LA SYMETRIE CENTRALE I DECOUVRONS LA SYMETRIE CENTRALE II DEFINITION ET CONSTRUCTION

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1 LA SYMETRIE CENTRALE I DECOUVRONS LA SYMETRIE CENTRALE Créer 2 points A et M libres dans le plan Construire l image de M dans la symétrie de centre A ; on l appelle M'. Nous allons étudier comment se comporte M' lorsque M bouge : Dans le menu déroulant AFFICHER/SELECTION TRACE, sélectionner les points M et M' (cliquer gauche en maintenant le bouton appuyé), fermer puis cliquer sur l'icône Trace. Ecrire le prénom en déplaçant le point M Effacer en cliquant sur l icône Trace et faire d autres essais. Quelle remarque peut-on faire? Le point M se déplace en même temps que M et inscrit le prénom à l envers. De même, pour une figure quelconque. Déplacer le point A en cliquant dessus. Quelle remarque peut-on faire? Quand A se déplace, le point M se déplace aussi. Annuler la Trace et déplacer le point M de façon à ce qu'il soit confondu avec A. Compléter : Il semble que les points M et M soient confondus. II DEFINITION ET CONSTRUCTION Tracer les segments [MA] et [AM']. Afficher une valeur approchée à 3 décimales des longueurs des segments [MA] et [AM ] Afficher la mesure de l angle a MAM : (Attention! Unité d angle : degré) Déplacer le point M. Compléter : les points M, M' et A semblent être alignés. les segments [MA] et [AM ] semblent avoir la même longueur. donc A semble être le milieu du segment [MM ]. Sur la figure suivante, construire le symétrique M de M par rapport au point A à l aide des instruments adéquats: M A M' 5ème-II-Symétrie Centrale 1

2 Définition A et M sont deux points distincts. Le symétrique du point M par rapport au point A est le point M', tel que A soit le milieu du segment [MM ]. On dit que : M est l'image de M par la symétrie de centre A M est le symétrique de M par rapport à A M et M' sont symétriques par rapport à A Si M est "en A", alors M, M et A sont confondus : on dit que A est son propre symétrique. Remarques : La symétrie centrale correspond à un demi-tour autour d un point, appelé centre de symétrie. On peut donc en déduire que la symétrie centrale conserve la forme et les dimensions d'une figure. III PROPRIETES DE LA SYMETRIE CENTRALE 1) Symétrie centrale et symétrie axiale Dans Géoplan, ouvrir le fichier sym_centr.g2w. Le quadrilatère HKLF est nommé Q1. Effectuer les constructions suivantes : Construire les images H, K, L et F de H, K, L et F dans la symétrie de centre I Créer le quadrilatère H K L F ; on l appelle Q2 Créer la droite d perpendiculaire à (IJ) passant par I. Construire les images H, K, L et F de H, K, L et F dans la symétrie d axe d Créer le quadrilatère H K L F ; on l appelle Q3 Est-il possible de passer directement de Q1 à Q3? Si oui, comment? Il est possible de passer directement de Q1 à Q3 par la symétrie d axe (IJ). Propriété Une symétrie centrale peut se décomposer en deux symétries axiales (ou orthogonales), dont les axes sont perpendiculaires. REMARQUE FONDAMENTALE La symétrie centrale pouvant se décomposer en deux symétries axiales, elle possède donc toutes les propriétés de la symétrie axiale. 5ème-II-Symétrie Centrale 2

3 d 2) Image d une droite par symétrie centrale Ouvrir une nouvelle figure du plan dans le menu déroulant «Fichier». Créer trois points libres dans le plan A, B et O. Créer la droite (AB). Créer les images A, B des points A et B dans la symétrie de centre O Créer la droite (A B ) Que peut-on dire des droites (AB) et (A B )? Il semble que les droites (AB) et (A B ) soient parallèles. 3) Bilan Propriété 1 Si trois points sont alignés, alors leurs symétriques par rapport à un point sont aussi alignés. On dit que la symétrie centrale conserve l'alignement. Propriété 2 Le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle. Remarque Si le point O appartient à la droite (d), alors le symétrique de (d) par rapport à O est la droite (d) ellemême. 5ème-II-Symétrie Centrale 3

4 Propriété 3 Le symétrique d'une demi-droite par rapport à un point est une demi-droite qui lui est parallèle et de sens contraire. Construire dans chacun des 3 cas suivants, l'image de la demi-droite [ Ax ) dans la symétrie de centre O. 1) 2) O et A sont confondus 3) Propriété 4 Le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. On dit que la symétrie centrale conserve les longueurs. Propriété 5 Le symétrique, par rapport à un point, du milieu d'un segment est le milieu du symétrique de ce segment. On dit que la symétrie centrale conserve les milieux. - (AB) // (A B ) - AB = A B - I milieu de [AB] donc, I [A B ] et I A = I B donc, I' milieu de [A B ] Propriété 6 Le symétrique d'un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon. Le symétrique du centre de ce cercle est le centre du symétrique du cercle. 1) 2) Propriété 7 Le symétrique d'un angle par rapport à un point est un angle de même mesure. On dit que la symétrie centrale conserve la mesure des angles. 5ème-II-Symétrie Centrale 4

5 a xay = a x A y 5ème-II-Symétrie Centrale 5