QU EST-CE QUE L ALGEBRE? UN DOMAINE OU UN LANGAGE?

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Edmond Samson
il y a 6 ans
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1 QU EST-CE QUE L ALGEBRE? UN DOMAINE OU UN LANGAGE? Conférence de: Jn-Pul GUICHARD IREM de Poitiers Résumé: En regrdnt les progrmmes ctuels de l enseignement en Frnce, on peut se demnder si l lgébre existe encore. Pourtnt nous vons le sentiment que l lgébre fit bien prtie des mthémtiques. Aussi pour essyer de cerne ce qui l crctérise nous exminerons le contenu de deux trités. Puis nous exploterons deux grnds xes. En premier lieu, à prtir de l origine du mot lgèbre et du contexte dns lequel est ppru, nous borderons le domine des équtions uquel on identifie le plus souvent l lgébre. Pour l mise en éqution des problèmes, von peu à peu s élborer des nottions, qui, telle l désigntion pr x de l inconnue, vont servir de critère pour identifier le domine lgébrique. Pour l résolution des equtions se construisent progressivment des techniques purement lgébriques, qui vont déboucher sur une théorie des équtions. En second lieu, à prtir de l conception usuelle du clcul lgébrique comme clcul littérl, nous exminerons l nissnce du clcul litterl chez Viète, et son développement, à l suite de Descrtes, comme outil de modélistion, il v envhir tous le domines des mthémtiques et des sciences dont l lgébre v devenir le lngge. Comme clcul symbolique, il v permettre l définition des structures dites lgébriques qui vont devenir l lgèbre moderne. Nous terminerons en en tirnt des enseignements pour l clsse dns le cdre des progrmmes ctuels. Sommire 1. Des questions 2. Le domine des équtions 2.1. Bbylone. Tblette BM Problème vnt J.C Euclide. Les Eléments, livre II, proposition 11. 3e siècle vnt J.C Diophnte : Les Arithmétiques, livre I, problème ème siècle 3. Le lngge universel 3.1. L'lgèbre littérle de Viète 3.2. L'outil de l méthode crtésienne 3.3. Le domine des structures 4. Quels enseignements pour l clsse? 4.1 Un problème de construction 4.2. Des ensembles de points Des formules générles

2 4. Quels enseignements pour l clsse? Le point qui me frppe le plus dns l'pproche historique qui précède c'est l'importnce cpitle qu' eue l'invention du clcul littérl pr VIETE sur le développement des mthémtiques. D'une prt : - l'nlyse est issue de l'lgèbre "spécieuse" : notion d'éqution de courbe, de vrible, de fonction - le clcul littérl précédé le clcul lgébrique à une indéterminée, suf pour l résolution des équtions ; - l'explicittion des propriétés des opértions est issue du clcul littérl. D'utre prt, l'ctivité de modélistion à l'ide du lngge lgébrique permis l'essor des mthémtiques et des utres sciences : théorèmes, propriétés, lois sont énoncées dns le lngge de l'lgèbre littérle. Les clculs qui y mènent se font sous forme littérle. Or, il me semble que notre enseignement secondire reste enfermé dns l'lgèbre "numéreuse" : les prmètres sont indésirbles, et sous ce prétexte toute lettre qui n'est ps une inconnue ou une vrible est mise à l'index. Il fudrit donc procéder à une réhbilittion du clcul littérl, non comme il étit enseigné utrefois, -pour lui-même et comme prolégomène à des utilistions futures, et où l'introduction de temps à utre d'un prmètre servit de cution-, mis dns un contexte de résolution de problèmes. L question est lors de svoir quels serient les types de problèmes à étudier et à lgébriser dès le premier cycle? En reprennt les trvux de VIETE et de Descrtes, il me semble que l'on pourrit chercher dns trois directions : - les problèmes de constructions - les problèmes d'ensembles de points - les formules générles à étblir et à utiliser. Je vis essyer d'illustrer cel pr quelques exemples Un problème de construction Où couper un tringle équiltérl pr une prllèle à un côté pour que les deux morceux ient le même périmètre? 1

3 M x A Ce qui est donné : AB = BC = AC = Ce que l'on cherche : AM = x Eqution : 3x = x + (-x)*2 + Solution : x = 3 4 Vérifiction B C Appliction numérique : construction sur l figure trcée pr l'élève =, x = Générlistion x = (+b+c) 2(+b) Vérifiction pour le cs du tringle équiltérl On peut remrquer que, dns un tel contexte de clcul, développement et fctoristion sont une nécessité incontournble, et l'on peut donc en sisir l'intérêt. On pourrit reconsidérer ussi vec l méthode lgébrique et le clcul littérl le problème de l proposition 11 du livre II d'euclide vue dns l première prtie. Il serit intéressnt de constituer un corpus de tels problèmes, de trviller leurs formultions, et de voir à quels niveux d'enseignement ils pourrient être utilisés Des ensembles de points Au niveu du premier cycle, il ne peut guère s'gir d'identifier un lieu connu à prtir d'une lgébristion du problème et de l trnsformtion de l reltion obtenue en l forme cnonique d'un type de courbe connue : seule l forme générle de l'éqution d'une droite est connue en clsse de troisième, et ce ne ser plus le cs dns deux ns. Pr contre, construire, point pr point, une courbe à prtir d'une éqution est une ctivité qui eu et toujours un intérêt fondmentl pour l résolution de nombreux problèmes. Un tel trvil permet de sisir, petit à petit, comme cel été le cs historiquement, l notion de vrible et de fonction. Construction d'une ellipse M b MA + MB = 11 Recherche de nombres solutions de : + b = 11 A 8 B 2

4 Ce trvil, que l'on peut fire dès l sixième, et qui permet de trviller les constructions géométriques, présente en outre l'vntge que les nombres solutions de + b = 11 ne sont ps tous solutions du problème géométrique posé. Les 7 fmilles Nous sommes des points et nous hbitons tous dns un rectngle dont les sommets ont pour coordonnées : (-7; 10) (7; 10) (7; -10) (-7; -10). Voici nos dresses : Fmille 1 : notre ordonnée est l'opposée de notre bscisse. Fmille 2 : en divisnt notre bscisse pr 2 et en retrnchnt 5 u résultt, on trouve notre ordonnée. Fmille 3 : en multiplint notre bscisse pr -3 et en retrnchnt 7 u résultt, on trouve notre ordonnée. Fmille 4 : notre ordonnée est égle u crré de notre bscisse divisé pr 2. Fmille 5 : notre ordonnée est égle u cube de notre bscisse divisé pr -4. Fmille 6 : le produit de notre bscisse et de notre ordonnée est toujours égl à 4. Fmille 7 : l somme du crré de notre bscisse et du crré de notre ordonnée est toujours égle à ) Pour chque fmille, trouve 4 points de l fmille. 2 ) Donne l'dresse de chque fmille sous l forme d'une reltion qui lie l'bscisse x et l'ordonnée y des points de l fmille. 3 ) Représente les 7 fmilles. 4 ) Pour chque fmille, trouve les coordonnées des points qui hbitent sur les bords du rectngle. 5 ) Pour chque fmille, trouve les coordonnées des points qui hbitent sur les xes. 6 ) Quels sont les points qui pprtiennent à plusieurs fmilles? Cette ctivité permet en qutrième de clculer vec les reltifs dns un contexte où les clculs ont du sens. Elle permet de plus d'initier à l notion d'éqution de courbe et en troisième de donner du sens à celle d'éqution de droite. On trouver une nlyse plus pprofondie de cette ctivité dns l brochure "Les nombres reltifs u collège" de l'irem de Poitiers (Septembre 1996) Des formules générles Etblir des formules du progrmme Exemple 1 : (cos x) 2 + (sin x) 2 = 1 3

5 à prtir de : c b x Exemple 2 : m m' = -1 1 m -m' à prtir de : (m + (-m')) 2 = m (-m') 2 Il serit intéressnt de fire l liste des formules u progrmme du collège et de voir de quelle mnière on peut les vlider : de l formultion générle d'une propriété numérique à l démonstrtion vec l'outil "clcul littérl". Cr réduire une grnde prt de l'ctivité mthémtique des élèves à dmettre et ppliquer des formules ne constituent ps une bonne formtion : il fut voir près une telle prtique l représenttion des mthémtiques que renvoient les élèves! En plus cel élrgit le cdre de l démonstrtion et l fit sortir du domine géométrique. Il y urit ussi à réfléchir à l'lgébristion de certins des théorèmes que nous utilisons : pr exemple nous restons souvent très euclidiens et très peu crtésiens dns nos formultions des théorèmes de Pythgore et de Thlès. Or ces deux théorèmes sont deux outils fondmentux dont Descrtes disit, dns une lettre à Elisbeth, qu'ils lui suffisient pour mettre en éqution et résoudre tous les problèmes. 4

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