Chapitre 2 Les outils mathématiques pour le traitement du signal

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1 Chapire Les ouils mahémaiques pour le raiemen du signal 1. specre des signau sinusoïdau: Les signau sinusoïdau (ou harmoniques) son des signau périodiques rès imporans. Ce son les signau de la orme : () = sin(π + ϕ ) : ampliude ; : réquence ; ϕ : phase à l origine (ou déphasage ou phase) ; π + ϕ : phase insanannée. Puissance d un signal sinusoïdal : P =. Représenaion emporelle d un signal sinusoïdal : ϕ ure représenaion d un signal sinusoïdal : c es la représenaion specrale : ampliude specre d'ampliude. Specre d un signal périodique.1 Developpemen en série de Fourier Soi () un signal périodique quelconque (non sinusoïdal) de période (ou de réquence = 1 ). On monre que () peu s écrire sous la orme d un développemen en série de Fourier, c es-à-dire une somme de signau sinusoïdau de réquences muliples eniers de : () = a + a n cos πn + b n sin πn n=1 a = 1 ()d e n 1, a n = b n = () cos πn d () sin πn d Le signal sinusoïdal de réquence es appelé ondamenal e les signau sinusoïdau de réquences n, n son appelés harmoniques. Si () es impair (c es-à-dire ( ) = ()), alors n >, a n =, e si () es pair (c es-à-dire ( ) = ()) alors n > 1, b n =.... Repésenaion specrale d un signal périodique Le développemen en série de Fourier d un signal périodique () peu égalemen s écrire sous la orme : () = a + (n) cos(πn + ϕ (n)) n=1 (n) = a n + b n = a e : ϕ (n) = arcan b n a n (n) e ϕ (n) représenen respecivemen le specre d ampliude e le specre de phase de (). Ce son des specres de raies ou specres discres : un signal périodique ne possède de composanes specrales que pour des réquences muliples eniers du ondamenal. Représenaion graphique : phase ϕ specre de phase réquence ϕ

2 ...4 Eemple de calcul du specre d un signal périodique (n) (1) specre d'ampliude () (4) (3) (5) On considère un signal carré bipolaire : () specre de phase réquence - ϕ (n) ϕ (1) ϕ () ϕ (5) ϕ (4) a () es impair = n 1,a n = ϕ (3) réquence En praique, le specre d un signal es visualisé au moyen d un analyseur de specre Série de Fourier complee Se souvenan des relaions d Euler : cos() = 1 (ep(+j)+ep( j)) sin() = 1 j (ep(+j) ep( j)) on monre aisémen que la série de Fourier peu ḙre ransormée en une série de Fourier complee () = X(jk)ep(+jπk ) k= Les coeiciens X(jk) son alors complees e valen X(jk) = 1 +/ / ()ep( jπk )d < k < + La représenaion specrale graphique qui lui es associée pore le nom de specre bilaéral. Pour la suie du cours, on reiendra esseniellemen cee descripion car elle es analyiquemen plus inéressane que la orme en cosinus. On remarquera au passage que la ormule d Euler remplace les oncions sinus e cosinus par des eponenielles à eposan imaginaire appelées phaseurs. Ces phaseurs ne son rien d aures que des oncions complees oscillan cosinusoïdalemen sur l ae réel e sinusoïdalemen sur l ae imaginaire. b n = = πn sin πn [ ] cos πn Finalemen, le développemen en série de Fourier de () es : () = π Représenaion graphique : (n) π 3π 5π 7π 9π d + πn sin πn 1 p + 1 p= d [ ] cos πn = πn [( 1)n 1] + πn [1 ( 1)n ] = πn [1 ( 1)n ] = { si n = p πn si n = p + 1 sin π(p + 1) réquence

3 3... Généralisaion de la noion de specre Specre d un signal non périodique: ransormée de Fourier Soi () un signal quelconque, en pariculier non périodique. On monre dans ce cas que le specre de () es une oncion coninue de la réquence, c es-à-dire que () possède des composanes specrales à oues les réquences. Le signal () peu alors s écrire sous la orme : Eemple de calcul du specre d un signal non périodique Soi une impulsion () de durée e d ampliude : () () = () cos(π + ϕ () d { () = X() : specre d ampliude ϕ () = arg X() : specre de phase où X() es la ransormée de Fourier de () déinie par : X() = ()e jπ d Conrairemen au signau périodiques, les signau non périodiques possèden donc un specre coninu : () ϕ () specre de phase specre d'ampliude X() = ()d = = [ ] 1 e jπ = [ jπ jπ e jπ e jπ e jπ] = sin π π e jπ sin π = e jπ π insi : e : Représenaion graphique : () Α e jπ d = [ ] e jπ jπ sin π () = X() = π ϕ () = arg X() = π = jπ [ e jπ 1 ] 3. Propriéés de la ransormée de Fourier Linéarié : a() + by() ax() + by () Reard emporel e réqueniel : ( ) X()e iπ () e iπ X( ) Un reard emporel correspond ainsi à un déphasage au niveau réqueniel, e inversemen. ϕ () π π 3π 4π Diéreniaion () = d () jπx() d Changemen d échelle : (a) 1 ( ) a X a

4 5. Foncions de corrélaion des signau à énergie inie 5.1 Déiniions Déiniion 5.1 (Inercorrélaion) Soien () e y() deu signau à énergie inie, on appelle onciond inercorrélaionenre ()e y() laoncionnoée Γ y () déiniepar : Γ y () = ()y ( )d. Onpeuremarquerque Γ y ()eségalauleproduiscalaire: Γ y () =<, y >. Parailleurs,enraisondelasymériehermiienne,ona<, y >=< y, >,d oùlarelaion: Γ y () = Γ y ( ). Déiniion 5. (uocorrélaion) Soien ()un signal à énergie inie, on appelle oncion d auocorrélaionde ()laoncionnoée Γ () déiniepar : Γ () = () ( )d. Enraisondelasymériehermiienne,onalarelaion: Γ () = Γ ( ). Pourdessignauréels, Γ y ()e Γ ()sonréelsesaison: Γ () = Γ ( )e Γ y () = Γ y ( ). On en dédui noammen que l auocorrélaion d un signal réel es une oncion paire. 5. Propriéés uocorrélaion Enuilisanl égalié Γ () = Γ ( ),eennoanlaonciond auocorrélaionsousla orme Γ () = R() + ji(),l égaliéci-dessusdevien: R() + ji() = R( ) ji( ). Onendéduidoncquelaparieréellede Γ espairealorsquesaparieimaginaireesimpaire. Pour =,onaenpariculier Γ () = Γ (),donc Γ () Revau: 6. Produi de convoluion L opéraeur de convoluion es aussi rès couran. Il es associé à l opéraion de ilrage d un signal () par un ilre de réponse impulsionnelle h()(igure.13). La sorie du ilre, y(), vau alors y() = () h(). 6.1 Déiniion Déiniion 6.1(Produi de convoluion) Le produi de convoluion enre deu oncions () e h(), noépar lesymbole, esdéinipar les inégrales : ( h)() = (u)h( u)du = ( v)h(v)dv = (h )(). On reiendra que le produi de convoluion es commuai. Souven, en raiemen du signal, on noedeaçonpraiquelaconvoluiondedeuoncions ()e h()souslaorme: ( h)() = () h(). On uilisera cee noaion par la suie, malgré qu elle soi parois ambiguë comme on le verra plus loin. Si ()esladisribuiondedirac δ(),onasimplemen: y() = δ() h() = h(). Onremarqueque h()eslaréponseduilreeciéparuneimpulsiondedirac,d oùlenomde réponse impulsionnelle du ilre donné à h(). 3.3 Inerpréaion graphique de la convoluion La convoluion enre deu signau () e y() s écri [ y]() = (u)y( u)du. Lecalculdelaconvoluionconsisedoncàcalculerlasuraceduprodui (u)y( u).lesignal y( u)es simplemen le signal iniial y(u), reourné dans le emps pour donner y( u), puis ranslaé de. En calculan alors l ensemble des suraces obenues en aisan «glisser» y, c es-à-dire pour ous les décalagesde,onobienleproduideconvoluionpourou : Γ () = () ()d = () d >. Onreiendradoncque, Γ (),l auocorrélaionen = eségaleàl énergiedusignal.

5 J J O J J N D J N D D D J N D proporiéés du produi de : convoluion ().y() X() Y () () y() X().Y () Une muliplicaion dans un domaine correspond ainsi à un produi de convoluion dans l aure.