Algorithme du plus court chemin

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1 Algorithme du plus court chemin p. /47 Algorithme du plus court chemin Michel Bierlaire EPFL - Laboratoire Transport et Mobilité - ENAC

2 Algorithme du plus court chemin p. /47 Le plus court chemin Le problème du plus court chemin consiste à déterminer le chemin de coût minimum reliant un nœud a à un nœud b. On peut le voir comme un problème de transbordement. Cependant, il est plus efficace d utiliser des algorithmes spécialisés.

3 Algorithme du plus court chemin p. /47 Le plus court chemin Problème : Soit un réseau G = (N,A). Un coût a ij est associé à chaque arc (i,j) A: distance, temps de trajet, etc. Soit un nœud appelé origine. Par convention, ce sera le nœud. Nous cherchons le chemin de coût minimum reliant le nœud à n importe quel autre nœud du réseau.

4 Algorithme du plus court chemin p. 4/47 Le plus court chemin a = a 4 = a = a = a = a 4 = 4

5 Algorithme du plus court chemin p. 5/47 Le plus court chemin La solution est un arbre. a = a 4 = a = a = a = a 4 = 4 Note : chaque nœud dans l arbre a exactement un prédécesseur.

6 Algorithme du plus court chemin p. 6/47 Le plus court chemin La solution n est pas nécessairement unique. a = a 4 = a = a = a = a 4 = 4

7 Algorithme du plus court chemin p. 7/47 Idée générale de l algorithme Parcours systématique du réseau à partir de l origine. A chaque nœud visité, une étiquette est associée. Cette étiquette est potentiellement mise à jour à chaque visite du nœud.

8 Algorithme du plus court chemin p. 8/47 Conditions d optimalité Soient d i R, i N tels que d j d i +a ij (i,j) A. Soit P un chemin entre un nœud et un nœud l. Si d j = d i +a ij (i,j) P, alors P est un plus court chemin entre et l.

9 Algorithme du plus court chemin p. 9/47 Conditions d optimalité Preuve: P est composé d arcs (,i ),(i,i ),...,(i k,l) Longueur de P : Comme a ij = d j d i, L(P) = a i +a i i + +a ik l L(P) = (d i d )+(d i d i )+ +(d l d ik ) = d l d.

10 Algorithme du plus court chemin p. 0/47 Conditions d optimalité Soit Q un chemin quelconque entre et l. Q est composé d arcs (,j ),(j,j ),...,(j n,l) Longueur de Q: L(Q) = a j +a j j + +a jn l Comme a ij d j d i, L(Q) (d j d )+(d j d j )+ +(d l d jm ) = d l d = L(P). La longueur de P est donc plus courte que la longueur de Q. Comme Q est arbitraire, P est le plus court chemin entre et l. CQFD

11 Algorithme du plus court chemin p. /47 Algorithme Idée : On démarre avec un vecteur d étiquettes (d i ) i N. On sélectionne un arc (i, j) qui viole les conditions d optimalité, c.-à-d. tel que d j > d i +a ij. On met à jour l étiquette de j: d j = d i +a ij. Et ainsi de suite jusqu à ce que tous les arcs vérifient la condition.

12 Algorithme du plus court chemin p. /47 Interprétation d i : longueur d un chemin entre le nœud et le nœud i. Si d j > d i +a ij, chemin i j plus court que le chemin j. j a ij i

13 Algorithme du plus court chemin p. /47 Exploration du graphe Travailler nœud par nœud. Pour un nœud donné, traiter tous les arcs sortants. Dès qu un nœud est atteint, on l ajoute à la liste. Dès qu un nœud est traité, on le supprime de la liste. On arrête lorsque la liste est vide. Notons V la liste des nœuds à traiter.

14 Algorithme du plus court chemin p. 4/47 Algorithme Initialisation Liste de nœuds: V = {}. Étiquettes : d = 0, d i = +, i. Itérations Tant que V, Choisir i dans V. V = V \{i}. Pour chaque arc (i,j) A Si d j > d i +a ij, d j = d i +a ij. V = V {j}.

15 Algorithme du plus court chemin p. 5/47 Exemple d = d = 0 4 d 4 = d = Iter V d d d d 4 Traiter 0 { } 0

16 Algorithme du plus court chemin p. 6/47 Exemple d = d = 0 4 d 4 = d = Iter V d d d d 4 Traiter 0 { } 0 { } 0

17 Algorithme du plus court chemin p. 7/47 Exemple d = d = 0 4 d 4 = d = Iter V d d d d 4 Traiter 0 { } 0 {, } 0

18 Algorithme du plus court chemin p. 8/47 Exemple d = d = 0 4 d 4 = d = + Iter V d d d d 4 Traiter 0 { } 0 {, } 0 { } 0

19 Algorithme du plus court chemin p. 9/47 Exemple d = d = 0 4 d 4 = 5 d = Iter V d d d d 4 Traiter 0 { } 0 {, } 0 {,4 } 0 5

20 Algorithme du plus court chemin p. 0/47 Exemple d = d = 0 4 d 4 = 5 4 d = Iter V d d d d 4 Traiter 0 { } 0 {, } 0 {,4 } 0 5 { 4 } 0 4

21 Algorithme du plus court chemin p. /47 Exemple d = d = 0 4 d 4 = 4 d = Iter V d d d d 4 Traiter 0 { } 0 {, } 0 {,4 } 0 5 { 4, } 0 4 4

22 Algorithme du plus court chemin p. /47 Exemple d = d = 0 4 d 4 = 4 d = Iter V d d d d 4 Traiter 0 { } 0 {, } 0 {,4 } 0 5 { 4, } { } 0 4

23 Algorithme du plus court chemin p. /47 Exemple d = d = 0 4 d 4 = 4 d = + Iter V d d d d 4 Traiter 0 { } 0 {, } 0 {,4 } 0 5 { 4, } { } { } 0 4

24 Algorithme du plus court chemin p. 4/47 Exemple d = d = 0 4 d 4 = 4 + d = Iter V d d d d 4 Traiter 0 { } 0 {, } 0 {,4 } 0 5 { 4, } { } { } 0 4

25 Algorithme du plus court chemin p. 5/47 Exemple d = d = 0 4 d 4 = 4 d = Iter V d d d d 4 Traiter 0 { } 0 {, } 0 {,4 } 0 5 { 4, } { } { } 0 4

26 Algorithme du plus court chemin p. 6/47 Propriétés à la fin de chaque itération Si d i <, alors d i est la longueur d un chemin reliant à i. Si i V, alors soit d i = (le nœud n a pas encore été atteint), soit d j d i +a ij, j tel que (i,j) A (les arcs sortant ont été traités).

27 Algorithme du plus court chemin p. 7/47 Propriétés si l algorithme se termine Pour tout nœud j tel que d j <, d = 0; d j est la longueur du plus court chemin entre et j; Équation de Bellman : d j = min (i,j) A d i +a ij si j. d j = si et seulement s il n y a pas de chemin reliant et j. Dans ce cas, le graphe n est pas connexe. L algorithme se termine si et seulement s il n y a aucun chemin commençant en et contenant un circuit à coût négatif.

28 Algorithme du plus court chemin p. 8/47 Algorithme de Dijkstra Algorithme générique ne précise pas comment choisir le nœud suivant à traiter. Dijkstra : le nœud i à traiter est celui correspondant à la plus petite étiquette.

29 Algorithme du plus court chemin p. 9/47 Algorithme Initialisation Liste de nœuds: V = {}. Étiquettes : d = 0, d i = +, i. Itérations Tant que V, Soit i V tel que d i d j, j V. V = V \{i}. Pour chaque arc (i,j) A Si d j > d i +a ij, d j = d i +a ij. V = V {j}.

30 Algorithme du plus court chemin p. 0/47 Exemple d = d = d 4 = 5 d 5 = d = Iter V 4 5 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-) (-)

31 Algorithme du plus court chemin p. /47 Exemple d = d = d 4 = 5 d 5 = d = Iter V 4 5 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-) (-) {, } 0 (-) () () (-) (-)

32 Algorithme du plus court chemin p. /47 Exemple d = + d = d 4 = 4 5 d 5 = d = Iter V 4 5 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-) (-) {, } 0 (-) () () (-) (-) {,4 } 0 (-) () () 4 () (-)

33 Algorithme du plus court chemin p. /47 Exemple d = d = d 4 = 4 5 d 5 = d = + Iter V 4 5 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-) (-) {, } 0 (-) () () (-) (-) {,4 } 0 (-) () () 4 () (-) { 4,5 } 0 (-) () () () () 5

34 Algorithme du plus court chemin p. 4/47 Exemple d = d = d 4 = 5 d 5 = d = Iter V 4 5 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-) (-) {, } 0 (-) () () (-) (-) {,4 } 0 (-) () () 4 () (-) { 4,5 } 0 (-) () () () () 5 4 { 4 } 0 (-) () () () () 4

35 Algorithme du plus court chemin p. 5/47 Exemple d = d = d 4 = 5 d 5 = +0 d = Iter V 4 5 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-) (-) {, } 0 (-) () () (-) (-) {,4 } 0 (-) () () 4 () (-) { 4,5 } 0 (-) () () () () 5 4 { 4 } 0 (-) () () () () 4 5 { } 0 (-) () () () ()

36 Algorithme du plus court chemin p. 6/47 Exemple d = d = d 4 = 5 d 5 = d = Iter V 4 5 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-) (-) {, } 0 (-) () () (-) (-) {,4 } 0 (-) () () 4 () (-) { 4,5 } 0 (-) () () () () 5 4 { 4 } 0 (-) () () () () 4 5 { } 0 (-) () () () ()

37 Algorithme du plus court chemin p. 7/47 Exemple Iter V 4 5 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-) (-) {, } 0 (-) () () (-) (-) {,4 } 0 (-) () () 4 () (-) { 4,5 } 0 (-) () () () () 5 4 { 4 } 0 (-) () () () () 4 5 { } 0 (-) () () () () Note : Chaque nœud n a été traité qu une seule fois.

38 Algorithme du plus court chemin p. 8/47 Algorithme de Dijkstra Soit l ensemble W = {i d i < et i V}. Si les coûts sur les arcs sont non négatifs, alors à chaque itération aucun nœud dans W au début de l itération n entre dans V lors de l itération, à la fin de l itération, d i d j si i W et j W. W : ensemble des étiquettes permanentes.

39 Algorithme du plus court chemin p. 9/47 Notes Si l on désire calculer le plus court chemin de à b, on peut arrêter l algorithme de Dijkstra dès que le nœud b est dans W. Si au moins un arc a un coût négatif, rien ne garantit le caractère permanent des étiquettes.

40 Algorithme du plus court chemin p. 40/47 Exemple : coût négatif d = d = 0 4 d 4 = d = Iter V 4 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-)

41 Algorithme du plus court chemin p. 4/47 Exemple : coût négatif d = d = 0 4 d 4 = d = Iter V 4 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-) {, } 0 (-) () () (-)

42 Algorithme du plus court chemin p. 4/47 Exemple : coût négatif d = d = 0 4 d 4 = d = Iter V 4 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-) {, } 0 (-) () () (-) {,4 } 0 (-) () () ()

43 Algorithme du plus court chemin p. 4/47 Exemple : coût négatif d = d = 0 4 d 4 = + d = 0 Iter V 4 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-) {, } 0 (-) () () (-) {,4 } 0 (-) () () () {,4 } 0 (-) () 0 () ()!!!

44 Algorithme du plus court chemin p. 44/47 Exemple : coût négatif d = d = 0 4 d 4 = d = 0 Iter V 4 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-) {, } 0 (-) () () (-) {,4 } 0 (-) () () () {,4 } 0 (-) () 0 () () 4 { 4 } 0 (-) () 0 () () 4

45 Algorithme du plus court chemin p. 45/47 Exemple : coût négatif d = d = 0 4 d 4 = d = 0 Iter V 4 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-) {, } 0 (-) () () (-) {,4 } 0 (-) () () () {,4 } 0 (-) () 0 () () 4 { 4 } 0 (-) () 0 () () 4 5 { } 0 (-) () 0 () ()

46 Algorithme du plus court chemin p. 46/47 Exemple : coût négatif d = d = 0 4 d 4 = d = 0 Iter V 4 Traiter 0 { } 0 (-) (-) (-) (-) {, } 0 (-) () () (-) {,4 } 0 (-) () () () {,4 } 0 (-) () 0 () () 4 { 4 } 0 (-) () 0 () () 4 5 { } 0 (-) () 0 () ()

47 Algorithme du plus court chemin p. 47/47 Dijkstra et coût négatif L algorithme converge. Mais le concept d étiquettes permanentes n est plus pertinent. Toute implémentation basée sur cette propriété ne peut fonctionner qu avec des coûts positifs.