Les vecteurs. Lorsque deux vecteurs ont même longueur, même direction et même sens, ils sont égaux.

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1 I. Rappel 1.1 Egalité Définition Lorsque deux vecteurs ont même longueur, même direction et même sens, ils sont égaux. Le sens de vers est le même que le sens de vers D - même longueur D - même direction - même sens = D Vecteurs et milieu de segment Soient trois points, I et. Le point I est le milieu du segment [] si et seulement si I = I I 1.2 Sommes de vecteurs L'addition vectorielle est une loi de composition interne et possède certaines propriétés comme, l associativité, la commutativité, l élément neutre, la symétrie. Une loi de composition interne est une application qui, à deux éléments d'un ensemble E, associe un autre élément de E. utrement dit, c'est une opération binaire ayant lieu à l intérieur d un ensemble sans l affecter.

2 1.2.1 Vecteurs et parallélogrammes Soient quatre points,, et D. Le quadrilatère D est un parallélogramme si et seulement si = D. D D + D = Relation de hasles Les vecteurs peuvent s additionner de manière analogue à celle de l addition de nombres. + = + = Relation de hasles Prenons un exemple pour illustrer la manière avec laquelle nous résolvons une addition de vecteur : E D + D + DE + E + + E + E + + =?

3 Je conseille de ne pas essayer de se représenter de schéma dans sa tête, qui plus est, lorsque l on en viendra aux vecteurs de l espace Il suffit simplement de supprimer les lettres identiques et contiguës : + D + DE + E + + E + E + + = = 0 qui est noté 0 est appelé vecteur nul. + + E D + DE E = + + E (D + ED ) E = E (ED + D ) E = (E ) = E Soustraction de vecteurs omme on l a vu, pour soustraire un vecteur, il suffit d ajouter son opposé. Soient O,, et trois points quelconques. O O = O + O = onclusion u lieu de noter nos vecteurs, ou, Nous nommerons à présent nos vecteurs par une lettre soient U, V, etc ssociativité : (U + V ) + W = U + (V + W ) ommutativité : U + V = V + U Elément neutre : U + 0 = 0 + U = U Elément symétrique : U + ( U) = 0

4 1.3 Multiplication d un vecteur par un scalaire Définition Le produit d'un vecteur V par un scalaire α est un vecteur, noté α V, tel que : Sa direction est celle de V Son sens : celui de V si α > 0, celui de V si α < 0. En algèbre linéaire, les nombres réels qui multiplient les vecteurs dans un espace vectoriel, sont appelés des scalaires. Sa norme est égale au produit de celle de V par la valeur absolue de α : α V = α V. En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Soit u (x, y) u = x 2 + y Propriété La multiplication d'un vecteur par un scalaire est une loi de composition externe qui vérifie les propriétés : Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs : α(u + V ) = αu + αv Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : (α + β)u = αu + βu ssociativité : α(βu ) = (αβ)u Elément neutre : 1U = U Loi de composition : Soient trois ensembles E, F et G (non vides). Toute application de E x F (produit cartésien de E par F) vers G est appelée loi de composition de E x F à valeurs dans G. ompositions interne et externe : Exemples : L'addition et la multiplication dans N, ensemble des entiers naturels, sont des lois de composition internes dans N. 2 3 = 5

5 La soustraction n'est pas une loi de composition interne dans N : par exemple, 2 + ( 3) n'est pas un entier naturel ; elle en est une dans Z, ensemble des entiers relatifs. 2 3 = 1 Z La multiplication suivante est une loi de composition interne dans l ensemble des naturels. 2 3 = 6 La division n'est pas une loi interne dans N* : par exemple, 2 3 n'est pas un entier naturel, mais elle en est une dans Q*, ensemble des nombres rationnels. Diviser revient à multiplier par l inverse Q = 2 3 La multiplication d un vecteur par un scalaire est une loi de composition externe. α U = αu

6 II. Les barycentres 2.1 introduction Le barycentre, du Grec βαρύ-ς «lourd» et κέντρ-ον «centre» est le centre de gravité autour duquel deux corps ou plus orbitent. e concept est important au sein de champs d étude tels que l astronomie ou l astrophysique. En géométrie, le terme de «barycentre» est synonyme de centre géométrique d une forme à deux dimensions. G P 1 Kg 2 Kg P Une tige de masse négligeable en équilibre sur un support. G [] G = 2 G G = 2 G G + 2 G = 0 G est le barycentre des points pondérés ( ; 1) et ( ; 2). On montrera que G est le barycentre des points pondérés ( ; 1) et ( ; 2), que H est celui de (G ; 3) et ( ; 4) et enfin, que H est celui de ( ; 1), ( ; 2) et ( ; 4). 1 Kg P G + 2 G = 0 G H 3 HG + 4 H = 0 G + 2 G + 3 HG + 4 H = 0 2 Kg P 4 Kg P 2(HG + G ) + (HG + G) + 4H = 0 2 H + H + 4H = 0 H est le barycentre des points pondérés ( ; 1), ( ; 2) et ( ; 4).

7 2.2 arycentre de deux points pondérés Démonstration Soient α, β R. «points pondérés ( ; α) et ( ; β)» signifie que et se voient affectés des coefficients respectifs α et β. Posons l expression suivante qui définit un point et seul point G de la droite (), soit le barycentre des points pondérés ( ; α) et ( ; β) : αg + βg = 0 αg + β(g + ) = 0 (α + β)g + β = 0 (α + β)g = β (α + β)g = β Deux cas de figures se présentent à nous : 1. Soit α + β 0 (α + β)g = β G = 2. Soit α + β = 0 β α+β (α + β)g = β 0 G = β β = 0 β = 0 ou = 0 ou encore = Par conséquent, si β 0 et alors 0 G = β 0 G = 0 S = On montre dans ce cas présent que si les deux conditions ne sont pas réunis, il est impossible d avoir une solution. En revanche, tout point est solution de 0 G = β

8 2.2.2 pplication Soient deux points et distincts ( ). Localiser sur une figure le barycentre G des points pondérés (, 4) et (, 6). Traduction en langage mathématique : Procédons à une résolution de cette équation : 4G 6G = 0 4G 6(G + ) = 0 2G 6 = 0 2G = 6 2G = 6 G = 3 G III. Vecteurs de l espace 3.1 Définitions Terminologie ase Tout triplet (i, j, k ) de vecteurs non coplanaires est appelé base de l ensemble des vecteurs de l espace Repère Tout quadruplet (O, i, j, k ), où O est un point de l espace et (i, j, k ) une base est appelé repère de l espace. u et v forment une base dans R 2 et w, une combinaison telle que : u + v = w

9 Orthogonalité Si les vecteurs de la base sont orthogonaux deux à deux, alors le repère est dit orthogonal. ttention à ne pas confondre perpendicularité et orthogonalité ; le premier, se dit pour le plan ; le second s utilise dans l espace Norme Si la norme de chacun de ces vecteurs (i, j, k ) est égale à 1 alors le repère est dit orthonormé (en considérant qu il soit déjà orthogonal). Sinon, il est simplement normé Dimensions Tout le monde connait la notion de 3D. D une manière générale, la dimension R n est n. Si n = 1, l espace vectoriel est une droite numérique. Si n = 2, nous avons un plan normé. Si n = 3, un espace. Enfin, si n > 3, c est un hyper-espace ou espace à n dimensions.

10 3.1.2 aractérisation vectorielle des plans de l espace Pour définir un plan unique, il est nécessaire d avoir deux vecteurs non colinéaires et un point. Soient, par exemple, deux vecteurs u et v et un point. Nous avons le plan () tel que u = et v =. Nous voyons que si et sont colinéaires, il est impossible de définir un plan ; ces deux vecteurs ne permettent pas dans ce cas d obtenir trois points non alignés. Le plan () est défini par u = et v =.

11 Une combinaison du type w = au + bv (a, b R) définit un vecteur w appartenant au même plan que u et v. On dit que ces trois vecteurs sont coplanaires. w = 2v u Soient trois vecteurs non coplanaires u, v, w. Tout vecteur s écrit comme étant une combinaison linéaire de ces trois vecteurs. Pour tout vecteur t, il existe 3 réels a, b et c tels que t = au + bv + cw. Une combinaison linéaire sert à définir un vecteur en utilisant d autres vecteurs déjà définis. On appelle coefficient le nombre qui vient en facteur de vecteurs dans une combinaison linéaire. Dans l exemple ci-dessous, u et v sont des vecteurs combinés et les nombres 3 et 2 des coefficients : 3u 2v = w