Inspection académique de l Ariège

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1 ITEM Résoudre des problèmes ITEM 96 Organiser les informations d un énoncé ITEM 66 Résoudre des problèmes de la vie courante Réponses attendues : ITEM 89 : Dimitri a gagné 35 billes. ITEM 91 : Il y a 15 salades par rangée. ITEM 96 : Prise en compte de la démarche. ITEM 66 : Il reste 1 euro. Item 89 A la récréation, Dimitri joue aux billes. Au début de la partie, il possède 37 billes. A la fin, il a 72 billes. Combien a-t-il gagné de billes? Item 91 Un jardinier a planté 45 salades. Il a fait trois rangées. Il a mis le même nombre de salades dans chaque rangée. Combien y a-t-il de salades dans chaque rangée? Item 96 Le directeur d une école de 4 classes doit acheter des cahiers. L école a 100 élèves. Les cahiers sont vendus en paquet de 5. Combien devra-t-il acheter de paquets de cahiers pour que chaque élève possède un cahier? Item 66 Maman veut acheter des gâteaux. Elle a dans son porte-monnaie : - un billet de 10 - un billet de 5 - deux pièces de 2 Elle achète 3 gâteaux. Le prix de un gâteau est de 7. Combien d argent lui reste-t-il après avoir payé?

2 Origine des difficultés Remédiation Quand? Difficultés à comprendre le texte : au niveau de la structure Difficultés à comprendre le texte : au niveau du vocabulaire Difficultés à gérer la polysémie des termes spécifiques à la résolution de problème (gagner ne donne pas forcément lieu à une addition). Difficultés à gérer les données Proposer des problèmes sous forme de puzzles à reconstituer. Proposer des problèmes mélangés à reconstituer. En soutien au sein de la classe. En soutien au sein de la classe. Associer une question à un énoncé. Trouver la question parmi un choix. Imaginer la question. A l occasion de la lecture des problèmes, faire travailler les élèves sur la reformulation Au cours des séances de l énoncé et l utilisation des synonymes. Construire un glossaire du vocabulaire associé aux problèmes rencontrés. Travailler les représentations graphiques et les schémas. Laisser les élèves construire leurs propres représentations. (Cf. Rémi Brissiaud 1 ). Proposer des problèmes avec le résultat et faire rechercher la démarche permettant d y arriver. Valoriser la diversification des procédures. Accepter que tout le monde n applique pas la même procédure. Proposer des problèmes à trous dans lesquels il faut replacer les données. Au cours des séances Lors de séances spécifiques. En différenciation pédagogique. Modification de fonctionnement pour l année prochaine. Proposer une séquence d apprentissage axée sur la construction du concept de problème mathématique Ne pas limiter la lecture des problèmes et leur compréhension aux seules séances de mathématiques. Créer du lien entre maîtrise de la langue et mathématiques, possibilité de prévoir par exemple des séances de vocabulaire autour de textes de problèmes (exemple : les synonymes dans les problèmes). Favoriser la diversification et la diversité des démarches. Accepter que les procédures expertes n apparaissent pas chez tous les enfants au même moment. (Cf. Travaux de Rémi Brissiaud 1 ). 1 «J apprends les maths», Livre du Maître, R. Brissiaud, Editions RETZ

3 Difficultés à donner du sens au problème Difficultés à se représenter le problème Difficultés à calculer les opérations (erreur dans la technique opératoire) Difficultés à identifier les différentes étapes de résolution du problème, sa chronologie Jeu d'écriture de problèmes. (voir annexe 1) Passage du problème au récit et vice-versa. Proposer des situations de résolution de problèmes basées sur la typologie des problèmes définie par Gérard Vergnaud (Cf. annexe 3). Tri de problèmes en fonction: o Du type d opération o De ce que l on cherche (état initial, état final, transformation CF. G. VERGNAUD). Travailler sur la structure du problème. Travailler les représentations graphiques et les schémas. Reprendre la mémorisation des tables En aide personnalisée Dans le cadre de séquence de rédaction. Dans le cadre de séances de classe. Revoir les techniques opératoires. Utilisation de logiciels (abacalc, ) Proposer régulièrement des problèmes complexes. Au cours des séances Faire reformuler le problème en posant les questions intermédiaires permettant de trouver les données manquantes. Travailler sur différents modes de résolution et exploiter les recherches faites par les élèves. Dans le cadre des séances spécifiques. Proposer plus de situations problèmes demandant une approche différente. Ne pas proposer toujours le même type de problème, les mêmes supports. Ne pas associer systématiquement technique opératoire et problèmes relevant de cette opération. Proposer des situations problèmes variées ne portant pas forcément sur les techniques opératoires étudiées. A pratiquer régulièrement en lien avec les situations de classe. Faire régulièrement du calcul mental (quotidiennement). Réactiver régulièrement les connaissances et les compétences. Proposer des problèmes complexes nécessitant plusieurs opérations, comprenant plusieurs étapes. Utiliser la présentation proposée par les évaluations : Une partie recherche où l enfant a le droit d expérimenter, de se

4 Difficultés à définir le type d opération à associer au problème Conserver la présentation proposée par les évaluations : o Une partie recherche où l enfant a le droit d expérimenter, de se tromper. o Une partie solution claire et bien présentée qui donne la réponse finale. Travailler sur l organisation des données et les étapes intermédiaires. Lors de l apprentissage des techniques opératoires, travailler le sens de l opération et pas simplement la technique. A partir de la classification de VERGNAUD (voir annexe), construire des batteries de problèmes permettant de varier les contextes d utilisation d une opération (voir annexe). Proposer des problèmes où le seul changement porte sur les relations mathématiques (voir exemple). Dans tous les temps de classe portant sur la résolution de problème. Lors des séances spécifiques. Lors des séances spécifiques. Lors des séances spécifiques. tromper. Une partie solution claire et bien présentée qui donne la réponse finale. A partir de la classification de VERGNAUD (voir annexe), construire des batteries de problèmes permettant de varier les contextes d utilisation d une opération (voir annexe). Ne pas associer systématiquement des problèmes relevant uniquement de la technique opératoire venant d être travaillée.

5 Annexe 1(d après F. Boule*) ' *CDRom diffusé par F. Boule, documents pour les classes, problèmes «billes»

6 Annexe 2(élaborée par l équipe ressource de l Ariège) Problèmes à résoudre. Travail autour des relations entre les données. 1. Marie a 48 billes. Elle en a 13 de plus que sa sœur Justine. Combien de billes Justine a-t-elle? 2. Avant la récréation, Marie avait 48 billes. Après la récréation, elle en a 13. Combien Marie a-t-elle perdu de billes? 3. Marie a 48 billes dans son sac. Pendant la récréation, elle en gagne 13. Combien a-telle de billes après la récréation? 4. Marie a 48 billes dans son sac. Après la récréation, elle en a le double. Combien a-telle de billes après la récréation? 5. Après la récréation, Marie a 48 billes. Elle en a gagné 13 pendant la récréation. Combien avait-elle de billes avant la récréation? 6. Avant la récréation, Marie a 48 billes dans son sac. Pendant la récréation, elle en perd 13. Combien aura-t-elle de billes après la récréation? 7. Après la récréation, Marie a 48 billes. Elle en a perdu 13 pendant la récréation. Combien avait-elle de billes avant la récréation? 8. Marie a 48 billes. Elle fait des paquets de 12 billes. Combien de paquets peut-elle faire? 9. Marie a 48 billes. Elle décide de les distribuer à ses 4 copines. Combien chaque copine aura-t-elle de billes? 10. La mère de Marie lui achète 48 paquets de 4 billes. Combien Marie aura-t-elle de billes?

7 Typologie des problèmes additifs de Vergnaud* 1. Problèmes de transformation d'état - avec recherche de l'état final * transformation positive : «Le compteur de la photocopie marque 132. La maîtresse tire 16 photocopies. Maintenant que marque le compteur?» * transformation négative : «Corinne a 37 images dans une boîte. Elle en colle 12 dans un album. Combien y en a-t-il dans la boîte maintenant?» - avec recherche de l'état initial par transformation positive ou négative : «Paul joue au jeu de l oie. Son pion est sur une case bleue. Il avance de 14 cases. Il arrive sur une case rouge marquée 37. Quel était le numéro de la case bleue?» - avec recherche de la transformation positive ou négative : «La maîtresse a 42 cahiers dans l armoire. Le directeur lui apporte un carton de cahiers. La maîtresse a maintenant en tout 67 cahiers. Combien le directeur a-t-il apporté de cahiers?» 2. Combinaison d'états - avec recherche du composé (ou du tout) : «Dans une école, il y a 68 filles et 52 garçons. Combien y a-t-il d enfants dans cette école?» - avec recherche d'une partie : «Dans une classe, il y a 28 enfants. Le maître a compté les garçons. Il y en a 12. Combien y a-t-il de filles dans la classe?» 3. Comparaison d'états - avec recherche de l'un des états : «Marie a 39 ans. Elle a 23 ans de plus que son fils Thomas. Quel est l âge de son fils Thomas?» - avec recherche de la comparaison : «Marc a 38 billes. Pierre a 25 billes. Marc a plus de billes que Pierre. Combien en a-t-il de plus?» 4. Composition de transformations - avec recherche de la transformation composée : «Ce matin, j'ai dépensé 24 et cet après-midi j'en ai gagné 39. Est-ce que j'ai gagné ou perdu de l'argent dans la journée et combien?» - avec recherche de l'une des composantes : «Ce matin, j'ai dépensé 24. En tout, dans la journée, j'ai gagné 15. Combien en ai-je gagné cet après-midi?» * Extrait de «l enfant, la mathématique et la réalité : problèmes de l enseignement des mathématiques à l école élémentaire» : Vergnaud Gérard. Berne P. Lang 1981

8 Programmations possibles en fonction de la typologie de Vergnaud (élaborée par l équipe ressource de l Ariège) 1. CP - Problème de transformation d état - Avec recherche de l état final * transformation positive * transformation négative - Problème de combinaison d état - Recherche du composé (ou du tout) 2. CE1 - Problèmes travaillés au CP - Problème de transformation d état * recherche de l'état initial par transformation positive * avec recherche de l état initial par transformation négative 3. CE2 - Problèmes travaillés au CP et au CE1 - Problèmes avec transformation d états * avec recherche de la transformation positive * avec recherche de la transformation négative - Problèmes de combinaison d état : recherche d une partie 4. CM1/CM2 - Problèmes travaillés précédemment - Problèmes de comparaison d état * Recherche de l état final * Recherche de l état initial * Recherche de la comparaison - Problèmes de composition de transformations