Chapitre PARALLÉLOGRAMMES

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1 hapitre PRLLÉLGRMMS Figure obtenue à partir de la symétrie centrale éfinition et propriétés découlant de celles de la symétrie centrale. onstruction de parallélogrammes Premiers pas vers la démonstration : relier logiquement des "morceaux" de raisonnement puis créer un raisonnement. ire du parallélogramme entre et axes de symétrie des figures Remarques : Les propriétés sur les angles seront abordées dans le chapitre (10) «ngles et parallélisme» après le chapitre (8) «ngles» étudié en Grcom. La propriété «si un parallélogramme possède un angle droit alors c est un rectangle» pourrait être étudiée dans ce chapitre ( en utilisant la propriété de 6 ème, «si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre») mais le chapitre est déjà assez long et la démonstration utilisant les angles est plus naturelle voir chapitre 10.

2 hapitre PRLLÉLGRMM 1) Parallélogramme : éfinition : n parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. est un parallélogramme signifie que () est parallèle à () et () est parallèle à (). Remarques : ans la définition, on devrait écrire en toute rigueur, «les droites portant les côtés opposés sont parallèles» mais pour alléger la rédaction, on se permet d'écrire «les côtés opposés sont parallèles». n pourra donc écrire «[] est parallèle à []» et «[] est parallèle à []». 2) Parallélogramme et symétrie centrale : a) entre de symétrie d'une figure : Lorsque le symétrique d'une figure par rapport à un point est elle même, on dit que ce point est "le centre de symétrie" de la figure. xemples : centre de symétrie centre de symétrie Remarque : Si une figure a un centre de symétrie alors en la faisant tourner de 180 (demi-tour) autour de son centre de symétrie, on obtient la même figure. b) entre de symétrie d'un parallélogramme : (propriété admise) Si un quadrilatère est un parallélogramme alors il possède un centre de symétrie qui est le point d'intersection de ses diagonales. n dit que " est le centre de symétrie du parallélogramme". est le point d'intersection des diagonales [] et []. Le symétrique de par rapport à est. Le symétrique de par rapport à est. n faisant tourner de 180 le parallélogramme autour du point, on obtient le même parallélogramme.

3 3) Propriétés du parallélogramme : a) Propriétés sur les diagonales d'un parallélogramme : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. VR est un parallélogramme donc le point est le milieu des diagonales [VR] et []. V Hypothèse : R VR est un parallélogramme donc est le centre de symétrie du parallélogramme VR d'après le 2 b) du cours. onclusions : Le symétrique de V part rapport à est R donc est le milieu de [VR]. Le symétrique de part rapport à est donc est le milieu de []. Remarque : ette propriété permet de prouver qu'un point est le milieu d'un segment. n a réciproquement : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu Hypothèse : est le milieu de [VR] et est le milieu de []. onclusions : Le symétrique de V part rapport à est R. Le symétrique de part rapport à est. Le symétrique de (V) est (R) donc (V)//(R) ( le symétrique d'une droite est une droite parallèle). Le symétrique de (V) est (R) donc (V)//(R). VR est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles 2 à 2 donc VR est un parallélogramme. b) Propriétés sur les longueurs des côtés d'un parallélogramme : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur. H H est un parallélogramme donc H= et =H. Hypothèse : H H est un parallélogramme donc il possède un centre de symétrie qui est le milieu de [] et [H]. onclusions : Le symétrique de [H] par rapport à est [] donc H= puisque la symétrie centrale conserve les longueurs. e même on montre que =H. Remarque : ette propriété permet de prouver que des segments ont la même longueur.

4 n a réciproquement : (propriété admise) Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés qui ont la même longueur deux à deux ans le quadrilatère non croisé H on a H= et =H donc H est un parallélogramme. H Remarque : ttention, il ne faut pas oublier "non croisé" dans l'énoncé de la propriété. Par exemple MR est tel que M=R et R=M, pourtant MR n'est pas un parallélogramme car c'est un quadrilatère croisé. M R Remarque: n utilisant la définition du 1) et une propriété du 3 b) du cours on peut déduire la propriété suivante: Si un quadrilatère non croisé possède deux côtés opposés parallèles et de même longueur =R et ()//(R) donc R est un parallélogramme. roites parallèles R 4) ire du parallélogramme : L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de la longueur d'un de ses côtés par la hauteur associée. h est la hauteur associée au côté c et on a : ire = c h h n peut calculer de deux façons l aire du parallélogramme c h' est la hauteur associée au côté c' et on a : ire = c' h' h c Rappel : Pour calculer une aire il faut que toutes les dimensions soient dans la même unité.

5 Vérification de la formule à l aide d une figure : c h n «découpe» ce triangle rectangle et on le «place» ici. nsuite, on constate que pour calculer l aire du parallélogramme, il suffit de calculer l aire du rectangle c'est-à-dire c h. 5) Parallélogrammes particuliers : a) Propriétés communes aux rectangles, losanges et carrés : n rectangle est un parallélogramme particulier. est un rectangle donc il possède 4 angles droits. () est perpendiculaire à (),() est perpendiculaire à (), donc () est parallèle à (), d'après la propriété suivante étudiée en 6 ème, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors ces deux droites sont parallèles. e même on prouve que () est parallèle à () et donc on peut affirmer que est un parallélogramme puisque ses côtés opposés sont parallèles 2 à 2. n losange est un parallélogramme particulier. M MNP est un losange P donc il possède 4 cotés de même longueur. n a en particulier, MN=P et MP=N donc les côtés opposés du losange MNP ont même longueur, et ceci prouve que MNP est un parallélogramme d'après la propriété suivante, si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés qui ont la même longueur deux à deux N n carré est un parallélogramme particulier. n carré est un rectangle particulier (vu en 6 ème ) donc c'est aussi un parallélogramme. n rectangle, un losange ou un carré étant des parallélogrammes particuliers, on en déduit que ces quadrilatères possèdent les mêmes propriétés que le parallélogramme: leurs côtés opposés sont parallèles deux à deux, leurs côtés opposés sont de même longueur deux à deux, leurs diagonales se coupent en leur milieu, leur centre de symétrie est le point d intersection de leurs diagonales.

6 b) Propriétés propres au rectangle : 2 axes de symétrie n rectangle possède deux axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés opposés ( rappel 6 ème ). (d ) Les diagonales d un rectangle ont même longueur. (d) Le symétrique de [] par rapport à la droite (d) est []. omme la symétrie axiale conserve les longueurs, =. n a réciproquement : n parallélogramme qui possède des diagonales de même longueur est un rectangle. c) Propriétés propres au losange : n losange a deux axes de symétrie qui sont les deux droites portant ses diagonales ( rappel 6 ème ). 2 axes de symétrie Les diagonales d un losange sont perpendiculaires. ()=(d) est un axe de symétrie de donc () est la médiatrice de [] et ceci prouve que () est perpendiculaire à (). (d) n a réciproquement : n parallélogramme qui possède des diagonales perpendiculaires est un losange. n parallélogramme qui possède deux côtés «consécutifs» de même longueur est un losange. es côtés «consécutifs» sont des côtés ayant un sommet commun. n sait déjà qu un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur donc si deux côtés consécutifs ont même longueur, ceci prouve que tous les côtés ont même longueur. d) Propriétés propres au carré : Le carré est à la fois un rectangle et un losange donc il hérite de toutes les propriétés du rectangle et du losange. 4 axes de symétrie 1 centre de symétrie