Chapitre 1.10 Le champ électrique d une plaque par intégration

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1 Chapite. Le champ électiqe ne plaqe pa intégation Le champ électiqe généé pa ne plaqe plane infinie nifomément chagée Le champ électiqe généé pa ne plaqe plane infinie nifomément chagée (IUC en n point e l espace est popotionnel à la ensité sfaciqe e chages s la plaqe et ne épen pa e la istance ente la plaqe et le point où le champ électiqe est éalé : où ˆ ε : Champ électiqe généé a point (N/C : ensité sfaciqe e chage (C/m ( Q / A ε : Constante électiqe, ε 8,85 C / Nm ˆ : Vecte nitaie oientation pepeniclaie à la plaqe > ˆ ee : Consiéons ne plaqe nifomément chagée e ensité e chage ont le cente e celle-ci est sité à ne istance n point où nos poons éale le champ électiqe. La istance est pepeniclaie à la plaqe et cette istance est sffisamment petite po consiée la plaqe comme étant infinie (appoimation e la plaqe infinie. o simplifie le calcl sans pee tote généalité, centons la plaqe à l oigine n sstème ae, alignons la plaqe ans le plan et sitons le point s l ae. ( m ( m Ve en pespectie ( m Intoisons n noea sstème ae en cooonnée cliniqe ont : : istance aiale pa appot à l oigine sstème ae ( [.. ] : Angle ans le plan pa appot à l ae ( [.. ] : Hate eticale pa appot a plan ( [.. ] éféence : Mac Ségin, hsiqe XXI Volme B age Note e éigée pa : Simon Véina

2 isqe nos allons tilise le pincipe e speposition po éale le champ électiqe total a point, nos allons éfini n élément infinitésimal e chage Q en cooonnée cliniqe : Q A Q A Q Élément infinitésimal e chage électiqe écopons note plaqe en mocea infinitésimal e sface A et epésentons le champ électiqe infinitésimal généé pa cette chage infinitésimale Q à l aie e note sstème ae : et Champ électiqe infinitésimal : Q ˆ Q ˆ i j a ne elation e tiangle ectangle, nos obtenons : On pet tilise la éfinition e la fonction po obteni : ( ( m Q s ne sface cliniqe. ˆ ( m ˆ Q Ve en pespectie ( m [ ] [... ]... Ve e hat (plan [... ] Éalons à l aie ne sommation contine e champs électiqes infinitésima le champ électiqe total a point : (incipe e speposition Q ˆ ˆ (éfinition champ infinitésimal (emplace Q ˆ (Factoise constantes elation ente cooonnées catésiennes et cliniqes : (, (, éféence : Mac Ségin, hsiqe XXI Volme B age Note e éigée pa : Simon Véina

3 éféence : Mac Ségin, hsiqe XXI Volme B age 3 Note e éigée pa : Simon Véina emplaçons l epession e ˆ ans note intégale et sépaons les composantes e note ecte ésltant en effectant tois intégales sépaées : ˆ (Éqation pécéente j i ( j i ˆ j i 3 (istibe l intégale, j i 3 / (, factoise et Le champ électiqe sea le ésltat e tois intégales po les tois oientations. Éalons en pemie lie les ésltats s l ae et et constatons qe le champ électiqe ans ces e oientations est tojos nl ( : Selon l ae : (Éqation pécéente [ ] ( C (Éale l intégale ( (Simplifie

4 Selon l ae : ( (Éqation pécéente [ ( ] ( ( ( C ( ( (Éale l intégale ( ( (Simplifie Éalons maintenant le champ électiqe selon l ae : 3 /, (Éqation pécéente [ ] 3 / ( C ( (Éale l intégale ( 3 / (Factoise ( 3 / o ésoe l intégale, posons le changement e aiable siant : ainsi Changeons également les bones e l intégale po passe e φ à : (Bone inféiee (Bone spéiee éféence : Mac Ségin, hsiqe XXI Volme B age 4 Note e éigée pa : Simon Véina

5 Ce qi nos onne : (Éqation pécéente ( 3 / 3 / (emplace 3 / (Factoise ½, éécite / n n ( C / n [ ] / (Factoise teme -½ / / ( (Éale l intégale (Simplifie (Simplifie ε (emplace 4 (Simplifie ε 4ε éféence : Mac Ségin, hsiqe XXI Volme B age 5 Note e éigée pa : Simon Véina

6 Le champ électiqe généé pa ne coqille sphéiqe nifomément chagée Le champ électiqe généé pa ne coqille sphéiqe nifomément chagée e chage totale Q imine en fonction caé e la istance à l etéie e la coqille et est nl à l intéie e la coqille. Il est éqialent a champ électiqe généé pa ne chage ponctelle niqe Q sitée a cente e la sphèe : où À l etéie e la sphèe : ( > Q ˆ À l intéie e la sphèe : ( < : Champ électiqe généé a point (N/C Q : Chage totale s la sphèe (C : istance ente le cente e la sphèe et le point (m ˆ : Vecte nitaie oientation e Q (soce es le point (cible : aon e la sphèe (m : Constante e la loi e Colomb, 9 9, N Le champ électiqe total a point coespon à la speposition linéaie es champs généés pa totes les chages. Le champ électiqe a point est éqialent à celi généé pa ne sele paticle egopant l ensemble e la chage a cente e la sphèe. m /C ee : Consiéons ne coqille sphéiqe nifomément chagée e chage totale Q ont le cente est sité à ne istance n point où nos poons éale le champ électiqe. o simplifie le calcl sans pee tote généalité, centons la coqille à l oigine n sstème ae et sitons le point s l ae. La sphèe étant e aon, nos poons établi le lien siant ente la ensité e chage sfaciqe e la sphèe et sa chage totale Q : ( m Ve en pespectie Q A Q 4 (emplace A 4 ( m ( m éféence : Mac Ségin, hsiqe XXI Volme B age 6 Note e éigée pa : Simon Véina

7 Intoisons n noea sstème ae φ en cooonnée sphéiqe ont : istance aial pa appot à l oigine sstème ae ( [.. ] : Angle ans le plan pa appot à l ae ( [.. ] φ : Angle pa appot à l ae ( φ [.. ] isqe nos allons tilise le pincipe e speposition po éale le champ électiqe total a point, nos allons éfini n élément infinitésimal e chage Q en cooonnée sphéiqe : Q A Q A ( φ φ Q Élément infinitésimal e chage électiqe Q s ne sface sphéiqe. écopons note coqille en mocea infinitésimal e sface A et epésentons le champ électiqe infinitésimal généé pa cette chage infinitésimale Q à l aie e note sstème ae : Ve en pespectie [... ] Champ électiqe infinitésimal : Q ˆ isqe la géométiqe qi elie le tiangle fomé es côtés, et n est pas n tiangle ectangle, nos eons nécessaiement tilise la loi es po elie ces ganes : A B C BC ( φ ˆ Q [ ] φ... Nos poons appliqe la loi es po éale la istance ente chaqe élément Q et le point en fonction e l angle φ : A B C BC ( ( φ (emplace ( φ (Isole La pincipale ifficlté ésie ans l epession ecte nitaie ˆ qi oit ête écomposé ans le sstème ae. n se fiant a es en pespectie (oi ci-hat, on pet éalise qe : ˆ i j elation ente cooonnées catésiennes et sphéiqes : ( ( φ, ( ( φ, ( φ éféence : Mac Ségin, hsiqe XXI Volme B age 7 Note e éigée pa : Simon Véina

8 o mie isalise la écomposition ans le plan ecte ˆ, on pet éalise qe tos les éléments Q poant ête localisé po n angle niqe φ fome n annea aant tos ne istance ientiqe. L annea e chages e e hat pemet e mie compene le ôle e ans la écomposition ecte ˆ. Le ôle e l angle φ sea itée s l ensemble es annea e chages : φ ˆ Ve en pespectie Q [... ] [ ] φ... ˆ Q Ve e hat (plan [... ] Ve e hat, le point est sité à l oigine sstème ae. appel : ˆ ( i ( j ( On pet à noea appliqe la loi es po epime l angle en fonction e la istance : A B C BC ( ( (emplace ( (Isole ( Éalons à l aie ne sommation contine e champs électiqes infinitésima le champ électiqe total a point en se basant s le schéma ci-conte : Q ˆ où Q ( φ φ ( φ ˆ i j φ ˆ Ve en pespectie [... ] Q [ ] φ... éféence : Mac Ségin, hsiqe XXI Volme B age 8 Note e éigée pa : Simon Véina

9 Ainsi : Q ˆ φ ( φ φ ( ( i ( j ( (Éqation pécéente (emplace Q, et ˆ φ φ φ ( ( φ ( φ ( φ φ ( φ φ φ φ φ ( φ ( φ ( ( φ ( ( j ( φ j φ i φ i (istibe l intégale ( ( φ, factoise Le champ électiqe sea le ésltat e tois intégales po les tois oientations. Éalons en pemie lie les ésltats s l ae et et constatons qe le champ électiqe ans ces e oientations est tojos nl ( : Selon l ae : φ ( φ φ ( (Éqation pécéente [ ] ( φ φ ( ( ( C φ ( ( φ ( φ φ (Éale l intégale ( φ φ ( ( φ (Simplifie éféence : Mac Ségin, hsiqe XXI Volme B age 9 Note e éigée pa : Simon Véina

10 Selon l ae : ( φ ( φ φ (Éale pécéente [ ] ( φ φ ( ( ( C φ ( ( φ ( φ φ (Éale l intégale ( φ φ ( ( φ (Simplifie Éalons maintenant le champ électiqe selon l ae : φ ( ( φ, φ (Éale pécéente [ ] φ ( ( φ φ ( C ( φ ( ( φ φ (Éale l intégale ( φ φ (emplace φ ( φ ( φ φ (Factoise constantes, simplifie 3 φ (istibe / 3 3 φ ( φ où ( φ o ésoe l intégale, posons le changement e aiable siant : tel qe ( φ Ainsi : ( φ φ et ( φ φ éféence : Mac Ségin, hsiqe XXI Volme B age Note e éigée pa : Simon Véina

11 Changeons également les bones e l intégale po passe e φ à : φ φ ( Ce qi nos onne : ( (Caé pafait ( (Caé pafait ( φ φ (Éqation pécéente 3 φ ( ( / 3 / / 3 / ( ( ( ( / / ( / [ ] / ( ( ( ( [ ] / ( ( ( 3 / / / ( / ( ( [ ] ( / ( ( [ ] ( isqe la bone est ( ± et q il fat éale ( φ, φ (éécite (istibe l intégale n n ( C n (Soti teme ½ (Factoise ±, nos eons nos asse qe le ésltat e la acine est positif, ca la éfinition même e > étant la istance ente l élément q et le point est ne istance positie. Ainsi, nos aons les ésltats es bones siantes selon les e cas siants : À l etéie e la sphèe ( > À l intéie e la sphèe ( < Bone spéiee ( Bone inféiee ( Bone spéiee ( Bone inféiee ( éféence : Mac Ségin, hsiqe XXI Volme B age Note e éigée pa : Simon Véina

12 éféence : Mac Ségin, hsiqe XXI Volme B age Note e éigée pa : Simon Véina Cas # : > (À l etéie e la sphèe [ ] [ ] / / (q. pécéente (Éale l intégale (énomi. commn (Simplifie (Factoie, simplifie (Simplifie 4 (Simplifie Q (si >, à l etéie ( (empl. 4 Q Cas # : < (À l intéie e la sphèe [ ] [ ] / / (q. pécéente (Éale l intégale (énomi. commn (Simplifie (Factoise, simpl. (Simplifie (si <, à l intéie ( (Simplifie