Produit scalaire. A) Définitions et propriétés.

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1 Produit scalaire A) Définitions et propriétés Soient u et v sont deux vecteurs non nuls Les quatre définitions suivantes sont équivalentes, on pourrait donc choisir comme point de départ chacune d elle Définition par la norme Définition : Le produit scalaire de deux vecteurs u et v, noté u v, est le nombre réel défini par la relation suivante : u v = ( u + v u v ) Remarques : Par convention, on écrira : u u = u On a donc aussi : AB AB = AB = AB Exemple : Calculer le produit scalaire AB AD à l aide des informations mentionnées sur la figure cidessous : ABCD est un parallélogramme donc : AB + AD = AC D où : AB AD = ( AB + AD AB AD ) = ( AC AB AD ) = ( AC AB AD ) = (36 6 9) = Année 05 06

2 Définition analytique Définition : Dans un repère orthonormé (O, i, j ), le produit scalaire de définie par : u v = xx ' + yy' u ( y) x ; et x ' ; y' est Démonstration : Montrons que cette définition est équivalente à la définition par la norme On rappelle que pour un vecteur x ; y on a : u = x + y Calculons u v en revenant à la définition par la norme : u ( ) u v = ( u + v u v ) [ ] = ( x x' ) + ( y + y' ) ( x + y ) ( x' + y' ) + = [ x xx' + x' + y + yy' + y' x y x' y' ] = [ ' yy' ] + xx + = xx ' + yy' Exemple : On donne la figure ci-contre : Déterminer le produit scalaire AB AC Les coordonnées des points A, B et C sont : A ( ; ) ; B ( 3 ; 0) et C ( ; ) D où les coordonnées des vecteurs : AB ( ; ) et AC ( 3 ; ) On a donc : AB AC = ( 3) + ( ) ( ) = 3 Définition par le cosinus Définition : Le produit scalaire de deux vecteurs u et u v est défini par : v = u v cos ( u ; v ) v ( ) Démonstration : Montrons que cette définition est équivalente à la définition précédente Prenons un repère orthonormé (O, i, j ), dont le premier vecteur i, soit colinéaire et de même sens que le vecteur u Les coordonnées des vecteurs sont u ( x ; y) et v ( x ' ; y' ), avec : D où : x = u y = 0 x ' = v cos ( u ; y ' = v sin ( u ; v ) v ) On a donc : u v = xx ' + yy' = u v cos ( u ; v ) Année 05 06

3 Exemple : On donne la figure ci-dessous, déterminer le produit scalaire AB AC : On a : AB AC = AB AC cos 60 = 3 = 3 4 Définition par projection orthogonale La définition précédente revenant à projeter le vecteur v sur le vecteur u, on obtient une quatrième définition équivalente à la définition par le cosinus Définition : Soit deux vecteurs AB et CD On appelle K et H les projections orthogonales respectives de C et D sur la droite (AB), on a alors : AB CD = AB KH si AB et CD sont de même sens AB CD = AB KH si AB et CD sont de sens contraires 5 Cas particuliers et règles de calculs Propriétés : Soient u et v deux vecteurs colinéaires Si u et v sont de même sens, on a : u v = u v car si ( u ; v ) = 0 alors cos( u ; v ) = Si u et v sont de sens contraires, on a : u v = u v Propriété : Soient u et v deux vecteurs orthogonaux u v = 0 car si ( u ; v ) = π alors car si ( u ; v ) = π ou 3π cos( u ; v ) = alors cos( u, v ) = 0 Propriétés : Le produit scalaire de deux vecteurs est : commutatif, c'est-à-dire que : u v = v u car cos( u ; v ) = cos( v ; u ) bilinéaire, c'est-à-dire que pour tous réels a et b, on a : u ( v + w ) = u v + u w et (a u ) (b v ) = ab ( u v ) Année 05 06

4 Exemple : En utilisant les renseignements portés sur la figure ci-contre, calculer : ( AB + AH ) AB et ( AH + HC ) AB ( AB + AH ) AB = AB + AH AB = AB + AH on projette orthogonalement B sur (AH) = AB + (AB BH ) on applique le théorème de Pythagore = AB BH = 4 = 7 ( AH + HC ) AB = AH AB + HC AB = AH + HC AB on projette orthogonalement B sur (AH) = AH + HC HB on projette orthogonalement A sur (HC) = (AB BH ) HB HC on applique le théorème de Pythagore = 4 = Exercice n : ABC est un triangle isocèle de sommet A et BC = 4 Le point I est le milieu de [BC], calculer les produits scalaires suivants : IB IC ; BI BC ; AI BC ; BA BC et AC CI Exercice n : ABCD est un carré de centre O et de côté, calculer les produits scalaires suivants : AC, AO ; AC AB ; AC BD ; OA AC ; AD BC ; DB BC et CD OA Exercice n 3 : On considère les points A( 4 ; ) ; B( ; ) et C( ; 4) ) Calculer BA BC Que peut-on en déduire pour le triangle ABC? ) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme 3) Calculer AC AB 4) En déduire, au degré près, la valeur de CAB Exercice n 4 : On considère les vecteurs u ( ; ) et v (3 ; 6) ) Calculer u ; v et u v ) En utilisant, uniquement la ère question, calculez : ( u ) v ; ( u + v ) v ; ( 3u + v ) ( u v ) ( u + v ) ( u v ) ; u + v Exercice n 5 : Existe-t-il des valeurs de m pour lesquelles les vecteurs u et v sont orthogonaux? ) u (m 4 ; m + ) et v (m ; 3 m) ) u (m ; 3 m) et v ( ; m) Année 05 06

5 B) Droite et cercle Vecteur normal à une droite Définition : Un vecteur normal n à une droite d est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur u de la droite d On a alors : n u = 0 Remarque : Si un vecteur n est normal à un vecteur directeur d une droite d, il est normal à tout vecteur directeur de d Théorème : Dans un repère orthonormé : Si une droite a pour équation cartésienne ax + by + c = 0 avec a et b non nul ensemble, alors n ( a ; b) est un vecteur normal à la droite d Réciproquement si un vecteur non nul n ( a ; b) est un vecteur normal à une droite d, alors une équation cartésienne de la droite d est de la forme : ax + by + c = 0 Exemple : On donne la droite d : 3 x y + 5 = 0 Déterminer une équation de la droite qui passe par A ( ; ) et qui est perpendiculaire à d On proposera deux solutions Si est perpendiculaire à d, un vecteur normal n ( 3 ; ) à d est un vecteur directeur de la droite On a alors : : x 3 y + c = 0 Comme A, ses coordonnées vérifient l équation de donc : 6 + c = 0 c = 7 Une équation cartésienne de la droite est : x 3 y + 7 = 0 Soit M ( x ; y) un point quelconque de la droite et u ( ; 3) un vecteur directeur de la droite d On a alors : AM ( x ; y ) et AM u = 0 D où : ( x ) + ( y ) 3 = 0 x + 3y 6 = 0 x + 3y 7 = 0 x 3y + 7 = 0 Exercice n 6 : d est une droite d équation 3 x y + 5 = 0 ) Donner un vecteur directeur u de d, puis un vecteur n normal à d ) Le point A( ; ) est-il sur d? 3) est la perpendiculaire à d, menée par A trouver une équation cartésienne de : a) en utilisant n b) en utilisant u Equation de cercle Théorème : Pour tout point M ( x ; y) appartenant au cercle C de centre ( a ; b) Ω M = Ω et de rayon r on a : r d où l équation du cercle ( ) ( ) x a + y b = r Année 05 06

6 Exercice n 7 : Dans un repère orthonormal on donne les points A( 3 ; ) et B(5 ; 4) ) Déterminer une équation cartésienne de la perpendiculaire à (AB) passant par B ) Déterminer une équation de la médiatrice de [AB] 3) Déterminer une équation du cercle de centre B et passant par A 4) Déterminer une cartésienne équation de la tangente en A à ce cercle Théorème : Le cercle C de diamètre [AB] est l ensemble de points M tels que : MA MB = 0 Démonstration : Soit I le milieu du segment [AB] On introduit le point I dans la relation MA MB = 0 ( MI + IA ) ( MI + IB ) = 0 MI + MI IB + IA MI + IA IB = 0 MI + MI ( IA + IB ) + IA IB = 0 Comme I est le milieu de [AB], on a : IA + IB = 0 et IA IB = AB 4 D où : MI 0,5AB = 0 MI = 0,5AB MI = 0,5AB Donc M appartient au cercle de centre I et de rayon 0,5AB et donc de diamètre [AB] Exercice n 8 : Trouver une équation du cercle : ) De centre A( ; 4) et de rayon ) De diamètre [AB] avec A( ; ) et B( 4 ; ) 3) De centre A( ; ) et qui passe par B( ; 5) Exercice n 9 : Déterminer l ensemble des points M ( y) ) x + y 4x 6y 7 = 0 ) x + y 5x + 3y = 0 3) x + y + x 6y < 6 x ; vérifiant : Exercice n 0 : ABC est un triangle équilatéral et I et K sont deux points définis par : AI = AB et 3 CK = CA 3 Montrer que les vecteurs IK et AB sont orthogonaux Exercice n : Soit ABC un triangle rectangle en A H le pied de la hauteur issue de A, tel que AB = 5 et BH = 3 ) Montrer que : BA BC = 5 ) En exprimant autrement ce produit scalaire, calculer BC 3) Calculer AH et AC Année 05 06

7 Exercice n : ABC est un triangle, AB = 5, AC = 6 et AB AC = 5 ) Calculer une mesure de BAC ) En utilisant l égalité BC = BA + AC, calculer ( BC) et en déduire BC 3) Calculer BA BC (on connaît toutes les longueurs d où la formule du produit scalaire ) 4) En déduire ABC Exercice n 3 : Dans la figure ci-dessous : ABC est un triangle isocèle en A, AJIB est un parallélogramme et BC = 4 Calculer les produits scalaires suivants : ) BC BA ) BC JC 3) BC AJ 4) BC IB 5) BC IA Exercice n 4 : Dans un repère orthonormé (O, i, j ), on considère les points suivants : A(3 ; 3), B( ; 5) et C( ; 4) Toutes les questions suivantes sont indépendantes ) Le but de cette partie est de calculer l angle BAC a) Calculer la valeur du produit scalaire AB AC b) En déduire une mesure de l angle BAC arrondie à 0 ) Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de A dans ABC 3) Préciser la nature de l ensemble de points dont les coordonnées vérifient la relation suivante : x + y x y 8 = 0 4) Donner une équation du cercle (C) de diamètre [AB] 5) Déterminer une équation de la tangente au cercle (C) au point A Exercice n 5 : ABCD est un rectangle, I est un point de [DC] défini sur la figure ci-dessous ) Démontrer que : ( ID + DA ) ( IC + CB ) = ID IC + ) En déduire que : IA IB = 6 3) Calculer les longueurs AI et BI et en déduire que cos AIB 4) Donner la mesure de l angle AIB à 0, degré près DA = 5 Année 05 06

8 C) Lieux géométriques Exercice n 6 : Construire, sur le graphique donné ci-dessous, les ensembles Γ, Γ, Γ 3, Γ 4 et Γ 5 définis par les relations suivantes : ) Γ est l ensemble des points M tels que : AB AM = 0 ) Γ est l ensemble des points M du plan tels que : MA MB = 0 3) Γ 3 est l ensemble des points M du plan tels que : AM + = 6 4) Γ 4 est l ensemble des points M du plan tels que : AM BM = 0 5) Γ 5 est l ensemble des points M du plan tels que : AM < 3 6) ABCD est un carré de côté de centre I On s intéresse maintenant au lieu des points M tels que : AM CM = Supposons le plan rapporté au repère orthonormal (A ; AB ; AD ) a) Soit M( x y) exprimer AM CM en fonction de x et de y b) En déduire une équation de l ensemble cherché Exercice n 7 : Sur le dessin ci-contre, le triangle ABC est rectangle en B π On sait que : AB = et BAC = 3 AC et CD = BC ) Démontrer que AC AB = 4 ) En recalculant autrement AC AB démontrer que AC = 4 3) Démontrer que CB = 3 4) Calculer les angles ( CB ; CD ) et ( BC ; BD ) 5) Démontrer que CB CD = 6 3 Le point D appartient à la droite ( ) Année 05 06

9 D) Applications du produit scalaire Formules d addition Exercice n 8 : Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, i, j ) C est le cercle trigonométrique de centre O Sur le schéma ci-contre i = OI et j = OJ On considère sur ce cercle, les points A et B tels que : ( i ; OA ) = a et ( i ; OB ) = b ) Calcul de OA OB à l aide des coordonnées a) Donner les coordonnées de A et B b) En déduire les coordonnées de OA et OB c) Calculer OA OB en fonction de a et b ) Calcul de OA OB à l aide des coordonnées a) Donner la valeur de OA et OB b) Déterminer ( OA ; OB ) en fonction de a et b c) Calculer OA OB en fonction de a b 3) En déduire que : cos( a b) = cos a cosb + sin a sin b Propriétés : Pour tout réel a et b on a : cos( a b) = cos a cosb + sin a sin b cos( a + b) = cos a cosb sin a sin b sin( a b) = sin a cosb sin b cos a sin( a + b) = sin a cosb + sin b cos a Formules de duplication Propriétés : Pour tout réel a et b on a : sin a = sin a cos a cos a = cos a sin a cos a = cos a cos a = sin a 3 Théorème de la médiane Exercice n 9 : Théorème de la médiane Soit ABC un triangle tel que AB =, AC = 5 et BC = 3 I est le milieu de [AB] et M un point quelconque du plan ) En écrivant MA = MI + IA et MB = MI + IB exprimer MA + MB en fonction de MI et IA AB² ) En déduire le théorème de la médiane : MA ² + MB² = MI ² + 3) Calculer CI en utilisant le théorème de la médiane 4) Déterminer le lieu géométrique des points M tels que : MA + MB = 8 Année 05 06

10 4 Théorème d Al Khashi Exercice n 0 : Théorème d Al Khashi (ou Pythagore généralisé) Soit ABC un triangle tel que AB = 4cm, AC = 6cm et BAC = 55 Le but de cet exercice est de calculer la longueur BC ) Pour cela on va commencer par établir le théorème d Al Khashi Pour tout triangle ABC, on pose : a = BC, b = AC et c = AB a) Justifier que : a = BC BC b) En utilisant le fait que BC = BA + AC, démontrer l égalité d Al Khashi (aussi appelée théorème de Pythagore généralisé) : a = b + c bc cos ( AB ; AC) ) En déduire la valeur de BC 5 Applications à la physique Exemple n : calcul de la résultante de deux forces Soit un point O soumis à deux forces F et F qui forment un angle de 50 Les intensités des deux forces F et F sont respectivement 300 N et 00 N On a alors la figure ci-dessous : D après la première définition, on a : F F = ( F + F F F ) = ( F + F F F ) D après la troisième définition, on a : F F = F F cos 50 On obtient alors en égalisant les deux formes : ( F + F F F ) = F F cos 50 D où : F + F = F F cos 50 + F + F Donc : F + F = F F cos 50 + F + F = cos On en déduit que : F + F 455, N Année 05 06

11 Exemple n : calcul du travail d une force Le travail W d une force F est égale au produit scalaire du vecteur force F par le vecteur déplacement l : W = F l Une dépanneuse remorque une voiture en panne sur une côte de 0 La tension du câble est constante et les deux véhicules ont une accélération constante En supposant que le câble fait un angle de 30 avec le plan de la route et que la tension est de 600N, quel est le travail effectué par la dépanneuse sur la voiture si elle la remorque sur une distance de 500 m sur cette route en pente L angle de la route n a pas d importance ici On a : W = F l = F T cos = J 69,8 kj = Année 05 06

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