Travaux dirigés de propagation des ondes mécaniques

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1 Travaux dirigés de propagation des ondes mécaniques Année 14-15

2 page Arnaud LE PADELLEC

3 page 3 P r é s e n t a t i o n Tous les exercices de propagation des ondes mécaniques qui seront abordés en Travaux Dirigés cette année sont regroupés dans ce fascicule. Ces exercices sont regroupés par thème. Il est demandé aux étudiants de préparer la séance de travaux dirigés.

4 page 4 Thème 1 : Ondes - généralités Exercice 1 : Onde et ses paramètres (A faire avant le TD) On considère le montage présenté sur la figure 1. Générateur Haut-parleur Microphone Oscilloscope Fig. 1 Un générateur sinusoïdal alimente un haut-parleur qui crée une onde sonore. On supposera que l onde sonore est à une dimension entre le haut-parleur et le microphone, situé à une distance x du haut-parleur. Le signal capté par le microphone est visualisé sur un oscilloscope et reproduit sur la figure. La base de temps est réglée à 1 µs par division. Fig. Signal capté par le microphone. La trace supérieure a été enregistrée à une distance x =, ±,5 cm du hautparleur. La trace inférieure correspond à une distance x de,84 ±,5 cm. Les deux traces intermédiaires correspondent à des distances intermédiaires. 1. Quelle est la fréquence de l onde? Évaluer une incertitude.. Interpréter les phases successives des traces de la figure. En déduire la longueur d onde. 3. Déduire la vitesse du son dans l air le jour des mesures, avec son incertitude. Que proposeriezvous pour améliorer la précision de ces mesures? Exercice : Onde sur une corde On considère une corde tendue comme sur la figure 3. La masse vaut m = 1 kg. On prendra g = 9,81 m.s -. On note y(x, le déplacement de la corde par rapport à sa position au repos. On peut montrer que la vitesse de propagation des ondes est v = T µ, où T = mg est la tension de la corde et µ = 5 g.m -1 est la masse par unité de longueur de la corde. 1. Quelle est la vitesse de propagation de l onde?

5 page 5 y x m Fig. 3 Schéma de la corde : l extrémité de gauche est fixée à un mur, celle de droite passe sur une poulie et supporte une masse, ce qui permet de considérer que la tension de la corde est constante et égale à mg. x. A l instant t =, on observe une impulsion de la forme y ( x,) = a exp où a = 5 cm et b b = 1 cm sont deux longueurs données. Pourquoi ne peut-on conclure sur la forme de l impulsion à t? Que faudrait-il connaître en plus pour cela? 3. On suppose que l onde se déplace vers la droite. Donner la forme de l impulsion pourt. Pouvez-vous définir une longueur d onde? Que faudrait-il pour cela? 4. Dans une autre expérience, en plus de l impulsion précédente que l on notera y 1 (x,, une autre impulsion y (x, de même forme mais avec une amplitude opposée ( a < ), se déplace vers la gauche. Donner la forme générale de y (x,. En déduire celle du déplacement dû aux deux impulsions y(x,. Que pensez-vous de la fonction y(x,) au temps t =? Cela vous étonne-t-il? Exercice 3 : Equation des cordes vibrantes Une corde souple, de masse linéique constante µ est tendue suivant un axe Ox avec une tension T comme indiqué sur la figure 4. On note y(x, le déplacement vertical d un point d abscisse x à l instant t et T(x, la tension subie par un élément de corde de longueur dx, en x. Fig En supposant le poids de la corde négligeable, montrer que y(x, est solution d une équation de propagation et donner l expression de la célérité de l onde.. Si l on tient compte du poids de la corde, comment les résultats précédents sont-t-ils modifiés?

6 page 6 Thème : Ondes progressives - superposition Exercice 1 : Ondes stationnaires et mathématiques (A faire avant le TD) On va chercher toutes les solutions de l équation des ondes qui sont des ondes stationnaires c est-àdire de la forme y ( x, = f ( x) g(. f ( x) 1 g& ( 1. Montrer que l équation des ondes s écrit alors =. f ( x) v g(. Comme l équation ci-dessus doit être vérifiée pour tout x et tout t, on va d abord fixert =. En f ( x) déduire que = C, où C est une constante indépendante de x et t. Déduire alors f ( x) g&& ( que = Cv. g( 3. Trouver les solutions générales des deux dernières équations. Il est souhaité que y ( x, reste fini pour toutes les valeurs de x et t. Montrer que cela impose que C soit négatif. 4. En déduire la forme la plus générale d une onde stationnaire. On posera Exercice : Mouvement d une corde C = k et ω = kv. On reprend la corde de l exercice, thème 1. Un opérateur situé près de la poulie crée une onde de fréquence f = 1 Hz se déplaçant vers la gauche et de la forme y 1( x, = a cos( ω t + kx). 1. Exprimer ω et k en fonction de f et v, la vitesse de propagation de l onde.. L extrémité de la corde fixée au mur au point d abscisse x ne peut pas bouger, c est-à-dire que l on a y ( x, =, quel que soit le temps t. Montrer que cette dernière condition est incompatible avec le fait que l on ait seulement une onde se déplaçant vers la gauche. 3. On cherche donc une solution de l équation des ondes avec une onde qui se déplace vers la droite en plus de l onde initiale y( x, = a cos( ω t + kx) + g( t x / v). On posera t = t x / v. En écrivant la condition y ( x, = en fonction de t, montrer que g (t ) est une fonction sinusoïdale de même fréquence que y 1 et donner l expression de g. En déduire la forme de l onde réfléchie. 4. Montrer que l onde obtenue y ( x, est une onde stationnaire et donner son expression. Quelle est la distance entre le point x et le premier nœud. Exercice 3 : Ondes stationnaires sur une corde de guitare 1. Quelle est l équation différentielle caractéristique d une onde qui se propage selon un axe Ox? Cette équation ressemble à une équation de diffusion. En quoi en est-elle fondamentalement distincte?. Qu appelle-t-on onde stationnaire? Donner sans démonstration l expression générale d une telle onde le long d un axe Ox. Les ondes stationnaires, le long d une corde, peuvent être considérées comme un ensemble d oscillateurs harmoniques. Pourquoi? 3. Une corde de guitare, de longueur l = 6 cm, est fixée à ses deux extrémités. Quelle est la plus grande longueur d onde possible pour une onde stationnaire sur cette corde? Sachant que la fréquence correspondante est celle du la, soit f = 44 Hz, trouver la vitesse de propagation de l onde progressive associée.

7 page 7 Quel est l ordre de grandeur de la vitesse de propagation dans l air de l onde acoustique émise par une guitare? Comparer cette célérité à celle dans l eau. Commenter. Exercice 4 : Propagation d une onde mécanique (A faire après le TD) Une onde mécanique S, de fréquence ν, se propageant dans un espace cartésien Oxyz avec une vitesse V constante. 1. Ecrire l équation de propagation de S. Déterminer les solutions de l équation différentielle par la méthode de séparation des variables. On définit le vecteur d onde ko et la pulsation ω. 3. En déduire la forme de la solution générale. 4. Donner une relation entre ko et ω. L espace de propagation est une cavité parallépépidique de dimension (a, b, c). On considère qu à l instant initial S (t = ) =. 5. Déterminer les solutions finales. Exercice 5 : Principe du radar Doppler (A faire après le TD) Un radar servant à mesurer la vitesse des voitures et schématisé figure 5, fonctionne sur le principe suivant. Un émetteur envoie une onde (qui sera supposée plane dans la suite) vers l objet dont on veut mesurer la vitesse ; celui-ci réfléchit l onde qui sera également supposée plane. On a donc une onde «stationnaire» entre l émetteur et le réflecteur, dont les nœuds se déplacent à la vitesse V du véhicule. Le détecteur est sensible à l onde ainsi formée, somme de l onde incidente et de l onde réfléchie. Réflecteur en mouvement (automobile) Emetteur V Oscilloscope Schéma d un radar Doppler Fig La fréquence de l onde émise par l émetteur est f = 1 GHz, la pulsation ω et la vitesse de l onde est 8 c = 3 1 ms -1. Quelle est la longueur d onde? Détecteur. On suppose que le réflecteur est tel qu il impose que l onde soit nulle sur sa surface. La position du réflecteur est x 1 = Vt. En refaisant le même raisonnement que dans l exercice question 3, montrer que l onde réfléchie est de la forme g ( x, = a cos( ω t k x) où a est l amplitude de l onde incidente, et calculer ω en fonction de ω, V et c. 3. Le détecteur est à la position x. Quelle est la forme temporelle du signal reçu sur le détecteur? On mettra ce résultat sous la forme d un produit de deux sinusoïdes, l une de fréquence proche de f et l autre de fréquence très inférieure.

8 page 8 4. Montrer qu en mesurant l amplitude du signal reçu par le détecteur, on peut connaître la vitesse de la voiture. Discuter la précision que l on peut atteindre. 5. Effet Doppler : un détecteur (illicite...) est placé sur la voiture. Montrer que le signal reçu de l onde incidente par ce détecteur est à une pulsation ω supérieure àω. Pouvez-vous citer d autres exemples de cet effet?

9 page 9 Exercice 1 : Soliton Thème 3 : Dispersion Le long d une corde métallique horizontale Ox, on suspend, à intervalles réguliers, N pendules, (voir figure 6). Chacun des pendules transmet à la corde un angle de torsion égal à l angle θ qu il fait avec la verticale. L analyse montre que θ satisfait à l équation différentielle suivante, notée θ 1 θ ω ESG (Equation Sine-Gordon) = k sin( θ ) avec k. = x v t v Fig Montrer qu ESG se réduit à son premier membre en l absence de pendules. Quelle est alors la signification physique de l équation? En unité SI, v =,6 ; de quelle unité s agit-il? Commenter cette valeur en rappelant l ordre de grandeur de la vitesse de propagation des ondes acoustiques le long d une corde métallique. Calculer k en précisant son unité SI.. Que devient ESG pour θ << 1? Vérifier que l équation complexe associée à ESG admet alors une solution d expression θ = θ m exp[ i( ωt kx) ]. Quelle est la signification physique de cette solution? A quelle relation, dite de dispersion, doivent satisfaire ω et k. Préciser la nature du graphe donnant ω / ω en fonction de k / k. θ ( s) tan avec 4 3. La solution exacte (réelle au sens mathématique) de ESG est = exp( ± γs) ( t ) 1/ s v x v =ω et γ = 1. v On appelle soliton le phénomène physique que décrit une telle solution. Le signe plus dans l argument de l exponentielle correspond à un soliton de torsion, le signe moins à un soliton d antitorsion. Donner la signification physique de v, ainsi que sa valeur limite. Exercice : Corde vibrante (A faire après le TD) Une corde vibrante homogène et sans raideur, de masse linéique µ, est tendue par une force de tension d intensité F constante. La corde au repos est horizontale et matérialisée par l axe Ox. Au cours de la propagation d une onde, le point M de la corde, d abscisse x au repos, subit le déplacement transversal y(x, à l instant t. On néglige l influence de la pesanteur sur la corde, mais on tient compte de la force d amortissement dirigée suivant l axe Ox, Ox Oy et de valeur algébrique -bv(x, par unité de longueur (avec b > ), où V(x, = y/ t est la vitesse transversale de l élément de la corde d abscisse x à l instant t.

10 page 1 1. Etablir l équation aux dérivées partielles du déplacement y(x,. On définit k le vecteur d onde de cette onde et on supposera l amortissement faible (b << µω).. Etablir la relation de dispersion sous la forme k( ω) = ω [ 1 jg( ω) ]. 3. Exprimer les coefficients g et c en fonction des données F, µ et b. 4. En déduire l équation de l onde y(x,. Que peut on dire sur y(x,? On définit l impédance ~ Ty mécanique complexe Z =, où y T désigne la projection sur Oy de la tension de la corde en V ( x, M(x). 5. Exprimer l impédance mécanique complexe Z ~ de la corde en fonction de F, µ, b etω. c

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