Dérivées et fonctions usuelles

Transcription

1 Lycée Berthollet PCSI Programme de colle de la semaie du 10 au 14 octobre 2016 Notes aux colleurs : Je vous sigale/rappelle que je suis e cogé paterité à partir de ludi 10 jusqu aux vacaces de Toussait. Nous avos pas fait de TD sur les ombres complexes. Il y a seulemet eu quelques exemples de méthodes types vus e cours. Par ailleurs, je ai pas termié le chapitre : il maque l expoetielle d u complexe quelcoque, l iterprétatio géométrique du module et de l argumet de z C z A z B z A et les traformatios géométriques du pla. Cela empêche pas d aborder u peu de géométrie, mais il faudra guider les élèves. Rappel : les otios de limite, cotiuité et dérivabilité sot celle vues au lycée, aucue défiitio formelle e est doée à ce stade. Dérivées et foctios usuelles I Calculs sur les dérivées 1 Règles de dérivatio Pour des foctios dérivables sur des itervalles quelcoques : combiaiso liéaire, produit, quotiet, compositio. Les foctios suivates sot dérivables (admis) et les élèves doivet coaître leurs domaie et dérivée vues e termiale : foctios polyômes, si, cos, exp, l. Applicatio des théorèmes précédets : foctio tagete (ta), foctio puissace x x α pour x > 0 (α R) défiie à l aide de la forme expoetielle. 2 Utilisatio des dérivées Caractérisatio des foctios dérivables costates (CNS), mootoes au ses large (CNS) et strictemet mootoes (CS) sur u itervalle et applicatio à la détermiatio des variatios. Équatio de la tagete e u poit au graphe d ue foctio dérivable. Notatio pour les dérivées successives. II Foctios réciproques O admet les trois résultats suivats : 1. Théorème des valeurs itermédiaires. L image d u itervalle quelcoque par ue foctio cotiue est u itervalle ; 2. Théorème des foctios réciproques, versio cotiue. Si ue foctio est cotiue et strictemet mootoe sur u itervalle, elle admet ue (uique) foctio réciproque, qui de plus est cotiue sur l itervalle image.

2 3. Théorème des foctios réciproques, versio dérivable. Pour ue foctio dérivable sur u itervalle dot la dérivée est toujours strictemet positive (resp. toujours strictemet égative), à laquelle o peut doc e particulier appliquer le théorème précédet, sa foctio réciproque est dérivable et la dérivée est doée par la formule usuelle. Remarque pour les colleurs : Toutes les foctios ot (e tat qu applicatios) pour esemble d arrivée R, doc la foctio réciproque de f : I R est f 1 : f (I) R telle que x I, f 1 ( f (x)) = x et y f (I), f ( f 1 (y)) = y. E gééral, aucue des deux est bijective! Remarques : Si elle existe, la foctio réciproque est strictemet mootoe et de même ses de mootoie que la foctio iitiale. fait correspodre à u élémet de l image so uique atécédet. Iterprétatio géométrique das u RON : symétrie des graphes de f et de f 1 par rapport à la première bissectrice, iterprétatio de la formule de la dérivée de la foctio réciproque et des cas de o-dérivabilité. Applicatio de ces théorèmes à la défiitio de la foctio l et la détermiatio de sa dérivée. III Foctios classiques Les élèves doivet coaître pour chaque foctio classique, ses domaies de défiitio, cotiuité, dérivabilité, ses régularités, sa dérivée, ses variatios, limites aux bores, poits remarquables et savoir tracer l allure de so graphe. 1 Expoetielles et logarithmes Expoetielle et logarithme épérie, expoetielle et logarithme à base a > 0. 2 Foctios puissaces Foctio puissace x x α pour x > 0 (α R). Relatios algébriques sur les puissaces. Prologemet de la défiitio des foctios puissaces à R pour les puissaces etières positives ou ulles, à R pour les puissaces etières strictemet égatives, à R + pour les puissaces réelles strictemet positives. 3 Comparaiso de croissaces Croissace comparée etre puissaces et expoetielle, puissaces et logarithme : pour α e βx et β strictemet positifs et N, lim = + (doc lim x + xα x + xα e βx = 0 et lim x x e βx = 0), l(x) lim x + x α = 0 et lim x 0 xα l(x) = 0. x>0 Remarque : O itroduit à cette occasio la otatio petit o. 4 Foctios trigoométriques Sius, cosius, tagete et leurs foctios réciproques. 2

3 5 Foctios trigoométriques hyperboliques Foctios trigoométriques hyperboliques (leurs réciproques sot hors-programme mais peuvet faire l objet d exercices). Nombres complexes et trigoométrie I Itroductio Deux poits de vue sur la costructio des ombres complexes : résoudre l équatio x 2 = 1 d ue part et trouver ue multipllcatio sur (R 2,+) qui e fasse u corps d autre part. II Défiitio de C Rappel des propriétés de l additio ( vectorielle ) sur R 2 (associativité, commutativité, élémet eutre, opposé), défiitio d ue multiplicatio sur R 2 (dot l idée proviet, bie sûr, de i 2 = 1) ayat de boes propriétés (associativité, commutativité, élémet eutre (différet de celui de l additio), iverse d u vecteur o ul, distributivité par rapport à l additio). Idetificatio de R {0} à R (préservatio des opératios habituelles sur R) et otatio correspodate, défiitio de i puis remarque que {0} R = ir, otatio algébrique d u ombre complexe, otatio C pour le corps des ombres complexes. Exemple de calcul. III Parties réelle et imagiaire Défiitio, otatio Re(z) et Im(z), cojugaiso, z = z, caractérisatio des réels et des imagiaires purs à l aide de la cojugaiso, compatibilité de la cojugaiso avec les opératios + et, expressio de Re(z) et Im(z) à l aide de la cojugaiso. Représetatio géométrique des ombres complexes, otio d affixe d u poit ou d u vecteur, iterprétatio géométrique de la cojugaiso. IV Module Défiitio et iterprétatio géométrique. Premières propriétés : coïcidece avec la valeur absolue sur l axe réel ; module de l opposé, du cojugué ; expressio du carré du module à l aide du cojugué. Applicatio au calcul pratique des quotiets. Autres propriétés : comparaiso du module à la valeur absolue de la partie réelle (resp. imagiaire), cas d égalité ; module d u produit, d u iverse, d u quotiet ; le module d u complexe est ul ssi ce complexe est ul ; iégalité triagulaire, cas d égalité e termes vectoriels (ombres complexes positivemet liés ) et algébriques (zz R + ), secode iégalité triagulaire. Représetatio complexe des cercles et disques. V Nombres complexes de module 1 et trigoométrie 1 Cercle trigoométrique Cercle trigoométrique et esemble U des ombres complexes de module 1. Savoir retrouver les périodicités et symétries des foctios trigoométriques, résoudre les équatios et 3

4 iéquatios trigoométriques de base (cos x = a, si x b, etc.) à l aide du cercle trigoométrique. Valeurs remarquables des foctios trigoométriques. 2 Formules trigoométriques Les formules d additio sot admises pour cos et si et o e déduit alors les symétries déjà vues sur le cercle, les formules de soustractio, celle de l arc double, les formules pour les produits cosacosb, etc., celles pour les sommes cos p + cosq, etc. (ces derières e sot pas exigibles par cœur mais l étudiat doit savoir les retrouver), la formule d additio pour la tagete. VI Expoetielle d u imagiaire pur Défiitio, formule d additio, formules d Euler (aussi expressio de la tagete), applicatio à la liéarisatio (à cette occasio, itroductio de la formule du biôme (admise) e défiissat les coefficiets biômiaux exclusivemet à l aide du triagle de Pascal). Applicatio de la formule de la tagete e foctio de l expoetielle complexe (laissée e exercice) : expressio des foctios trigoométriques e x comme fractios ratioelles e ta 2 x. Formule de Moivre, applicatio au calcul des expressios de cos(t), si(t) et ta(t) e foctio de cost et sit. Factorisatio de 1±e iθ, e ia ±e ib, applicatio : retrouver les formules des cosius et sius de l arc double et les expressios factorisées de cos p+cosq. Calculs des sommes cos(kt), si(kt). VII Forme trigoométrique d u ombre complexe e ikt, Pour z 0, l esemble des θ tels que z = z e iθ est de la forme θ 0 + 2πZ ; Arg(z) désige l u des élémets de cet esemble, qu o e coaît doc que modulo 2π. À cette occasio itroductio de la défiitio de la cogruece de deux réels modulo 2π. Tous les calculs sur les argumets se ferot doc modulo 2π. Propriétés : caractérisatio de R +, R, ir + et ir ; argumet de l opposé, du cojugué, de l iverse, d u produit, d u quotiet ; CNS d égalité de deux complexes e foctio de leurs modules et argumets. Calcul pratique de l argumet d u ombre complexe sous forme algébrique, module et argumet d ue somme (ou différece) de ombres complexes de module 1 sous forme trigoométrique. Iterprétatio géométrique das le cas 1 ± e iθ (cas particulier du théorème de l agle au cetre). Applicatio à la physique : ue somme de sigaux siusoïdaux de même fréquece est ecore u sigal siusoïdal (expressio de acost + bsit sous la forme Acos(t ϕ), calcul de A et ϕ par la trigoométrie ou les expoetielles complexes). VIII Équatios du secod degré Cas particulier de l extractio de racie carrée : preuve de l existece sous la forme trigoométrique, calcul pratique quad le ombre est sous forme algébrique, cas gééral des équatios du secod degré : théorème, résolutio pratique. Somme et produit des racies e foctio des coefficiets, savoir trouver deux complexes coaissat leur somme et leur produit. 4

5 IX Racies -ièmes Propositio décrivat les racies -ièmes de 1 puis d u complexe quelcoque. Résultat sur la somme des racies -ièmes de 1. Toutes les défiitios et tous les éocés sot exigibles. Démostratios de cours exigibles Costructio de la foctio Arcsi et calcul de sa dérivée à l aide des théorèmes des foctios réciproques, versios cotiue et dérivable ; Costructio des ch et sh, détermiatio de leurs régularités, dérivées, variatios, limites et graphes ; Iégalité triagulaire et égalité ssi zz R + ; Les trois formules pour les produits cosacosb, etc., puis ue des 4 formules du type cos p + cosq, etc., méthode au choix de l élève ; Calculs des sommes e ikt, cos(kt), si(kt). 5