Condensateur. Relation entre la charge et la tension aux bornes d un condensateur :

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1 Formulare d élecrcé Pons de cours Condensaeur Explcaons ou ulsaons Un condensaeur es composé de deux armaures méallques séparé par un solan appelé délecrque. S une armaure se charge posvemen, l aure es forcémen chargée négavemen. Son symbole es le suvan : On aura q A = - q B où q es la charge des armaures en coulomb (C) Relaon enre l nensé couran e la charge : L nensé couran es un déb de charge élecrque dq = d : nensé couran en Ampères (A) q : charge de l armaure en Coulombs (C) : emps en secondes (s) Relaon enre la charge e la enson aux bornes d un condensaeur : q = C Eude expérmenale de la charge e de la décharge d un condensaeur : D après cee relaon, on peu rouver la valeur de en calculan le coeffcen dreceur de la courbe q=f() C : Capacé condensaeur en Farads (F) q : charge de l armaure posve en Coulombs (C) : enson aux bornes condensaeur en Vols (V) u G POSITION 1 : CHARGE u G POSITION 2 : DECHARGE Eude héorque de la charge d un condensaeur à ravers une réssance : On prend le monage schémasé c-dessus, nerrupeur en poson 1 : Lo des malles : + R = E Pour la décharge, l suff de remplacer le E par 0 dans l écrure de la lo des malles car la malle ne conen plus que le condensaeur e la réssance. On oben l équaon : dq Or q = C e = donc = C C d d d où + RC C = E d Equaon dfférenelle en de la charge condensaeur + RC C = 0 d Equaon dfférenelle en de la décharge condensaeur

2 Formulare d élecrcé Vérfcaon de la valdé d une soluon de charge : On se propose de vérfer que la soluon = A + B sasfa à l équaon c-dessus. A, B e τ son des consanes que nous allons déermner. On dérve une fos cee soluon : C B = 0 - e d On remplace C e dans l équaon d Cee équaon do êre vrae quelque so, ce dfférenelle : qu mplque : RC B A + B e - RC e 1 - = 0 RC e A = E = E Auss on connaî une condon nale : RC A + B(1 - ) e = E (=0) = 0 donc A + B = 0 d où B = -A = -E e Fnalemen : uc E 1 e Ulsaon de celle-c : Relaon nensé-enson : dq = e q=c uc d donc A parr de la soluon de charge en, on peu =C C obenr l nensé couran lors de la charge d en dérvan : =C C E RC = e d R Consane de emps : déermnaons e propréés : La consane de emps a pour expresson τ=rc. Comme son nom l ndque, sa dmenson es un emps (uné : seconde (s)). On peu la déermner :. Par le calcul, avec R en Ohm e C en Farad.. Sur la courbe de charge =f() en regardan l abscsse qu correspond à une ordonnée de 0.63 E.. Sur la courbe de charge =f() en regardan l abscsse pon d nersecon enre la angene à l orgne e l asympoe de () quand end vers l nfn E La consane de emps a la même valeur pour la charge e pour la décharge. τ RC Plus la consane de emps es grande plus le condensaeur me de emps à se charger ou à se décharger. pour τ 1 pour τ 2 < τ 1 pour τ 3 < τ 2 Energe emmagasnée dans le condensaeur : E C = 1 2 C 2 E C : Energe emmagasnée en Joules (J) C : Capacé condensaeur en Farad (F) : enson aux bornes condensaeur en Vols (V)

3 Formulare d élecrcé Pons de cours Bobne Explcaons ou ulsaons Une bobne es consuée à parr d un enroulemen rès serré de fl de cuvre qu es gané sur un maérau solan. Son symbole élecrque es le suvan : En effe, ou enroulemen de fl de cuvre possède une réssance : on l appellera réssance nerne de la bobne. Expresson de la enson aux bornes de la bobne : d u L = r + L d u L : enson aux bornes de la bobne en Vols (V) : nensé couran en ampère (A) d/d : dérvée par rappor au emps de l nensé dans le crcu en ampère par seconde (A.s -1 ) L : Incance de la bobne exprmée en Henry (H) r : réssance nerne de la bobne en Ohm (Ω) En régme permanen, la bobne se compore comme une r éssance, elle n es donc «néressane» qu en régme ransore (lorsque l nensé couran vare). Eude expérmenale de l éablssemen couran dans un crcu coporan une bobne : EA 1 U R 6 V U L U R U L EA 4 U L EA 0 EA 5 Comme U R = R, La foncon nensé couran =f() a la même forme que U R =f() Eude héorque de l éablssemen couran : On prend le monage schémasé c-dessus, nerrupeur fermé : Lo des malles : U L + R = E d Or U L = L s la réssance nerne de la d Pour la rupure couran, l suff de remplacer le E par 0 dans l écrure de la lo des malles. On oben l équaon : + R L d = 0 d bobne es néglgée. d L d où L + R = E e + d R d E = d R Vérfcaon de la valdé d une soluon pour l éablssemen couran : e On se propose de vérfer que la soluon = A + B sasfa à l équaon c-dessus. A, B e τ son des consanes que nous allons déermner. d B On dérve une fos cee soluon : = 0 - e d

4 Formulare d élecrcé On remplace d e dans l équaon d dfférenelle : L A + B e - R B E e = R L E A + B(1 - ) e = R R Cee équaon do êre vrae quelque so, ce qu mplque : L 1 - R = 0 L R e A = E R Auss on connaî une condon nale : (=0) = 0 donc A + B = 0 d où B = -A = E R Fnalemen : E 1 e R R L Consane de emps : déermnaons e propréés : La consane de emps a pour expresson τ=l/r. Comme son nom l ndque, sa dmenson es un emps (uné : seconde (s)). On peu la déermner :. Par le calcul, avec R en Ohm e L en Henry.. Sur la courbe de charge =f() en regardan l abscsse qu correspond à une ordonnée de 0.63 (E/R).. Sur la courbe de charge =f() en regardan l abscsse pon d nersecon enre la angene à l orgne e l asympoe de () quand end vers l nfn. La consane de emps a la même valeur pour l éablssemen ou la rupure couran dans le crcu. Plus la consane de emps es grande plus le l éablssemen couran es len. Energe emmagasnée dans le condensaeur : 0.63 (E/R) τ pour τ 1 pour τ 2 < τ 1 pour τ 3 < τ 2 E C = 1 2 L 2 E L : Energe emmagasnée en Joules (J) L : Incance de la bobne en Henry (H) : Inensé couran dans le crcu en Ampère (A) Oscllaons élecrques : crcu RLC Pons de cours Eude expérmenale des oscllaons élecrques : 1 2 Explcaons ou ulsaons EA0 E C R L, r

5 Formulare d élecrcé 4 régmes son alors possbles : Il y a amorssemen des oscllaons par effe Joule dans les réssances crcu : selon la valeur de la réssance globale (R+r), on peu obenr 4 régmes : S (R+r)=0, on a un régme pérodque : pas d amorssemen des oscllaons. (Pérode propre des oscllaons : T 0 ) T 0 S (R+r) es fable, on a un régme pseudo-pérodque : les oscllaons son fablemen amores. (Pseudo-pérode des oscllaons : T T 0 ) T S (R+r) es for, on a un régme apérodque : l amorssemen es rop for, l n y a pas d oscllaons. Il exse une valeur de R+r où on passe régme pseudopérodque au régme apérodque : on l appelle régme crque. C es ce régme qu perme le reour à l équlbre le plus rapde. Eude héorque de l oscllaeur non amor : D après la lo des malles : + u L = 0 d Or u L = L avec = d Fnalemen : dq d C d ² u C d où u L = LC d d² d ² d² + 1 u 0 C LC C u L Vérfcaon de la valdé d une soluon pour la enson aux bornes condensaeur : On veu vérfer que = U m cos (ω 0 + φ) es soluon de l équaon dfférenelle précédene ; U m, ω 0 e φ son ros consanes à déermner. On dérve une fos, pus une deuxème fos : C = - ω 0 U m sn (ω 0 + φ) d pus d ² = - ω 0 ² U m cos (ω 0 + φ) = - ω 0 ² d² On remplace dans l équaon dfférenelle : ² uc 0 ² U m cos( 0 ) 0 LC LC Cee relaon do êre vrae quel que 1 so ce qu mpose 0 LC On appelle ω 0 la pulsaon propre des oscllaons élecrques. Elle s exprme en rad.s -1. Ans la soluon proposé vérfe ben l équaon dfférenelle.

6 Formulare d élecrcé Expresson de la pérode propre des oscllaons : 2 Celle-c es relée à la pulsaon propre : T 0 = E ans : T 0 = 2 LC 0 Avec L en H e C en F) Obenon des deux aures consanes de la soluon (grâce aux condons nales) : Trouvons les valeurs de U m e φ connassan les condons nales suvanes : (=0) =E e (=0)=0. La premère condon nale nous perme d écrre : U m cos φ = E (1) La deuxème condon nous peme d écrre : - ω 0 U m sn φ = 0 (2) (2) : ω 0 e U m ne peuven pas êre nuls, on a sn φ = 0 d où φ = 0 En remplaçan dans (1), on oben U m =E La soluon s écr donc : = E cos (ω 0 ) Aspecs énergéques : Analysons ces aspecs pour un régme pseudo-pérodque : L énerge oale (E C +E L ) décroî au cours emps, cee énerge éan progressvemen dsspée par effe joules dans la réssance globale crcu. Il s effecue un ransfer d énerge condensaeur dans la bobne pus de la bobne dans le condensaeur e ans de sue. Quand E C es maxmale alors E L es nulle e quand E C es nulle E L es maxmale. Pour enreenr ces oscllaons amores e obenr ans un régme pérodque, l fau apporer, par un dsposf exerne, la même quané d énerge que celle pere par effe Joule.

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