EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * *

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1 SESSION 25 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calculatrices sot iterdites * * * NB : Le cadidat attachera la lus grade imortace à la clarté, à la récisio et à la cocisio de la rédactio Si u cadidat est ameé à reérer ce qui eut lui sembler être ue erreur d éocé, il le sigalera sur sa coie et devra oursuivre sa comositio e exliquat les raisos des iitiatives qu il a été ameé à redre * * * Le sujet est comosé de deux exercices et d u roblème tous idéedats PREMIER EXERCICE Calculer les deux itégrales doubles suivates : 2 où T = { ( x, y) T x + y x y où [, ] [, ] a ( x + y)dx d y b d d C C =, x, y, x + y } DEUXIÈME EXERCICE Pour etier aturel o ul, o cosidère l équatio différetielle liéaire ( E ): xy y = Doer l esace vectoriel des solutios de l équatio ( E ) sur chacu des itervalles =, J =, + I ] [ et ] [ 2 Das le cas où =, détermier uiquemet ar des cosidératios grahiques, l esace vectoriel des solutios de ( E ) sur Quelle est la dimesio de cet esace vectoriel? 3 Das le cas où 2, détermier avec soi l esace vectoriel des solutios de ( E ) sur Quelle est la dimesio de cet esace vectoriel? Tourez la age SVP

2 2 PROBLÈME : Autour du théorème d ABEL our les séries etières Das tout le roblème : ( a) est ue suite de ombres réels telle que la série etière a x de la variable réelle x ait our rayo de covergece O désige alors ar a la série de terme gééral a et ar f la foctio défiie sur l itervalle ], [ ar : O désige ar ( ) ( ) P et ( 2 ) f ( x) = a x = P les deux roriétés suivates ossibles de la suite ( a ) : P : la série a coverge : la foctio f admet ue limite fiie, otée ( P 2 ) iférieures, lorsque x ted vers ar valeurs x I GÉNÉRALITÉS E utilisat des déveloemets e série etière «usuels», doer das chaque cas, u exemle de suite ( a ) telle que : a ( a ) vérifie ( P ) et ( P 2 ) ; b ( a ) e vérifie as ( P ) et vérifie ( P 2 ) ; c ( ) P ; a e vérifie i ( P ) i ( 2 ) d La série a x 2 O suose que la série a e coverge as uiformémet sur l itervalle ], [ (justifier) est absolumet covergete ; motrer alors que la foctio f admet ue limite fiie lorsque x ted vers ar valeurs iférieures et que 3 Exemle ( ) Déduire de la questio récédete la somme de la série ( ) 2 (o ourra utiliser ue décomositio e élémets simles) = a x =

3 3 II THÉORÈME D ABEL 4 O suose das cette questio que la série a coverge O va motrer qu alors la foctio f admet ue limite fiie lorsque x ted vers ar valeurs iférieures (théorème d Abel) O ose r = a et our tout x [, ], = + a Simlifier, our tout [, ] R ( x) = a x = + + x, ( r+ r+ ) x = b E déduire que, our tout [, [ x, + + ( ) ( ) + = R x = r x + x x r x c Soit u réel ε>, justifier qu il existe u etier tel que our tout etier et tout ε etier aturel o ait r +, uis que : 2 our tout etier et our tout réel x [, ], R ( x) ε d Coclure que la foctio f admet ue limite lorsque x ted vers ar valeurs iférieures et que = a x = 5 Que eut-o dire de la série a si lim f( x) x =? 6 Exemle Retrouver le déveloemet e série etière e de la foctio théorème d Abel our écrire 4 π comme somme d ue série umérique x arcta x uis utiliser le 7 Alicatio O raelle que le roduit de Cauchy de deux séries absolumet covergetes est ue série absolumet covergete a Le roduit de Cauchy de deux séries covergetes est-elle ue série covergete? ( ) (O ourra examier le cas u = v = our ) 4 b Soit u, v deux séries de ombres réels, o ose our etier aturel, w = = u v et o suose que les trois séries u, Motrer, à l aide du théorème d Abel, qu alors v et w w = u v = = = coverget Tourez la age SVP

4 4 III RÉCIPROQUE DU THÉORÈME D ABEL 8 Justifier que la réciroque du théorème d Abel est fausse O cherche à rajouter ue coditio ( ) ( P 2 ) et ( Q ), alors elle vérifie ( ) 9 O red our ( ) Motrer que si ( ) (o ourra motrer que P Q à la coditio ( 2 ) Q la roriété : our tout etier, a a vérifie les roriétés ( 2 ) a x = Si o red our ( Q ) la roriété : ) P et ( ) P de telle sorte que si ( a ) vérifie Q, alors elle vérifie la roriété ( P ) la suite ( a ) vérifie a O = (la suite ( a ) est domiée ar la suite au voisiage de + ), o obtiet le théorème de Littlewood dot o admettra la démostratio our l aliquer das la artie suivate IV SÉRIES HARMONIQUES TRANSFORMÉES Désormais, o admet et o ourra utiliser le théorème de Littlewood : si la foctio f admet ue limite fiie lorsque x ted vers ar valeurs iférieures et que a = O alors la série a coverge Pour etier aturel o ul, o cosidère ue suite ( ε ) ériodique de ériode formée d élémets de l esemble {, } Doer, e justifiat leur valeur, les rayos de covergece des séries etières ε x O ose, our ], [ x : ε f ( x) = x et = gx ( ) = ε x = ε x et Établir que la série ε coverge si et seulemet si la foctio : x ue limite fiie lorsque x ted vers ar valeurs iférieures f x gt () dt admet

5 5 2 Motrer que g est ue fractio ratioelle à détermier 3 Retrouver, uiquemet ar les deux questios récédetes, que la série harmoique diverge et que la série alterée ( ) coverge e récisat sa somme 4 Détermier ue coditio écessaire et suffisate ortat sur la somme série ε coverge Que eut-o e coclure das les cas où la ériode est u etier imair? i= ε i our que la 5 Exemle Das le cas où la suite ( ε ) est ériodique de ériode 6 avec ε ε =, ε 2 =, ε 3 =, ε 4 =, ε 5 =, ε 6 =, détermier (il est demadé de détailler les calculs) = Fi de l éocé Tourez la age SVP

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