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1 Les nombres Table des matières 1Evolution des chiffres de l'inde à l'europe...2 2Numération de position...3 1Écriture des nombres entiers :...3 2Nombres particuliers (impairs et pairs)...3 3Règle d'écriture...3 4Quelques grands nombres...3 5Règles d orthographe...4 3Les nombres décimaux...5 1Fraction décimale...5 2L écriture décimale...5 3Zéros inutiles...6 4La demi-droite graduée...7 1Tracer une demi-droite graduée...7 2Repérer un point sur une demi-droite graduée...7 5Ranger les nombres...8 1Comparer deux nombres...8 Méthodes (parties entières différentes)...8 Méthodes 1 (parties entières égales)...8 Méthodes 2 (parties entières égales)...8 2Ranger des nombres...8 6Troncatures, encadrements et valeurs approchées...9 1Tronquer un nombre...9 2Encadrer des nombres décimaux...9 3Valeurs approchées d un nombre décimal...9 4Arrondi d'un nombre décimal Les nombres.odt clicprof.free.fr 1/10

2 1 Evolution des chiffres de l'inde à l'europe Pour écrire les nombres, on utilise 10 symboles que nous appelons «chiffres» :1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0. C est le système décimal. Nos 10 doigts en sont certainement à l origine. Les chiffres que nous appelons arabe ont pour origine les Indes. Ce sont les arabes qui emprunteront le système de numération aux Indes. Le moine français Gerbert d Aurillac (qui est devenu le pape Sylvestre II) les amène en Europe. Le «0» qui vient aussi de l Inde est resté longtemps ignoré ; ils l appelaient «0» = «sûnya» = vide. Le mathématicien italien Léonard de Pise dit Fibonacci (1180 ; 1250) introduit en Europe la numération de position : la valeur du chiffre varie en fonction de la place qu il occupe dans l écriture du nombre. Al Kashi (1380 ; 1430), astronome à Samarkand (Asie), est à l origine des nombres décimaux (nombres à virgule) mais c est le mathématicien belge Simon Stevin qui se rapprochera de la notation actuelle. Il notait par exemple le nombre 89,532 : 89 (0) 5 (1) 3(2) 2(3). C est un progrès considérable pour effectuer des opérations par rapport à l écriture romaine Les nombres.odt clicprof.free.fr 2/10

3 2 Numération de position 1 Écriture des nombres entiers : Pour écrire un nombre entier, on utilise dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Suivant sa position dans un nombre, un chiffre peut indiquer : les unités, les dizaines, les centaines, les unités de mille, les dizaines de mille, les centaines de mille, les unités de millions... Milliards Millions Milliers centaines dizaines unités centaines dizaines unités centaines dizaines unités centaines dizaines unités Dans le nombre : - le chiffre 9 est le chiffre des dizaines. - le chiffre 7 est le chiffre des centaines et aussi celui des dizaines de millions se lit : «treize milliards cinq cent soixante-dix millions huit cent deux mille sept cent quatre-vingt-quatorze». 2 Nombres particuliers (impairs et pairs) Les entiers impairs sont ceux dont le chiffre des unités est 1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9. Exemples : 27, 419, Les entiers pairs sont ceux dont le chiffre des unités est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8. Exemples : 32, 948, Règle d'écriture Lorsqu on écrit un nombre entier en chiffres, il faut grouper les chiffres par trois de la droite vers la gauche. Il faut séparer chaque groupe de 3 chiffres en laissant un espace. Exemple : Quelques grands nombres Million ( ) Milliard ( ) Billion ( ) Billiard (1 suivi de 15 zéros) Trillion (1 suivi de 18 zéros) Quatrillion (1 suivi de 24 zéros) Quintillion (1 suivi de 30 zéros) Sextillion (1 suivi de 36 zéros) Septillion (1suivi de 42 zéros) Octillion (1 suivi de 48 zéros) Nonillion (1 suivi de 54 zéros) Décillion (1 suivi de 60 zéros) Googol (1 suivi de 100 zéros) Googolplex (1 suivi de Googol zéros) XXe Edward Kasner USA Asankhyeya (1 suivi de 140 zéros) Origine bouddhiques 6 01 Les nombres.odt clicprof.free.fr 3/10

4 5 Règles d orthographe Milliards, millions, milliers sont des noms communs qui s accordent. Par contre, mille est invariable. Exemples : trois mille ; deux milliards. Suivi d un nombre, cent est invariable (sinon, il s accorde). Exemples : deux cent vingt-quatre ; quatre cents ; trois cent mille. Vingt suit la même règle que cent. Exemples : quatre-vingts ; quatre-vingt-cinq. Pour tout nombre entier de deux chiffres s écrivant avec au moins deux mots, on doit séparer les mots par un trait d union (sauf pour les cas comme vingt et un, trente et un, quarante et un... ). Exemples : dix-sept, dix-huit, dix-neuf, vingt, vingt et un, vingt-deux, vingt-trois, vingt-quatre, vingt-neuf, trente, trente et un, trente-deux,... trente-neuf, quarante, quarante et un, quarante-deux..., quarante-neuf, cinquante, cinquante et un, cinquante-deux, quatre-vingt-dix-huit, quatre-vingt-dix-neuf Les nombres.odt clicprof.free.fr 4/10

5 3 Les nombres décimaux 1 Fraction décimale Il existe d autres nombres que les entiers, par exemple : est un nombre décimal correspond à 4 dixièmes, correspond à 7 centièmes correspond donc à une unité, quatre dixièmes et sept centièmes Les écritures du type 10, , ,... etc. où les pointillés remplacent des nombres entiers sont appelées fractions décimales. 2 L écriture décimale Pour écrire plus rapidement les nombres décimaux, on utilise leur écriture à virgule que l on appellera «écriture décimale» : unité dixièmes centièmes unité dixièmes centièmes = 1, 4 7 Exemples : =7,431 Il se lit 7 unités, 4 dixièmes, 3 centièmes et 1 millième =6,001 Il se lit 6 unités et 1 millièmes Remarque : Les nombres entiers sont des nombres décimaux particuliers. Pour écrire un nombre décimal, on utilise dix chiffres et une virgule pour séparer la partie entière (à gauche de la virgule) de la partie décimale (à droite de la virgule). Exemple : , 69 partie entière partie décimale Suivant sa position dans la partie décimale d un nombre décimal, un chiffre peut indiquer : les dixièmes, les centièmes, les millièmes, les dix-millièmes, les cent-millièmes... PARTIE ENTIÈRE PARTIE DÉCIMALE centaines de mille Dizaines de mille unités de mille centaines dizaines unités , dixièmes centièmes millièmes dixmillièmes centmillièmes millioniè mes 6 01 Les nombres.odt clicprof.free.fr 5/10

6 Remarque : on étend la règle de groupement par trois, mais cette fois de gauche à droite, pour les chiffres de la partie décimale. Exemple : , Zéros inutiles Si dans l'écriture en chiffres de la partie entière le premier chiffre est 0, alors on doit supprimer ce 0 inutile. Exemple : doit s écrire 137 Si dans l'écriture en chiffres de la partie décimale le dernier chiffre est 0, alors on doit supprimer ce 0 inutile. Exemple : 12, doit s'écrire 12, Les nombres.odt clicprof.free.fr 6/10

7 4 La demi-droite graduée 1 Tracer une demi-droite graduée O I x Graduer une demi-droite consiste à : - choisir un point appelé «origine» auquel on associe le nombre 0. Ici le point O - choisir une unité de longueur. Ici 2cm pour 1 unité. 2 Repérer un point sur une demi-droite graduée O I A B x ,5 5 Le point A à pour abscisse 3 on note A(3) et celle de B est 4,5 on note B(4,5). remarque : on dit une abscisse Les nombres.odt clicprof.free.fr 7/10

8 5 Ranger les nombres 1 Comparer deux nombres Comparer deux nombres, c est dire si un nombre est plus petit, plus grand ou égale à un autre nombre. On utilise les symboles : < «est plus petit que» ou «est inférieur à» > «est plus grand que»ou «est supérieur à» = «est égale à» Exemples : 15 < 23 ce lit 15 est inférieur à > 15 ce lit 23 est supérieur à15 15 < 23 et 23 > 15 sont des inégalités. Méthodes (parties entières différentes) On compare les parties entières des deux nombres : le plus grand des deux est celui qui a la plus grande partie entière. Exemple : comparer 36,78 et 35,98 : 36 > 35 donc 36,78 > 35,98 Méthodes 1 (parties entières égales) On écrit les deux nombres avec le même nombre de chiffres dans la partie décimale et on compare leurs parties décimales. Exemple : comparer 4,139 et 4,17 on écrit les nombres avec 3 chiffres dans la partie décimale : 4,139 et 4, < 170 donc 4,139 < 4,170. On a donc : 4,139 < 4,17 Méthodes 2 (parties entières égales) On compare, en partant de la gauche, chiffre à chiffre, les parties décimales. Exemple : comparer 4,139 et 4,17 4,139 et 4,17 ont le même chiffre des dixièmes. On compare alors leurs chiffres des centièmes : 3 < 7 donc 4,139 < 4,17. 2 Ranger des nombres Ranger des nombres décimaux dans l ordre croissant, c est les écrire du plus petit au plus grand. Exemple : 1 < 2,3 < 2,6 < 100 Ranger des nombres décimaux dans l ordre décroissant, c est les écrire du plus grand au plus petit. Exemple : 100 > 2,6 > 2,3 > Les nombres.odt clicprof.free.fr 8/10

9 6 Troncatures, encadrements et valeurs approchées 1 Tronquer un nombre La troncature au dixième (à l unité, au centième) d un nombre est le nombre obtenu en supprimant les chiffres situés à droite du chiffre des dixièmes (des unités, des centièmes). Exemple : Troquer 3, au centième : 3, ,12 est la troncature au centième de 3, Encadrer des nombres décimaux Encadrer un nombre, c est trouver un nombre qui est plus petit que lui et un nombre qui est plus grand que lui.... x ,78 25 Exemple : Encadrer 24,78 : 24 < 24,78 < 25 est un encadrement de 24,78 par des nombres entiers. 3 Valeurs approchées d un nombre décimal Pour connaître les valeurs approchées d'un nombre par défaut et par excès à l'unité près, on encadre ce nombre à l'unité près. Exemples : donner la valeur approchée par défaut à l'unité près de 45,789 donner la valeur approchée par excès à l'unité près de 45, < 45,789 < 46 valeur approchée par défaut à l unité près ou : troncature à l unité valeur approchée par excès à l unité près 46 = Pour connaître les valeurs approchées de 45,789 par défaut et par excès au dixième près, on encadre ce nombre au dixième près : 45,7 < 45,789 < 45,8 troncature au dixième : 45,7 valeur par défaut 45,7 + 0,1 = 45,8 : 45,8 valeur par excès Remarque : on dit «par défaut» parce qu il «en manque» et «par excès» parce qu il «y en a trop» Les nombres.odt clicprof.free.fr 9/10

10 4 Arrondi d'un nombre décimal L arrondi d un nombre décimal au dixième est le nombre décimal à un chiffre après la virgule le plus proche. Pour le trouver facilement, on regarde le chiffre des centièmes : si ce chiffre est égal à 0, 1, 2, 3 ou 4, l arrondi est la valeur approché par défaut au dixième. Exemples : l arrondi au dixième de 12,81 est 12,8 car le chiffre des centièmes est 1. l arrondi au dixième de 78,346 est 78,3 car le chiffre des centièmes est 4. si ce chiffre est égal à 5, 6, 7, 8 ou 9, l arrondi est la valeur approchée par excès au dixième. Exemples : l arrondi au dixième de 12,88 est 12,9 car le chiffre des centièmes est 8. l arrondi au dixième de 12,851 est 12,9 car le chiffre des centièmes est 5. Remarques : Pour te souvenir que l on prend la valeur approchée par excès dès que le chiffre atteint 5, pense bien que 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 et 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 sont deux groupes de cinq chiffres chacun. Pour trouver l arrondi à l'unité on regarde (à sa droite) le chiffre des dixièmes, pour arrondir au centième, on regarde à sa droite le chiffre des millièmes, etc Les nombres.odt clicprof.free.fr 10/10

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