Rappels : valeurs remarquables du cosinus. Le produit scalaire dans le plan (1) Expression trigonométrique. 1 ère S.

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1 ère S Le prodit sclire dns le pln () Expression trigonométriqe Rppels : lers remrqbles d cosins ngle en degrés Pln d chpitre : x I Définition d prodit sclire de dex ecters cos x 0 II ommentires sr l définition ngle en rdins III Prodit sclire de ecters définis pr des points IV Propriété de symétrie d prodit sclire y V Prodit sclire de dex ecters colinéires non nls VI Signe d n prodit sclire cos y 0 VII Prodit sclire et orthogonlité Introdction : VIII rré sclire d n ecter IX Lien ec l physiqe : tril d ne force Dns ce chpitre, nos llons définir l notion de prodit sclire de dex ecters Nos llons pprendre à clcler n prodit sclire Nos errons selement pls trd (dns le chpitre «prodit sclire ()») l tilistion qe l on pet en fire en géométrie Nos errons dns les dex chpitres qi siront sr le prodit sclire des propriétés qi nos permettront de clcler n prodit sclire pr d tres mnières ertissement : Une nité de longer est fixée dns tot le chpitre

2 I Définition d prodit sclire de dex ecters Nos llons définir l notion de prodit sclire de dex ecters d pln L définition d prodit sclire ne mnqe ps de srprendre de prime bord ) Définition (expression trigonométriqe) et sont dex ecters qelconqes d pln Le prodit sclire des ecters et est le réel noté (on lit «sclire») insi défini : er cs : et sont non nls est l mesre en rdins de l ngle géométriqe cos e cs : l n des dex ecters o est nl 0 ) Lectre de l formle ; ( [0 ; ]) L églité cos se lit «sclire» est égl prodit de l norme pr l norme de pr le cosins de» ) Nottion Le prodit sclire est noté pr On n emploie ps le signe de mltipliction qe l on résere à l mltipliction por les nombres 4 ) Remrqe sr l ngle géométriqe de dex ecters non nls On noter qe l ngle géométriqe de dex ecters et non nls pprît sr ne figre à prtir d moment où on les représentés à prtir de l même origine (cf figre) Il s git d n ngle sillnt dont l mesre en degrés est comprise entre 0 et 80 et dont l mesre en rdins est comprise entre 0 et Lorsqe et sont non nls, on retient l formle d prodit sclire sos l forme : cos ; Le prodit sclire de dex ecters non nls est égl prodit des normes pr le cosins de l ngle géométriqe q ils forment On dit q il s git de l «expression trigonométriqe d prodit sclire» prce qe l on n cosins dns l formle ttention à l nottion de l ngle géométriqe de dex ecters : chpe et prenthèses 5 ) Exemples Exemple et sont dex ecters tels qe 4, 5 et lcler On ne fit ps de figre Tot est donné : - les normes (ps de clcl à fire) ; - l ngle (ler remrqble ici) Le clcl d prodit sclire est très simple D près les lers des normes, et sont non nls On ppliqe donc l formle de définition cos ; 45 cos Exemple et sont dex ecters tels qe 5, et lcler ; ; 47 4

3 5 cos 47 (ler excte) On ne repsse ps en rdin On pet éentellement donner ne ler pprochée à l ide de l clcltrice II ommentires sr l définition ) lcl d n prodit sclire On pet clcler le prodit sclire ec l expression de définition de dex ecters non nls lorsqe l on connît : - lers normes ; - l ngle géométriqe q ils forment (ler remrqble en générl) Le clcl d n prodit sclire est très simple Por l instnt, por clcler n prodit sclire, on est obligé de donner n ngle et les normes L plprt d temps, on donner les lers remrqbles L formle cos ; est l formle générle d prodit sclire de dex ecters non nls Nos errons dns l site d cors des cs prticliers de cette formle (ecters colinéires, ecters orthogonx) ) Problème des nités Le problème de l nité d n prodit sclire ne se pose ps ependnt, on pet dire qe et étnt exprimées dns l même nité de longer, est exprimé dns l nité de longer crré (comme ne ire) ; l sge et cependnt q on ne l écrie ps Por nos, le prodit sclire ser n nombre sns nité ) Ntre d n prodit sclire On noter qe le résltt d n prodit sclire est n nombre Lorsqe l n des dex ecters et est nl, on écrit 0 On écrit bien 0 et non 0 4 ) Interpréttion d n prodit sclire On ne pet ps érifier géométriqement le résltt d n prodit sclire Un prodit sclire ne représente cne grnder géométriqe e n est donc ps l peine de chercher ne interpréttion concrète pisq il n y en ps En prticlier, il n y cne ppliction d prodit sclire dns l ie prtiqe 6 ) Intérêt d prodit sclire Nos errons qe le prodit sclire permet de : - démontrer des propriétés géométriqes (orthogonlité de droites) ; - clcler des distnces ; - clcler des ngles (logiqe pisq il y cos ) III Prodit sclire de ecters définis pr des points est le cs le pls fréqent qe nos rons pisqe l plprt d temps nos trillerons sr des figres géométriqes ) s où les ecters sont définis pr des points et ont l même origine,, sont trois points qelconqes tels qe et cos o miex : cos ette églité se lit : «sclire est égle prodit des distnces et pr le cosins de l ngle» ) Exemple d écritres D, E, F sont trois points tels qe D E et D F DE DF DE DF cos EDF I, J, K sont trois points tels qe I J et I K IJ IK IJ IK cos JIK E, F, G sont trois points tels qe E F et E G EF EG EF EG cos FEG 5 ) Utilistion d n logiciel de géométrie dynmiqe Il est possible d obtenir l ler d prodit sclire de dex ecters d pln sr ne figre géométriqe grâce à n logiciel de géométrie dynmiqe (tel qe Geogebr) 5 6

4 ) Exemple de clcl est n tringle éqiltérl de côté lcler le prodit sclire Remrqes : En générl, lorsqe l on clcle le prodit sclire de dex ecters sr ne figre géométriqe, on ne trce ps les ecters Nos le ferons nénmoins débt, dns qelqes exercices, de mnière à miex se représenter l ngle q ils forment On éite d tiliser les normes pisq il s git de prodits sclires de ecters définis pr des points On ne met ps de prenthèses près le cos 5 ) s générl,,, D sont des points lignés tels qe et D En générl, on ne trce ps les ecters qi interiennent dns le prodit sclire On se contente de les repsser ec le doigt On pet tojors écrire l formle d prodit sclire : D D cos ; D Mis por l instnt on ne sit ps le clcler si on ne connît ps, D o ; D IV Propriété de symétrie d prodit sclire ) Propriété et sont dex ecters qelconqes ) Démonstrtion L démonstrtion est très fcile L propriété est éidente lorsq moins l n des dex ecters est nl On sppose donc qe et sont non nls cos ; cos ; cos cos cos cos60 On tilise l propriété de l mltipliction des réels et le fit qe ; ; 7 8

5 V Prodit sclire de dex ecters colinéires non nls 5 ) Exemples ) Propriété (à tiliser directement) et sont dex points tels qe et sont dex ecters qelconqes non nls si et sont colinéires de même sens si et sont colinéires de sens contrire et sont colinéires de sens contrires donc 9 et D sont dex points tels qe D D D 4 6 ) Petite propriété (générle) ) Démonstrtion er cs : et sont colinéires de même sens ; 0 et cos 0 Soit et dex points distincts Nos olons écrire pls simplement : ette propriété ser ree pls trd dns le chpitre «Prodit sclire ()» e cs : et sont colinéires de sens contrire ; ) ommentire et cos Il s git d n cs prticlier de l formle générle 4 ) s de ecters colinéires définis pr des points,, sont des points lignés tels qe et Si les ecters et sont de même sens, Si les ecters et sont de sens contrire,,,, D sont des points lignés tels qe et D Si les ecters et D sont de même sens, D D Si les ecters et D sont de sens contrire, D D VI Signe d n prodit sclire ) Étde et sont dex ecters non nls qelconqes ; ( [0 ; ]) cos 0 0 Le signe de est le même qe celi de cos 0 cos

6 VII Prodit sclire et orthogonlité ) Définition On dit qe dex ecters et sont orthogonx (on note ) por exprimer qe : soit et sont non nls et ; ; ' O ) Propriété ) ppliction ' 0 si et selement si 0 si et selement si 0 si et selement si ; ; ; est ig est obts est droit soit 0 o 0 On retiendr qe pr conention le ecter nl est orthogonl à tot ecter ) Propriété (dédite de l étde d signe d prodit sclire) Le prodit sclire sert à crctériser l orthogonlité et sont orthogonx si et selement si 0 ttention c est bien 0 et ps 0 ) Remrqes ette propriété permet éentellement de érifier géométriqement le signe d n prodit sclire 4 ) Signe d n prodit sclire de dex ecters ynt l même origine,, sont trois points qelconqes d pln tels qe et 0 si et selement si l ngle est ig 0 si et selement si l ngle est obts 0 si et selement si l ngle est droit Emploi de l djectif «orthogonl» : L djectif «orthogonl» s ppliqe à dex droites, dex ecters, dex directions Nottions On tilise le même symbole por des ecters qe por des droites : 4 ) Errer à ne ps fire Si 0, lors 0 o 0 P Q 0 o 0 0 P Q mis Q P

7 5 ) Utilistion Donc On l propriété sinte : 4 ) s prticlier d n ecter défini pr dex points,,, D sont qtre points tels qe et D D 0 si et selement si () (D) VIII rré sclire d n ecter (définition) (propriété d ) (cr ) ) Définition est n ecter qelconqe On note On dit q il s git d crré sclire de crré sclire d ecter (domine ectoriel) distnce crré (domine métriqe) ) Propriété IX Lien ec l physiqe : tril d ne force Por tot ecter, on : ttention, contrirement à l physiqe, on n écrir ps : (Le sns flèche ne signifie rien) On retiendr : ) Démonstrtion ni ) Définition Pr définition, le tril d ne force constnte F qi s exerce en n point sr n trjet rectiligne de à est W F F (formle à soir pr cœr) donné pr l formle insi, on : ) Unités W F F cos F ; (on sppose qe F 0 ) Le tril d ne force est exprimé en joles schnt qe l norme de F est exprimée en newtons et l distnce en mètres er cs : 0 ) ommentire cos ; e cs : 0 0 est l sele interpréttion «concrète» d prodit sclire qe nos donnerons 4 ) Signe Sint le signe d tril d ne force, on prle de tril moter lorsq il est positif et de tril résistnt lorsq il est négtif 0 (pr définition d prodit sclire de dex ecters) Or 0 cr 0 0 4