O K = {S S(G) : S K = } O U = {S S(G) : S U }
|
|
- Gisèle Dussault
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 ij Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z Ì ÓÑ À ØØ Ð ¾½ Ñ ¾¼½¼ ØÖ Ø Ì Ô Ó ÐÓ Ù ÖÓÙÔ Ó ÐÓ ÐÐÝ ÓÑÔ Ø ØÓÔÓÐÓ Ð ÖÓÙÔ Ò ÓÛ Û Ø Ò ØÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ý ÐÐ Ø ÙØÝ ØÓÔÓÐÓ Ýº Ï ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ö Ø Ô Ó ÐÓ Ù ÖÓÙÔ Ó Ø ÖÓÙÔ R Z Ò Ó Ø Ù Ð C µ Û ÐÝ ÒÓÒ ØÖ Ú Ð ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÖÓÙÔ ÓÒØ Ò Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÖÓÙÔ Ó Ø Û Ò ÖÖ Ò Ò ÙÒÓÙÒØ Ð º Ë G Ø ÙÒ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø Ð³ Ô S(G) ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ G Ø ÑÙÒ Ð ØÓÔÓÐÓ ÙØÝ ÚÓ Ö µº ØØ ØÓÔÓÐÓ Ø S(G) ÙÒ Ô ÓÑÔ Ø ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ À Ö ÔÓÙÖ ÙÒ Ü ÐÐ ÒØ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒµº Ä³Ó Ø Ø ÖØ Ð Ø Ð³ ØÙ Ø Ô ÔÓÙÖ Ð ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ G = R Z Ø ÒÓÙ ÑÓÒØÖ ÖÓÒ ÕÙ Ð ØÓÔÓÐÓ S(R Z) Ø Ò ÙÐ Ö Ñ ÒØ ÓÑÔÐ ÕÙ Ø Ñ Ð Ö Ð ÑÔÐ Ø R Zº Ø Ô Ø ÒØ ÒÓÒ ÕÙ Ñ ÒØ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ð³ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ Ù ÖÓÙÔ Ù Ð C R Z Ø ÖØ Ð ÜÔÐ Ø Ù Ð³ Ô S(C )º ij Ô S(G) Ò ÓÒ Ò Ñ Ð Ø Ò Ò Ö Ð Ð ÜÔÐ Ø Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ÐÙÐ ÓÑÔÐ Ø ÒÓÒ Ò Ð Ø Áº ÈÓÙÖ ÞÞ Ø Âº ÀÙ Ö Ò ½ ÕÙ ÓÒØ ÑÓÒØÖ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ G = R 2 г Ô S(R 2 ) Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ð Ô Ö S 4 Ñ Ò ÓÒ 4 ÚÓ Ö ÈÀ µº Ò ÔÐÙ Ö ÑÑ ÒØ Åº ʺ Ö ÓÒ Èº Ð À ÖÔ Ø Îº ÃÐ ÔØ ÝÒ ÓÒØ ÐÙÐ Ø Ô ÔÓÙÖ Ð ÖÓÙÔ À Ò Ö Ñ Ò ÓÒ 3 ÚÓ Ö Àà µ Ø º ÃÐÓ Ò Ö ÑÓÒØÖ Õ٠г Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Ø Ø ØÖ Ø Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒÒ Ü ÚÓ Ö ÃÐÓ µº ËÓ Ø A R 2 г Ô ÒÒ ÙÜ Û Ò ÚÓ Ö Ð ÙÖ ½µ Ö ÙÒ ÓÒ ³ÙÒ Ò Ò Ø ÒÓÑ Ö Ð ÖÐ (A k ) k N\{0} Ö ÒÓÒØÖ ÒØ ÙÜ ÙÜ Ü Ø Ñ ÒØ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ Ø ³ ÙÑÙÐ ÒØ ÙÖ ÔÓ Òغ ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö k N\{0} ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ ÓÔ D k Ù ÕÙ ÖÑ Ø I = [0, 1]º ÅÙÒ ÓÒ Ð Ö ÙÒ ÓÒ Ó ÒØ I k N\{0} D k Ð ØÓÔÓÐÓ Ø ÐÐ ÕÙ Ð ÕÙ D k ³ ÙÑÙÐ ÒØ ÙÖ Ð Ñ ÒØ I Ð ÐÓÒ Ö ÝÓÒ ÕÙ ÚÓ Ö Ð ÙÖ µº Ê ÓÐÐÓÒ Ò Ò Ð ÖÐ D k Ù ÓÖ ÙÒ ÕÙ ÙÖ Ð³ Ô A Ð Ñ Ò Ö Ù Ú ÒØ º ËÓ Ø (I q ) q Q/Z ÙÒ Ñ ÐÐ Ñ ÒØ Ó ÒØ Ù ÖÐ D k ÓÒØ Ð³ÓÖ Ö ÝÐ ÕÙ Ø ÓÒÒ Ô Ö ÐÙ Q/Z ÐÓÖ Ò ÓÒ g k : D k A ÕÙ ÙÖ ÕÙ Ñ ÒØ I q ØÙ ÙÒ Ó Ð ØÓÙÖ Ù ÖÐ A kb Ò Ð Ò Ö Ø Ô ÖØ Ö 0 Ó b N\{0} Ò ½
2 Ð ÒÓÑ Ò Ø ÙÖ q Ø ÕÙ ÒÚÓ Ð Ö Ø Ù ÖÐ D k ÙÖ 0º Ð Ò Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ g : k N\{0} D k Aº ÈÖÓÐÓÒ ÓÒ ÓÒØ Ò Ñ ÒØ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ g г ÜØÖ Ñ Ø 0 Ù Ñ ÒØ I Ò Ò ÒØ g(0) ÓÑÑ Ð ÔÓ ÒØ Ò ÙÐ Ö ÒÒ ÙÜ Û Ò Aº Ì ÓÖ Ñ º ij Ô S(R Z) Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ð Ö ÙÒ ÓÒ ÕÙ (D k ) k N\{0} ³ Ù¹ ÑÙÐ ÒØ ÙÖ I Ö ÓÐÐ ÙÖ Ð³ Ô A Ô Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ gº Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ ÒÓÙ Ö ÔÔ ÐÓÒ ÔÖÓÔÖ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ð ØÓÔÓÐÓ ¹ ÙØݺ Ò ÙÒ ÙÜ Ñ Ô ÖØ ÒÓÙ ÓÑÑ ÒÓÒ Ô Ö Ö Ö Ð Ñ ÐÐ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Zº Ò Ù Ø ÒÓÙ Ö ÚÓÒ ÙÒ ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ù ÕÙ ÓÙÚ ÖØ Ô Ö Ö Ù¹ Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ º ÒÓÙ Ô ÖÑ Ø Ö Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÓÐÐ Ñ ÒØ Ñ ÐÐ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ º Ò Ò ÒÓÙ ÓÒÒÓÒ ÙÒ Ö ÔØ ÓÒ ÓÑ Ò ØÓ Ö Ù ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð³ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z Ø ÑÓÒØÖÓÒ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ³ Ð Ø ÒÓÒ ÒÓÑ Ö Ð º Â Ø Ò Ö Ñ Ö Ö Ð ÙÖ Ù Ñ ÒØ Ö Ö È ÙÐ Ò ÔÓÙÖ Ö Ð ØÙÖ ØØ ÒØ Ú Ø ÔÖ ÙÜ ÓÒ Ð Ò ÕÙ È ÖÖ Ð À ÖÔ ÔÓÙÖ ÒÓÑ Ö Ù Ö Ñ ÖÕÙ Ý ÒØ Ô ÖÑ ÓÒ Ö Ð Ñ ÒØ Ñ Ð ÓÖ Ö Ð ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÖØ Ð º Â Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ñ Ö Ö Ú ÓÖÒÙÐ Ö Õ٠ѳ Ø ÒÓÑ Ö ÙÜ ÓÑÑ ÒØ Ö ÔÖ ÙÜ Ø ÜÔÐ ÕÙ ÔÐÙ ÙÖ Ô Ö Ô Ø Ú º ½ ½º½ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö Ò Ø ÓÒ ËÓ ÒØ X ÙÒ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø Ø F(X) г Ò Ñ Ð ÖÑ Xº ÇÒ ÑÙÒ Ø F(X) Ð ØÓÔÓÐÓ ÙØÝ µ Ð ÓÙÚ ÖØ ÓÒØ Ð Ö ÙÒ ÓÒ ÕÙ ÐÓÒÕÙ ³ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ô ÖØ Ð ÓÖÑ O K = {S S(G) : S K = } O U = {S S(G) : S U } Ó K Ø ÙÒ ÓÑÔ Ø X Ø U ÙÒ ÓÙÚ ÖØ Xº ËÓ Ø G ÙÒ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Øº ÇÒ ÒÓØ S(G) F(G) г Ò Ñ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ ÑÙÒ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø º Ä Ö ÙÐØ Ø Ù Ú ÒØ Ø Ð ÕÙ ÓÒ ÔÓÙÖÖ Ö Ö Ö ÓÙ Ôº ÎÁÁÁ 5 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Áº º½º¾ Ôº ÓÙ È ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Ôº Ô Ö Ü ÑÔÐ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½º ij Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ F(G) Ø ÓÑÔ Øº ÔÐÙ Ð ÓÙ ¹ Ô S(G) Ø ÙÒ ÖÑ F(G) ÓÒ Ø ÓÑÔ Øº Ä ÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ Ù Ú ÒØ ÓÒØ Ð Ñ ÒØ Ö º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º¾º ËÓ Ø f : G H ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø ÕÙ Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÙÚ ÖØ º ÐÓÖ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (f) : S(H) S(G) Ò Ô Ö S f 1 (S) Ø ÓÒØ ÒÙ º ¾
3 ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ËÓ Ø K ÙÒ ÓÑÔ Ø G ÐÓÖ f(k) Ø ÙÒ ÓÑÔ Ø H Ø S (f) 1 (O K ) = O f(k) Ø ÙÒ ÓÙÚ ÖØ S(H)º ËÓ Ø U ÙÒ ÓÙÚ ÖØ G ÐÓÖ Ô Ö ÝÔÓØ f(u) Ø ÙÒ ÓÙÚ ÖØ H Ø S (f) 1 (O U ) = O f(u) Ø ÙÒ ÓÙÚ ÖØ S(H)º Ò Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (f) Ø ÓÒØ ÒÙ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º ËÓ Ø f : G H ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø ÕÙ Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÙÖ ÓÒ Ñ ³ Ñ ÖÑ º ÐÓÖ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (f) : S(G) S(H) Ò Ô Ö S f(s) Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÙÖ ÓÒ Ñ º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ËÓ Ø S ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ Gº ÐÓÖ ÔÙ ÕÙ f Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÙÖ ÓÒ Ñ f(s) Ø ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ f(g)º ÇÖ f(g) Ø ÐÙ ¹Ñ Ñ ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ H ÓÒ Ò Ð Ñ ÒØ f(s) Ø ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ H Ò Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (f) Ø Ò Ò º ÓÒ ÖÓÒ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ g = f 1 f(g) : f(g) G ³ Ø ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø º Ò Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (g) : S(G) S(H) ÕÙ S Ó g 1 (S) Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÙÖ ÓÒ Ñ S(f(G)) Ø ØØ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ò Ú Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (f)º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ Õ٠г ÝÔÓØ ÕÙ f Ö Ð ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÙÖ ÓÒ Ñ Ø Ò Ö º Ò Ø ÓÒ ÖÓÒ Ð³ ÒØ Ø i Ù ÖÓÙÔ G = R ÑÙÒ Ð ØÓÔÓÐÓ Ö Ø Ú Ð ÙÖ Ò H = R ÑÙÒ Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ù ÐÐ º ij ÒØ Ø i Ø ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ø ÓÒØ Ð³ Ñ Ø Ò ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Ñ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (i) Ò³ Ø Ñ Ñ Ô Ò ØÓÙØ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Ñ Ñ ÒÓÒ ÖÑ µ H Ø ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ Gº Ò Ð Ó Ð ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø G Ø ÑÙÒ ³ÙÒ Ø Ò Ò Ù ¹ ÒØ ØÓÔÓÐÓ ÓÒ Ô ÙØ Ö Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ G ÔÓÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ ÙØÝ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ä ÑÑ Áº º½º Ôº ¼ È ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Ôº ¼ µº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º ÍÒ Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ (S ) N ÓÒÚ Ö Ú Ö ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ S Ò S(G) Ø ÙÐ Ñ ÒØ S Ø Ð³ Ò Ñ Ð Ú Ð ÙÖ ³ Ö Ò Ù Ø (S ) N ³ ع¹ Ö ½º ÈÓÙÖ ØÓÙØ x S Ð Ü Ø ÙÒ Ù Ø (x ) N ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö x Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒÓÙ ÝÓÒ x S º ¾º ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ô ÖØ Ò Ò P N ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ù Ø (x ) P ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö x Ø ÐÐ ÕÙ x S ÔÓÙÖ ØÓÙØ P ÒÓÙ ÚÓÒ x Sº È Ö ÐÐ ÙÖ ÓÒ ÙÒ Ö Ø Ö ÑÔÐ Ñ ØÖ Ð Ø Ð³ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ È ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Ôº ¼ µº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º Ë ÔÐÙ Ð Ø Ò G Ø ÔÖÓÔÖ º º Ð ÓÙÐ ÖÑ ÓÒØ Óѹ Ô Ø µ ÐÓÖ Ð³ Ô S(G) Ø Ñ ØÖ Ð ÔÓÙÖ Ð Ø Ò À Ù ÓÖ ÔÓ ÒØ ÚÓ Ö À Ò Ø ÓÒ º Ôº µ S S ÓÒØ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ G ÓÒ Ò Ø d À Ù (S, S ) ÓÑÑ Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ ε > 0 Ø Ð ÕÙ S B(e, 1 ε ) V ε(s ) Ø S B(e, 1 ε ) V ε(s),
4 Ó V ε (S ) Ò Ð ε¹úó Ò ÓÙÚ ÖØ S Ò Gº ½º¾ Ü ÑÔÐ Ä Ü ÑÔÐ Ù Ú ÒØ ÐÙÐ ³ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ ÓÒØ Ò ÓÒÒÙ ÒÓÙ Ð Ö ÔÔ ÐÓÒ ÔÓÙÖ Ü Ö Ð ÒÓØ Ø ÓÒ º ÆÓØÓÒ X Z Ð ÓÙ ¹ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÓÑÔ Ø R Ò Ô Ö X Z = {0} { 1, N\{0}}º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ φ Z : X Z S(Z) Ò Ô Ö 1 ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º Z Ø 0 {0} Ø ÙÒ ÓÔØÓÒ Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÖÑ 1 Z = {0} Ø 1 Z = Rº ØØ ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ø 0 Ù Ø Ô Ö Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ φ R : X R = [0, ] S(R) Ò Ô Ö α 1 Z Ø ÙÒ ÓÑ Ó¹ α ÑÓÖÔ Ñ º ½º Ù Ð Ø Ë G Ø ÙÒ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø Ð Ò ÒÓØÓÒ Ĝ ÓÒ Ù Ð ÈÓÒØÖÝ ¹ Ò Ð ÖÓÙÔ Ö Ø Ö G ³ ع¹ Ö ÑÓÖÔ Ñ ÓÒØ ÒÙ G Ú Ð ÙÖ Ò S 1 º ³ Ø ÙÒ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø Ð Òº ÇÒ ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÒÓÒ ÕÙ ÒØÖ G Ø ÓÒ Ù Ð Ĝ ÚÓ Ö ÈÓÒ Ì ÓÖ Ñ ¾ Ôº ¾ µº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ G Ĝ Ò S1 Ò Ô Ö (g, χ) χ(g) Ø ÓÒØ ÒÙ Ø Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ G g Ĝ {χ χ(g)} Ø ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ º ÔÐÙ ÓÒ ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÒÓÒ ÕÙ ÒØÖ Ð³ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ G Ø ÐÙ Ĝº ÇÒ Ò ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÔÖ ÙÚ Ò ÙÒ ÖØ Ð ³ Ú ÓÖÒÙÐ Ö ÚÓ Ö ÓÖ µ Ò ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ φ G : S(G) S(Ĝ) H {χ Ĝ : h H, χ(h) = 1} Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º
5 ¾ Ä ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z ÓÒ ÖÓÒ Ð ÖÓÙÔ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ð Ò ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø Ñ ØÖ Ð R Zº ÆÓØÓÒ i : R R Z Ð ÑÓÖÔ Ñ Ò Ø x (x, 0) Ø π : R Z Z Ð ÙÜ Ñ ÔÖÓ Ø ÓÒº ÆÓÙ ÒÓØ ÖÓÒ E(x) Ð Ô ÖØ ÒØ Ö Ù Ö Ð xº ÓÔØÓÒ Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÕÙ ÒÓÙ Ö ÖÓÒ ÕÙ Ö Ø ÓÒÒ Ð β = a Ú a Z Ø b N\{0} ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ Ùܺ Ë β R ÒÓÙ ÒÓØ ÖÓÒ b β ÓÒ Ñ Ò R/Zº Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ Ð Ù Ð Ù ÖÓÙÔ R Z Ø ÓÑÓÖÔ Ù ÖÓÙÔ ÑÙÐØ ÔÐ Ø C ÓÒ ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º г Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z Ø ÐÙ C ÓÒØ ÓÑ ÓÑÓÖÔ º ¾º½ Ö ÔØ ÓÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ö Ö ØÓÙ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ Ù ÖÓÙÔ R Zº ËÓ Ø H ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Zº ÐÓÖ H (R {0}) Ø ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R {0} Ó Ø ÓÒ α гÙÒ ÕÙ Ð Ñ ÒØ [0, ] Ø Ð ÕÙ H (R {0}) = 1 Z {0}º ÔÐÙ α π(h) Ø ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Z Ó Ø ÓÒ Ð³ÙÒ ÕÙ Ð Ñ ÒØ N Ø Ð ÕÙ π(h) = Zº Ë = 0 ÐÓÖ H = G I α Ó ÒÓÙ ÒÓØÓÒ G I α = Z( 1 α, 0). Ë > 0 ÔÐÙ ÙÖ ÓÒØ Ø Ò Ù Öº Ë α = 0 ÐÓÖ π 1 () H = {(γ, )} ÔÓÙÖ ÙÒ ÙÒ ÕÙ γ Rº ÐÓÖ H = G II γ, Ó ÒÓÙ ÒÓØÓÒ G II γ, = Z(γ, ). Ë 0 < α < ÐÓÖ π 1 () H = {( β+p, ), p Z} ÔÓÙÖ ÙÒ ÙÒ ÕÙ β R/Zº ÐÓÖ α H = G III α,β, Ó ÒÓÙ ÒÓØÓÒ G III α,β, = Z( 1 α, 0) + Z(β α, ). Ë α = ÐÓÖ π 1 () H = R {}º ÐÓÖ H = G IV Ó ÒÓÙ ÒÓØÓÒ G IV = R Z. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º½º ij Ò Ñ Ð S(R Z) ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z Ø Ö ÙÒ ÓÒ Ó ÒØ Ñ ÐÐ {G I α = Z( 1, 0) : α [0, ]} α {G II γ, = Z(γ, ) : γ R, N\{0}} {G III = Z( 1 α,β, α, 0) + Z(β, ) : α ]0, [, β R/Z, N\{0}} α Ø {G IV = R Z : N\{0}}. ÔÐÙ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÙÒ Ñ ÐÐ Ø Ø º
6 ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ÓÙÐ Ð Ò Ø ÓÒ Ø Ð³ÙÒ Ø Ô Ö Ñ ØÖ α β > 0 Ø α ]0, [ µ Ø γ > 0 Ø α = 0µ ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ R Z ÖÑ H ÓÒÒ º ÓÒ ÖÓÒ Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ S(R Z) Ò ØÖÓ ÓÙ ¹ Ô ½º Ä ÓÙ ¹ Ô S I ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z ÓÒØ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ ÙÖ Z Ø {0} Ù {0}º Ë Ð Ñ ÒØ ÓÒØ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ G I α ÔÓÙÖ α ]0, ]º ¾º Ä ÓÙ ¹ Ô S II ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z ÕÙ ÓÒØ ÝÐ ÕÙ Ò Ò Ø ÓÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ø ÓÒ ÙÖ Z Ö ÒØ {0} Ò ÕÙ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ {0}º Ë Ð Ñ ÒØ ÓÒØ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ G II γ, ÔÓÙÖ γ R Ø N\{0} Ø {0}º º Ä ÓÙ ¹ Ô S III ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z ÓÑÓÖÔ Z 2 ÓÙ R Zº Ë Ð Ñ ÒØ ÓÒØ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ G III α,β, ÔÓÙÖ α ]0, [ β R/Z Ø N\{0} Ò ÕÙ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ G IV ÔÓÙÖ N\{0}º ÆÓØÓÒ S III Ð ÓÙ ¹ Ô ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ Ú Ð ÙÖ N\{0} Ü ³ ع¹ Ö Ð Ö ÙÒ ÓÒ G III α,β, ÔÓÙÖ α ]0, [ Ø β R/Z Ø G IV º ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ö Ö Ð ØÓÔÓÐÓ ÙÒ ÓÙ ¹ Ô S I S II Ø S III º ÈÙ ÒÓÙ ÐÐÓÒ Ö Ö ÓÑÑ ÒØ Ô Ö ÓÐÐ ÒØ ÔÓÙÖ ÓÖÑ Ö Ð³ Ô S(R Z)º ¾º¾ Ä ÓÙ ¹ Ô S I ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º¾º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ I : ]0, ] S I Ò Ô Ö α Z( 1, 0) Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖ¹ α Ô Ñ º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ ψ I Ø Ð ÓÑÔÓ Ð³ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ φ R : [0, ] S(R) Ø Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S (i) : S(R) S(R Z)º ÇÖ Ð ÑÓÖÔ Ñ i Ø ÙÒ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ³ Ñ ÖÑ R Z ÓÒ ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º г ÔÔÐ Ø ÓÒ S (i) Ø ÙÒ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ³ Ñ S I º ¾º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ Õ٠г Ö Ò S I Ò S Ø Ð S I {{0}}º Ä ÓÙ ¹ Ô S II ÓÒ ÖÓÒ Ð³ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÒÒ ÙÜ Û Ò A = N\{0} A Ó A Ò Ð ÖÐ Ò Ð ÖÓ Ø ÓÑÔÐ Ü C ÒØÖ 1 Ø Ö ÝÓÒ 1 ÚÓ Ö Ð ÙÖ ½µº
7 º ½ ij Ô ÒÒ ÙÜ Û Ò A ÓÒ ÖÓÒ Ð Ø ÓÒ ψ II : A S II Ò Ô Ö 1 (1 + e2iθ ) 0 G II ta θ, Ó N\{0} Ø θ ] π 2, π 2 [ 0 {0}. ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ II Ñ Ø ÔÓÙÖ ÒÚ Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ (ψ II ) 1 : S II A Ò Ô Ö G II γ, 1 (1 + e2i arcta γ ) Ó N\{0} Ø γ R {0} 0. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º Ä Ø ÓÒ ψ II Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ÓÑÑ Ð³ Ô Ô ÖØ Ø ÓÑÔ Ø Ñ ØÖ Ð Ø Õ٠г Ô ³ ÖÖ Ú Ø Ñ ØÖ Ð Ð Ù Ø ÑÓÒØÖ Ö Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ II Ø ÕÙ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ º ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} Ø θ ] π, π[ г ÔÔÐ Ø ÓÒ 2 2 ψii Ø ÓÒØ ÒÙ Ò z = 1 (1 + e2iθ )º ËÓ Ø (z k ) k N ÙÒ Ù Ø A ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö zº ÐÓÖ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò Ð ÔÓ ÒØ z k ³ Ö Ø 1(1 + e2iθ k ) Ó ÔÐÙ Ð Ù Ø (θk ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö θº ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ Ð Ù Ø (ψ II (z k )) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö ψ II (z)º Ä Ò Ö Ø ÙÖ (taθ, ) ψ II (z) Ø Ð Ñ Ø Ð Ù Ø (ta θ k, ) k N ³ Ð Ñ ÒØ (ψ II (z k )) k N º Ê ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ³ÙÒ Ù Ø (p k taθ k, p k ) k P ³ Ð Ñ ÒØ (ψ II (z k )) k P ÓÒÚ Ö Ú Ö (x, m) Ó P Ò ÙÒ Ô ÖØ Ò Ò N Ø Ó p k Z ÔÓÙÖ ØÓÙØ k P º ÐÓÖ p k = p Ø ÓÒ Ø ÒØ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò ÓÒ (x, m) = p(taθ, ) ψ II (z)º ÅÓÒØÖÓÒ Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ II Ø ÓÒØ ÒÙ Ò 0º ËÓ Ø (z k = 1 k (1 + e 2iθ k ))k N ÙÒ Ù Ø A ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö 0º Ë Ð Ù Ø ( k ) k N Ø Ò Ú Ö + Ð Ø Ð Ö ÕÙ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ (ψ II (z k )) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö {0} = ψ II (0)º Ë ÒÓÒ ÕÙ ØØ ÜØÖ Ö ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ Ð Ù Ø (θ k ) k N Ø Ò Ú Ö ±π Ø Ò Ð Ø Ð Ñ ÒØ Ð Ö ÕÙ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ 2 (ψ II (z k )) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö {0} = ψ II (0)º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ Ô Ö ÓÑÔ Ø Ð³ Ô ÒÒ ÙÜ Û Ò A ÓÒ Ñ S II Ô Ö ψ II Ø ÓÑÔ Ø º
8 ¾º Ä ÓÙ ¹ Ô S III ÆÓØÓÒ D г Ö Ñ ÒØ {(α, β), α ]0, ], β R/Z}/ { } R/Z ÑÙÒ Ð ØÓÔÓÐÓ ÕÙÓØ ÒØ Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ù ÐÐ ÙÖ ]0, ] R/Z г Ô D Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ ÙÒ ÕÙ ÓÙÚ ÖØ ÓÒ ÒÓØ Ö Ò Ö ÑÑ ÒØ ÙÒ ÔÓ ÒØ ]0, ] R/Z Ø ÓÒ Ñ Ò Dµº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º ÈÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ III : D S III Ò Ô Ö (α, β) { G III α,β, G IV α < α = Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ III S III Ø ÒØ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø Ø Ñ ØÖ Ð ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ ψ III Ø ÕÙ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÔÖÓÔÖ º ÇÒ Ò Ù Ö Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ III ÓÒ ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º Ø Ø Ú ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º½º Ä Ô D Ø Ø ÕÙ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒØ ÒÙ Ø Ú Ø ÔÖÓÔÖ ËÓ Ø c = (α, β) D Ø Ð ÕÙ α º ËÓ Ø (d k ) k N = (, β k ) k N ÙÒ Ù Ø D ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö d ÕÙ Ò ÕÙ Ð Ù Ø ( ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö α Ø ÕÙ Ð Ù Ø (β k ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö βº ÐÓÖ Ð ÙÜ Ò Ö Ø ÙÖ ( 1, 0) Ø α (β 1, ) Ù ÖÓÙÔ ψiii α (d) ÓÒØ Ð Ð Ñ Ø Ù Ø (, 0) k N Ø ( β k, ) (ψ III(d k)) k N Ö Ô Ø Ú Ñ Òغ Ê ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ Ó Ø P ÙÒ Ô ÖØ Ò Ò N Ø Ó Ø ( p k+q k β k, q k ) k P ÙÒ Ù Ø (ψ III (d k )) k P ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö (x, m)º ÐÓÖ q k = q Ø ÓÒ Ø ÒØ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò Ø ÓÒ p k = p Ð Ñ Òغ Ò ÓÒÐÙ ÓÒ Ð³ Ð Ñ ÒØ (x, m) = ( p+qβ, q) α ÔÔ ÖØ ÒØ ψ III (d)º ÇÒ ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ (ψiii (d k)) k N ÓÒÚ Ö Ø Ú Ö ψ III (d)º ËÓ Ø d = (, 0) Ð ÒØÖ Ù ÕÙ Dº ËÓ Ø (d k ) k N = (, β k ) k N ÙÒ Ù Ø D ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö d ÕÙ Ò ÕÙ Ð Ù Ø ( ) k N Ø Ò Ú Ö º ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ k Nº Ó ÓÒ ( Ö ÔÖ ÒØ ÒØ ) β k β k ÓÖÒ º ËÓ Ø (x, q) ψ III (d) Ó x R Ø q Zº ÐÓÖ Ð Ù Ø E(xαk )+qβ k, q ³ Ð Ñ ÒØ (ψ III (d k )) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö (x, q)º ÈÙ ÕÙ ψ III (ψ III (d k ) ψ III (d k)) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö ψ III Ò Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ III k N (c) ÔÓÙÖ ØÓÙØ k N ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ (d)º Ø ÓÒØ ÒÙ º ËÓ Ø (d k ) k N = (, β k ) k N ÙÒ Ù Ø ÓÖØ ÒØ ØÓÙØ ÓÑÔ Ø Dº ÅÓÒØÖÓÒ Ô Ö Ð³ ÙÖ ÕÙ Ð Ù Ø (ψ III (d k )) k N ÓÖØ ØÓÙØ ÓÑÔ Ø S III ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ ØØ ÜØÖ Ö ÕÙ ØØ Ù Ø ÓÒÚ Ö Ú Ö ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ H S III º ÐÓÖ Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ φ 1 R S (i) ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ Ð Ù Ø ( = φ 1 R S (i)(ψ III (d k ))) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö α = φ 1 R S (i)(h) ]0, ]º ÇÖ Ð ÓÙ ¹ Ô {α α } Ù ÕÙ D Ø ÙÒ ÕÙ ÖÑ ÓÒ Ø ÓÑÔ Øº 2 Ø ÙÒ ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ú Ð Ø ÕÙ Ð Ù Ø (d k ) k N ÓÖØ ØÓÙØ ÓÑÔ Ø Ò Ð Ù Ø (ψ III (d k )) k N ÓÖØ ØÓÙØ ÓÑÔ Ø S III Ø Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ S III Ø ÓÒ ÔÖÓÔÖ º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} Ð ÓÙ ¹ Ô S III ÓÒØ ÓÙÚ ÖØ Ò Ø ÓÒØ Ð Ñ Ö ÔÖÓÕÙ Ô Ö π : S(R Z) S(Z) ÓÙÚ ÖØ {Z}º
9 ÍÒ ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ù ÕÙ ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ò Ö ÙÒ ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ù ÕÙ ÓÙÚ ÖØ D Ò Ò ¾º µ Ò ÙÒ ÕÙ ÖÑ ÔÐÙ Ò ÕÙ Ð ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ù Ù ÐÐ Ð ³ Ø ³ Ð Ø Ö ÕÙ ÔÓ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ð Ù ÓÖ Ù Ù Ð D Ò Ð Ö ÑÔÐ ÒØ Ô Ö ÙÒ Ô Ø Ø Ö ÖÐ º ØØ Ñ Ø Ó Ø Ò Ô Ö ØÖ Ú ÙÜ Ò ÓÝ ÓÒ Ø ÒØ Ð Ø Ö Ð ÖÐ Ð ÐÓÒ Ð³ÓÖ Ø ³ÙÒ ÖÓØ Ø ÓÒ ÖÖ Ø ÓÒÒ ÐÐ º ÇÒ Ô ÙØ Ù Ý Ô Ò Ö Ù ÔÓ ÒØ ÚÙ Ð Ø Ñ ÒØ Ò ÓÑ ØÖ Ð Ö ÕÙ Ó Ò ÓÖÑ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ö ÑÔÐ ÕÙ ÔÓ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ð Ù ÖÐ Ô Ö ÙÒ Ñ ¹ Ô Ñ ¹ ÖÓ Ø Ù Ð Ù Ö ÑÔÐ Ö Ô Ö ÙÒ ÖÓ Ø ÔÖÓ Ø Ú º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½º ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ρ Ù ÕÙ ÓÙÚ ÖØ D Ò ÙÒ ÕÙ ÖÑ D ³ Ñ Ð³ ÒØ Ö ÙÖ D Ø Ð Ü Ø ÙÒ Ñ ÐÐ ³ Ö ÖÐ ÙÜ ÙÜ Ó ÒØ (I q ) q Q/Z ÒÐÙ Ò D ÓÒØ Ð³ÓÖ Ö ÝÐ ÕÙ Ø ÓÒÒ Ô Ö Q/Z Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ f q : [, ] I q Ø Ð ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ù Ø Ö ÐÐ (α ) N Ø (β ) N Ú Ö ÒØ ½º Ð Ù Ø (α ) N Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú Ø ÓÒÚ Ö Ú Ö 0 ¾º Ð Ù Ø (β ) N ÓÒÚ Ö Ú Ö β Q º Ð Ù Ø ( β β α ) N ÓÒÚ Ö Ú Ö x [, ] ÐÓÖ Ð Ù Ø (ρ(α, β )) N ÓÒÚ Ö Ú Ö f β (x) I β Dº ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ÓÒ ÖÓÒ Ð ÑÓ Ð Ù Ñ ¹ÔÐ Ò ÈÓ Ò Ö ÔÓÙÖ Ð ÔÐ Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ Ö Ð H 2 ÓÒ ÓÖ H 2 Ø Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ ÒØ R { }º ÓÒ ÖÓÒ Ð Ö Ù Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Γ = PSL(2, Z) Ò Ð ÖÓÙÔ ÓÑ ØÖ ÔÖ ÖÚ ÒØ Ð³ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ PSL(2, R) H 2 Ø ÔÔ ÐÓÒ M Ð ÙÖ ÑÓ ÙÐ Ö M = Γ\H 2 º ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ ÚÓ Ò Å Ö ÙÐ V Ð ÔÓ ÒØ M ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ã µº ËÓÒ Ñ Ö ÔÖÓÕÙ Ô Ö Ð Ö Ú Ø Ñ ÒØ Ö Ñ H 2 M Ø ÙÒ Ö ÙÒ ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö Γ ³ Ó¹ ÖÓ ÓÙÐ ÓÙÚ ÖØ N q ÒØÖ Ò q Q { } H 2 ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ø ÓÒÒ Ð q Q { } ³ Ö Ò ÙÜ ÙÜ Ó ÒØ º ÆÓØÓÒ E = M\V ÕÙ Ø ÙÒ ÓÖ ÓÐ ÓÖ º ÁÐ Ñ Ø ÓÑÑ ÓÑ Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð ÕÙ Ö Ð Ø Ö Q ÕÙ Ø Ð ÓÑ Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ù Ù Ð Γ ÔÖ Ú Ð³ ÓÖÓ ÓÙÐ N ÚÓ Ö Ð ÙÖ ¾µº ÔÔ ÐÓÒ a b c Ø d Ð ÕÙ ØÖ Ø Q a Ø ÙÒ Ö Ð Ó ÕÙ Ó Ò ÒØ 1 Ø 1 b Ö Ôº dµ Ø ÙÒ Ö Ó ÕÙ Ó Ò ÒØ 1 Ö Ôº 1µ 2 2 Ø c Ø ÙÒ Ö ³ ÓÖÓÝÐ ÒØÖ Ò º ËÓ ÒØ T Ø S Ð ÓÑ ØÖ Ù ÔÐ Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ T : z z + 1 Ø S : z 1 Ð Ø Ò z ÓÒÒÙ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ë Ö µ ÕÙ Ð Ö Ù Γ = PSL(2, Z) Ø Ò Ò Ö Ô Ö S Ø T º
10 º ¾ Ä ÓÑ Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ð Q гÓÖ ÓÐ E ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ ÕÙ Ö Ð Ø Ö ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ ÓÒÚ Ü ÓÑÔ Ø Q ÓÒØ Ð Ø a b c Ø d ÓÒØ Ó ÕÙ Ø Ð ÕÙ Ð Ò Ð ÒØÖ a Ø b Ø ÒØÖ d Ø a Ú Ð ÒØ π Ø Ø Ð ÕÙ Ð Ò Ð 3 ÒØÖ b Ø c Ø ÒØÖ c Ø d Ú Ð ÒØ π ÚÓ Ö Ð ÙÖ º ËÓ Ø T Ð ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ 2 ³ Ü Ð Ó ÕÙ ÔÓÖØ ÒØ c ÕÙ ÒÚÓ Ð Ó ÕÙ ÔÓÖØ Ô Ö Ð Ø b ÙÖ Ð Ó ÕÙ ÔÓÖØ Ô Ö Ð Ø d Ø Ó Ø S Ð ÖÓØ Ø ÓÒ ³ Ò Ð π ÙØÓÙÖ Ù Ñ Ð Ù Ù Ñ ÒØ a º ËÓ Ø Γ PSL(2, R) Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Ò Ò Ö Ô Ö S Ø T º º Ä ÓÑ Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ð Q гÓÖ ÓÐ E ÓÒ ÖÓÒ Ð³ÓÖ ÓÐ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ ÓÖ E Ó Ø ÒÙ ÓÑÑ ÕÙÓØ ÒØ Ð ÙÖ Ý¹ Ô Ö ÓÐ ÕÙ ÓÖ Γ Q Ô Ö Ð ÖÓÙÔ Γ º ÁÐ Ø Ð Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ù ½¼
11 ÕÙ Ö Ð Ø Ö Q ÙÖ Ð ÕÙ Ö Ð Ø Ö Q ÕÙ ÒÚÓ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ø a b c Ø d ÙÖ Ð ÓØ a b c Ø d º Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ô Ù ÕÙÓØ ÒØ Ò ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÒØÖ Ð ÓÖ ¹ ÓÐ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÓÖ E Ø E ÕÙ Ò Ø ÓÒ ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ ÙÜ ÓÖ ÓÐ θ : Γ Γ º È Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð³ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÒØÖ E Ø E г ÓÑÓÖÔ Ñ θ ÒÚÓ T ÙÖ T Ø S ÙÖ S º ÁÐ Ü Ø Ò ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ η ÒØÖ Ð Ö Ú Ø Ñ ÒØ ÓÖ ÓÐ ÙÒ Ú Ö Ð Ê Ø Ê E Ø E Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÔÐÙ θ¹ ÕÙ Ú Ö Òغ ÇÖ Ê = H2 \ q Q { } N q Ø Ê = Γ Q = H 2 \ q Q { } N q Ó N q Ø ÙÒ Ñ ¹ Ô ÓÙÚ ÖØ H 2 ÔÓÙÖ ØÓÙØ q Q { } ÚÓ Ö Ð ÙÖ µº ÉÙ ØØ Ö Ò Ü Ö Ð Ñ ¹ Ô (N q) q Q ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÓ Ö Õ٠г ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ η ÒÚÓ ÔÓÙÖ ØÓÙØ q Q { } г ÓÖÓÝÐ N q ÙÖ Ð Ó ÕÙ N qº ÆÓÙ ÐÐÓÒ ÔÖÓÐÓÒ Ö Ð³ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ η Ò ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ H 2 ÙÖ H 2 º ÜÓÒ q Q { }º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ η Ø Ò ÙÖ Ð³ ÓÖÓ ÖÐ N q ÔÖÓÐÓÒ ÓÒ ¹Ð N q ÙÖ N q Ó Ø z N q Ø Ó Ø z Ð ÔÓ ÒØ Ð Ó ÕÙ N q ØÙ ÙÖ Ð ÖÓ Ø ÙÐ ÒÒ Ô ÒØ Ô Ö q Ø z ÐÓÖ ÕÙ q = ÓÒ ÓÒ Ö Ð ÖÓ Ø Ú ÖØ Ð Ô ÒØ Ô Ö fµ ÚÓ Ö Ð ÙÖ º Ò η(z ) Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ Ð³ ÓÖÓ ÖÐ N q ÓÒ ÖÓÒ Ð Ö ÝÓÒ Ó ÕÙ γ Ù η(z ) ÓÖØ Ó ÓÒ Ð N q Ø ÒÐÙ Ò N qº Ò ÓÒ η(z) ÓÑÑ Ð ÔÓ ÒØ γ Ø Ò d H 2(z, z ) η(z )º º Ä ÔÖÓÐÓÒ Ñ ÒØ Ð³ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ η N q ÙÖ N q ÆÓÙ ÚÓÒ ÓÒ Ò ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ η H 2 ÙÖ H 2 ÕÙ Ô Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø ÔÐÙ (T, T )¹ ÕÙ Ú Ö ÒØ Ò Ø T ÔÖ ÖÚ Ð Ø Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ð ÖÓ Ø ÙÐ ÒÒ Ø T ÔÖ ÖÚ Ð Ø Ò ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ð Ó ÕÙ º Ä ÕÙÓØ ÒØ H 2 Ô Ö Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ T Ò Ò Ö Ô Ö Ð³ ÓÑ ØÖ Ô Ö ÓÐ ÕÙ T ³ Ò¹ Ø Ù ÕÙ ÔÓ ÒØ D\{ } Ô Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ z (Im(z), Re(z))º Ä ÙÜ ÓÑÔÓ ÒØ ÓÒÒ Ü Ù ÓÖ Ð³ Ò Ò Ð ÙÖ T \H 2 ³ ÒØ ÒØ Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ { } Ø R/Zº Ä ÕÙ D Ø ÐÓÖ Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÑ ÓÑÓÖÔ T \(H 2 { }) ÒÓÙ ÒØ ÖÓÒ ÙÜ Ô º Ñ Ñ Ð ÕÙÓØ ÒØ H 2 Ô Ö Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ T Ò Ò Ö Ô Ö Ð ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ T Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ ÙÒ ÒÒ Ù ÓÙÚ Öغ ÍÒ ÓÑ Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ò H 2 ÔÓÙÖ Ð³ Ø ÓÒ T ½½
12 Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð ÓÑ Ò ÓÑÔÖ ÒØÖ Ð ÙÜ Ó ÕÙ ÔÓÖØ ÒØ Ð Ø b Ø d º ÆÓØÓÒ I q = N q H2 Ð ÓÖ Ù Ñ ¹ Ô N q ³ Ø ÙÒ Ö Ù ÖÐ H 2 º Ä ÙÜ ÓÑÔÓ ÒØ ÓÒÒ Ü Ù ÓÖ Ð³ Ò Ò Ð ÙÖ T \H 2 ³ ÒØ ÒØ ÐÓÖ ÙÜ ÖÐ ÕÙ ÓÒØ Ð ÕÙÓØ ÒØ ÙÜ Ö ÖÐ ÓÙÚ ÖØ I Ø J H 2 Ô Ö Ð³ Ø ÓÒ T ÓÒØ Ð ÙÜ Ö ÖÐ Ð Ñ Ø Ô Ö Ð ÜØÖ Ñ Ø Ð³ Ü ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ T º ij Ö I Ø Ð³ ÒØ Ö ÙÖ Ð³ Ö ÖÑ I Ø Ð³ Ö J ÓÒØ ÒØ ØÓÙ Ð I q ÔÓÙÖ q Q ÚÓ Ö Ð ÙÖ µº ÔÔ ÐÓÒ D г Ö Ñ ÒØ Ð³ Ñ I Ò Ð³ ÒÒ Ù ÖÑ T \(H 2 I J) г Ô D Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ ÙÒ ÕÙ ÖÑ ÓÒØ Ð³ ÒØ Ö ÙÖ ³ ÒØ Ð³ Ñ T \(H 2 I)º ij ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ (T, T )¹ ÕÙ Ú Ö ÒØ η : H 2 H 2 Ô Ù ÕÙÓØ ÒØ Ò ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ρ : T \H 2 T \H 2 º Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÔÖÓÐÓÒ Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ D Ò Ò ÒØ ρ({ }) ÓÑÑ Ð³ Ñ I Ò Ð³ Ö Ñ ÒØ Dº ÇÒ Ó Ø ÒØ Ò ÙÒ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ρ : D D ³ Ñ Ð³ ÒØ Ö ÙÖ Dº ÈÓÙÖ ØÓÙØ q Q ÒÓØÓÒ I q г Ö ÖÐ Ñ ÓÑ ÓÑÓÖÔ I q Ò Dº ÁÐ Ö Ø Ú Ö Ö ÕÙ Ð ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ρ Ú Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÓÙ Ø Ó ÒØ (α ) N Ø (β ) N Ú Ö ÒØ Ð ØÖÓ ÓÒ Ø ÓÒ Ð³ ÒÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒº ÐÓÖ Ð ÔÓ ÒØ z = β + iα H 2 ÓÒÚ Ö Ú Ö Ð ÔÓ ÒØ Ð³ Ò Ò β Q ÓÒ ÔÔ ÖØ ÒØ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò Ð³ ÓÖÓ ÓÙÐ N β º ËÓ Ø z Ð ÔÓ ÒØ Ð Ó ÕÙ N β ØÙ ÙÖ Ð ÖÓ Ø ÙÐ ÒÒ δ Ô ÒØ Ô Ö β Ø z º Ò η(z ) Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ Ð³ ÓÖÓÝÐ N β ÓÒ ÖÓÒ Ð Ö ÝÓÒ Ó ÕÙ γ Ù η(z ) ÓÖØ Ó ÓÒ Ð N β Ø ÒÐÙ Ò N β º È Ö Ò Ø ÓÒ η(z ) Ø Ð ÔÓ ÒØ γ Ø Ò d H 2(z, z ) η(z )º È Ö Ð ØÖÓ Ñ ÝÔÓØ Ð ÖÓ Ø ÙÐ ÒÒ δ ÓÒÚ Ö Ú Ö Ð ÖÓ Ø δ Ô ÒØ Ô Ö β ÕÙ Ø ÙÒ Ò Ð ÓÖ ÒØ cotax Ú Ð³ Ü Ö Ð Ó Ø z Ð Ð Ñ Ø Ð Ù Ø (z ) N ³ Ø Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ð ÖÓ Ø δ Ú Ð³ ÓÖÓÝÐ N β º ÐÓÖ Ð Ö ÝÓÒ Ó ÕÙ γ ÓÒÚ Ö Ú Ö Ð Ö ÝÓÒ Ó ÕÙ γ Ô ÒØ Ô Ö η(z ) ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ó ÕÙ N β Ø ÒÐÙ Ò N βº È Ö ÐÐ ÙÖ Ð Ø Ò d H 2(z, z ) Ø Ò Ú Ö + Ô Ö Ð³ ÝÔÓØ ÙÖ Ð Ù Ø (α ) N ÓÒ Ð Ù Ø (η(z )) N ÓÒÚ Ö Ú Ö Ð³ ÜØÖ Ñ Ø Ð³ Ò Ò Ù Ö ÝÓÒ Ó ÕÙ γ ÒÓØÓÒ ¹Ð f β (x) I β Ó I β Ò Ð ÓÖ Ð³ Ò Ò N β º ØØ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÓÙÖÒ Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ f β : [, ] I β Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ø ÓÒÒ Ð β Qº Ä ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø ÒØ (T, T )¹ ÕÙ Ú Ö ÒØ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ù ÕÙÓØ ÒØ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ f q : [, ] I q ÔÓÙÖ ØÓÙØ q Q/Zº ÐÓÖ Ð Ù Ø (ρ(< T > z )) N ÓÒÚ Ö Ú Ö < T > f β (x) = f β (x)º Ò Ò Ð³ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ η 1 : H 2 H 2 Ò Ù Ø Ù ÓÖ ÙÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ s H 2 ÙÖ H 2 ÕÙ ÒÚÓ ÕÙ Ö ÖÐ I q ÙÖ Ð ÔÓ ÒØ q H 2 º ÄÓÖ Õ٠гÓÒ Ö ÕÙ Ö ÖÐ I q Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ ÖÐ Ø Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ s Ò Ù Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÖÐ ÙÖ Ð ÖÐ H 2 Ô Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ Ð³ÓÖ Ö ÝÐ ÕÙ Ø ÔÖ ÖÚ ÓÒ Ð Ö ÖÐ (I q) q Q ÓÒØ Ò Ð³ÓÖ Ö ÝÐ ÕÙ ÓÒÒ Ô Ö Q º ÈÙ Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ T ÔÖ ÖÚ ÒÓÖ Ø ÓÖ Ö ÝÐ ÕÙ Ø Ø Ð I ÓÒ Ð Ö ÖÐ (I q ) q Q/Z ÓÒØ Ò Ð³ÓÖ Ö ÝÐ ÕÙ ÓÒÒ Ô Ö Q/Zº ½¾
13 Ä Ö ÓÐÐ Ñ ÒØ ÓÙ ¹ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ º½ ij Ö Ò ÕÙ S III Ò S(R Z) ÈÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} Ò ÓÒ Ð Ð Ø g : D z A { 1 b (1 + e2i arcta(bf 1 q (z)) ) z I q Ó q = a b Qµ 0 ÒÓÒº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½º ij ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ψ III : D S III Ø ÙÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ D ÙÖ Ð³ Ö Ò S III ÔÖÓÐÓÒ D Ô Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ II g S III Ò S(R Z)º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ËÓ Ø (d k ) k N = (, β k ) k N ÙÒ Ù Ø D ÓÒÚ Ö ÒØ Ò D Ú Ö f q (x) I q Ó q = a Q Ø x Rº ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ (ψiii b (d k)) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö ψ II g (f q (x))º ÇÒ Ú Ö ÕÙ ψ II g (f q (x)) = ψ II ( 1 (1 + b e2i arcta(bx) )) = Z (bx, b)º ÔÐÙ Ð Ù Ø ( ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö 0 Ø Ð Ü Ø Ö Ð Ú (β k ) k N (β k ) k N ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö q Ø Ø Ð ÕÙ Ð Ù Ø ( β k q ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö xº ÐÓÖ Ð Ù Ø ( bβ k a, b) k N ³ Ð Ñ ÒØ (ψ III(d k) = S III ),β k, k N ÓÒÚ Ö Ú Ö Ð Ò ¹ Ö Ø ÙÖ (bx, b) Ù ÖÓÙÔ ψ II g (f q (x))º È Ö ÐÐ ÙÖ Ó ÒØ P ÙÒ Ô ÖØ Ò Ò N Ø ÒØ Ö s k, t k Z Ø Ð ÕÙ Ð Ù Ø ( s k+t k β k, t k ) k P ³ Ð Ñ ÒØ (ψ III(d k)) k P ÓÒÚ Ö Ú Ö (y, m) R Zº ÐÓÖ Ð Ù Ø t k Ø ÓÒ Ø ÒØ Ð t Z Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò Ø Ð Ù Ø (s k + tβ k ) k P ÓÒÚ Ö Ú Ö 0º ÈÙ ÕÙ Ð Ù Ø (β k ) k P ÓÒÚ Ö Ú Ö q Ð Ù Ø (s k ) k P Ó Ø ØÖ ÓÒ Ø ÒØ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò Ð s Z Ø Ð ÕÙ q = s º Ò Ð Ü Ø t l Z Ø Ð ÕÙ t = lb Ø s = laº Ò ÓÒ Ò ÓÒÐÙØ ÕÙ (y, m) = l(bx, b) ψ II g (f q (x))º Ò Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ (ψ III (d k )) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö ψ II g (f q (x))º ËÓ Ø (d k ) k N = (, β k ) k N ÙÒ Ù Ø D ÓÒÚ Ö ÒØ Ò D Ú Ö ÙÒ ÔÓ ÒØ z D Ò³ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ ÙÙÒ ÒØ Ö ÙÖ I q ÔÓÙÖ q Q/Zº ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ (ψ III(d k)) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö ψ II g (z) = {0}º ÇÒ Ø ÕÙ Ð Ù Ø ( ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö 0 Ø ÕÙ Ð Ù Ø (β k ) k N Ò³ Ñ Ø ÙÙÒ Ú Ð ÙÖ ³ Ö Ò Ò Q/Z ÕÙ ØØ ÜØÖ Ö ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø Ö Ð Ú (β k ) k N (β k ) k N ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö β R\Qº ËÓ ÒØ P ÙÒ Ô ÖØ Ò Ò N Ø ÒØ Ö s k, t k Z Ø Ð ÕÙ Ð Ù Ø ( s k+t k β k, t k ) k P ³ Ð Ñ ÒØ (ψ III(d k)) k P ÓÒÚ Ö Ú Ö (y, m) R Zº ÐÓÖ Ð Ù Ø t k Ø ÓÒ Ø ÒØ Ð t Z Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò Ø Ð Ù Ø (s k + tβ k ) k P ÓÒÚ Ö Ú Ö 0º ÈÙ ÕÙ Ð Ù Ø (β k ) k P ÓÒÚ Ö Ú Ö β 0 Ð Ù Ø (s k ) k P Ó Ø ØÖ ÓÒ Ø ÒØ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò º ÈÙ ÕÙ β Ø ÖÖ Ø ÓÒÒ Ð Ð ÙÐ ÔÓ Ð Ø Ø t = s k = 0º Ò Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ (ψ III(d k)) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö ψ II g (z) = {0}º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ Ð Ò Ø ÓÒ g (z) Ò Ø ÒØ ÖÚ Ò Ö ÕÙ Ð ÒÓÑ Ò Ø ÙÖ b Ù Ö Ø ÓÒÒ Ð q Ø Ð ÕÙ z I q º Ò Ð Ð Ø g ØÙ Ð ØÓÙÖ Ù ÖÐ A m Ü Ø Ñ ÒØ 0 Ó Ò Ú Ô m Ø ϕ( m ) Ú m Ó ϕ Ò Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ØÖ ³ ÙÐ Öº È Ö ÐÐ ÙÖ ÖÐ ÓÒØ Ô ÖÓÙÖÙ Ò Ð³ÓÖ Ö Q/Zº ½
14 º¾ ij ÙÑÙÐ Ø ÓÒ ÕÙ S III ÙÖ S I ÈÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} Ó Ø D ÙÒ ÓÔ Ù ÕÙ ÖÑ D Ø ÒÓØÓÒ D D Ð ÕÙ ÓÙÚ Öغ ËÓ Ø X Ð Ö ÙÒ ÓÒ ÕÙ Ó ÒØ (D ) N\{0} ³ ÙÑÙÐ ÒØ ÙÖ Ð ÙÖ Ö ÝÓÒ [0, ] ÓÖÑ ÐÐ Ñ ÒØ ÑÙÒ ÓÒ X = [0, ] N\{0} D Ð ØÓÔÓÐÓ Ð ÑÓ Ò Ò Ò Ù ÒØ ÙÖ [0, ] Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ù ÐÐ Ò Ù ÒØ ÙÖ N\{0} D Ð ØÓÔÓÐÓ Ö ÙÒ ÓÒ Ó ÒØ Ø Ø ÐÐ ÕÙ Ð ÙÜ ÔÖÓ Ø ÓÒ p 1 : X { 1, N\{0} { }} Ø p 2 : X [0, ] d D 1 d D α (d) d [0, ] 0 d [0, ] d Ó ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ó α Ò Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ α : D [0, ] d = (α, β) D α d D 0. ÍÒ ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ α [0, + ] Ò X Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð ÚÓ Ò p1 1 (U) p 1 { 2 (V ) Ó U Ø ÙÒ ÚÓ Ò α Ò [0, + ] Ø V Ø ÙÒ ÚÓ Ò 0 Ò 1, N\{0} { }} ³ ع¹ Ö ÕÙ ÓÒØ Ö ÙÒ ÓÒ ³ ÒÒ ÙÜ ÕÙ ³ ÙÑÙÐ ÒØ ÙÖ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ º Ñ Ò Ö ÔÐÙ Ú Ù ÐРг Ô X Ø Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ù ÓÙ ¹ Ô R 3 Ö ÙÒ ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} {+ } Ò ÓÑÑ Ø ( 1, 0, 1) ÙÖ Ð ÖÐ Ö Ù Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ = + µ Ò R 2 {0} ÒØÖ ( 1, 0, 0) Ø Ö ÝÓÒ 1 ÚÓ Ö Ð ÙÖ µº (+1) 2 ij Ô X Ø ÐÓÖ ÓÑÔ Øº ËÓ Ø X гÓÙÚ ÖØ ]0, ] N\{0} D Xº Ò ÓÒ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ X : X S(R Z) α ]0, ] ψ I (α) d D ψ III (d). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ X Ø ÙÒ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ÓÙÚ ÖØ X Ò S(R Z)º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ X Ø Ò Ø Ú º È Ö ÐÐ ÙÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} г ÔÔÐ ¹ Ø ÓÒ ψ III Ø ÙÒ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ÓÒ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ X Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ð³ÓÙÚ ÖØ D ÙÖ ψ X (D )º ÔÐ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ X Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ]0, ] ÙÖ ψ X (]0, ])º ÅÓÒØÖÓÒ Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ X Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ ]0, ] Ó Ø (d k ) k N = (, β k ) k N ÙÒ Ù Ø N\{0} D ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö α ]0, ]º ÐÓÖ d k D k Ó Ð Ù Ø ( k ) k N Ø Ò Ú Ö + Ø Ð Ù Ø ( ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö αº ÁÐ Ø ÐÓÖ Ð Ö ÕÙ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ (ψ III k (d k )) k N = (Z ( 1, 0)+Z ( β k, k )) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ Z ( 1, 0) = α ψi (α)º ÅÓÒØÖÓÒ Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ 1 X Ø ÓÒØ ÒÙ ÙÖ ψ X(]0, ]) Ó Ø (H k = ψ X (d k )) k N ÙÒ Ù Ø ψ X ( N\{0} D ) ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö ψ X (α) = 1 Z ψ α X(]0, ])º ÐÓÖ d k D k Ó k ½
15 N\{0}º Ä ÔÖÓ Ø ÓÒ π(h k ) = k Z Ù ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ ψ X (d k ) ÙÖ Z ÓÒÚ Ö Ú Ö {0} ÓÒ Ð Ù Ø ( k ) k N Ø Ò Ú Ö + º È Ö ÐÐ ÙÖ Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ i : S(R Z) S(R) ÚÓ Ö Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º¾µ г ÒØ Ö Ø ÓÒ 1 Z = H k (R {0}) = i (H k ) ÓÒÚ Ö Ú Ö 1 Z ÓÒ α Ð Ù Ø ( ) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö αº Ä Ù Ø (d k ) k N ÓÒÚ Ö ÓÒ Ú Ö α ]0, ] Ò Xº ÇÒ ÓÒ ÑÓÒØÖ Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ X Ö Ð Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÙÖ ÓÒ Ñ S(R Z)\S II º ÈÙ ÕÙ Ð ÓÙ ¹ Ô S II Ø ÖÑ Ð³ Ñ ψ X Ø ÓÙÚ ÖØ º º Ä Ö ÓÐÐ Ñ ÒØ Ò Ð Ä ÖÓÒØ Ö X Ò X Ø X = {0} N\{0} D ÕÙ Ø ÙÒ Ù Ø ÖÐ Ó ÒØ ³ ÙÑÙÐ ÒØ ÙÖ ÙÒ ÔÓ Òغ ÓÒ ÖÓÒ Ð ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ g : X A 0 0 d D g (d). Ô ÖÑ Ø Ò Ö Ð Ö ÓÐÐ Ñ ÒØ X g A Ò Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ : X g A S(R Z) Ô Ö ψ X = ψ X Ø ψ A = ψ II ÚÓ Ö Ð ÙÖ º ½
16 º Ä Ö ÓÐÐ Ñ ÒØ X g A ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ð³ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z Ì ÓÖ Ñ º º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ù Ö ÓÐÐ Ñ ÒØ X g A ÙÖ Ð³ Ô S(R Z)º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ Ø ¾º г ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ Ð³ÓÙÚ ÖØ X Ø Ò Ö ØÖ Ø ÓÒ Aº Ë z A\{0} ÐÓÖ Ð Ò³Ý ÕÙ³ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ³ ÒØ Ö N\{0} Ø Ð ÕÙ z g ( D) ÓÒ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ Ø ÓÒØ ÒÙ Ò zº Ë (x k ) k N Ø ÙÒ Ù Ø Ò X ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö 0 Ò 1 X g A ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ ψ(x k ) ÙÖ {0} Z ÓÒÚ Ö Ú Ö {0} Ø Ð Ò Ö Ø ÙÖ ψ(x k ) (R {0}) Ø Ò Ú Ö Ð³ Ò Ò ÓÒ Ð Ù Ø ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ (ψ(x k )) k N ÓÒÚ Ö Ú Ö {0} = ψ(0)º Ò Ð Ø ÓÒ ψ Ø ÓÒØ Ò٠г Ô X g A ÙÖ Ð³ Ô Ô Ö S(R Z)º ÇÖ Ð Ô X Ø A ÓÒØ ÓÑÔ Ø ÓÒ ÒÓÖÑ ÙÜ ÓÒ ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ù ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ôº ½ Ð Ö ÓÐÐ Ñ ÒØ X g A Ø ÒÓÖÑ Ð ÓÒ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô Ö º ÔÐÙ Ø Ô Ø ½
17 Ñ ÓÒØ ÒÙ Ù ÓÑÔ Ø X A ÓÒ Ø ÓÑÔ Øº Ò ÓÒÐÙ ÓÒ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ψ Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º Ä ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð³ Ô S(R Z) ÈÓÙÖ Ð Ö ÔØ ÓÒ Ù ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÒÒ ÙÜ Û Ò ÓÒ Ö Ö Ö Ø Ë º Â Ø Ò Ö Ñ Ö Ö Ú ÓÖÒÙÐ Ö ÔÓÙÖ Ñ³ ÚÓ Ö Ò ÕÙ ÖØ Ð Ø ÜÔÐ ÕÙ ÓÑÑ ÒØ ÓÒ ÔÓÙÚ Ø Ö Ö Ð ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð³ Ô S(R Z)º Ó ÓÒ 0 A ÔÓÙÖ ÔÓ ÒØ Ù ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ Ð π 1 (A)º ÈÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} ÒÓØÓÒ a π 1 (A) Ð Ð Ù Ð Ø ÕÙ ØÙ ÙÒ Ó Ð ØÓÙÖ Ù ÖÐ A Ò Ð Ò Ö Øº ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ö Ö Ð Ð Ñ ÒØ π 1 (A) Ô Ö ÑÓØ Ò Ò ÙÖ Ð³ ÐÔ Ø {a, N\{0}}º ÈÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} Ó Ø F Ð ÖÓÙÔ Ð Ö ÙÖ Ð³ ÐÔ Ø Ò {a 1,...,a }º ÓÒ ÖÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙ 1 m Ð ÑÓÖÔ Ñ p,m : F m F ØÖ Ú Ð ÙÖ a +1,...,a m Ø Ú Ð ÒØ Ð³ ÒØ Ø ÙÖ F ÓÖÑ ÙÒ Ý Ø Ñ ÔÖÓ Ø º ËÓ Ø Γ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ lim F ÓÒ Ø ØÙ ÑÓØ Ò Ò ÙÖ Ð³ ÐÔ Ø {a, N\{0}} Ø Ð ÕÙ ÕÙ Ð ØØÖ ÔÔ Ö Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò Ó º ÈÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} Ó Ø A = m=1 A m Ð ÓÙÕÙ Ø ÔÖ Ñ Ö ÖÐ Aº Ä Ö ØÖ Ø ÓÒ A A ÕÙ ÒÚÓ ØÓÙ Ð ÖÐ A m ÙÖ {0} ÔÓÙÖ m > Ò Ø ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ π 1 (A) ÙÖ F º Ô ÖÑ Ø Ò Ø ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ η : π 1 (A) lim F ÕÙ Ø ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ π 1 (A) ÙÖ Γ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ë µº ÇÒ Ô ÙØ Ò ÑÓÒØÖ Ö ÒÓÑ Ö Ù ÔÖÓÔÖ Ø ÙÖ Ð ÖÓÙÔ ÒÒ ÙÜ Û Ò Ð Ø ÒÓÒ ÒÓÑ Ö Ð ØÓÙØ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ØÝÔ Ò Ø Ð Ö Ñ Ð Ò³ Ø Ô Ð Ö ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ì ÓÖ Ñ ¾º Ôº ¾ µº ÆÓØÓÒ ÔÓÙÖ ÑÔÐ Ö S = S(R Z)º Ä ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ψ II : A S ÒÓÙ Ô ÖÑ Ø ³ ÒØ Ö A ÓÒ Ñ Ò Sº ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö m N\{0} г Ñ Ô Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ η Ð Ð ³ ÓÑÓØÓÔ Ù Ð Ø g m Ø Ð ÑÓØ Ò Ò η([g m ]) = b m = (b m, ) N\{0} Γ Ó Ð³ÓÒ ÒÓØ b m, = i=1 a m pgcd(,i), Ó Ð ÔÖÓ Ù Ø Ø ØÙ Ò Ð³ÓÖ Ö i = 1 º Ì ÓÖ Ñ º½º Ä ÑÓÖÔ Ñ Ò ØÙÖ Ð ξ : π 1 (A) π 1 (S) Ø ÙÖ Ø Ø ÔÓÙÖ ÒÓÝ Ù Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Ø Ò Ù N Ò Ò Ö Ô Ö Ð ([g m ]) m N\{0} º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº Ä ÙÖ Ø Ú Ø Ù ÑÓÖÔ Ñ ξ Ø ÙÒ ÓÒ ÕÙ Ò ÑÑ Ø Ù Ø ÕÙ ØÓÙØ Ð Ø Ò S Ø ÓÑÓØÓÔ ÙÒ Ð Ø Ò Aº ÔÐÙ ÕÙ Ð Ø g Ø ÓÑÓØÓÔ Ù Ð Ø ØÖ Ú Ð Ò S ÓÒ Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ N Ø ÒÐÙ Ò Ð ÒÓÝ Ù Ù ÑÓÖÔ Ñ ξº ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ Ð Ø f : S 1 A Ò 0 ÓÑÓØÓÔ Ù Ð Ø ØÖ Ú Ð Ò Sº ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ Ð Ð [f] f Ò π 1 (A) ÔÔ ÖØ ÒØ Nº ÈÙ ÕÙ f Ø ÓÑÓØÓÔ Ù Ð Ø ØÖ Ú Ð ÓÒ Ô ÙØ ÔÖÓÐÓÒ Ö f Ò ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ F : D S Ó D Ò Ð ÕÙ ÖÑ Ö ÝÓÒ 1º ½
18 ÆÓØÓÒ C = {c, N\{0}} г Ò Ñ Ð ÒØÖ ÕÙ D º ü ÓÑÓØÓÔ ÔÖ ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ Ð ÔÓ ÒØ F 1 (C) ÓÒØ ÓÐ Ò Dº È Ö ÓÑÔ Ø D ÓÒ Ø ÐÓÖ ÕÙ F 1 (C) Ø Ò º ÉÙ ØØ ÑÙÐØ ÔÐ Ö [f] ÖÓ Ø Ô Ö ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ÓÒ Ù Ù g m ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ F 1 (C) = º ÇÖ S\C Ö ØÖ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÖ A ÓÒ Ð Ð Ø f Ø ÓÑÓØÓÔ Ù Ð Ø ØÖ Ú Ð Ò Aº ÇÒ ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð ÒÓÝ Ù Ù ÑÓÖÔ Ñ ξ Ø Ü Ø Ñ ÒØ Nº ÇÒ Ó Ø ÒÙ ÙÒ Ö ÔØ ÓÒ ÓÑ Ò ØÓ Ö Ù ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð³ Ô ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÖÑ R Z Ð Ø ÓÑÓÖÔ Ù ÕÙÓØ ÒØ Ù ÖÓÙÔ Γ Ô Ö Ð ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Ø Ò Ù M Ò Ò Ö Ô Ö Ð (b m ) m N\{0} º Ì ÓÖ Ñ º¾º Ä ÖÓÙÔ π 1 (S) ÓÒØ ÒØ ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ ÓÑÓÖÔ π 1 (A)º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ÖÓÙÔ π 1 (S) Ò³ Ø Ô ÒÓÑ Ö Ð Ø Ò³ Ø Ô Ð Ö º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº Ð Ö Ú ÒØ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÕÙÓØ ÒØ Γ/M ÓÒØ ÒØ ÙÒ ÓÙ ¹ ÖÓÙÔ Ó¹ ÑÓÖÔ Γº ÓÒ ÖÓÒ Ð ÑÓÖÔ Ñ ζ : Γ Γ Ò Ô Ö a a p ÔÓÙÖ ØÓÙØ N\{0} Ó p Ò Ð Ñ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ÑÔ Öº Ä ÑÓÖÔ Ñ ζ Ø Ò Ø ÑÓÒØÖÓÒ ÔÐÙ ÕÙ ζ(γ) M = {e} Ó Ø x = (x ) N\{0} ζ(γ) Mº ÜÓÒ ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ÑÔ Ö pº Ä ÑÓØ x ÔÔ ÖØ ÒØ M ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö m N\{0} ÓÒ Ô ÙØ ÓÒ Ö Ö y m Z Ð ÒÓÑ Ö ÓÒ Ù Ù Ð Ñ ÒØ b ±1 m ÕÙ ÔÔ Ö ÒØ Ò Ð³ Ö ØÙÖ x Ò ÓÑÔØ ÒØ 1 ³ Ø b 1 m ÕÙ ÔÔ Ö Øµº ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö k N\{0} ÓÒ ÖÓÒ Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÙÖ Ò Ð Ð ØØÖ a ±1 º ÈÙ ÕÙ 2 k p 2k p Ò³ Ø Ô ÔÖ Ñ Ö ÒÓÑ Ö Ó Ø ØÖ Ð 0º È Ö ÐÐ ÙÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ k [[0, k]] Ò ÕÙ ÑÓØ b 2 k p Ð Ð ØØÖ a 2 k p ÔÔ Ö Ø Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ø ϕ(2 k k ) Ó ϕ Ò Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ØÖ ³ ÙÐ Öº ÇÒ Ò Ù Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ k N\{0} г ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ ÓÒÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ (E k ) k y 2 k p ) = 0. ϕ(2k k k =0 k 1 y 1 2 k p + y 2k k 2 k p = 0. k =0 ÇÒ Ø ÕÙ³ Ð Ü Ø k 0 Ø Ð ÕÙ ÔÓÙÖ k k 0 ÒÓÙ ÚÓÒ y 2 k p = 0º Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÙÒ Ý Ø Ñ k 0 ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ò Ö (E k ) 1 k k0 Ò Ð k 0 ÒÓÒÒÙ (y 2 k p) 0 k k0 1 ÒÚ Ö Ð Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ú 1 ÙÖ Ð ÓÒ Ð º Ò ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ y p = 0 ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ ÕÙ Ð Ð ØØÖ a p ÔÔ Ö Ø Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ø 0 Ò Ð³ Ö ØÙÖ xº Ø ÚÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ÑÔ Ö ÓÖ x ζ(γ) ÓÒ Ð ÑÓØ x Ò ³ Ö Ø ÕÙ³ Ú Ð ØØÖ a Ø ÐÐ ÕÙ Ó Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ÑÔ Öº ÇÒ Ò Ù Ø ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö N\{0} ÒÓÙ ÚÓÒ x = eº Ò x = eº Ä ÑÓÖÔ Ñ Ò Ø ζ Ú Ö ζ(γ) M = {e} ÓÒ Ð Ô Ù ÕÙÓØ ÒØ Ò ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ Ò Ø Γ Ò Γ/Mº ½
19 Ê Ö Ò À ź ʺ Ö ÓÒ Ø º À Ð Ö Å ØÖ Ô Ó ÒÓÒ¹ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÙÒ º Ñ Ø º Ï º ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ½ º Àà ź ʺ Ö ÓÒ Èº Ð À ÖÔ Ø Îº ÃÐ ÔØ ÝÒ Ì ÙØÝ Ô Ó ÐÓ Ù ÖÓÙÔ Ó Ø Ø Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð À Ò Ö ÖÓÙÔ Ö Ú ¼ ½½º ¾¼¼ ØÓ ÔÔ Ö Ò È Âº Å Ø º à Ó٠Ⱥ Ù Ö Ø Àº Ã Ö Ö ÖÓÑÓÚ³ ÐÑÓ Ø Ø Ñ Ò ÓÐ Ø Ö ÕÙ ÒÓº ½ ËÅ ½ ½º ƺ ÓÙÖ Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ º ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Å ÓÒ¹ ÙÒÓ ½ º º ÒÒÓÒ Ø º ÓÒÒ Ö Ì ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ØÖÙØÙÖ Ó Ø Û Ò ÖÖ Ò ÖÓÙÔ ÌÓÔÓÐÓ Ý ÔÔк ½¼ ¾¼¼¼µ ¾¾ ¾ ½º È º ÓÙÖØÓ º г Ó Ø º È ÙÐ Ò ËÙÖ Ð ÝÒ Ñ ÕÙ ÖÓÙÔ Ñ ØÖ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÂÓÙÖÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ¹ÍÈË ¾¼¼ Ä Ø ÓÒ Ð³ ÓÐ ÈÓÐÝØ Ò ÕÙ ¾¼¼ º ʺ Ò ÖÝ º Ô Ø Ò Ø Èº Ö Ò ÆÓØ ÓÒ ÒÓØ Ó Ì ÙÖ ØÓÒ Ò Ò ¹ ÐÝØ Ð Ò ÓÑ ØÖ Ô Ø Ó ÝÔ Ö ÓÐ Ô º º º Ô Ø Ò º Ôº ¹ ¾ ÄÓÒ º Å Ø º ËÓº Ä Øº ÆÓØ Ë Ö ½½½ Ñ Ö ÍÒ Úº ÈÖ ½ º º ÙØÝ Ä Ñ Ø ³ Ò Ñ Ð Ø ÓÑ ØÖ ÒÓÑ Ö ÙÐк ËÓº Å Ø º Ö Ò ½ ¼µ ½ ½ ½º ÓÖ º ÓÖÒÙÐ Ö ÖØ Ð Ò ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ º Ë Ù À Ö ÃÐÓ ÈÀ ÈÓÒ Ë Ö º ËÑ Ø Ì ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÖÓÙÔ Ó Ø Û Ò ÖÖ Ò ÒÓØ Ö ÁÒغ º Ó Ð Ö Ò ÓÑÔÙغ ¾ ½ ¾µ ÒÓº ½ º º Ù ÙÒ ÌÓÔÓÐÓ Ý ÐÐÝÒ Ò ÓÒ ½ º Ⱥ Ð À ÖÔ ËÔ Ó ÐÓ Ù ÖÓÙÔ Ó ÐÓ ÐÐÝ ÓÑÔ Ø ÖÓÙÔ Ö Ú ¼ ¼ º¾¼ ¼Ú¾ ¾¼¼ º º ÃÐÓ Ò Ö Ì Ô Ó ÐÓ Ù ÖÓÙÔ Ó R ØÖ Ø Ò ÑÔÐÝ ÓÒÒ ¹ Ø ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÌÓÔÓÐÓ Ý ¾ ¾¼¼ µ ¼ º Áº ÈÓÙÖ ÞÞ Ø Âº ÀÙ Ö Ì Ô Ó ÐÓ Ù ÖÓÙÔ Ó R 2 ÌÓÔÓÐÓ Ý ½ ½ µ ½ ½ º ĺ ˺ ÈÓÒØÖÝ Ò ÌÓÔÓÐÓ Ð ÖÓÙÔ ¾º º ÓÖ ÓÒ Ò Ö ½ º º¹Èº Ë ÖÖ ÓÙÖ ³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÈÍ ½ º Ì ÓÑ À ØØ Ð ÓÐ ÆÓÖÑ Ð ËÙÔ Ö ÙÖ Å ÍÅÊ ÆÊË ÖÙ ³ÍÐÑ ¼¼ È Ö Ø ÓÑ º ØØ Ð Ò º Ö ½
Ê ÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ö Ø ØÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ï ÙØ Ð Ø ÙÐØ ÆÓØÖ ¹ Ñ Ä È Ü Æ ÑÙÖ Ð ÕÙ Û ÙØ Ð Ò Óº ÙÒ Ôº º Ê ÙÑ º ij ÑÔÓÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ò³ Ø ÔÐÙ ÑÓÒØÖ Öº Ò Ø Ð Ó Ü ³ÙÒ ØÝÔ
Plus en détailÎ ÐÙ Ø Ê Ñ ÙÖ Ô Ø Ð ÓÒÓÑ ÕÙ µ Ð Ê ÓÙÐ Ø ² Ì ÖÖÝ ÊÓÒ ÐÐ ÖÓÙÔ Ê Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ö Ø ÄÝÓÒÒ Ñ Ð ÐºÖ ÓÙÐ ØÖ ØÐÝÓÒÒ º Ö Ø ÖÖݺÖÓÒ ÐÐ Ö ØÐÝÓÒÒ º Ö ÈÐ Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÒØ ÓÒ ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ø Î ÐÙ ¹ Ø¹Ê Ä Ü
Plus en détailÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÙÐØ Ë Ò ÓÒÓÑ ÕÙ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ÅÈÁÊÁÉÍ Ë Å ÆÁËÅ Ë ÌÊ ÆËÅÁËËÁÇÆ Ë ÀÇ Ë ÇÆ Å ÆÌ Í Ì ÆÇÆ ÇÆ Å ÆÌ Í Î ÊË Ä Ë Å Ê À Ë ÇÍÊËÁ ÊË Ì ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ø ØÖ ÓØ ÙÖ Ä³ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÈÖ ÒØ
Plus en détailÏ Í Å Ò Ò ÁÒØ Ö¹Ë Ø Ò ÐÝ Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ÍØ Ð Ø ÙÖ ÁÑÔ Ø ÁÑÑ Ø ÁÒØ Ö Ø Ï Í Å Ò Ò Í Ö Ú ÓÙÖ Ò ÐÝ Û Ø ÁÑÑ Ø ÁÑÔ Ø º Å Ð ½ ¾µ ź Ì Ö ½µ Ⱥ ÈÓÒ Ð Ø ½µ ½µ ÄÁÊÅÅ ÍÅÊ ÆÊË ¼ ½ ½ ÊÙ ¾ ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö Ü Ö Ò ¾µ Ä ÓÖ ØÓ
Plus en détailÊ ÔÔÓÖØ Ø Ù ÐÐ ÙÑ Î Ð ÓÒ ¾ Ù Ò ¾¼¼¼ Ì Ð Ñ Ø Ö Á ÓÖ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ½ ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ¾ Ä ÓÑ Ò ³ Ø Ú Ø ¾º½ Ñ Ò ØÖ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ö Ø ØÙÖ Ö ÙÜ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º
Plus en détailÓÐ ÓØÓÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÕÙ Ë Ò Ø Ì ÒÓÐÓ Ð³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Í Ê ÁÅ ÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÓÒÒ Ò ÓÙÑ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ò ÓÒ ÔØÙ ÐРг ³ÓÒØÓÐÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ö ÔØ ÓÒ ÓÙÑ ÒØ Ù ÓÚ Ù Ð ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ð Å Ö ¾¼¼ ÔÓÙÖ
Plus en détailÌ ÖÖÝ ÅÓÝ ÙÜ ÖÓÙÔ Å Ë ÂÙ ÐÐ Ø ¾¼¼¾ Ì Ò ÕÙ ÑÙÐØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ö ÙØ ÓÒ Ð³ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò Ò ÙÒ Ò ÐÓ Ø ÕÙ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð³ Ò Ù ØÖ ÓÖ Ø Ö Ö Ø ÙÖ ÈÖÓ º Ö Ñ ¹ Ö Ó¹ Ö Ø ÙÖ ÈÖÓ º ËÓÔ ³ ÑÓÙÖ ÈÖÓ º ÖÒ Ö Ô Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓØÓÖ
Plus en détailÍÒ Ú Ö Ø Ö ÒÓ Ê Ð ÌÓÙÖ ÓÐ ÓØÓÖ Ð Ë ÒØ Ë Ò Ø Ì ÒÓÐÓ ÒÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ö ¾¼¼¾¹¾¼¼ BLOIS CHINON ÌÀ Ë ÈÇÍÊ Ç Ì ÆÁÊ Ä Ê Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÌÇÍÊË ÔÐ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö Æ ÓÐ Ä ÊÇ À Ð Ñ Ö
Plus en détailP etit pat hw o rk de ombinatoire énumérative Mireille Bousquet-Mélou, CNRS, LaBRI, Bo rdeaux http://www.lab ri.fr/ b ousquet
Ô Ø ÛÓÖ È Ø Ø ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú Å Ö ÐÐ ÓÙ Õ٠عŠÐÓÙ ÆÊË Ä ÊÁ ÓÖ ÙÜ ØØÔ»»ÛÛÛºÐ Ö º Ö» ÓÙ ÕÙ Ø Ä ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú ººº ³ ØÕÙÓ ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÑ ÒØ ÇÅÈÌ Ê κ ij ÖØ ÓÑÔØ Ö Ô Ðغ Ø Ð ÖÐ ÒÓÑ Ö Ö Ö ÒÓÑ Ö Ö ÒÓÑ
Plus en détailÍÒ Ú Ö Ø ÅÓÒØÖ Ð ÍÒ ÑÓ Ð ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ø Ð Ñ Ø ÑÓ Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ Ñ ÑÓ Ö ³ ÒØÖ ÔÖ Ô Ö ÇÐ Ú Ö Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ ³ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ö Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ÙÐØ ÖØ Ø Ò Ì ÔÖ ÒØ Ð ÙÐØ ØÙ ÙÔ Ö ÙÖ Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö È
Plus en détailVérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition
Université defranche-comté École doctorale Sciences Pour l Ingénieur et Microtechniques U.F.R. des Sciences et Techniques Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition THÈSE présentée
Plus en détailÇÆ ÈÌÁÇÆ Ì Ê ÄÁË ÌÁÇÆ ³ÍÆ ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ËÌÁÇÆ Ê Ë Í Ë ÇÅÈÇË ÆÌË Ê È ÊÌÁË Ô Ö ÅÓ Ñ Ö Þ Ñ ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ø ³ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö Ñ ØÖ Ò ÅºËºµ ÍÄÌ Ë Ë Á Æ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ËÀ Ê ÊÇÇÃ
Plus en détailÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ò Â Ú Ü Ò Ö Å ½ ÔØ Ñ Ö ¾¼½ Ì Ñ Ø Ö ½ ÆÓØ ÓÙÖ ¾ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º½º½ À Ó ÏÓÖ º º º
Plus en détail¹ËÁÊ ¹ Ê ÔÔÓÖØ Ø ÈÖÓ Ø Ä Ò Ø Ê Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ó Ò Æ Ó Ò Ö Ñ ÒØ ÀÙ ÖØ Æ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼¾ ¾ Ì Ð Å Ø Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ Ø Ø Ð³ ÖØ ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Plus en détailÄ Ù Ù ÊÇÇÌ Ö ÔÓÙÖ Ä ÒÙÜ Ö ÙÑ Ö º ÙÑ Ä ÒÙܺ ͺÇÖ Ö º ÙÑ Ö Ò ÜºÓÖ Î Ö ÓÒ ¾º ¾½ Ë ÔØ Ñ Ö ½ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÈÖ Ñ ÙÐ ½ ½º½ À ØÓ Ö Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Plus en détailz x h ÙÖ ½ ÓÑØÖ Ù ÔÖÓÐѺ ½º ÁØÖÓÙØÓ ÁÐ Ø ÓÙ ÕÙ Ù ÓÙ Ó ÔÖÓÖ ÓØ Ý ØÑ Æ ÔÓÙÖ ÔÖ Ð³Ö ÚÙ Ð Ó ÂÖÐ ÂÖÐ ½½µ ÓØ ÐÖÑØ ÙØÐ ÔÓÙÖ ÑÓÖØÖ Ð ÐÔÓØ Ð ÔÓÖØ Ù ÔÖÓÖ ÓØ Ú ÓÑÑ Ý ØÑ ÔÖÓØØÓ ÓØÖ ÚÓÖ ÔÖ ÜÑÔÐ ÖÑ ² ÇÙÑÖ ½ ÓÙ ÐÙ ²
Plus en détailÄ ÇÊ ÌÇÁÊ ÈÀ ËÁÉÍ ÌÀ ÇÊÁÉÍ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÈÁ ÊÊ ÌÅ ÊÁ ÍÊÁ ij ÇÄ ÆÇÊÅ Ä ËÍÈ ÊÁ ÍÊ ÌÀ Ë Ç ÌÇÊ Ì Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁË ËÔ Ð Ø ÈÀ ËÁÉÍ ÌÀ ÇÊÁÉÍ Ë Ö ÄÇÊ ÆË ÔÖ ÒØ Ô Ö Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁË ÔÓÙÖÓ Ø Ò ÖÐ Ö ÇÀ Ê Æ ÌÄÇ
Plus en détailSTATUTS DE L ASSOCIATION. Association régie par par la Loi du 1 er juillet 1901
STATUTS DE L ASSOCIATION Association régie par par la Loi du 1 er juillet 1901 Statuts adoptés par l Assemblée Générale Extraordinaire du dimanche 1 er avril 2007 ËØ ØÙØ Ð³ Ó Ø ÓÒ ÖØ Ð ÔÖ Ñ Ö¹ ÒÓÑ Ò Ø
Plus en détail2 20 e Journées Bases de Données Avancées (BDA 2004). 1. Introduction
arxiv:0704.3501v1 [cs.db] 26 Apr 2007 Conception d un banc d essais décisionnel : ÖÓÑ º ÖÑÓÒØÙÒ Ú¹ÐÝÓÒ¾º Ö Jérôme Darmont Fadila Bentayeb Omar Boussaïd ERIC Université Lumière Lyon 2 5 avenue Pierre Mendès-France
Plus en détailCondition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½
Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Patrick Ciarlet et Vivette Girault ciarlet@ensta.fr & girault@ann.jussieu.fr ENSTA & Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 6 Condition
Plus en détailDELIBERATION N CP 13-639
CONSEIL REGIONAL D ILE DE FRANCE 1 CP 13-639 DELIBERATION N CP 13-639 DU 17 OCTOBRE 2013 La politique sociale régionale La politique régionale pour les personnes en situation de handicap Cinquième affectation
Plus en détailCommande Prédictive. J. P. Corriou. LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy. e-mail : corriou@ensic.inpl-nancy.fr
Commande Prédictive J P Corriou LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy e-mail : corriou@ensicinpl-nancyfr Ý Consigne Trajectoire de référence Ý Ö Réponse Ý Horizon de prédiction À Ô ¹ Ù ¹ Temps Entrée Ù Horizon de commande
Plus en détailASR1 TD7 : Un microprocesseur RISC 16 bits
{Â Ö Ñ º ØÖ Ý,È ØÖ ºÄÓ Ù,Æ ÓÐ ºÎ ÝÖ Ø¹ ÖÚ ÐÐÓÒ} Ò ¹ÐÝÓÒº Ö ØØÔ»»Ô Ö Óº Ò ¹ÐÝÓÒº Ö» Ö Ñ º ØÖ Ý»¼ Ö½» ASR1 TD7 : Un microprocesseur RISC 16 bits 13, 20 et 27 novembre 2006 Présentation générale On choisit
Plus en détailSharp interface limit of an Allen-Cahn equation with conservation of the mass
Sharp interface limit of an Allen-Cahn equation with conservation of the mass Matthieu Alfaro and Pierre Alifrangis, I3M, Université de Montpellier 2, CC051, Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier Cedex
Plus en détail1348 Louvain-la-Neuve TVA BE0428.750.985 RPM Nivelles
I I I S S C C 1348 Louvain-la-Neuve TVA BE0428.750.985 RPM Nivelles Louvain-la-Neuve, le 13 avril 2015 Cher Actionnaire, Concerne: Assemblée Générale Ordinaire et Spéciale du 13 mai 2015 à 10h00 Nous avons
Plus en détail%$&$#' "!# $! ## BD0>@6,;2106>+1:+B2.6;;/>0.2106>9*27+2.1/+BB+:/@6>.106>>+;+>1:+>6;*,+/EA,6.+77/7A,6@+7706>>+B79 561,+76.08189:+;61,+8.6>6;0+976>1:+?+>/+7@6,1+;+>1:8A+>:2>1+7:+B21+.C>6B630+:+ 1+.C>6B630=/+FGD+7A06>>23+8.6>6;0=/++1A6B010=/+:2>7B+.)*+,+7A2.+;+1+>:2>3+,B+A61+>10+B
Plus en détail!" #$# % *(!( % (+#$#, ) ( 5- % % 2! $!!!!87777777777!!!!8777777 -% %. / 0 1 ' 2% %. (3 4 562( % 4 5
Bulletin d adhésion au contrat groupe Responsabilité Civile Professionnelle n B1302525PNPI souscrit par AMAVIE pour le compte exclusif des écoles accréditées.!" #$# % &%!'(" "()' ( *(!( % (+#$#, ) -% %.
Plus en détailHRP H 2 O 2. O-nitro aniline (λmax = 490 nm) O-phénylène diamine NO 2 NH 2
! #"%$'&#()"*!(,+.-'/0(,()1)2"%$ Avant d effectuer le dosage en IR de la biotine, il est nécessaire de s assurer de la reconnaissance du traceur par la streptavidine immobilisée sur les puits. Pour cela,
Plus en détailRaisonnement distribué dans un environnement de type Pair-à-Pair
Actes JNPC 04 Raisonnement distribué dans un environnement de type Pair-à-Pair P. Adjiman P. Chatalic F. Goasdoué M.-C. Rousset L. Simon adjiman,chatalic,fg,mcr,simon @lri.fr Résumé Dans un système d inférence
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailProgramme Prélavage vapeur. Nettoyage automatique du tambour Permet de nettoyer automatiquement le tambour.
Ó ² ¼ù ² «½ ±² ¼«Ô ª»óÔ ²¹» ÓßÒËÛÔ Üù ÒÍÌÎËÝÌ ÑÒÍ ÜÉÝóÔÝïîïïÍ ñ ÜÉÜóÔÜïìïÕÝÍ Verrouillage enfant Le système de verrouillage enfant empêche que les enfants appuient sur un bouton et modifient le programme
Plus en détailFiches explicatives. La Convention Collective des Assistants Maternels du Particulier Employeur
Table des Matières La Convention Collective des Assistants Maternels du Particulier Employeur Fiches explicatives Ce document a été réalisé par l APEGE Il peut être copié/diffusé sans restriction sous
Plus en détailMUTATIONS ÉCONOMIQUES DANS LE DOMAINE AUTOMOBILE. Démarche méthodologique et synthèse
MUTATIONS ÉCONOMIQUES DANS LE DOMAINE AUTOMOBILE Démarche méthodologique et synthèse AVRIL 2010 Démarche méthodologique et synthèse Premier ministre Ministère de l espace rural et de l aménagement du
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailRéalisation et modélisation de rubans déployables pour application spatiale
Réalisation et modélisation de rubans déployables pour application spatiale F. GUINOT a, S. BOURGEOIS a, B. COCHELIN a, C.HOCHARD a, L. BLANCHARD b a. Laboratoire de Mécanique et d Acoustique (LMA), 31
Plus en détailAnalyse du temps de réponse des systèmes temps réel
Analyse du temps de réponse des systèmes temps réel Pascal Richard Laboratoire d Informatique Scientifique et Industrielle, ENSMA BP 40198 Téléport 2 F-86960 Futuroscope pascal.richard@ensma.fr RÉSUMÉ.
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailISAN System: 3 Création d un V-ISAN
sm: é d V Wb f B Rs s: E b W B bs d mdè Vs j www.sb. B ss Psfh B 7 T. +4 5 Fx +4 7 EM: f@sb. www.sb. B ss Psfh B 7 T. +4 5 Fx +4 7 EM: f@sb. wzd é d V mm: TRODUTO DEMRE. OEXO. RETO D U V 4 FORMTO UPPLEMETRE
Plus en détailCHAPITRE 1. Suites arithmetiques et géometriques. Rappel 1. On appelle suite réelle une application de
HAPITRE 1 Suites arithmetiques et géometriques Rappel 1 On appelle suite réelle une application de dans, soit est-à-dire pour une valeur de la variable appartenant à la suite prend la valeur, ie : On notera
Plus en détailAPPROCHE DE MODELISATION DE LA PROPAGATION DE L INCENDIE DANS UN EDIFICE ET SON INTEGRATION DANS UN SYSTEME DECISIONNEL
APPRCHE DE MDELISATIN DE LA PRPAGATIN DE L INCENDIE DANS UN EDIFICE ET SN INTEGRATIN DANS UN SYSTEME DECISINNEL Sanae KHALI ISSA (*), Abdellah AZMANI (*), Karima ZEJLI (**) sanaeissa@gmail.com, abdellah.azmani@gmail.com,
Plus en détailFonctions holomorphes
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions holomorphes Christine Laurent-Thiébaut Ceci est le second volet de l étude des fonctions d une variable complexe, faisant suite au chapitre
Plus en détailANNALES SCIENTIFIQUES DE L É.N.S.
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L É.N.S. Y. KATZNELSON Sur les algèbres dont les éléments non négatifs admettent des racines carrées Annales scientifiques de l É.N.S. 3 e série, tome 77, n o 2 (1960), p. 167-174.
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailMarketing et responsabilité sociétale de l entreprise : entre civisme et cynisme
Marketing et responsabilité sociétale de l entreprise : entre civisme et cynisme IRIS - Centre de Recherche Magellan IAE - Université Jean Moulin Lyon 3 6 cours Albert Thomas 69355 LYON CEDEX 08 thiery@univ-lyon3.fr
Plus en détailÔ»» ¾ ò ݱ²²» ±² Ý» ¼» ø ± ¼ ò «²»» ±² ±¹±«± ½ ²¹»» ³± ¼»» ¼ ß ¼» Ö±µ» ±¹ ²» ª±»³± ¼»» ³ ² ½³¼ ²º± ½³¼ ò á ö Å» à Å» à ³± ¼ ²» º³± ô³± ¹ ö Ô ½±³³ ²¼» º ²¼ º ²¼» ± ±² òòò Ñ ±² æ ²±³ ó² ³»» ² ó»»»»½ «²»
Plus en détailpar Pierre Colmez INTRODUCTION
ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA par Pierre Colmez INTRODUCTION La fonction zêta de Riemann est définie pour Re(s > par la série ζ(s = + n= n s et elle possède un prolongement à tout le plan complexe avec
Plus en détailC algèbre d un certain groupe de Lie nilpotent.
Université Paul Verlaine - METZ LMAM 6 décembre 2011 1 2 3 4 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. G un groupe de Lie, Ĝ l ensemble
Plus en détailLe Processus Unifié de Rational
Le Processus Unifié de Rational Laurent Henocque http://laurent.henocque.free.fr/ Enseignant Chercheur ESIL/INFO France http://laurent.henocque.perso.esil.univmed.fr/ mis à jour en Novembre 2006 Licence
Plus en détailConditions générales relatives à l offre d adoption d Office 365
Page 1 sur 29 Conditions générales relatives à l offre d adoption d Office 365 Le présent document expose en détail l offre d adoption d Office 365 («Offre»). Il prévoit notamment des exigences et obligations
Plus en détailTESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION
TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun
Plus en détailLIAISON A50 A57 TRAVERSEE
LIAISON A5 A57 TRAVERSEE SOUTERRAINE DE TOULON SECOND TUBE (SUD) ANALYSE DES DONNEES DE QUALITE DE L AIR NOVEMBRE 27 A JANVIER 28 TOULON OUEST, PUITS MARCHAND, TOULON EST Liaison A5 A57 Traversée souterraine
Plus en détailLeçon 01 Exercices d'entraînement
Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =
Plus en détailThéorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles
Université de Nice-Sophia Antipolis Mémoire de Master 1 de Mathématiques Année 2006-2007 Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Auteurs : Clémence MINAZZO - Kelsey RIDER Responsable
Plus en détail! " #$ % $! & '(# ) (%%
" #$ % $ & '(# ) (%% "#$ %&' # ( ) #* +,#*+-),- ). * /. 0),12-3 45 #3 /45 ) 67 #*+ & ) 5 ) #*+ )5 #& #*+ 0 / )5 8 )0 ) 0)12 5+ )& ) )12) 7)0 5 ) 9/ 5 2 ) ) '12 ) /) 5" ) 7) 6 ): 05 2 5 80 7 ) 0,$#- ) &
Plus en détail04002-LOR 2004 Mars 2004
04002-LOR 2004 LES INTERACTIONS IPSEC/DNS ---ooo--- Abstract :!! "!! $!!! "!! %$ & '( ) * + *, $ $,, $ ---ooo - - *./ 0! 1023224" 4 %- - *5 " 6 " 6 7 6 8./ 0! 1023224" 4 %6 "6 7 5 " - - * Jean-Jacques.Puig@int-evry.fr
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détail(Exemple ici de calcul pour une Ducati 748 biposto, et également pour un S2R1000, équipé d un disque acier en fond de cloche, et ressorts d origine)
Analyse de la charge transmise aux roulements de la roue dentée, notamment en rajoutant les efforts axiaux dus aux ressorts de l embrayage (via la cloche) (Exemple ici de calcul pour une Ducati 748 biposto,
Plus en détailApproximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff
Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff Lingmin LIAO Travaux en collaboration avec Yann Bugeaud, Dong Han Kim et Micha l Rams Université Paris-Est Créteil Séminaire de Probabilités
Plus en détailConstruction de l'intégrale de Lebesgue
Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale
Plus en détailMESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours
MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................
Plus en détailRevue de Presse Casino contre le Cancer 2014. Cercle des jeunes ambassadeurs de l Institut du cancer de Montréal
Revue de Presse Casino contre le Cancer 2014 Cercle des jeunes ambassadeurs de l Institut du cancer de Montréal 1. Actions de communication Premiers contacts informels avec les médias et blogueurs: printemps
Plus en détailILT. Interfacultair Instituut voor Levende Talen. T@@lvaardig. Actes de communication. Serge Verlinde Evelyn Goris. Katholieke Universiteit Leuven
IL If I L S V Ey G Khk U L 13/02/02 pé? xp qé xp pz à pz p héhq pé p à q z p à p héhq fé à p à q pz xp q 'p (è) f, '-à- p. x. ' é ff. N xp à py qq' q z b ( f) P xp pô pp L p - pé pz ': z qq', q -? Bj,
Plus en détailCe document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Montpellier pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.
Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Montpellier pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté,
Plus en détail201-105-RE SOLUTIONS CHAPITRE 1
Chapitre1 Matrices 1 201-105-RE SOLUTIONS CHAPITRE 1 EXERCICES 1.2 1. a) 1 3 Ë3 7 3 2 Ë 1 16 pas défini d) 16 30 17 3 e) Ë 7 68 22 16 13 Ë 5 18 6 2. a) 0 4 4 4 0 4 Ë4 4 0 Ë 0 4 32 4 4 0 4 32 32 4 0 4 4
Plus en détailANNEXES...16 Notation...16 Rente financière certaine...16. Mémo d Actuariat - Sophie Terrier @ 2004 1/16
ÉO TUIT FOULS TUILLS SU TT Probbé ouo 3 dfféré4 ee gère be à ere échu 5 ee gère be à ere échu ueur fo d ée 6 ee gère à ere be d ce7 ee gère à ere be d ce ueur fo d ée8 urce décè 9 urce décè à c rbe cro
Plus en détailISAN System: 5 Œuvre à épisodes ou en plusieurs parties
sm: 5 Œ à épsds pss ps Wb f B Rs s: E b W B bs d mdè Vs j www.sb. B ss Psfh B 7 T. +4 5 Fx +4 7 EM: f@sb. www.sb. B ss Psfh B 7 T. +4 5 Fx +4 7 EM: f@sb. wzd 5 Œ à épsds pss ps mm: TRODUTO DEMRE. OEXO.
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détail«Trop de chats en refuge : Aidons-les!»
q io iific bo ch Mlic g f! l o h c To i? co cio collboio vc Pl 5899 ch 7398 ch y éé boé C l ob félié qi, chq jo, o cibl joi fg Blgiq! 4641 ch l o l chc ov i à l g l fg fill i foy ê à l hx! C qlq chiff
Plus en détail2 Professionnaliser les structures et développer les compétences collectives...8 2.1 Synthèse...8 2.2 Des illustrations...9 2.3 Des orientations...
! " #$ % &'%! 1 Le contexte du secteur...4 1.1 Repositionner l offre associative face à la concurrence...4 1.2 Mieux connaître les besoins des publics...5 1.3 Développer des activités nouvelles et cibler
Plus en détail(Quelle identité par la parole?) Thèse. présentée à la section. Systèmes de Communication. par. Dominique Genoud
Reconnaissance et transformation de locuteurs (Quelle identité par la parole?) Thèse présentée à la section Systèmes de Communication de l Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL) par Dominique
Plus en détailErreur statique. Chapitre 6. 6.1 Définition
Chapitre 6 Erreur statique On considère ici le troisième paramètre de design, soit l erreur statique. L erreur statique est la différence entre l entrée et la sortie d un système lorsque t pour une entrée
Plus en détailCHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailP-W. 0,5 Nm. 2 Nm. Optional. fissare su piastra fix on the plate auf der Platte befestigen fixer sur plaque fijar en la placa
7 P-W 8 5 Optional 4 nel caso P-W aggiungere il connettore optional e continuare con la sequenza della fig. 8 In case of P-W, the optional connector must be added and procedure as in picture 8 followed
Plus en détailAnnexe 1 à l'acte d'engagement. Bordereaux des prix (lot 2)
Annexe 1 à l'acte d'engagement Bordereaux des prix (lot 2) Procédure n MEN-SG-AOO-13066 Fourniture de licences VMware et réalisation de prestations associées couvrant les usages des agents des services
Plus en détailCoûts, avantages et inconvénients des différents moyens de paiement
Coûts, avantages et inconvénients des différents moyens de paiement Présentation de l'étude de la Banque nationale de Belgique à la conférence de l'esta (Valence, le 15 mai 2006) Historique de l'étude
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailReprésentation d un nombre en machine, erreurs d arrondis
Chapitre Représentation d un nombre en machine, erreurs d arrondis Ce chapitre est une introduction à la représentation des nombres en machine et aux erreurs d arrondis, basé sur [], [].. Un exemple :
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailBisnode. au mois de Mai 2013. Étude sur les faillites et créations d entreprises 25.6.2013
Bisnode Faillites et créations arrêtées au mois de Mai 2013 Étude sur les faillites et créations d entreprises 25.6.2013 731b du CO: dissolutions d entreprises aux dépens de la collectivité. Entre janvier
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailSECTION 5 PERFORMANCES
TABLE DES MATIERES Page LIMITATION ACOUSTIQUE 5.2 CALiBRATION ANEMOMETRIQUE 5.3 COMPENSATION AL TIMETRIQUE 5.4 VITESSES DE DECROCHAGE 5.5 COMPOSANTES VENT 5.6 AVERTISSEMENT 5.7 INFLUENCE DE L'ALTERNATE
Plus en détailLicence Sciences et Technologies Examen janvier 2010
Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.
Plus en détailÀ Jean-Yves, Marie-Thé, Loïc, Gabi et Marguerite.
ÌÀ Ë Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁ˹ËÍ Á ÈÀ ËÁÉÍ ËÔ Ð Ø Å ÐÄ ÌÊ ÍËÌ ÈÖ ÒØ Ô Ö Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁ˹ËÍ Á ÔÓÙÖÐ³Ó Ø ÒØ ÓÒ ÙØ ØÖ ÌÀ ÇÊÁ ijÁÆ ÇÊÅ ÌÁÇÆ Â Í Ê È Ì Ë Î Ç Ë ÊÎ ÌÁÇÆ ÁÅÈ Ê ÁÌ ÌÊ Ë Í ÇÅÅÍÆÁ ÌÁÇÆ ÆÌÊ ÄÁË Ë
Plus en détailRappels théoriques. -TP- Modulations digitales ASK - FSK. Première partie 1 INTRODUCTION
2 IUT Blois Déparemen GTR J.M. Giraul, O. Bou Maar, D. Ceron M. Richard, P. Sevesre e M. Leberre. -TP- Modulaions digiales ASK - FSK IUT Blois Déparemen du Génie des Télécommunicaions e des Réseaux. Le
Plus en détailSondage SEMO 2011/2012 : Résultats
Département fédéral de l économie, de la formation et de la recherche DEFR Secrétariat d'etat à l'économie SECO Marché du travail / Assurance-chômage Mesures du marché du travail Markus Weber 07.06.2013
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détail«Les Variabilistes II» Mission T60
«Les Variabilistes II» Mission T60 du lundi 23 au samedi 28 février 2009 Sommaire Les missionnaires Les cibles programmées Les observations effectuées Remerciements Les résultats obtenus Les missionnaires
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailFICHE DE RENSEIGNEMENTS SAISON 2013 2014
USC BASKET Salle S. Chénedé Rue Sainte Croix 35410 CHATEAUGIRON Tél. 02.99.37.89.89 Site : www.chateaugiron-basket.com FICHE DE RENSEIGNEMENTS SAISON 2013 2014 Mme M. Nom et prénom de l adhérent : Adresse
Plus en détailCommande de systèmes non retardés par retour de sortie statique échantillonné
Commande de systèmes non retardés par retour de sortie statique échantillonné Alexandre Seuret, Karl H. Johansson, Michel Dambrine 2 ACCESS Linnaeus Centre Royal Institute of Technology, Stockholm, Suède
Plus en détailC u i s i n i è r C S M 6 9 3 0 0 G A v a n t d c o m m n c r, b i n v o u l o i r l i r c m a n u l d ' u t i l i s a t i o n! C h è r c l i n t, c h r c l i n t, N o u s v o u s r m r c i o n s d ' a
Plus en détail