Propriétés de l intégrale

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1 [ édité le juillet 24 Enonés Propriétés de l intégrle Exerie [ 965 ] [orretion] Soient : [, ] R une ontion ontinue pr moreux et ], [. Montrer que ( (tdt mx (tdt, Exerie 2 [ 966 ] [orretion] Soit : R R ontinue et T >. On suppose que Montrer que est périodique. x+t x (t dt = C te (tdt Exerie 3 [ 967 ] [orretion] Soit : [, ] R ontinue. Montrer (tdt = (t dt si, et seulement si, ou Exerie 6 [ 968 ] [orretion] Soit : [, ] R ontinue telle que Montrer que dmet un point ixe. Exerie 7 [ 969 ] [orretion] Soit : [, ] R une ontion ontinue. Montrer : ], [, (tdt = 2 Exerie 8 [ 97 ] [orretion] [Formule de l moyenne] Soient, g : [, ] R ontinues ve g. Montrer qu il existe [, ] tel que (tg(tdt = ( (tdt = ( Exerie 4 [ 767 ] [orretion] étnt ontinue sur [, ] et à vleurs dns R, trouver une ondition néessire et suisnte pour que (x dx = (x dx Exerie 5 [ 35 ] [orretion] Soient (, R 2 ve < et C ([, ], C. A quelle ondition portnt sur -t-on =? Exerie 9 [ 392 ] [orretion] [Seonde ormule de l moyenne] Soient, g : [, ] R deux ontions ontinues ve déroissnte et positive. Pour n N, on pose Montrer que k+ ( S n = ( k ve k = + k k n k= S n n + On introduit G l primitive de g s nnulnt en. Montrer que ( min G S n ( mx G [,] [,] Diusion utorisée à titre entièrement grtuit uniquement - dd

2 [ édité le juillet 24 Enonés 2 En déduire qu il existe [, ] vériint = ( d Soient, g : [, ] R ontinues ve monotone. Montrer qu il existe [, ] tel que = ( + ( Exerie [ 388 ] [orretion] Soit une ontion réelle de lsse C positive et déroissnte sur I = [, ]. Soit g une ontion ontinue sur I. On déinit G : I R pr l reltion G(x = Montrer qu il existe m, M R tel que Montrer que x G ([, ] = [m, M] = (G( En déduire qu il existe [, ] tel que Exerie [ 97 ] [orretion] Soit : [, π] R ontinue. Montrer que si = ( (t sin tdt = lors il existe ], π[ tel que s nnule en. Montrer que si (t sin tdt = lors s nnule 2 ois sur ], π[. (indie : on pourr regrder (t sin(t dt. (tg(t dt (t os tdt = Exerie 2 [ 972 ] [orretion] Soient (, R 2 tel que <, : [, ] R ontinue et n N telle que k {,,..., n}, t k (t dt = Montrer que l ontion s nnule u moins n + ois sur [, ]. Exerie 3 [ 973 ] [orretion] Soit : [, ] R ontinue. Montrer que possède une unique primitive F telle que F (t dt = Exerie 4 [ 974 ] [orretion] Soit : [, ] R. Montrer que l ontion est lipshitzienne. x (t sin(xtdt Exerie 5 [ 2642 ] [orretion] Soit : [, ] R une ontion en eslier. Montrer qu il existe une sudivision σ du segment [, ] dptée à telle que toute utre sudivision dptée à soit plus ine que σ. Exerie 6 [ 2966 ] [orretion] Soient : [, ] R ontinue telle que (t dt = m le minimum de et M son mximum. Prouver 2 (t dt mm Exerie 7 [ 2967 ] [orretion] Soient et g deux ontions roissntes et ontinues sur [, ]. Comprer ( ( et (t dt Diusion utorisée à titre entièrement grtuit uniquement - dd

3 [ édité le juillet 24 Corretions 3 Corretions Exerie : [énoné] Supposons On lors Le s = + est semlle et on peut onlure. + < = Exerie 2 : [énoné] On introduit F une primitive de l ontion ontinue. L ontion x F (x + T F (x est onstnte, elle est don de dérivée nulle et pr suite (x + T (x =. Exerie 3 : [énoné] ( ok ( Si lors = donne (t (t dt =. Or l ontion est ontinue et positive don elle est nulle. Le s < est semlle. Exerie 4 : [énoné] Montrons que l églité proposée lieu si, et seulement si, l ontion est de signe onstnt Si est positive lors = et don l églité lieu. Si est négtive lors = et à nouveu l églité lieu. Inversement, supposons = Si lors on otient = et don (x (x dx = L ontion est ontinue, positive et d intégrle nulle, est don l ontion nulle. Pr suite = et don est positive. Si, l étude en nlogue en oservnt Exerie 5 : [énoné] Supposons =. (x + (x dx = et θ R. On peut érire = reiθ ve r = Considérons lors g : t (te iθ. On g = R don g = Re(g. Or g = et l hypothèse de déprt donne g = Re(g puis g Re(g =. Puisque l ontion réelle g Re(g est ontinue, positive et d intégrle nulle, est l ontion nulle. Pr suite Re(g = g et don l ontion g est réelle positive. Finlement, l ontion est de l orme t g(te iθ ve g ontion réelle positive. L réiproque est immédite. Exerie 6 : [énoné] L ontion ϕ : t (t t est déinie, ontinue sur [, ] et don ϕ s nnule. Exerie 7 : [énoné] Posons ϕ(tdt = µ = (tdt 2 = (tdt Diusion utorisée à titre entièrement grtuit uniquement - dd

4 [ édité le juillet 24 Corretions 4 L ontion ϕ : t (t µ est déinie, ontinue sur [, ] et don ϕ s nnule. ϕ(tdt = (tdt µ( = Exerie 8 : [énoné] Si g(tdt = lors g = (r on sit g ontinue et positive et le prolème est imméditement résolu. Sinon, puisque est ontinue sur le segment [, ], elle dmet un minimum et mximum en des points et d. Posons m = ( et M = (d. Pr positivité de l ontion g, on don mg(t (tg(t Mg(t m (tg(tdt g(tdt M Il suit lors d ppliquer le théorème des vleurs intermédiires entre et d pour onlure. Exerie 9 : [énoné] En exploitnt l reltion de Chsles, on peut érire S n = k= k+ k (( k (t Soit ε >. Puisque est ontinue sur le segment [, ], elle y est uniormément ontinue et don il existe α > tel que s, t [, n], s t α (s (t ε Pour n ssez grnd, on ( /n α et lors pour tout t [ k, k+ ] on k t α don ( k (t ε. On en déduit S n k= k+ k ε g(t dt εm( ve M = sup g [,] Pr suite S n n + En exprimnt l intégrle à l ide de l primitive G S n = ( k (G( k+ G( k k= En séprnt l somme en deux, puis en proédnt à un délge d indie sur l première n S n = ( k G( k ( k G( k k= puis en reominnt les deux sommes k= S n = ( G( n + (( k ( k G( k ( G( k= Or G( = G( = et puisque l ontion est déroissnte et positive S n ( M + (( k ( k M ve M = mx G [,] Enin pr télesopge k= De çon symétrique, on ussi S n ( M = (M S n (m ve m = min [,] G En pssnt à l limite e qui préède, on otient (m (M Si ( =, le prolème est imméditement résolu, sinon, e qui préède irme que ( est vleur intermédiire à deux vleurs prises pr G et le théorème des vleurs intermédiires permet de onlure. Diusion utorisée à titre entièrement grtuit uniquement - dd

5 [ édité le juillet 24 Corretions 5 d Quitte à onsidérer, e qui ne hnge rien u prolème posé, on peut supposer que l ontion est roissnte. En ppliqunt le résultt préédent à l ontion t ( (t déroissnte et positive, on peut irmer qu il existe [, ] tel que (( (t = (( ( et il suit de réorgniser les memres de ette identité pour ormer elle voulue. Exerie : [énoné] L ontion G est ontinue don l imge d un segment est un segment. Il suit de proéder à une intégrtion pr prties. Puisque l ontion est positive, on et don puis m (( ( m( + [G( m] ( m( (tg(t dt M (( ( M( + [G( M] ( M( Ainsi, que ( soit nul ou non, il existe [, ] tel que = (G( Exerie : [énoné] (t sin tdt = et t (t sin t est ontinue don il existe ], π[ tel que ( sin = i.e. ( =. Pr l surde si ne s nnule qu une seule ois lors le tleu de signe de est de l une des qutre ormes suivntes t π (t + +, t π (t t π (t + ou t π (t + Les deux premiers s sont à exlure r (t sin tdt est l intégrle nulle d une ontion non nulle de signe onstnt. Les deux utres s sont à exlure r (t sin(t dt = os (t sin tdt sin est l intégrle nulle d une ontion non nulle de signe onstnt. Asurde. (t os tdt Exerie 2 : [énoné] Notons que l hypothèse initile donne pr linérité que pour toute ontion polynomile P de degré n P (t(t dt = Pr l surde supposons que l ontion ne s nnule ps plus de n ois et notons x <... < x p (ve p n les points où s nnule tout en hngent de signe. On peut dresser le tleu de signe de l ontion ontinue et irmer que l ontion x (x x... (x x p (x est de signe onstnt. Or ette ontion est ontinue et d intégrle nulle, est don l ontion nulle. Il en déoule que l ontion est nulle sur [, ] \ {x,..., x p } puis nulle sur [, ] pr rgument de ontinuité. Exerie 3 : [énoné] Uniité : soient F et G deux primitives solutions. Il existe C R tel que F = G + C. F = = G donne lors C = puis F = G. Existene : Posons F(x = x (t dt. L ontion résout le prolème. F : x F(x F(u du Diusion utorisée à titre entièrement grtuit uniquement - dd

6 [ édité le juillet 24 Corretions 6 Exerie 4 : [énoné] Posons g(x = (t sin(xt dt. g(x g(y = Puisque l ontion sinus est lipshitzienne don Ainsi g est lipshitzienne. (t (sin(xt sin(yt dt sin(xt sin(yt x y t g(x g(y x y t(t dt Exerie 5 : [énoné] Soit A l ensemle des n N tel qu il existe une sudivision σ = (,..., n dptée à. A est une prtie non vide de N, elle possède don un plus petit élément p. Il existe une sudivision σ = (,..., p dptée à. Montrons que toute sudivision σ = (,,..., n dptée à est plus ine que σ. Pr l surde : supposons i {, 2,..., p } tel que i / {,,..., n }. On peut lors irmer qu il existe j {, 2,..., n} tel que i ] j, j [. Comme σ et σ sont dptées à on peut irmer que est onstnte sur ] i, i [, ] i, i+ [ et ] j, j [ puis que est onstnte sur ] i, i+ [. Pr suite l sudivision σ = (,..., i, i+,..., p est dptée à or el ontredit l déinition de p. Exerie 6 : [énoné] L ontion t (M (t((t m est positive don Exerie 7 : [énoné] Nous llons étlir l inéglité ( ( (t dt On peut ommener pr oserver que si ette inéglité est vrie pour et g, elle l est enore pour + λ et g + µ ve λ, µ R. On peut don, sns perte de générlités, supposer (t dt = = et il s git lors d étlir. Il existe lors [, ] tel que (x pour x [, ] et (x pour x [, ]. Il existe ussi [, ] tel que g(x pour x [, ] et g(x pour x [, ]. Quitte à éhnger et g, on peut supposer. = + + r (t, g(t sur [, ]. ( r (t ( et don (tg(t (g(t puisque g(t. ( r (t ( et don (tg(t (g(t puisque g(t. On en déduit ( et on peut onlure. Notons que l omprison ( ( (t dt ne peut être méliorée r est une églité qund et g sont des ontions onstntes. (M (t((t m dt En développnt et pr linérité, on otient mm 2 (t dt shnt (t dt =. On en déduit l inéglité demndée. Diusion utorisée à titre entièrement grtuit uniquement - dd

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