LE FLAMBEMENT. 1) Description du phénomène :

Transcription

1 LE FLMBEMENT 1) Dscription du phénomèn : Un élémnt élancé, c st à dir aant un grand dimnsion par rapport à au moins un ds dux autrs, soumis à un ffort d comprssion axial, put s déplacr transvrsalmnt d façon important sous d faibls chargs. On put s rndr compt facilmnt d c phénomèn avc un lam d sci à métaux tnu vrticalmnt t chargé avc la main appué n têt. On constat qu à partir d un charg d l ordr d 20 N ( 2 Kg), l N déplacmnt latéral commnc t qu pour 25 N, on transform la lam d sci n boucl n s faisant rjoindr ls dux xtrémités. C phénomèn d instabilité st applé flambmnt ou, qulqufois, flambag. On distingu : -l flambmnt simpl qui affct ls barrs simplmnt comprimés ; -l flambmnt-flxion qui affct ls barrs comprimés t fléchis. 2) Effort critiqu d flambmnt : N L ffort limit à partir duqul s manifst ls grands déformations allant jusqu à l instabilité st applé ffort critiqu d flambmnt, noté c. L étud du flambmnt st du à EULER. La théori d EULER st fondé : - sur un poutr droit, bi-articulé à ss xtrémités ; -soumis à un ffort normal d comprssion cntré ( suivant Gx). z h G z b x 78

2 Lorsqu croit, à partir d zéro, l état d équilibr rctilign initial évolu vrs un état curvilign fléchi. D après la loi fondamntal d la flxion on a : or d² dx² M E.I M -. d² donc EI dx² n posant : '' +. 0 EI ω, EI on obtint : + ω². 0 C st un équation différntill du scond ordr, dont la solution général st d la form : (x).cos(ωx) + B sin (ω) la résolution d ctt équation s opèr grâc aux conditions aux limits : - pour x 0, (0) 0 0 ; - pour x l 0, (l 0 ) 0 B.sinωl 0 0 dux cas sont alors possibls : - si sin(ωl 0 ) 0 B 0 t (x) 0, x ( pas d flambmnt dans c cas ) ; - si sin(ωl 0 ) 0 ω.l 0 k.л soit ω kπ d où k². π².ei. l 2 0 EI l0 pour k0 0 : la poutr st rctilign pour qu la poutr rst fléchi, il faut qu k soit au moins égal à 1, c qui conduit à la valur minimal d qui vaut : c st applé forc critiqu d Eulr. 3) Contraint critiqu d Eulr : π².ei 2 l0 la forc critiqu d Eulr c corrspond un contraint critiqu : avc : la sction droit d la poutr ; c c 79

3 ². E I.i² l ² ² E c π π l0 2. o avc i Soit D où Imin ; raon d giration minimal, corrspond à l inrti I minimal. λ lo : l élancmnt i c π².e λ² c π².e λ² o λc λ lorsqu c >, aucun risqu d flambmnt n st à craindr ( on vérifi la comprssion simpl ) ; lorsqu c <, il a ruin par flambmnt dès lors qu c. Rmarqu : pour c (limit), corrspond un élancmnt critiqu λc λ c π E la théori d Eulr n st applicabl qu lorsqu λ λ c qulqus valurs d λ c : acir : λ c 105 bois : λ c 70 font : λ c 60 4) outrs autrs qu bi-articulé : D un manièr général, slon ls conditions aux appuis, la forc critiqu d Eulr vaut : c ( π² α. l EI o)² avc soit l o la longuur réll d l élémnt l f α.l o : la longuur d flambmnt c π² EI ( lf )² 80

4 avc α un cofficint qui dépnd ds conditions aux xtrémités (tps d ancrag ) : ncastré. articulé articulé libr translation lo ncastré. articulé ncastré ncastré ncastré α 1/2 α 1 α 1/V2 α 2 α 1 5) Sécurité vis à vis du flambmnt : Causs ds imprfctions : - défauts d homogénéité ; - défauts d cntrag ; - défauts d rctituds, Cofficints d sécurité : 2.s c avc 2 : suprposition d la comprssion t la flxion ; comm c π².e λ² s : cofficint d sécurité ( s / p ) ; π 2. ².E λ².s π².e. 2. λ². p π ².E.. λ c ² p 2λ² 6) Théori d Rankin : soit β 1/ λ c ² p 2βλ² Si λ c : flambmnt d Eulr ; Si λ N : comprssion ; 81

5 our ls valurs intrmédiairs ( piècs monnmnt court ) L modèl d Rankin Dans c cas : Résumé : p 1+ βλ² λ λ λc λ λc comprssion simpl modèl d Rankin théori d Eulr on vérifi qu : on vérifi qu : on vérifi qu : p p p 1 + βλ² 2βλ² 7) pplications Exmpl1 Vérifir un potau constitué par un poutrll HEB200, hautur 8.00m, articulé aux dux xtrémités. Il st sollicité par un ffort pondéré d 44 kn. Caractéristiqus géométriqus du profilé : S 78.1 cm², I min 2003 cm 4, E 2, Ma, 240 Ma t s 2.5 Solution : - l élancmnt du potau : λ lf/i min / ,1.105 l élancmnt critiqu : λc π. E π. 92, On constat qu λ>λc Théori d Eulr On vérifi qu 2.s c vc la contraint critiqu d Eulr : ². 2,1.10 λ² ² E 5 π π 2, soit ok ,5 c l potau st stabl vis à vis au flambmnt. 79,3 Ma 82

6 Exmpl 2 Vérifir la stabilité du potau rprésnté ci-après : Donnés : F 350 kn, H 6.00m b150 mm, h 200 mm t 25 mm λc 80, 30 Mpa t s2 ( cof. d sécurité) Solution : F B H - l élancmnt du potau : λ lf/i min avc l f 0,707.6,00 4,24 m I min - 43,75106 mm i min Imin 43, mm h z 4, λ 78,52 54 l élancmnt critiqu : λc 80 b On constat qu λ < λc Théori d Rankin On vérifi qu p 1+ β.λ² vc soit β λ 1 c² 1 80² 30 s 2 p Ma , , ,64 Ma l potau st instabl vis à vis au flambmnt. 83