remark 5. La fonction d autocorrélation d un MA(q) s annule à l ordre q Fonction d autocorrélation partielle Proposition 3.3. La fonction d autocorrélation partielle p k d un processus MA(q)(x t,t Z) défini par x t = m + ε t θ 1 ε t 1... θ q ε t q se comporte comme une exponentielle ou une sinusoïdale amortie. 4. Les caractéristiques des processus ARMA (p, q) On considère un processus (x t,t Z) stationnaire, d espérance E (x t )=m, représenté par un ARMA (p, q) tel que : x t φ 1 x t 1... φ p x t p = m + ε t θ 1 ε t 1... θ q ε t q (4.1) avec ε t i.i.d. (0, σ 2 ε). On pose Φ (L) x t = c + Θ (L) ε t

11 Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin Fonction d autocorrélation Fonction d autocovariance Proposition 4.1. La fonction d autocovariance γ k d un processus stationaire ARMA (p, q) (x t,t Z) satisfait une relation de récurrence de la forme : γ k = φ 1 γ k 1 + φ 2 γ k φ p γ k p k>q (4.2) On a donc la même relation de récurrence que pour un AR (p) (équations de Yule Walker), mais cette dernière n est valable que pour des ordres supérieurs à q. Cette relation n est pas valable pour k q en raison de la corrélation entre x t j et θ j ε t j Fonction d autocorrélation Proposition 4.2. La fonction d autocorrélation ρ k d un processus stationaire ARMA (p, q) (x t,t Z) satisfait une relation de récurrence de la forme : ρ k = φ 1 ρ k 1 + φ 2 ρ k φ p ρ k p k>q (4.3) Tout comme pour le cas de l AR (p), on peut obtenir une solution à cette équation. Lorsque les p racines sont distinctes, cette solution est de la forme k k k ρ k = A 1 + A A p k>q (4.4) λ 1 λ 2 λ p où les paramètres (A i ) p i=1 sont des constantes déterminées par les conditions initiales et où les paramètres (λ i ) p i=1 désignent les p racines distinctes du polynôme associé à la composante autoregressive du processus : Φ (L) =0. Mais dans ce cas les valeurs initiales ρ 1...ρ q sont différentes de celles obtenus pour l AR (p) et les constantes (A i ) p i=1 sont donc elles mêmes différentes.

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