4.5 Intégration Numérique

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1 4.5 Intégraton Numérque Les ntégrales qu survennent du calcul des matrces élémentares de radeur A k et de masse M k ou du vecteur élémentare r k = (r k ) où r k = fϕ k dx, Ω k sont, avec l'excepton des cas les plus facles, évaluées avec des formules d'ntégraton numérque sur les éléments de référence Éléments quadrangulares Formule de quadrature de Gauss Théorème 11 Sot x 0,..., x n les (n + 1) racnes du polynôme de Legendre de degré n + 1 et sot w ( = 0,..., n) déns par w = 1 Π n j=0,j ( ) x xj dx. x x j Alors, s P (x) est un polynôme de degré au plus (2n + 1) 1 P (x) dx = n w P (x ). (On peut démontrer que l'erreur dans la quadrature de Gauss à n + 1 ponts est =0 2 2n+3 ((n + 1)!) 4 (2n + 3)((2n + 2)!) 3 P (2n+2) (µ), où µ (, 1).) Donc, dans une seule dmenson le degré de précson de la quadrature de Gauss à n + 1 ponts est 2n + 1. Ce résultat est optmal dans le cas qu'on ne peut pas fare meux avec 2n + 2 paramètres lbres (n + 1 pods d'ntégraton w et n + 1 ponts d'ntégraton x.) En général les produts tensorels des quadratures de Gauss ne sont pas optmals dans ce sens. Par exemple, ntégrer un polynôme de degré 5 ( ) nécessterat 9 (n + 1) ponts avec la quadrature de Gauss. Pusqu'l n'exste que 21 termes monômes dans un tel polynôme, une formule du type (non-produt-tensorel) 1 1 P 5 (ξ, η) dξdη = 6 w P 5 (ξ, η ), pourrat être essayée. Cependant, une foncton f Q 2n+1 est ntégrée exactement dans le carré de référence [, 1] [, 1]. Cec veut dre que pour les mallages qu consstent des éléments Q 1 qu sont des parallélogrammes (et dont le jacoben de la transformaton est donc une constante), les matrces élémentares de radeur (vor page 33 des notes de cours) et de masse peuvent être calculées exactement avec une quadrature de 38 =0

2 Gauss qu est 2 2. De la même manère les matrces A k et de masse pour un mallage des éléments rectangulares Q 2 sont évaluées exactement avec une quadrature de Gauss de 3 3 ponts d'ntégraton. En général, on peut calculer A k j approxmatvement avec A k j = n =0 ( ϕ e ξ + ϕe j η { [ n ϕ e ( y ) j ϕ e 2 ( ) ] 2 x +, ξ ξ η η η + ϕe ϕ e ) [ j y y η ξ η ξ + x ] x, η ξ [ ( y ) ϕ e 2 ( ) ] 2 x ω ω j + η ξ ξ abs J k (ξ,η j ) j=0 ϕ e j Éléments trangulares (ξ,η j ) Pour obtenr une formule de quadrature de degré de précson 1 dans le trangle de référence = {(ξ, η) : 0 ξ 1, 0 η 1 ξ, on pourrat prendre un pont (ξ 1, η 1 ) et un pods ω 1, choss tel que l'approxmaton f(ξ, η) dξdη f(ξ 1, η 1 )ω 1, sot exacte pour une foncton lnéare Cec nécesste que f(ξ, η) = a + bξ + cη. dξdη = 1 2 = ω 1, (78) ξ dξdη = 1 6 = ξ 1ω 1. (79) η dξdη = 1 6 = η 1ω 1. (80) La soluton de (78)-(80) est ω 1 = 1/2, ξ 1 = η 1 = 1/3. D'une manère parelle une formule symétrque de quadrature de degré de précson 2 peut être obtenue en cherchant ω 1, ξ 1, ξ 2, η 2, tels que f(ξ, η) dξdη f(ξ 1, ξ 1 )ω 1 + f(ξ 2, η 2 )ω 2 + f(η 2, ξ 2 )ω 2, sot exacte pour une foncton quadratque f(ξ, η) = a + bξ + cη + dξη + eξ 2 + fη 2. 39

3 Nous sommes amenés au système des équatons suvant: dξdη = 1 2 = 3ω 1, ξ dξdη = η dξdη = 1 6 = (ξ 1 + ξ 2 + η 2 )ω 1, ξη dξdη = 1 24 = (ξ ξ 2 η 2 )ω 1, ξ 2 dξdη = η 2 dξdη = 1 12 = (ξ2 1 + ξ2 2 + η2)ω 2 1, dont une soluton est ω 1 = 1 6, ξ 1 = 1 6, ξ 2 = 1 6, η 2 = 2 3. (L'autre soluton est obtenue lorsqu'on échange ξ 2 et η 2 et ne change n les pods de quadrature n les pods d'ntégraton). Formules de quadratures symétrques pour le trangle de référence et pour un tetraèdre de référence ont été obtenues par Hammer et al. [2] et quelques exemples peuvent être trouvées dans l'annexe C de Fortn et Garon. 4.6 Estmatons d'erreur a pror et a posteror pour l'équaton de Posson Estmatons d'erreur a pror La formulaton fable qu corréspond au problème (55)-(57) est: trouver u U tel que a(u, v) = ( u, v) = l(v) = (f, v), v V, dans un domane Ω. Dans cette secton u h désgnera la soluton du problème fable dscrétsé: trouver u h U h U tel que a(u h, v h ) = (f, v h ), v h V h V, (81) où U h et V h sont des espaces de dmenson ne. On suppose dans la sute que Γ 1 et que Ω est un doman polygonal qu permet un recouvrement T h de trangles ou R h de rectangles. On cherchera la soluton u h dans les espaces de dmensons nes U h U ou U h U, où U h = { u h C 0 (Ω), u h = g 1 sur Γ 1 u h k P 1, k T h, (82) U h = { u h C 0 (Ω), u h = g 1 sur Γ 1 u h k Q 1, k T h. (83) La foncton de pondératon v h sera chose des espaces notés V h ou V h, déns comme d'habtude. Dénton 24 (Condton d'angle mnmum) Une sute de mallages trangulares {T h est dte de forme régulère s'l exste un angle mnmum θ 0 tel que pour chaque élément k dans T h l'angle mnmum θ k de k satsfat à la condton θ k θ. 40

4 Théorème 12 S le problème varatonnel (81) est résolu avec un mallage d'éléments trangulares P 1, tel que U h = U h et V h = V h et une condton d'angle mnmum est satsfate, alors l exste une constante C telle que où h désgne la longueur du côté le plus long dans T h u u h 1,Ω Ch D 2 u 0,Ω, (84) Dénton 25 (Condton de rapport d'allongement géométrque) Une sute de mallages rectangulares {R h est dte de forme régulère s'l exste un rapport d'allongement géométrque maxmum β tel que pour chaque élément k de R h le rapport d'allongement géométrque maxmum β k satsfat à la condton 1 β k β. Théorème 13 S le problème varatonnel (81) est résolu avec un mallage d'éléments quadrangulares Q 1, tel que U h = U h et V h = V h et une condton de rapport d'allongement géométrque est satsfate, alors l exste une constante C telle que où h désgne la longueur du côté le plus long dans R h. Remarques On dént les espaces U h U et V h V par u u h 1,Ω Ch D 2 u 0,Ω, (85) U h = { u h C 0 (Ω), u h = g 1 sur Γ 1, u h P k 2 ou u h Q k 2, V h = { v h C 0 (Ω), v h = 0 sur Γ 1, v h P k 2 ou v h Q k 2 Sot ũ h la soluton du problème fable approxmatf: trouver ũ h U h tel que ã(ũ h, v h ) = l(v h ), v h V h, où ã(, ) et l( ) sont dénes par les formules de quadrature: ã(u, v) = w ( u v)(ξ, η ), l(v) = w (fv)(ξ, η ). S ã(, ) est coercve et le degré de précson de la formule de quadrature est au mons k 2, alors u h ũ h 1,Ω Ch. L'utlsaton des approxmatons d'éléments ns P m ou Q m (m 2) peut amener à une convergence de l'ordre m sous la condton que la soluton u est susamment régulère: u u h 1,Ω Ch m D m+1 u 0,Ω 41

5 4.6.2 Estmaton d'erreur a posteror Sot u U la soluton du problème fable (55)-(57) dans un domane polygonal Ω. Sot u h U h une soluton approchée, obtenue avec des éléments trangulares P 1. (En fat, on obtendrat la même estmaton d'erreur avec des éléments rectangulares Q 1 ). On note par T h la trangulaton formée des trangles et par E(k) la réunon des côtés du trangle k T h. Que e désgne l'erreur u u h. Alors ( u, v) = (f, v), v V, ( u, (u u h )) = (f, u u h ), c'est à dre, On peut mantenant écrre ( u, e) = (f, e). (86) e 2 1,Ω = ( (u u h ), e), = ( u, e) ( u h, e), = (f, e) ( u h, e), (vor (86)), = (f, e) ( u h, e) ((f, π h e) ( u h, π h e)) = (f, e π h e) ( u h, (e π h e)), (87) où π h e V h est un nterpolant de e. On écrt l'ntégrale sur Ω comme la somme sur les trangles physques k (k = 1,..., K) et ntègre par partes pour obtenr e 2 1,Ω = k (f + 2 u h )(e π h e) u h n k (e π h e) ds, où u h / n k = u h n k désgne la dérvee de u h dans la drecton normale sur la frontère k de l'élément k. n k est un vecteur normal untare drgé vers l'extéreur de k. S S est un côté ntéreur d'un trangle partagé entre deux éléments contgus k et l on dénote le saut dans la dérvée normale le long de S par [ ] u h := ( u h k u h l ) n k = ( u h l u h k ) n l. n On équdstrbue les sauts dans les dérvées normales le long des nterfaces des éléments. Cec nous permet d'écrre: e 2 1,Ω = (f + 2 u h )(e π h e) 1 k 2 E Ω (k) E N (k) [ u h n g 2 ds, ] (e π h e) ds 42

6 où, E Ω (k) et E N (k) désgnent la réunon des côtés ntéreurs du trangle k et ceux dans Γ 2. Alors e 2 1,Ω = avec R 1 et R 2 déns comme k R 1 (e π h e) R 1 = f + 2 u h, [ ] R 2 = 1 2 u h n E(k) sur E Ω (k), g 2 sur E N (k), 0, autrement, R 2 (e π h e) ds, (88) Lemme 3 (vor Lemme 1.25 de Elman et al.) (quas-)nterpolant π h e V h tel que Étant donné e V l exste un e π h e 0,k C 1 h k e 1,ωk, k T h, e π h e 0,S C 2 S e 1,ω k, S k E(k), où ω k désgne l'assemblage de tous les éléments avosnants qu partagent (au mons) un sommet avec le trangle k. Les constantes C 1 et C 2 ne dépendent que de l'angle mnmum dans tous les trangles de ω k. Démonstraton Vor Clément [1]. Donc, e 2 1,Ω = h k R 1 h k (e π he) k C h k R 1 0,k e 1,ωk + C ( K ) 1/2 e 2 1,ω k E E h k R 1 0,k + E R 2h /2 E (e π h e) ds, R 2 0,E e 1,ωk, 2 E R 2 0,E 1/2, (89) où on a utlsé l'négalté de Cauchy-Schwarz pour deux vecteurs: a = (a ) et b = (b j ) dans R N : ( N N ) 1/2 ( N ) 1/2 a b a 2 b 2. =1 =1 Ω recouvert par un nombre n de trangles mplque qu'l exste un nombre M < tel que e 2 1,ω k M 2 e 2 1,Ω. 43 =1

7 Alors, réécrvant MC comme C et en dvsant (89) partout par e 1,Ω, on obtent e 1,Ω C h k R 1 0,k + 2 E R 2 0,E Or, pour deux nombres réels a et b, (a + b) 2 2a 2 + 2b 2. Donc, on peut écrre (vor Elman et al. (1.108)) e 1,Ω C h2 k R 1 2 0,k + h E R 2 2 0,E pour une constante C. Le même résultat tent pour les éléments rectangulares Q 1. Dans les deux cas le résdu ntéreur R 1 = f et R 2 est une constante le long de chaque côté E de k E Ω(k). References [1] P. Clément, Approxmaton by nte element functons usng local regularzaton, R.A.I.R.O. Anal. Numér., 2:77-84, [2] P. C. Hammer, O. P. Marlowe et A. H. Stroud, Numercal ntegraton over smplexes and cones, Mathematcal Tables and other Ads to Computaton, 10: , /2 1/2,. 44