PRODUIT SCALAIRE. I)Produit scalaire de deux vecteurs. 1. Définition

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1 PRODUIT SCALAIRE I)Produit scalaire de deux vecteurs 1. Définition Définition : Si u et v sont deux vecteurs non nuls, on appelle produit scalaire de u par v, le réel noté u. v = u v cos( u, v) u. v défini par : Si u ou v est le vecteur nul, alors u. v = 0 Remarque : Le produit scalaire de deux vecteurs est un réel et non vecteur Si A, B et C sont trois points distincts, en posant u = AB et v = AC on a : AB. AC = AB AC cos BAC. Cas particulier : vecteurs colinéaires u et v non nuls : Si u et v sont de même sens alors cos( u, v) = 1 et u. v = u v Si u et v sont de sens contraire alors cos( u, v) = 1 et u. v = u v 2. Propriétés Définitions : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si l un des deux est nul ou si leurs directions sont orthogonales. Propriété : Le produit scalaire u. v est nul si et seulement si u et v sont orthogonaux. Si u ou v est le vecteur nul, alors u. v = 0. Si u et v sont deux vecteurs non nuls alors u 0 et v 0, donc u. v = 0 cos( u, v) = 0 ( u, v) a pour mesure principale π 2 ou - π 2 u et v sont orthogonaux. Propriété :Si u x y et v x y dans un repère orthonormé, alors u. v = xx + yy. Remarque : ce résultat est indépendant du repère orthonormé choisi. Si x y et x y sont les coordonnées de u et v dans le repère orthonormé (O ; i, j) et si ( r ;θ) et ( r, θ ) sont les coordonnées polaires de u et v dans le repère (O ; i) alors : u. v = rr cos( u, v) = rr cos(θ - θ) = rr ( cos θ cosθ + sin θ sin θ ) = r cosθ r cos θ + r sinθ r sin θ =xx + yy 1/5

2 Exemple : Soit A(-2 ; -3), B(1 ; 1), C(-3 ; -1), D(-4 ; 2), E(- 1 ; - 3) et F(2 ; -1) dans un repère orthonormé. Les triangles ABC et FDE sont-ils rectangles en C et E respectivement. Il suffit de tester la nullité du produit scalaire CA. CB et de ED. EF Propriété : Si u, v et w sont des vecteurs du plan et k un réel alors : u. v = v. u (le produit scalaire est symétrique) u. k v = k u. v et u. ( v + w) = u. v + u. w (le produit scalaire est linéaire) Remarque ; en utlisant la symétrie du produit scalaire on a aussi : k u. v = k u. v et u + v. w = u. w + v. w Démontrons que u. ( v + w) = u. v + u. w. Si x y, x y et x y sont les coordonnées de u, v et w dans un repère orthonormé (O ; i, j) alors v + w a pour coordonnées x + x y + y. Donc u. ( v + w) = x(x + x ) + y(y + y ) = xx + xx + yy + yy = (xx + yy ) + (xx + yy ) = u. v + u. w Les autres propriétés se démontrent de la même façon. Définition : Si u est un vecteur du plan, u. u = u ². Ce nombre est appelé carré scalaire de u et est aussi noté u² 3. Egalités remarquables Propriété : Si u et v sont des vecteurs du plan, on a les égalités suivantes : ( u + v)² = u² + 2 u. v + v² ou u + v ² = u ² + 2 u. v + v ² ( u v)² = u² 2 u. v + v² ou u v ² = u ² 2 u. v + v ² ( u + v). ( u v) = u² v² ou ( u + v). ( u v) = u ² v ² Remarque : Ces identités fournissent des expressions du produit scalaire en fonctions des normes : u. v = 1 2 u + v ² u ² v ² et u. v = 1 2 u ² + v ² u v ² Exemple : Soit ABC un triangle tel que AB = 5, AC = 3 et BC = 6. Calculer AB. AC BC ² = AC AB ² = AC ² 2 AC. AB + AB ² 36 = 9 2 AC. AB + 25 donc II)Produit scalaire et projection AC. AB = 1 2/5

3 Théorème : Si A, B et C sont 3 points du plan tel que A B et A C et si H est la projeté orthogonal de C sur (AB) alors : AB. AC = AB. AH = AB AH si H est sur la demi droite [ AB ) AB AH si H [ AB ) AB. AC = AB. ( AH + HC) = AB. AH + AB. HC = AB. AH car AB et HC sont orthogonaux AB et AH sont colinéaires de même sens si H [ AB ) et de sens contraire sinon cqfd. Exemple : ABC est un triangle équilatéral de côté 2. Soit h le milieu de [ ] Le projeté orthogonal de A sur [ ] BC. Calculer BA. BC. BC est le point H, pied de la hauteur du triangle issue de A. BA. BC = BH. BC = BH BC =1 2 = 2 car BH et BC sont de même sens Théorème : Soit u un vecteur unitaire d un axe (A, u) et v un vecteur. Il existe un unique vecteur v colinéaire à u tel que u. v = u. v. On l appelle projeté orthogonal de v sur (A, u). v est le projeté orthogonal de v sur (A, u) si et seulement si v = ( u. v) u. Si v = MN alors v = M N où M et N sont les projetés orthogonaux de M et N sur (A ; u). III)Applications 1. Applications aux problèmes métriques a. Théorème de la médiane Théorème : Soit A et B eux points du plan et I le milieu de [ AB ]. Pour tout point M du plan : MA² + MB² = 2MI² + AB² 2 Remarque : D autres formules MA² - MB² = 2 AB. IM Pour tout point M du plan : et MA. MB = MI² AB² 4 MA² + MB² = MA² + MB² = ( MI + IA )² + ( MI + IB )² = 2MI² + MI. IA + MI. IB + IA² + IB² = 2 MI + MI.( IA + IB ) + IA² + IB² = 2 MI² + AB² 2 b. Formule d Al-Kashi car I milieu de [ AB ]. Théorème : Pour tout triangle ABC, a² = b² + c² 2bc cos A 3/5

4 Remarques : Les trois côtés et les trois angles jouant des rôles similaires on a bien sûr : b² = a² + c² 2ac cos B et c² = a² + b² 2ab cos C Il existe d autres formules liant angles, côtés et aire S d un triangle : S = 1 2 bc sin A = 1 2 ac sin B = 1 2 ab sin C Loi du sinus ou formule du sinus a b c sin = A sin = B sin C a² = BC² = BC² = ( BA + AC)² = ( AC AB)² = AC² + AB² 2 AC. AB cqfd. 2. Application aux équations de droites et de cercles Dans toute cette partie, le plan est muni d un repère orthonormé. a. Equation de droite Définition : On appelle vecteur normal à une droite tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de la droite. Propriété : Soit a et b deux réels tels que (a ; b) (0 ; 0). Toute droite de vecteur normal n (a ; b) admet une équation de la forme ax + by+ c = 0 Toute équation de la forme ax + by +c = 0 est celle d une droite de vecteur normal n(a ;b) et de vecteur directeur u( b ; a) Soit n(a ; b) un vecteur normal à une droite d et A(x A ; y A ) un point de d. Un point M appartient à d AM orthogonal à n AM. n = 0 a(x x A ) + b(y y A ) = 0 ax + by + c = 0 avec c = ax A by A Si ( a ; b ) ( 0 ;0) alors l ensemble des points M(x ; y) tels que ax + by + c = 0 est non vide : il contient au c a ; 0 moins un point si a 0 0 ; c On nomme A un de ces points. b sinon ax + by + c = 0 donc ax + by + c = ax ax A + by A + c = 0 A + by A + c a(x - x A ) + b(y y A ) = 0 AM. n = 0 AM orthogonal à n. L ensemble des points cherchés est donc la droite passant par A et de vecteur normal n Exemple : Soit A(1 ; 2), B(4 ; -1) et C(2 ; 4 ) et la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Trouver l équation de. M(x ; y) appartient à AM et BC sont orthogonaux AM. BC = 0 4/5

5 Or AM x 1 y 2 et BC 2 5 : M(x ; y) appartient à 2(x 1) + 5(y 2) = 0 2x + 5y 8 = 0 b. Equation de cercles Propriété : Soit Γ le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r. Un point M(x ; y) appartient à Γ (x a)² + (y b)² = r² On dit que (x a)² + (y b)² = r² est une équation du cercle Γ Exemples : Le cercle trigonométrique admet comme équation x² + y² = 1 Le cercle de centre A(2 ; 1) et de rayon 2 admet comme équation (x 2)² + (y 1)² = 4 Propriété : Le cercle de diamètre [ AB ] est l ensemble des points M tels que MA. MB = 0 5/5

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