Épreuve de Mathématiques - Série S - Durée : 4 heures Vendredi 13 janvier Calculatrice Autorisée

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1 Épreuve de Mathématiques - Série S - Durée : 4 heures Vendredi 13 janvier Calculatrice Autorisée Le sujet comporte 4 exercices : Les élèves n ayant pas choisi l option Mathématiques en spécialité traiteront les exercices Les élèves ayant choisi l enseignement de spécialité traiteront les exercices La page 6 (feuille Annexe) est à rendre complétée, avec la copie. Bon travail EXERCICE 1 sur 5 points Les questions qui suivent sont indépendantes. 1. On donne deux nombres complexes z 1 = 5i et z = 1 + i. Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants : z 1 z 1 + z ; z 1 z ; ; z 1 z z.. On pose z 3 = 3 + i et z 4 = 3i. (a) Calculer le module et un argument des nombres z 3 et z 4. (b) En déduire le module et un argument de z 3 z 4 et de z 3 z Pour tout nombre complexe z différent de i, on définit le nombre complexe Z par : Z = z + 1 z i (a) Déterminer et représenter dans le plan complexe sur la feuille Annexe l ensemble ( ) des points M d affixe z tels que Z soit réel. (b) Déterminer et représenter dans le plan complexe sur la feuille Annexe l ensemble (C) des points M d affixe z tels que Z soit imaginaire pur. 4. On considère l équation (E) : z 3 + 5z + 11z + 15 = 0. (a) Déterminer les trois réels a, b et c tels que : z 3 + 5z + 11z + 15 = (z + 3)(az + bz + c) (b) En déduire les solutions de (E) dans C. Lycée Bertran de Born - BAC BLANC n 1 1 sur 6

2 EXERCICE sur 4 points a n+1 = 1 On définit les suites (a n ) et (b n ) par a 0 = 1, b 0 = 7 et 3 (a n + b n ) b n+1 = 1 3 (a n + b n ) Soit D une droite munie d un repère (O ; ı). Pour tout n N, on considère les points A n et B n d abscisses respectives a n et b n. 1. Placez sur le dessin de la feuille Annexe les points A 0, B 0, A 1, B 1, A et B.. Soit (u n ) la suite définie par u n = b n a n pour tout n N. Démontrez que (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Exprimez u n en fonction de n. 3. Comparez a n et b n. Étudiez le sens de variation des suites (a n ) et (b n ). Interprétez géométriquement ces résultats. 4. Démontrez que les suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes. 5. Soit (v n ) la suite définie par v n = a n + b n pour tout n N. Démontrez que (v n ) est une suite constante. En déduire que les segments [A n B n ] ont tous le même milieu I. 6. Justifiez que les suites (a n ) et (b n ) sont convergentes et calculez leur limite. Interprétez géométriquement ce résultat. Lycée Bertran de Born - BAC BLANC n 1 sur 6

3 EXERCICE 3 sur 5 points (élèves ne suivant pas l enseignement de spécialité) Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x + 4ex e x + 3 On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repére orthonormal (O; i; j) dessiné sur la feuille Annexe. 1. (a) Déterminer la limite de f en. (b) Démontrer que la droite D 1 d équation y = x + est asymptote à la courbe C. (c) Étudier la position de C par rapport à D 1.. (a) On note f la fonction dérivée de f. Calculer f (x) et montrer que, pour tout réel x, on a : f (x) = ( e x ) 3 e x + 3 (b) Étudier les variations de f sur R et dresser le tableau de variations de la fonction f. 3. (a) Que peut-on dire de la tangente D à la courbe C au point I d abscisse ln 3? (b) En utilisant les variations de la fonction f, étudier la position de la courbe C par rapport à D. 4. Montrer que la tangente D 3 à la courbe C au point d abscisse 0 a pour équation : y = 1 4 x On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe C. Tracer, sur la feuille Annexe : la courbe C ; la tangente D ; la tangente D 3 ; les asymptotes à la courbe C. Lycée Bertran de Born - BAC BLANC n 1 3 sur 6

4 EXERCICE 4 sur 6 points Soient f et g les fonctions définies sur l ensemble R des nombres réels par : f(x) = xe 1 x et g(x) = x e 1 x. Les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal (O; i; j) sont respectivement notées C et C, leurs tracés sont donnés en Annexe. 1. Étude des fonctions f et g (a) Déterminer les limites des fonctions f et g en. (b) Justifier le fait que fonctions f et g ont pour limite 0 en +. (c) Étudier le sens de variations de chacune des fonctions f et g et dresser leurs tableaux de variations respectifs. (d) Étudier la position relative des courbes C et C.. Étude d une fonction auxiliaire On considère la fonction h définie sur [1; + [ par h(x) = e x x x 1. On donne ci-dessous le tableau de variations de la dérivée h sur [1; + [ : x Variations de h 1 α + e (a) Prouver que e α = α + 1. En déduire que h(α) = α α. (b) Dresser le tableau de variations de h. (c) Combien l équation h(x) = 0 a-t-elle de solutions? 3. Interprétation On désigne par A l aire, exprimée en unité d aire, de la partie du plan comprise d une part entre les courbes C et C, d autre part entre les droites d équations respectives x = 0 et x = 1. A est coloriée sur le document donné en annexe On admet que A = 3 e. Soit a un réel strictement supérieur à 1. On désigne par S(a) l aire, exprimée en unité d aire, de la partie du plan comprise d une part entre les courbes C et C, d autre part entre les droites d équations respectives x = 1 et x = a. S(a) est hachurée sur le document donné en annexe On admet que S(a) s exprime par S(a) = 3 e 1 a ( a + a + 1 ). L objectif de cette question est de prouver qu il existe une et une seule valeur de a pour laquelle les aires A et S(a) sont égales. (a) Démontrer que l équation S(a) = A est équivalente à l équation : e a = a + a + 1. (b) Conclure, quant à l existence et l unicité du réel a, solution du problème posé. Lycée Bertran de Born - BAC BLANC n 1 4 sur 6

5 EXERCICE 5 sur 5 points (élèves suivant l enseignement de spécialité) PARTIE A - Restitution organisée de connaissances On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS. Théorème de BÉZOUT : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple (u; v) d entiers relatifs vérifiant au + bv = 1. Théorème de GAUSS : Soient a, b, c des entiers relatifs. Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. 1. En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS.. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux. Déduire du théorème de GAUSS que, si a est un entier relatif, tel que a 0 [p] et a 0 [q], alors a 0 [pq]. PARTIE B On se propose de déterminer l ensemble S des entiers relatifs n vérifiant le système : { n 9 [17] n 3 [5] 1. Recherche d un élément de S. On désigne par (u; v) un couple d entiers relatifs tel que : 17u + 5v = 1. (a) Justifier l existence d un tel couple (u ; v). (b) On pose n 0 = 3 17u + 9 5v. Démontrer que n 0 appartient à S. (c) Donner un exemple d entier n 0 appartenant à S.. Caractérisation des éléments de S. (a) Soit n un entier relatif appartenant à S. Démontrer que n n 0 0 [85]. (b) En déduire qu un entier relatif n appartient à S si et seulement si il peut s écrire sous la forme n = 43+85k où k est un entier relatif. 3. Application Zoé sait qu elle a entre 300 et 400 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9. Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3. Combien a-t-elle de jetons? Lycée Bertran de Born - BAC BLANC n 1 5 sur 6

6 Exercice 1 : Feuille ANNEXE 3 Exercice : 1 j 0 i O i 1 Exercice 3 : Exercice 4 : j C 1 A S(a) 4 O i 1 3 O a C NOM, Prénom :... Lycée Bertran de Born - BAC BLANC n 1 6 sur 6