Introduction à la fonction exponentielle

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1 CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES Introduction à l fonction ponntill. Éqution différntill On ppll éqution différntill un églité dns lqull figurnt un fonction t ss dérivés succssivs. Ls solutions d un tll éqution sont ds fonctions. Théorèm Il ist un uniqu fonction non null, dérivbl sur tll qu f t f( ) =, qui soit solution d l éqution différntill f = kf. Ctt fonction st l fonction ponntill noté p. Conséquncs : ( ) p = p p = On not : p =. = f. Propriétés Propriété fonctionnll crctéristiqu ds fonctions ponntills : ( ) ( y ) f ( + y) = f ( ) fy () soit p( + y) = ( p) ( py) ou bin + y = y. Quls qu soint ls réls t y : p p - = p( y) = py y y - p( y) py y = = y n, ( p) n = p( n) ( ) n = n.. Conséquncs L fonction ponntill bs, dont l dérivé st ll-mêm, st strictmnt croissnt sur. Ell st continu t bijctiv. ( ) ( y ), p = py = y (bijction) p py y (strict croissnc). 8

2 cours svoir-fir rcics corrigés mpls d ppliction En utilisnt l définition d l fonction ponntill t l propriété crctéristiqu, démontrr qu pour tout rél : p t p( ) = -. p corrigé commnté Pour montrr qu p, il st nécssir d prouvr qu il n ist ps d rél tl qu p =. Supposons qu il ist un rél tl qu p =, lors pour tout rél : p = p( + ( )) = p p( ) = donc l fonction «p» srit l fonction null, c qui contrdit l définition. Pr illurs ( ) p( ) p + p = = p. Soit p( ) = p d où p. p = p( + ( ) ) = p p( ) = soit : p( ) = - cr p. p Simplifir ls écriturs ds nombrs t b suivnts : p( ) ( p( ) ) p( ) ( p) = t b = -. ( p) p corrigé commnté Il st souvnt plus fcil d utilisr l nottion pour p. - = = = d où ( ) =. b ( ) = = = d où b =. 8

3 CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES Étud d l fonction ponntill bs. Étud t rprésnttion grphiqu L fonction ponntill bs st continu t bijctiv t ll dmt l fonction logrithm népérin pour fonction réciproqu. t p = y = lny vc y + d où ln( p) = t p( ln) =. lim p = ; lim p = + + donc l droit d éqution d l fonction «p».,78. y = st symptot à l courb rprésnttiv p ( ) p p A B Rmrqus L tngnt n A à p pour éqution y = + t l tngnt n B pour éqution y =. Ls courbs rprésntnt ln t p sont symétriqus l un d l utr pr rpport à l droit d éqution y =.. Limits rmrqubls t croissncs comprés lim - = ; p + dns un voising d zéro. lim = + ; lim ; + = lim - = ; vc α ; + α lim α = ; vc α. lim ln - ; vc α. + Si α t, 8 α - n n α lim = +.

4 cours svoir-fir rcics corrigés mpls d ppliction Soit f t g du fonctions tlls qu : f ( ) = ln t g ( ) = ln.. Indiqur ls nsmbls d définition d f t g.. Suivnt ls vlurs d, donnr un écritur d f ( ) t g ( ) sns brr d vlur bsolu. corrigé commnté. L fonction «ln» st défini sur +, or t = si, t sulmnt si, =, donc D f = t D g = +.. Si, lors =, donc f ( ) = =. Si, lors =, donc f ( ) = =. Rppl : l fonction ponntill st l fonction réciproqu d l fonction logrithm népérin. ln ln = ln ln. = ln, donc : si, g ( ) = = ; si, g ( ) = ln = - = ln ( ). Soit l fonction f défini sur ] ; [ pr f ( ) = ln. Détrminr ls limits d f n t. corrigé commnté Pour tout d ] ; [, donc f ( ) ist bin., = or lim = t lim =, donc lim = t lim lnx = d où lim f ( ) =. X D près l cours, lim = t lim lnx = d où lim f ( ) =. X 8

5 CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES Autrs fonctions. Dérivés t primitivs Soit un fonction u, défini t dérivbl sur un intrvll I. ( p u) = u ( p u). Ls primitivs ds fonctions u p( u) sont ls fonctions ( p u) + C vc C.. Fonctions ponntills bs Soit un rél strictmnt positif t différnt d. L fonction logrithm d bs st un bijction d + sur qui dmt pour réciproqu l fonction ponntill d bs noté. ln Rppl : ln ( ) = - vc ] ; [ ] ; [. ln Propriétés = ; = ; ( ) ( y ) + y = y. y = ; n = ( ) n vc n. Pour y t, = ln. =. Fonctions puissncs Pour t pour tout rél α, on ppll fonctions puissncs ls fonctions α. 86 α = α ln

6 cours svoir-fir rcics corrigés Rmrqu : on définit l fonction rcin n ièm, noté + d n vc n t n. On not ussi Propriétés Pour α, β, t y : α y α = ( y) α ; α β = α + β ; ( α ) β = αβ. n n, comm l réciproqu sur = n. α α α α α α α α α + α = α α = α mpl d ppliction Simplifir ls nombrs suivnts : ; ( ). corrigé commnté Indiction : on utilis ls propriétés ds rcins nièms. = = - = = = ( ) ( ) + = = =.. 87

7 CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES Équtions différntills du prmir ordr. Équtions différntills du prmir ordr sns scond mmbr C sont ls équtions différntills dont l scond mmbr st nul t qui lint un fonction t s dérivé prmièr. Cs équtions sont d typ y y = y = y. Ls solutions sont ls fonctions C vc C. Rmrqu : il ist un uniqu solution s il y un condition initil Ctt condition prmt d détrminr l constnt C. y = f ( ).. Équtions différntills du prmir ordr vc scond mmbr C sont ds équtions différntills dont l scond mmbr st un fonction qulconqu. Pour résoudr un tll éqution, on chrch un solution prticulièr d mêm form qu l scond mmbr, puis on l résout n suivnt touts ls indictions du tt. 88 mpl d ppliction Soit l éqution différntill (E) : y + y = Détrminr un polynôm P du troisièm dgré solution d (E).. Soit (E ) l éqution différntill sns scond mmbr tll qu Résoudr l éqution (E ).. Démontrr qu un fonction g st solution d (E) si, t sulmnt si, g P st solution d (E ). Écrir ls solutions g d (E).. Détrminr l fonction f solution d (E) tll qu corrigé commnté f( ) =.. Soit P l polynôm défini sur pr : P ( ) = + b + c + d vc. P st solution d (E) si, t sulmnt si, P + P = + 7. P ( ) = + b + c. y + y =.

8 cours svoir-fir rcics corrigés P st solution d (E) si, t sulmnt si, qul qu soit d : + ( + b) + ( b + c)+ c+ d = + 7. Pr idntifiction ds du polynôms, qul qu soit d : = = b = + b = b + c = c = c + d = 7 d = d où : P ( ) = +.. (E ) : y + y = y = y. Ls solutions d (E ) sont ls fonctions :. L fonction ( g P) st solution d (E ) si, t sulmnt si, ( g P) + ( g P) = soit g + g ( P + P) = ; soit ( ) ( g + g) ( ) + + = ; soit ( ) ( g + g) ( ) = + 7 c qui signifi qu g st solution d l éqution (E). L fonction g P st solution d (E ) signifi qu g ( ) P ( ) = C vc C soit : g ( ) = + + C.. Soit f l fonction g prticulièr tll qu f( ) = Pr suit : d où + C C vc C. = C =. f ( ) = +. 89

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