V E R S I O N P R O V I S O I R E

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "V E R S I O N P R O V I S O I R E"

Transcription

1 V E R S I O N P R O V I S O I R E Laboratore SYMME Unversté de Savoe Unon Européenne Thèse Présenté par Perre-Antone ADRAGNA Pour obtenr le grade de Docteur de l Unversté de Savoe Spécalté : Géne Mécanque Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Soutenue le.. novembre 007 devant le jury composé de : Bernard ANSELMETTI Rapporteur Professeur des Unverstés IUT de Cachan Jacques JACOT Rapporteur Professeur EPFL Marc BOUIX Examnateur Ingéneur SOMFY Responsable Méter Electromécanque Jean Perre NADEAU Examnateur Professeur des Unverstés ENSAM de Bordeaux Maurce PILLET Drecteur Professeur des Unverstés IUT d Annecy-le-Veux Serge SAMPER Co-drecteur Maître de Conférence Polytech Savoe d Annecy

2

3

4

5 v Table des matères Table des matères...v Introducton... 1 Le projet Interreg IIIA, "Tolérancement des systèmes assemblés"... 1 Les cas lmtes des méthodes actuelles... 1 Enjeux de ce programme de recherche... Déroulement du projet de recherche... 3 Chaptre 1 Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D Outl et hypothèse pour le tolérancement 1D Chaîne de cote 1D et hypothèse d ndépendance des varables Chaîne de cote 1D Hypothèse d ndépendance des varables Défntons Représentatons graphques des tolérances Le graphe (δ,σ) Le graphe en U Le graphe (δ,σ ) : une analyse des tolérances statstques 1D Assemblage vectorel Domanes de tolérance et domane résultant Les domanes de condton fonctonnelle Analyse et comparason des méthodes de tolérancement : la méthode des ares Hypothèse de répartton unforme des résultantes d assemblage Indces de qualfcaton de la méthode de tolérancement Une analyse des tolérances 1D par smulaton de Monte Carlo Trage unforme dans les domanes de tolérance Trage unforme sur la lmte du domane de tolérance Qualfcaton de la méthode de tolérancement Indce de qualfcaton de la méthode de tolérancement... 6 Tolérancement tradtonnel 1D Indces de capablté tradtonnels et domanes assocés L ndce Cp L ndce Cpk L ndce Cpm L ndce Cpmk Combnason d ndces de capablté et domane assocé Condton fonctonnelle et son domane d acceptaton Tolérancement tradtonnel Le pre des cas Tolérancement statstque Tolérancement statstque augmenté Tolérancement nertel 1D Perte de Taguch et le crtère nerte La foncton de perte de Taguch Le crtère nerte Représentaton graphque de la tolérance nertelle Premères représentatons graphques Graphe b-tolérance Indces de capablté nertels L ndce Cp L ndce Cp Condton fonctonnelle et son domane d acceptaton Une nerte comme CF... 45

6 v Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 3.4. Un ntervalle de tolérance comme CF Tolérancement nertel Garantr une nerte sous l hypothèse du pre des cas Garantr une nerte sous l hypothèse de décentrage aléatore Garantr un ntervalle de tolérance sous l hypothèse de décentrage aléatore Conclusons et perspectves Conclusons du chaptre Perspectves Chaptre Tolérancement nertel 1D garantssant une Condton Fonctonnelle Des propostons de tolérancement nertel dans le cas de produts assemblés Un comproms entre tolérancement au pre des cas et tolérancement statstque Un tolérancement nertel ajusté Tolérancement nertel classque et ndce de capablté Cp Chox d une méthode de tolérancement De l nertel avec exposant α à l nertel ajusté avec ndce I C De l nertel avec ndce Cp à l nertel ajusté avec ndce I C Tolérance fxe ou ndce de capablté Cp fxe Synthèse Garantr une CF exprmée par un IT CF et un ndce Cpk CF mnmum Tolérancement nertel et ndce de capablté Cpk ass résultant Hypothèse smplfcatrce : des composants en lmte de tolérances nertelles Indce Cpk ass d une chaîne de cote en lmte de tolérance nertelle Valeur et confguraton du Cpk ass mnmum Hypothèse smplfcatrce : réducton du domane d étude Recherche de la plus mauvase confguraton La foncton Cpk ass est convexe Garantr un Cpk ass mnmum sur l IT CF de la CF Valeur mnmale du Cpk ass résultant Garantr un Cpk ass Mn défn par la CF Le cas d applcaton Impossble d attendre la plus mauvase confguraton Garantr une CF exprmée par un IT CF et un TNC CF maxmum Le domane de tolérance défn par un TNC CF assocé à un IT CF Domane de tolérance d un TNC CF sur un IT CF Garantr un TNC Max grâce au Cpk de la plus mauvase confguraton Le cas d applcaton Comparason des méthodes de tolérancements Comparason des écarts-types maxmums autorsés Comparason des décentrages maxmums autorsés Comparason grâce au graphe (δ,σ ) Garantr la CF en consdérant les décentrages aléatores des composants Répartton des assemblages par smulaton de Monte Carlo Hypothèses Smulatons d assemblage de composants dans leurs domanes de tolérance Smulaton d assemblage de composants en lmte de leurs domanes de tolérance Tolérancement nertel avec des rsques Dfférentes approches possbles de modélsaton du rsque Une estmaton statstque du rsque Concluson du chaptre Chaptre 3 Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage Tolérancement 3D et analyse de forme : un blan non exhaustf Norme et tolérancement 3D La norme ISO La Spécfcaton Géométrque des Produts (GPS) Modèle et outls de tolérancement 3D Graphes de mécansme Modèles de tolérancement 3D Modèles de tolérancement 3D avec prse en compte des défauts de forme Analyse et caractérsaton des défauts de forme... 10

7 Table des matères v Analyse d écart de formes dans le domane métrologque La méthode modale naturelle Etat de l art de la méthode modale Créaton de la base modale théorque naturelle Analyse d un écart de forme et vocabulare assocé Ecrture sous forme matrcelle Un cas d llustraton smple : un profl poutre Base modale naturelle d une poutre Un défaut de forme smulé Caractérsaton du défaut de forme Evoluton de la méthode modale Evoluton du résdu de caractérsaton modale Base modale eucldenne Orthonormalsaton de Gram Schmdt Base modale métrque Projecton modale dans la base métrque Défauts technologques Enrchssement de la base modale Le cas d applcaton ndustrel Applcaton sur le cas d exemple Evoluton de la base modale Analyse de l écart de forme smulé Re-combnason des modes Equvalence entre modes rgdes et composantes du torseur de petts déplacements Assemblage de composants et méthode modale Accostage et méthode modale Défnton des défauts d accostages Analyse modale et écarts d accostage Un cas d applcaton ndustrel Assemblage sans défaut de forme Assocaton modale des formes rgdes Assemblage modal sans défaut de forme Prse en compte de l écart de forme Notre proposton : un effort de mse en poston Le cas d exemple Assemblage modal, surface écart et pont de contact Concluson et perspectves Concluson du chaptre Perspectves du chaptre Chaptre 4 Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel Statstque et méthode modale Smulaton d un lot d écarts de forme Exemple d llustraton Créaton d un lot de défauts de forme Représentaton modale des écarts de forme Premère représentaton : hstogramme des sgnatures Seconde représentaton : sgnature modale moyenne et sgnature modale écart type Surface moyenne et surface écart-type Synthèse de la parte Fuson de la méthode modale et du crtère nerte Inerte 3D classque L nerte 3D par Pllet Inerte et descrpton modale Inerte 3D ajustée Brève crtque de l nerte 3D classque L nerte 3D ajustée L espace des coeffcents modaux La représentaton dans l espace des coeffcents modaux Représentaton de la zone de tolérance 3D ISO Représentaton de l nerte 3D ajustée

8 v Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal.3.4 Synthèse de cette parte Proposton de tolérancement 3D nertel Spécfcaton de tolérance modale nertelle Sans prse en compte des défauts de forme Prse en compte des défauts de forme Applcaton du tolérancement 3D nertel sans défaut de forme Tolérancement nertel d un emplage de cnq composants Cas d applcaton avec bras de lever et tolérancement 3D au pre des cas Tolérancement nertel 3D du cas d applcaton avec bras de lever Comparason des tolérancements 3D au pre des cas et nertel sur le cas d applcaton Smulatons d assemblage Tolérancement nertel 3D et torseur de petts déplacements Synthèse de cette parte Synthèse et perspectves du chaptre Synthèse du chaptre Perspectves Défnton de l nerte 3D et sa tolérance Tolérancement nertel 3D sans défaut de forme Tolérancement modal nertel Chaptre 5 Concluson générale et perspectves Concluson Perspectves Tolérancement 1D Tolérancement 3D Tolérancement 3D avec défauts de forme Bblographe Référence bblographque Norme... 7 Annexe Interpolaton et extrapolaton modale... 8 Interpolaton modale... 9 Extrapolaton modale Possbltés d applcaton Annexe... 3 Base modale technologque métrque... 3

9 1 Introducton Le projet Interreg IIIA, "Tolérancement des systèmes assemblés" Les recherches que nous présentons dans le présent document sont supportées par le programme de l Unon Européenne : Interreg IIIA, "Tolérancement des systèmes assemblés", qu est une collaboraton France-Susse. Cette collaboraton est à deux nveaux : une collaboraton de partenares unverstares, entre les laboratores : o SYMME (Système et Matéraux pour la Mécatronque, fuson en 006 du LAIMAN et du LMéca) de l école d ngéneurs Polytech Savoe (fuson en 006 de l Ecole Supéreure d Ingéneurs d Annecy et de l Ecole Supéreure d Ingéneurs de Chambéry) o LPM (Laboratore de Producton Mcrotechnque) de l EPFL (Ecole Polytechnque Fédérale de Lausanne). une collaboraton avec des partenares ndustrels dont : o coté franças : Tefal, Dassault Avaton, Somfy, le Cern o coté susse : Symbos, Audemars Pguet, Ce projet de collaboraton européenne Interreg IIIA, "Tolérancement des systèmes assemblés" dentfe tros stuatons nécesstant un approfondssement de la recherche : les cas lmtes où les méthodes actuelles de tolérancement ne tradusent pas correctement la fonctonnalté du produt, les modfcatons du système en fonctonnement, les cas de couplage de technologe (mécatronque). Parm ces tros axes dentfés, ce projet de recherche "Tolérancement des systèmes assemblés, une approche par le tolérancement nertel et modal" se propose de trater le premer axe. Les autres stuatons ont également été tratées par les partenares dans le cadre du programme, mas ne font pas parte des travaux exposés dans le présent document. Les cas lmtes des méthodes actuelles Le tolérancement défnt les lmtes d acceptaton des produts en vue de garantr la satsfacton du clent. Cette satsfacton passe par la qualté du mécansme. Cette qualté s exprme au moment de l assemblage des composants (exstence du mécansme) et par le bon fonctonnement du mécansme tout au long de sa durée de ve (servce rendu au clent). Le tolérancement d un système dans le cas de produts assemblés consste à répondre à une double exgence contradctore : assurer les fonctonnaltés du produt en respectant des crtères de qualtés, garantr une producton à mondre coût. Pendant de nombreuses années, le tolérancement de produts mécanques a spécfé des lmtes de varatons de caractérstques dmensonnelles (souvent un-drectonnelle) par un ntervalle de tolérance. On dentfe prncpalement deux approches de tolérancement : "au pre des cas", qu assure l assemblage et la fonctonnalté du système mécanque, mas ndut un coût de producton plus élevé que la seconde approche,

10 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal "statstque", qu assure un fable coût de producton mas accepte des mécansmes dont la fonctonnalté n est pas respectée. On constate donc le prncpal dlemme. Ce qu peut parfos pousser à ne pas développer un produt car les tolérances garantssant la fonctonnalté sont trop exgeantes par rapport au moyen de producton, et l élargssement des tolérances crée un rsque mportant d obtenr du rebut. Les modèles de tolérancement ont ensute augmenté en complexté avec la prse en compte des défauts géométrques, donnant leu au tolérancement 3D où les défauts de forme sont ben souvent néglgés. Les défauts de forme ne sont cependant, plus néglgeables dans le cas notamment des mcrosystèmes, où les défauts géométrques se confondent avec les problèmes de rugosté. C'est également le cas pour des systèmes de dmensons plus mportantes lorsque la précson recherchée est de quelques mcrons. Les hypothèses conventonnelles de smplfcaton nous amènent à séparer les défauts de talle, poston, forme, et texture, en prenant en compte séparément les dfférents modèles de comportement. Enjeux de ce programme de recherche Nos travaux de recherche présentent pluseurs enjeux, technques et économques. Dans le cycle de ve du produt, ces enjeux sont souvent présents aux mêmes nveaux car un gan de productvté peut se tradure en gan économque. On peut ans dstnguer des enjeux entre autres aux étapes de : la concepton : on défnt un nouveau crtère de spécfcaton des tolérances en vue de lbérer le concepteur du dlemme "pre des cas" ou "statstque", la producton : l élargssement des tolérances permet de basser le coût de producton, l assemblage : une bonne maîtrse des écarts des composants permet un melleur assemblage, la relaton clent-fournsseur : un crtère unvoque de qualfcaton des lots permet d évter les conflts et de gagner du temps, la satsfacton du clent : la maîtrse des écarts des composants permet de maîtrser la foncton du produt, donc de meux satsfare le clent Cependant, les enjeux drects de ce projet de recherche sont applcables à la phase de concepton : Développer des produts garantssant meux les spécfcatons fonctonnelles tout en donnant plus de lberté à la producton, Permettre une melleure modélsaton du comportement lors de l assemblage des produts, Meux exprmer les besons sur les composants (cble et écarts tolérés) Les enjeux ctés découlent d une melleure maîtrse des écarts autour de la cble. Certans d entres eux, tels que la producton, l assemblage ou la relaton-clent fournsseur, sont tratées durant la collaboraton mas ne sont pas présentés dans ce rapport.

11 Introducton 3 On peut notamment dstnguer une forte préoccupaton des nos partenares scentfques susses sur la problématques de l assemblage [Jacot, 000], et des mcro-systèmes [Benmayor 000], [Koelemejer 00], [Bourgeos 007]. Déroulement du projet de recherche L approche que nous proposons d'aborder dans le présent projet de recherche consste dans une étude couplée des modèles, c est-à-dre à prendre en compte smultanément les dfférentes contrantes. Pour cela, nous envsageons de développer une méthode de tolérancement nertel géométrque qu permet d ntégrer dans une seule spécfcaton pluseurs ordres de grandeur de défauts. Pour attendre cet objectf, nous basons nos recherches sur deux axes : Notre premer axe de traval consste à explorer la voe du tolérancement nertel afn de meux prendre en compte les aspects de la combnatore lors de l'assemblage de pluseurs composant. Cette récente approche de tolérancement remet en cause toute l'hstore du tolérancement par ntervalle de tolérance. Notre second axe de recherche s ntéresse à la méthode modale de caractérsaton des écarts de forme. Cette récente approche est une méthode générque de caractérsaton de défaut de forme sur tout type de géométre. Elle permet de décomposer les défauts de forme en une combnason de défauts élémentares. Ce projet de recherche se présente en quatre chaptres : Le premer chaptre est une présentaton des hypothèses et outls d analyse du tolérancement 1D. Il content auss un bref état de l art des ndces de capablté et méthodes de tolérancement 1D. Le second chaptre est une proposton de tolérancement 1D fondé sur le tolérancement nertel, dont l objectf est de garantr la conformté de la résultante d un système assemblé. Le trosème chaptre est un développement de la méthode modale. On présente des évolutons de la méthode de caractérsaton des écarts de forme pour se drger vers une approche de tolérancement avec défaut de forme. Le quatrème et derner chaptre de ce projet est le rapprochement des deux axes de recherche, dont l objectf est de proposer une méthode de tolérancement 3D et de forme afn de garantr la fonctonnalté de l assemblage.

12

13 5 Chaptre 1 Chaptre 1 Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D OBJECTIF DU CHAPITRE Nous n avons pas cherché à fare un état de l art du tolérancement 1D, nous proposons de présenter les outls et méthodes utlsés par la sute. Nous proftons de ce chaptre pour présenter une nouvelle méthode d analyse graphque des dfférentes stratéges de tolérancement. Ce chaptre se décompose en tros partes: La premère parte de ce chaptre présente le prncpe de la chaîne de cote 1D, l hypothèse d ndépendance des varables, les représentatons graphques, et deux méthodes d analyse des tolérances : le graphe (δ,σ ) d analyse des domanes de tolérance et une analyse des tolérances par la méthode de Monté Carlo. Dans une seconde parte, on présente quelques méthodes de synthèse des tolérances fondées sur le tolérancement tradtonnel 1D. Un blan des ndces de capablté tradtonnels et des dfférentes méthodes de tolérancement est réalsé. Cette parte revent à présenter des méthodes garantssant un ntervalle de tolérance comme condton fonctonnelle, IT CF, par des ntervalles de tolérance sur les composants, IT. La dernère parte de ce chaptre est une présentaton de quelques méthodes de synthèse de tolérance fondées sur le tolérancement nertel 1D. On présente les ndces de capablté et dfférentes méthodes de tolérancement dont le but est de garantr une nerte sur la CF, I CF ou un ntervalle de tolérance IT CF, par des tolérances nertelles sur les composants, I. L apport des nos travaux de recherche dans cette parte se résume à l ntroducton d une nouvelle méthode d analyse des tolérances, dont l utlsaton c sert à comparer les effcactés des stratéges de tolérancement.

14 6 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Glossare CF Condton Fonctonnelle Cp Indce de capablté de la dsperson nstantanée tradtonnelle ou nertel Cp Indce de capablté nertel Cpk Indce de capablté de respect de l ntervalle de tolérance Cpk ass Indce Cpk de la résultante de l assemblage Cpk CF Valeur fonctonnelle de l ndce Cpk de la résultante à respecter sur l IT CF Cpk Indce de capablté Cpk du composant Cpm Indce de capablté de Taguch Cpmk Indce de capablté combnant le Cpm et le Cpk f Coeffcent augmenté utlsé pour le tolérancement tradtonnel statstque augmenté h sommet Hauteur du sommet de la gaussenne équvalente de moyenne δ et écart-type σ I ass Inerte de la résultante de l assemblage I CF Tolérance nertelle de la CF I Tolérance nertelle du composant IT CF Intervalle de tolérance de la CF de l assemblage IT X Intervalle de tolérance du composant IT Y Intervalle de tolérance résultant de l assemblage MC Monte Carlo n Nombre de composants dans la chaîne de cote R exp. Taux d explotaton de la CF sous l hypothèse de répartton unforme R HCF Taux de non-respect de la CF sous l hypothèse de répartton unforme R MC HCF Taux de non-respect de la CF par smulaton de MC TNC Taux de Non-Conformté TNC ass Taux de Non-Conformté de la résultante de l assemblage TNC CF Taux de Non-Conformté fonctonnelle à respecter sur l IT CF TNC ppm Taux de Non-Conformté en parte par mllon (ppm) TNC Borne supéreure du TNC ppm pour un ndce Cpk donné Sup ppm Inf TNC Borne nféreure du TNC ppm ppm pour un ndce Cpk donné X Caractérstque du composant de la chaîne de cote Y Caractérstque résultante de la chaîne de cote α Coeffcent d ncdence du composant β Indce de fasablté du composant δ ass Décentrage résultant de la caractérstque résultante de l assemblage δ Décentrage par rapport à sa cble du lot du composant σ ass Ecart-type résultant de la caractérstque résultante de l assemblage Ecart-type du lot du composant σ

15 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 7 1 Outl et hypothèse pour le tolérancement 1D 1.1 Chaîne de cote 1D et hypothèse d ndépendance des varables Chaîne de cote 1D Pour le tolérancement de systèmes assemblés, le problème résde dans la détermnaton des caractérstques élémentares X des composants dans le but d obtenr une caractérstque fnale Y sur le produt assemblé qu sot satsfasante pour les besons du consommateur. Dans le cas du tolérancement 1D, le len entre la résultante de l assemblage Y et les composants X est exprmé par la chaîne de cote. La chaîne de cote mnmale est le plus court parcours décrvant la condton fonctonnelle n utlsant qu une seule fos les composants. La fgure c-dessous présente un assemblage de 5 composants, sa condton fonctonnelle et la chaîne de cote assocée. J a a 1 a a 3 a 4 a 5 Fgure 1-1 : Chaîne de cote mnmale d un assemblage de 5 composants La chaîne de cote de cet assemblage s écrt : Ja = a 5 a 1 a a 3 a 4 [ 1-1 ] La cote a 5 est affectée d un sgne postf, car son nfluence sur la cote condton J a est du sens de cette dernère. Les autres ncdences sont négatves car les cotes sont opposées au sens de la cote condton. Le comportement de la caractérstque fnale peut être décrt de façon générale par la relaton : = Y. α X [ 1- ] Où Y ass représente la cote condton, J a dans l exemple, et X représente la cote du composant a.

16 8 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal On note α le coeffcent d nfluence, auss appelé coeffcent d ncdence, de X sur Y, et est le numéro du composant comprs entre 1 et n, le nombre de pèces dans la chaîne de cote. Dans l exemple, les ncdences sont toutes drectes sur la chaîne de cote, on a donc α = 1 ou +1 comme coeffcent d ncdence. Pour la sute du document, nous utlserons les notatons de l équaton [ 1- ] pour décrre une chaîne de cote 1D Hypothèse d ndépendance des varables Dans le cas de producton de systèmes assemblés, la majorté des composants de la chaîne de cote sont réalsés sur des systèmes de producton ndépendants, on peut donc consdérer les dmensons des dfférents composants comme des varables aléatores ndépendantes. Y ass X 1 X Fgure 1- : Assemblage de deux varables aléatores ndépendantes Smulaton d assemblages de varables aléatores ndépendantes Composant 1 Composant Assemblage Moyenne µ Moyenne µ Moyenne µ µ 1 = 9,94 et σ 1 = 4,01 µ = 9,99 et σ = 3,03 µ ass = 19,93 et σ ass = 5,08 Fgure 1-3 : Assemblage de deux lots de varables aléatores ndépendantes Dans le cas d exemple de la fgure 1-, la modélsaton de l assemblage des deux dmensons donne la relaton suvante : Y = X 1 + X [ 1-3 ] Et dans le cas où les lots sont ndépendants comme présenté dans la fgure 1-3, on obtent : µ = + [ 1-4 ] Y µ X 1 µ X Où µ Y est la moyenne du lot de la résultante, µ 1 et µ sont les moyennes respectves des lots 1 et.

17 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 9 Y = σ X 1 σ X [ 1-5 ] σ + Où σ Y est l écart-type du lot résultant, σ 1 et σ sont les écarts respectvement du lot 1 et du lot Smulaton d assemblages de varables aléatores non-ndépendantes Composant 1 Composant Assemblage Moyenne µ Moyenne µ Moyenne µ µ 1 = 10,03 et σ 1 = 3,94 µ = 10,0 et σ =,96 µ ass = 0,05 et σ ass = 6,90 Fgure 1-4 : Assemblage de deux lots de varables aléatores non ndépendantes Cette dernère équaton [ 1-5 ] peut s écrre dans le cas général σ = σ σ Cov [ 1-6 ] Y X + 1 X +. X1. X Où Cov X1.X représente la covarance entre les varables aléatores X 1 et X. Lors de la producton de systèmes assemblés, ben que les composants soent réalsés sur des systèmes de productons ndépendants, l est possble de rencontrer des assemblages comportant des composants non ndépendants. Ce cas peut notamment être rencontré lors de l utlsaton multple d un composant dans la chaîne de cote. Ce cas est dscuté dans [Anselmett et al, 003] où l est présenté un assemblage comportant deux fos le même composant. Les deux composants dentques sont susceptbles d être ssus du même lot de fabrcaton. Et ben que les deux composants soent ndépendants au sen d un même lot, ls peuvent être corrélés d un lot à l autre. Répartton Répartton Répartton Composant Composant Composant Composant 1 Premer lot Composant 1 Tros premers lots Composant 1 Cnq lots consécutfs Fgure 1-5 : Répartton des dmensons de deux composants du même lot de producton

18 10 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal La premère llustraton de la fgure 1-5 montre la répartton de deux varables aléatores ndépendantes. Ce peut être la représentaton de deux composants ssus d un même lot de producton. Au fur et à mesure de l évoluton de la producton, la moyenne du lot évolue, fasant évoluer la moyenne des deux composants ssus du même lot. Au fnal, en observant les réparttons des dmensons de deux composants ssus de lots dfférents, on se rend compte que de la covarance apparaît. A l extrême, s les capabltés du moyen de producton sont très élevées, la corrélaton fnale entre les deux composants tend vers 1. Dans ce cas, grâce à l expresson de la corrélaton entre deux lots : r Cov X. σ. σ = 1 [ 1-7 ] On peut trer l expresson de la covarance pour une corrélaton donnée : Cov X X 1 X X 1. X r. σ. X σ 1 X = [ 1-8 ] Et lorsqu à l extrême la corrélaton tend vers 1, la relaton [ 1-6 ] tend vers : Ce qu peut auss s écrre : σ = σ + σ [ 1-9 ] Y X + σ.. 1 X σ X1 Y X 1 X X σ = σ + σ [ 1-10 ] On vent donc de donner deux relatons qu encadrent l écart-type résultant de l assemblage de deux composants. La premère relaton [ 1-5 ] défnt la borne nféreure et la relaton [ 1-10 ] défnt la borne supéreure de l encadrement de l écart-type résultant Hypothèse smplfcatrce Pour smplfer la modélsaton des chaînes de cote, ans que la synthèse et l analyse des tolérances des composants, on consdère dans la sute de ce projet que les varables sont toutes ndépendantes. Cette hypothèse est assez proche de la réalté où les composants d une chaîne de cote sont des composants dstncts, réalsés ndépendamment les uns des autres. Pour le tolérancement 1D, deux relatons permettent de ler les caractérstques de la résultante de l assemblage aux caractérstques des composants. On peut calculer le décentrage par rapport à la cble et l écart-type de la résultante de l assemblage sous l hypothèse d ndépendance des varables par : = δ Y α. δ X [ 1-11 ] Où δ Y est le décentrage par rapport à la cble de la résultante de l assemblage, et δ X est le décentrage du composant par rapport à sa cble. = σ Y α.σ X [ 1-1 ] Où σ Y est l écart-type de la résultante de l assemblage, et σ X est l écart type du composant. Ces deux relatons donnent leu à deux méthodes d analyse et de synthèse de tolérances sous l hypothèse du "pre des cas" ou "statstque".

19 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D Défntons Coeffcent d ncdence de la chaîne de cote Dans la relaton de la chaîne de cote exprmée par l équaton [ 1- ], on rappelle que α est le coeffcent d ncdence du composant X sur la résultante Y de la chaîne de cote. Ces coeffcents non nuls comprs entre 1 et +1 sont utlsés pour l analyse et la synthèse des tolérances. On constate que la relaton entre la résultante et les composants est une relaton lnéare, or ce n est pas le cas pour toutes les chaînes de cotes. Cependant, au vosnage de la cotaton cble, une approxmaton lnéare au premer ordre est suffsante pour modélser le comportement du système, [Graves, 1997] et [Graves, 001] Indce de fasablté des tolérances des composants Sans condtons supplémentares, la synthèse des tolérances dstrbue unformement les tolérances sur les composants. Pour permettre une répartton non unforme, on défnt les ndces de fasablté β, auss appelés ndces de dffculté, qu sont des réels supéreurs ou égaux à 1. On obtent ans une relaton entre les tolérances par ntervalle, IT, du type : IT IT X X j β β = [ 1-13 ] j Cette relaton trate le cas de tolérance tradtonnelle du type ntervalle de tolérance. La relaton est smlare avec les tolérances nertelles I. On obtent la relaton suvante : I I X X j β β = [ 1-14 ] j 1. Représentatons graphques des tolérances La tolérance est une expresson de la conformté des composants. Elle est tradute par une ou des relatons sur les caractérstques du lot, X ou δ X et σ X. Dans nos travaux de recherches, on travalle avec deux types d expressons de la tolérance : la tolérance tradtonnelle exprmée par l ntervalle de tolérance IT = [Mn, Max], et la tolérance nertelle caractérsée par un scalare I. L ntervalle de tolérance est consdéré comme symétrque, on peut donc auss le caractérser par un scalare t, dans ce cas on a : IT= [-t, t], L expresson la plus répandue et la plus courante actuellement est l ntervalle de tolérance, qu ne pose apparemment pas de problème de représentaton, mas peut néanmons condure à quelques mauvases nterprétatons de la conformté notamment avec l utlsaton de l ndce de capablté de Taguch, l ndce Cpm. Concernant la tolérance nertelle plus récente et par conséquent mons répandue, sa représentaton graphque actuelle, un dem-cercle lmtant le décentrage δ et l écart type σ, n est pas des plus explctes pour un esprt non avert. L ntérêt de cette parte est de proposer des représentatons graphques permettant une melleure nterprétaton de la tolérance nertelle, mas surtout permettant de comparer les varabltés permses sur le décentrage δ et l écart types σ par les dfférentes expressons de la tolérance et les ndces de capablté assocés.

20 1 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal L analyse des dfférentes possbltés de représentaton graphque des tolérances a consttué notre premère contrbuton. Nous présentons dans cette parte, deux méthodes capables à la fos de représenter la tolérance tradtonnelle et la tolérance nertelle. L ntérêt de ces représentatons graphques est auss de pouvor représenter les tolérances assocées aux ndces de capablté de chaque méthode de tolérancement en vue de les comparer. Nous présentons en premer abord le graphe (δ,σ), pus un graphe dt en U consdérant une lo de dstrbuton équvalente du lot. Ces deux représentatons sont adaptées auss ben au tolérancement tradtonnel qu nertel. Une trosème représentaton (δ,σ ) ntrodute dans le paragraphe 0 permet de fare l analyse des tolérances des dfférentes méthodes de tolérancement 1D par une nouvelle approche. Enfn une quatrème et dernère méthode de représentaton b-lmte est présentée dans la parte 3.. et utlsée unquement pour la tolérance nertelle. Dans cette parte, nous présentons le concept des dfférents outls ans qu un exemple de leur utlsaton. Les néquatons des ndces de capablté sont ntrodutes dans la parte.1 sur le tolérancement tradtonnel et dans la parte 3.3 sur le tolérancement nertel. Néanmons pour l explcaton des outls, nous utlsons deux tolérances défnes par : un ntervalle de tolérance IT = 0,5 mm et un ndce Cpk = 1, une tolérance nertelle I = 0,1 mm et un ndce Cp = Le graphe (δ,σ) Utlsé par [Boyles, 1991], auss présenté dans [Kotz et al, 1993], le graphe (δ,σ) est la représentaton la plus proche de l expresson des tolérances. En effet, les tolérances sont exprmées par des néquatons sur les caractérstques δ et σ du lot défnes par les ndces de capablté. Par conséquent, ce graphe (δ,σ) tradut drectement l expresson des tolérances dans le domane des caractérstques du lot défn par l écart par rapport à la cble δ et l écarttype σ du lot. La fgure 1-6 présente un exemple de représentaton des ndces de capablté Cpk pour une tolérance tradtonnelle et un ndce Cp pour une tolérance nertelle, ans qu un lot représenté par un pont (δ,σ ). Ic, le lot représenté se caractérse par δ = 0,05 et σ = 0,06. Cette représentaton peut être satsfasante pour une personne habtuée à côtoyer les termes moyenne et écart-types. Cependant, elle peut être consdérée trop élognée de la producton et de la représentaton du lot par un hstogramme de valeur ou une courbe gaussenne.

21 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 13 Fgure 1-6 : Indce Cpk = 1, sur IT = 0,5mm et Cp = 1 sur I = 0,1mm dans graphe (δ,σ) 1.. Le graphe en U Le graphe en U est une autre représentaton des tolérances exprmées dans le graphe (δ,σ). La représentaton des tolérances ne se fat plus sur les caractérstques du lot mas sur une caractérstque d une lo de dstrbuton assocée au lot. On chost une lo normale, que l on nomme gaussenne équvalente, pour représenter les lmtes de tolérance. Les domanes de tolérance exprmés dans (δ,σ) sont tradut par les varatons du sommet d une lo normale de caractérstques δ et σ. On tradut dans l espace (δ, h sommet ) un domane de tolérance exprmé dans l espace (δ, σ). Cette traducton se fat en exprmant la hauteur du sommet (h sommet) de la gaussenne équvalente en foncton de l écart type σ, par la relaton suvante : 1 h sommet = [ 1-15 ] σ.. Π Cette expresson est le résultat de la lo de dstrbuton normale centrée sur la moyenne. Cette représentaton permet de se rapprocher de la représentaton de la tolérance tradtonnelle car elle est représentée sur la lo de dstrbuton du lot. Ce chox de lo de dstrbuton correspond ben souvent à ce qu est fat en pratque pour la représentaton de la dstrbuton d un lot assocé à un hstogramme de mesures. La fgure 1-7 est une représentaton d un ndce de capablté Cpk pour une tolérance tradtonnelle et d un ndce de capablté Cp pour une tolérance nertelle. On représente une gaussenne équvalente, représentant les caractérstques d un lot. Le sommet de celle-c est comparé aux tolérances en U correspondant aux ndces Cpk et Cp.

22 14 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Fgure 1-7 : Indce Cpk = 1, sur IT = 0,5mm et Cp=1 sur I = 0,1mm dans le graphe en U 1.3 Le graphe (δ,σ ) : une analyse des tolérances statstques 1D Dans le but d analyser des tolérances statstques basées sur la défnton et la combnason de domanes statstques de tolérances, nous proposons d utlser un nouveau graphe : le graphe (δ,σ ). On nomme domane statstque de tolérance, l ensemble des confguratons possbles d un composant pour une tolérance donnée ou varablté permse. La représentaton d un domane de varablté se fat dans le graphe des décentrages-varances, (δ,σ ). La représentaton des tolérances dans ce nouveau graphe est smlare à la représentaton dans le graphe (δ,σ), excepté qu c l écart type σ est tradut en varance σ. La représentaton d un composant dans ce graphe permet d utlser les deux relatons statstques ssues de la chaîne de cote. En effet, l axe des abscsses δ caractérsant les décentrages permet d utlser la relaton [ 1-11 ], et l axe des ordonnées σ caractérsant les varances permet d utlser la relaton [ 1-1 ]. En exprmant les caractérstques d un composant sous la forme d un vecteur, l est possble de fare l assemblage de pluseurs composants d un assemblage par une somme vectorelle des caractérstques sous l hypothèse de varables ndépendantes. Il est auss possble de fare l assemblage des domanes de varablté des composants par la somme de Mnkowsk afn d obtenr le domane résultant de varablté sur la condton fonctonnelle. Ce domane résultant des varabltés représente l ensemble des confguratons attegnables pour la résultante de l assemblage. Il peut alors être comparé au domane de varablté autorsé défn par la condton fonctonnelle. Pour llustrer la présentaton et l utlsaton du graphe (δ,σ ) comme graphe d analyse de tolérance, on consdère un système assemblé de deux composants défn par la fgure 1-. Les tolérances des composants sont défnes par : 1) un ntervalle de tolérance IT = 0,5 mm et un Cpk = 1, pour le premer composant, ) et une tolérance nertelle I = 0,1 et un Cp = 1 pour le second composant.

23 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D Assemblage vectorel Les relatons [ 1-11 ] et [ 1-1 ] décrvant respectvement la somme des décentrages et la somme des varances représentent un système de deux équatons : δy = σ Y α. δ α. σ Ce qu peut auss s écrre par une somme de produt de matrces : δy = σ Y α 0 0 δ α σ. [ 1-16 ] [ 1-17 ] On défnt ans la matrce d ncdence, contenant le coeffcent d ncdence α, qu joue sur l nfluence des caractérstques de décentrage et de varances. Le produt de la matrce d ncdence par le vecteur caractérstque défnt le vecteur d nfluence de la caractérstque et représente son nfluence sur la résultante de l assemblage. Le prncpal ntérêt de cette proprété n est pas de défnr une nouvelle méthode d expresson des relatons statstques de la chaîne de cote 1D. En fat, l assemblage de lots de composants est modélsé par une somme vectorelle, et peut se représenter graphquement. Fgure 1-8 : Somme vectorelle correspondant à l assemblage de deux composants La fgure 1-8 llustre l assemblage vectorel de deux composants : 1) un premer lot : δ 1 = 0,05 et σ 1 = 0,06 sot σ 1 = 0,0036 pour le premer composant, ) un second lot : δ = -0,03 et σ = 0,09 sot σ = 0,0081 pour le second composant. La somme vectorelle donne un assemblage des deux composants qu a les caractérstques suvantes, δ ass = 0,0 et σ Y = 0,108 sot σ Y = 0,0117, ce qu peut se représenter par la somme vectorelle représentée dans la fgure 1-8.

24 16 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 1.3. Domanes de tolérance et domane résultant Les domanes de tolérance On appelle domane de tolérance, la représentaton de l ensemble des varatons permses sur les deux caractérstques statstques d un composant : son décentrage δ et sa varance σ. En foncton du type de la tolérance, un ntervalle de tolérance ou une nerte et des ndces de capabltés assocés, on défnt un domane de tolérance de formes dverses qu seront détallées au paragraphe.1 et 3.3 de ce chaptre. On présente dans la fgure 1-9 deux domanes de tolérance assocés aux deux types de tolérances avec des ndces de capablté. Le premer domane correspond à un ntervalle de tolérance IT 1 =0,5 assocé à un ndce da capablté Cpk=1,, et le second domane correspond à une nerte I =0,1 assocé à un ndce Cp=1. Domane de tolérance d un ndce Cpk=1, sur un IT=0,5, et un lot Domane de tolérance d un ndce Cp=1 sur une nerte I=0,1 Fgure 1-9 : Exemple de domane de tolérance dans le graphe (δ,σ ) Domane résultant de l assemblage de domanes de tolérance On peut aller plus lon que l assemblage vectorel des caractérstques statstques de composants. Grâce à la somme de Mnkowsk [Wkpeda, 007 b], on peut calculer l assemblage des domanes de tolérance, et donc trouver l ensemble des confguratons que peut attendre l assemblage de composants appartenant à chaque domane de tolérance. La somme de Mnkowsk La somme de Mnkowsk de deux ensembles P1 et P est la somme des vecteurs poston de chaque pont de P1 avec chaque pont de P. { a + b / a P b P } P [ 1-18 ] 1 P = 1, Graphquement le domane résultant de la somme de deux domanes correspond au balayage du centre du domane P sur la frontère du domane P1. La somme de Mnkowsk est une opératon : assocatve Proprété de la somme de Mnkowsk ( P P ) P = P ( P ) P3 [ 1-19 ]

25 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 17 commutatve P [ 1-0 ] 1 P = P P1 Et possède pour élément neutre le domane [0] correspondant au domane nul. Procédure nformatque Ben que la défnton des domanes de tolérance sot donnée par une néquaton de foncton contnue, le domane est dscrétsé et décrt par un ensemble de ponts décrvant son contour. Le calcul du domane résultant de la somme de Mnkowsk dscrétsé consste à fare le balayage d un domane dscrétsé sur l autre. On obtent ans un ensemble de confguratons qu correspondent à l assemblage vectorel des confguratons aux lmtes de chaque domane. Certanes confguratons obtenues défnssent l enveloppe du domane résultant de la somme de Mnkowsk des deux domanes. Balayage de Mnkowsk Domane résultant de la somme de Mnkowsk Fgure 1-10 : Assemblage de domanes de tolérance par la somme de Mnkowsk Une dffculté résde dans la détermnaton des ponts qu défnssent le domane résultant de la somme de Mnkowsk. Comme les domanes ne sont pas oblgatorement convexes, en effet le domane de tolérance de l ndce Cpk est concave, on ne peut pas utlser d algorthme détermnant l enveloppe convexe d un nuage de pont. Nous utlsons une dentfcaton de l enveloppe en cherchant les ordonnées (varances σ ) correspondant à des abscsses (décentrage δ) régulèrement répartes sur l étendue de la base du domane Les domanes de condton fonctonnelle Au même ttre que les domanes de varablté des tolérances, on peut assocer un domane d acceptaton à la condton fonctonnelle de la résultante d assemblage. On va se rédure à deux cas pour l expresson de la CF, sot un ndce Cpk CF mnmum sur un IT CF, sot un TNC CF maxmum sur un IT CF. Dans ces deux cas, la CF est tradute en domane de varablté acceptable sur la résultante de l assemblage dans le graphe (δ,σ ), que l on détallera au paragraphe. et 3.4. On présente c un domane d acceptaton défn par un Cpk CF = 1.16 sur un IT CF = 1mm. On peut constater sur la fgure 1-11 que le domane résultant dépasse légèrement le domane CF. Cela sgnfe que certanes confguratons d assemblage des composants ne garantssent pas la CF.

26 18 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Parte hors de la CF Parte non explotée Parte explotée Fgure 1-11 : Qualfcaton de l analyse des tolérances Pour la sute, nous allons présenter deux méthodes permettant de caractérser les rsques engendrés par les méthodes de tolérancement : la méthode des ares, la méthode de Monte Carlo. 1.4 Analyse et comparason des méthodes de tolérancement : la méthode des ares Cette parte présente une premère approche de comparason des méthodes de tolérancement que l on nomme méthode des ares. L ntérêt prncpal de ce graphe (δ,σ ) est de pouvor calculer le domane résultant de l analyse des tolérances des composants. L ntérêt de l analyse des tolérances est de comparer le domane résultant des tolérances des composants au domane d acceptablté défne par la CF. On peut ans juger de l effcacté d une méthode de tolérancement en terme de respect de la CF. Concrètement, s le domane résultant est totalement nclus dans le domane de la CF, alors le tolérancement étudé garantt le respect de la CF. Par contre, s l le dépasse, alors le tolérancement proposé comporte des confguratons à rsque qu ne garantssent pas la CF Hypothèse de répartton unforme des résultantes d assemblage Le domane résultant d analyse des tolérances représente l ensemble des confguratons possbles de la résultante d assemblage. Ne sachant pas à pror comment se répartssent les résultantes, on suppose une répartton unforme dans le domane résultant. Le domane de la CF défnt l ensemble des confguratons acceptables pour la résultante de l assemblage. On consdère que toutes ces confguratons sont acceptables quelles que soent leurs places dans le domane. On consdère donc que la répartton des assemblages est unforme dans le domane de la CF.

27 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 19 L ntérêt de cette hypothèse de répartton unforme permet de smplfer le calcul du nombre de confguratons par un calcul d are d où le nom de la méthode Indces de qualfcaton de la méthode de tolérancement Comme on peut le constater dans la fgure 1-11, l exste tros sous-domanes lors de la qualfcaton de l analyse des tolérances par rapport à la CF. En effet, le domane résultant de l analyse des tolérances n est pas forcément nclus dans le domane CF, on trouve donc une parte du domane résultant hors de la CF. Il exste auss une parte du domane CF qu n est pas explotée par le domane résultant. Et enfn la trosème parte correspond à la parte commune du domane CF et du domane résultant, qu est la parte explotée par le tolérancement. Cette trosème parte dot être la plus grande proportonnellement au domane CF. On s attache à la qualfcaton de la parte du domane résultant hors du domane CF, et de la parte du domane CF explotée par le domane résultant Indce R HCF, rato de la parte hors de la CF Pour juger du respect de la CF, nous proposons de calculer un ndce qu qualfe le rato du domane résultant qu se trouve hors de la CF, R HCF. Le calcul de cet ndce R HCF correspond au rato de la surface du domane résultant qu se trouve hors du domane CF sur la surface entère du domane résultant. On a ans : S HCF R HCF = [ 1-1 ] SCF Où S HCF correspond à la surface du domane résultant qu est hors du domane CF, et S CF correspond à la surface entère du domane CF. Cet ndce R HCF correspond à la probablté d avor un lot d assemblage résultant hors de la CF sous l hypothèse d une répartton unforme des assemblages. Dans l exemple présenté dans cette parte, l ndce R HCF vaut R HCF = 18.9% Indce R exp., rato de la parte explotée de la CF On peut auss juger de la proporton du domane CF qu est exploté par le domane résultant. On défnt ans l ndce R exp. qu correspond au rato de la surface du domane résultant nclus dans le domane CF sur la surface entère du domane CF. On défnt ans : SRes. SHCF Rexp. = [ 1- ] S CF Où S CF correspond à l are entère du domane CF, S Res. correspond à l are entère du domane résultant de l analyse des tolérances et S HCF est la surface du domane résultant hors du domane CF. Dans l exemple présenté dans cette parte, l ndce R exp. vaut R exp. = 91,8%. 1.5 Une analyse des tolérances 1D par smulaton de Monte Carlo On peut reprocher à l analyse des domanes de tolérance de ne pas consdérer l aspect probablste de la répartton aléatore des décentrages des composants lors de l assemblage. En effet, l analyse des tolérances par le graphe (δ,σ ) détermne le domane résultant de l analyse des tolérances, ce domane content toutes les confguratons possbles. Or, on se doute que toutes ces confguratons résultantes n ont pas la même probablté d apparaître lors de l assemblage des composants, même répartes unformément dans leurs domanes.

28 0 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Pour avor un aperçu de la répartton des assemblages dans le domane de la CF, on utlse la smulaton de Monte Carlo. On consdère deux hypothèses de répartton des lots de composant dans leur domane de tolérance exprmé dans le graphe (δ,σ ) : une premère hypothèse de répartton unforme dans le domane, une seconde hypothèse de répartton sur la frontère du domane. D autres approches consdèrent des réparttons dfférentes du type probablste unforme, normale centrée etc. [Anselmett et al, 003] qu font part des perspectves de nos travaux. On assemble alors aléatorement un certan nombre de chaque composant défnssant ans autant d assemblages, ces derners ne sont pas réparts unformément dans le domane résultant. L aspect aléatore est donc prs en compte par le trage de Monte Carlo Trage unforme dans les domanes de tolérance La répartton des lots de composants dans leurs domanes de tolérance n étant pas connue à pror, on chost une répartton unforme dans leur domane exprmé dans le graphe (δ,σ ) Justfcaton d un trage unforme dans (δ,σ ) Le chox d un trage unforme dans le domane (δ,σ ) de tolérance peut surprendre prncpalement pour deux rasons : - la répartton des varances (σ ) étant unforme, la répartton des écarts types (σ), ne l est pas alors qu on travalle fréquemment dans l espace (δ,σ). - on peut smuler des lots de varances (σ ) quasment nulles alors que ce cas est très peu probable. On justfe ce chox d un trage unforme dans le domane (δ,σ ) pour assurer la cohérence entre les deux méthodes d analyse que sont la méthode des ares et la méthode de Monte Carlo. Ans en comparant un domane CF et un domane résultant dont les caractérstques seraent répartes unformément, le calcul des ndces de qualté R HCF et R exp. est dentque par les deux méthodes de comparason des surfaces ou de trage aléatore Une répartton unforme dans les domanes de tolérance La premère étape de notre applcaton de la smulaton de Monte Carlo est de construre des trages aléatores unformes dans les domanes de tolérance. On fat l hypothèse d être en possesson d un générateur aléatore unforme sur deux dmensons de bonne qualté, ans on s affrancht du développement d un tel générateur. Connassant la forme du domane de tolérance du composant, on connaît les bornes mn et max de varaton du décentrage δ, bornes symétrques car les tolérances sont symétrques. On connaît auss les bornes des varatons de la varance σ, postve et nféreure à la varance maxmale. Le générateur aléatore retourne un ensemble de ponts dans le domane D unformément réparts dans un carré [0,1]. Grâce à une translaton et une homothéte axale, on transforme le domane ntal en un domane carré contenant le domane de tolérance du composant. On obtent ans un ensemble de ponts unformément réparts dans tout le domane de tolérance, mas auss quelques ponts en dehors de ce domane. On opère alors un tr dont le but est de garder les ponts conformes à la tolérance, donc à l ntéreur du domane. S le nombre de ponts aléatores restant dans le domane de tolérance est nféreur à la talle de la smulaton, on répète cette opératon en concaténant les lstes de ponts aléatores. Pour chaque domane de tolérance, les composants réparts unformément dans la tolérance sont stockés dans une matrce de m lgnes et colonnes, où m représente la dmenson du trage aléatore, la premère colonne content les décentrages et la seconde content les varances.

29 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 1 Créaton domane carré du générateur aléatore Transformaton pour trouver le domane carré contenant le domane de tolérance Tr pour obtenr une répartton unforme dans le domane de tolérance Fgure 1-1 : Obtenton d une répartton unforme dans le domane de tolérance Assemblage des composants aléatores Les composantes aléatores de moyenne et de varance des composants du système sont classées dans un vecteur m lgnes et colonnes. La smulaton d assemblage de lots de composants revent à fare la somme matrcelle des dfférents vecteurs (m,) de chaque composant pour ans obtenr des lots de résultantes d assemblage. Le lot résultant est auss décrte par un vecteur (m,) dont la premère colonne correspond aux moyennes des lots résultants, et la seconde colonne correspond à leurs varances. En cas d ncdence non drecte d un composant ( α 1), le vecteur du composant (m,) est multplé par sa matrce d ncdence (,) pour obtenr le vecteur d nfluence du composant sur la résultante, comme défn au paragraphe Fgure 1-13 : Trage de lots des composants dans leurs domanes de tolérance Ben que la répartton des composants sot unforme dans son domane de tolérance, la résultante de l assemblage n est pas réparte unformément, ce qu on observe sur l exemple de la fgure On propose deux méthodes pour caractérser la répartton des assemblages dans le domane résultant qu sont détallées au paragraphe

30 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Fgure 1-14 : Assemblage de lots de composants unformément réparts dans leurs domanes de tolérance 1.5. Trage unforme sur la lmte du domane de tolérance La parte suppose que les composants sont unformément réparts dans le domane de tolérance, ce qu équvaut à tester l ensemble des confguratons possbles des composants, y comprs celles avec un décalage fable et une fable dsperson, donc lon de la lmte de capablté. De ce fat, cette parte consdère que tous les lots de composants sont en lmte de capablté. On évalue ans l assemblage des composants d un pont de vue plus pessmste que précédemment, ce qu permet d obtenr une seconde borne permettant d encadrer du coté défavorable les résultats des smulatons de MC. Fgure 1-15 : Trage de lots des composants en lmte de leurs domanes de tolérance

31 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 3 Fgure 1-16 : Assemblage de lots de composants en lmte de leurs domanes de tolérance La fgure 1-15 présente les lots de deux composants en lmte de capablté. Tous les lots des composants sont réparts sur la lmte supéreure du domane. Le trage aléatore se fat en deux étapes. on tre d abord une répartton unforme des décentrages de lot du composant dans la gamme de décentrage possble, on assoce ensute les varances correspondantes aux décentrages grâce à la défnton mathématque de la frontère. Les assemblages des lots de composants se font par la méthode défne dans la parte Ils sont représentés par les ponts nors, lots résultants, en superposton du domane CF en rouge sur la fgure On remarque une répartton partculère qu est smlare au balayage d un domane sur l autre pour le calcul de la somme de Mnkowsk. Cela est dû au fat que les lots de composants sont en lmte de capablté, donc sur les frontères des domanes, d où les lots résultants se trouvent sur ce balayage des domanes Qualfcaton de la méthode de tolérancement A partr de la fgure 1-13 et de la fgure 1-15, on peut observer la qualté et les rsques engendrés par l assemblage de tolérances suvant dfférentes hypothèses. Cependant, l nterprétaton n est pas évdente : pour avor une bonne estmaton des réparttons, l faut augmenter la talle de la smulaton, ce qu équvaut à augmenter le nombre de ponts en rsquant de masquer la lsblté de la fgure. On propose donc une autre approche qu consste à trer et classer les lots résultants en foncton de crtère de qualté. On chost comme crtère l ndce de capablté résultant Cpk ass et le taux de non-conformté TNC ass. On représente enfn les résultats sous forme d hstogramme.

32 4 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Hstogramme des Cpk ass des assemblages résultants Le premer tratement ms en œuvre pour qualfer la répartton des lots résultants consste à les classer par leur ndce de capablté Cpk ass. On chost de travaller sur l ndce Cpk pour deux rasons prncpales : c est l ndce de capablté le plus couramment employé, l est donc connu du plus grand nombre, l permet de qualfer le respect de l ntervalle de tolérance de la CF. Cette dée est dscutée dans la parte.1.. de la page 8. Composants dans le domane Composants sur la frontère Fgure 1-17 : Répartton des ndces de capablté Cpk ass des lots résultants d assemblages Cette premère représentaton permet d estmer, suvant l hypothèse consdérée, la répartton des assemblages suvant le crtère Cpk ass. Dans le cas présenté, on peut lre que le mnmum de l ndce Cpk ass qu peut être attent est Cpk ass Mn = 0, Hstogramme des TNC ass des assemblages résultants La seconde nterprétaton possble est l utlsaton du crtère Taux de Non-Conformté, le TNC ass. Ben que le TNC pusse être lé à l ndce de capablté Cpk, l semble tout auss mportant vore plus explcte pour la qualfcaton de la qualté d un assemblage. En effet, le but de tolérancement est de garantr le respect de la CF pour le plus grand nombre de mécansmes.

33 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 5 Composant dans le domane Composant sur la frontère Fgure 1-18 : Répartton des TNC ass des lots résultants d assemblages On fat le chox de consdérer l hypothèse smplfcatrce de calculer le TNC à partr d une lo de dstrbuton normale, ce chox est dscuté dans la parte 3.1 du chaptre. On présente donc dans la fgure 1-18, le classement des lots d assemblages résultants par leur TNC ass. On peut s apercevor des dfférences de représentaton entre les deux ndces de qualté Cpk et TNC. L nterprétaton des résultats par les TNC n est pas évdent lorsque la condton fonctonnelle est mal respectée. Le TNC maxmal pour certanes confguratons peut être très élevé mposant un écart mportant de représentaton entre les dfférentes hypothèses, ce qu n apparaît pas avec l ndce de qualté Cpk. Cependant, le TNC offre une melleure estmaton du respect de la CF Probablté d occurrence du crtère de qualté Une trosème nterprétaton qu est rendue possble grâce aux hstogrammes est de travaller sur les probabltés d occurrence de la qualté. Le but est de pouvor évaluer l occurrence d une certane qualté ou non-qualté. Pour les hstogrammes utlsant l ndce de qualté Cpk, dans ce cas d applcaton et sous l hypothèse de composants en lmte de capablté, on constate que la probablté d obtenr un ndce de capablté nféreur à Cpk ass = 1 est de l ordre de 8%. Pour les hstogrammes des TNC ass, on remarque que dans plus de 90% des cas en répartton unforme dans la tolérance le TNC ass résultants est nul, alors que cette occurrence chute à mons de 45% des cas sous l hypothèse de composants en lmte de capablté. Cette trosème nterprétaton des résultats des smulatons de MC sera utlsée dans le chaptre lorsqu on évaluera le rsque de non-respect de la CF en vue d élargr les tolérances en consdérant un rsque.

34 6 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Indce de qualfcaton de la méthode de tolérancement On reprend c l dée développée dans la parte 1.4. qu consdère un ndce R HCF de qualfcaton de la méthode de tolérancement pour estmer le rsque d être hors du domane CF. On défnt c un nouvel ndce R MC HCF qu qualfe le non-respect de la CF par l analyse aléatore de MC des tolérances. On ne peut redéfnr que cet ndce car l autre ndce R exp. qualfant la parte explotée de la CF n a de sens qu avec le calcul du domane résultant. On défnt l ndce R MC HCF comme le rato entre le nombre d assemblages résultants hors de la CF sur le nombre total d assemblages. On a ans : N N HCF R MC HCF = [ 1-3 ] Re s. Où N HCF correspond au nombre d assemblages résultants qu sont hors du domane CF, et N res. correspond au nombre total d assemblages résultants, sot la talle de la smulaton. Cet ndce R MC HCF correspond à la probablté d avor un assemblage résultant hors de la CF sous dfférentes hypothèses. Dans notre exemple : pour des composants unformément réparts dans leur domane de tolérance : R MC HCF = 0,8% sur une smulaton de talle trages aléatores (sot un écart-type de 0,03% sur le résultat), pour des composants unformément réparts sur la frontère de leur domane de tolérance : R MC HCF = 8,8% sur une smulaton de talle trages aléatores, (sot un écart-type de 0,08% sur le résultat). Ces estmatons sont des moyennes dont les écarts-types dmnuent en foncton de la talle de la smulaton, comme le montre [Cvetko et al, 1998] pour l estmaton d un TNC résultant par la méthode de MC.

35 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 7 Tolérancement tradtonnel 1D Pour comparer les dfférentes méthodes de tolérancement que nous présentons c-après, on chost d llustrer le tolérancement de chaque méthode et son domane résultant par un exemple smple de chaîne de cote. On chost un emplage de cnq composants présentés à la fgure 1-1. La condton fonctonnelle est défne par ntervalles de tolérance IT CF = 1 mm. Les ncdences des composants dans la chaîne de cote sont dentques (α = 1), et les tolérances sont répartes unformément (β = 1)..1 Indces de capablté tradtonnels et domanes assocés Afn de juger de la qualté d un lot par rapport à sa tolérance, on défnt des ndces de capablté qu comparent la qualté du lot, moyenne et écart type, à sa tolérance suvant dfférents crtères. Les ndces de capablté retournent un scalare dont la valeur est crossante pour une qualté crossante du lot. On peut dstnguer des travaux qu présente un état de l art de ndces de capablté, tels [Kotz et al, 1993] ou [Kotz et al, 00]..1.1 L ndce Cp Défnton de l ndce Cp L ndce Cp [Sullvan 1984] est défn par la formule suvante : IT Cp = [ 1-4 ] 6.σ Où IT est l ntervalle de tolérance défn par une lmte nféreure et une lmte supéreure, [Mn, Max], et σ est l écart type du lot produt. Sous l hypothèse habtuelle de normalté de la lo de dstrbuton du lot et d un procédé centré au mleu de la zone de tolérance, on peut calculer le pourcentage de pèces non conformes : TNC ppm 6 ( 1 3. ).10 =. Φ Cp [ 1-5 ] Où Φ est la foncton de dstrbuton d une lo normale rédute [Kotz et al, 1993]. Mas l ndce C P compare seulement la dsperson du lot par rapport à la zone de tolérance, et ne prend pas en compte le décalage de la moyenne du lot par rapport à la cble Les représentatons graphques de l ndce Cp Dans le domane (δ,σ), l expresson de l ndce Cp se tradut par : IT CF σ = [ 1-6 ] 6. Cp Dans le domane (δ,σ ), la lmte du domane de l ndce Cp s exprme par : IT σ = CF [ 1-7 ] 6. Cp

36 8 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Graphe (δ,σ) Graphe en U Graphe (δ,σ ) Fgure 1-19 : Dfférentes représentatons de l ndce Cp La fgure 1-19 donne la représentaton dans les dfférents graphes d une stuaton avec Cp = 1, Cp = 1,33, Cp = 1,66 et Cp =. On constate qu l n y a aucune lmtaton de décentrage ce qu est normal vu le rôle de l ndce Cp qu ne lmte que l écart-type..1. L ndce Cpk.1..1 Défnton de l ndce Cpk L ndce Cpk [Kane, 1986] est défn par la formule suvante : mn Cpk = { TS µ ; µ TI} 3 σ IT δ = 3 σ [ 1-8 ] Où TS représente la tolérance supéreure, Max, et TI représente la tolérance nféreure, Mn. δ représente le décalage de la moyenne du lot par rapport à la cble..1.. Un ndce garantssant l ntervalle de tolérance Le fat de respecter un ndce Cpk supéreur à 1 revent à garantr que le lot est dans l ntervalle de tolérance [Mn, Max]. Taux de Non-Conformté Evoluton du TNC à Cpk constant Taux de Non-Conformté Evoluton du TNC à Cpk constant 10 6 NCR Max NCR Mn Décentrage du lot Indce Cpk Fgure 1-0 : Evoluton du TNC à Cpk constant pour une lo normale

37 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 9 [Boyles, 1991] présente l applcaton de l ndce Cpk sur la lo normale. Il présente les varatons du TNC pour dfférentes valeurs d ndce Cpk en foncton du décalage du lot. La fgure suvante montre l évoluton du TNC pour dfférentes valeurs d ndce Cpk en foncton du décalage du lot. On défnt deux lmtes sur le TNC en foncton du Cpk du lot. Une lmte nféreure donnée par : TNC Inf ppm Et une borne supéreure défne par TNC Sup ppm 6 ( 1 Φ( 3. Cpk) ).10 = [ 1-9 ] 6 ( 1 Φ( 3. )).10 =. Cpk [ 1-30 ].1..3 Les représentatons graphques de l ndce Cpk Dans le graphe (δ,σ), l ndce Cpk peut s exprmer par : σ = IT CF δ 3. Cpk La lmte du domane de tolérance dans le graphe (δ,σ ) s exprme comme sut : [ 1-31 ] = IT CF δ 3. Cpk σ [ 1-3 ] Graphe (δ,σ) Graphe en U Graphe (δ,σ ) Fgure 1-1 : Les dfférentes représentatons de l ndce Cpk La fgure 1-1 donne la représentaton dans les dfférents graphes d une stuaton avec Cpk = 1, Cpk = 1,33, Cpk = 1,66 et Cpk =. On constate que les décentrages maxmaux sont défns par +/- le dem-ntervalle de tolérance. Ans l est possble avec l ndce Cpk d obtenr des composants dont la moyenne est au bord de la tolérance, cependant, l écart-type assocé est fable.

38 30 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal.1.3 L ndce Cpm L ndce Cpm [Chan et al, 1988] est auss appelé l ndce de capablté de Taguch, qu est basé sur la foncton de perte de Taguch Défnton de l ndce Cpm L ndce Cpm est défn dans [Boyles, 1991] par la formule suvante: IT Cpm = [ 1-33 ] 6 σ + δ Le fat de garantr un ndce Cpm supéreur à 1 revent à garantr que le lot respecte la cble. La caractérstque est consdérée pour elle-même mas non en foncton de son ncdence dans l'assemblage dont elle fat parte. En effet, le fat de garantr des ndces Cpk corrects sur les composants d un assemblage ne sufft pas à garantr un ndce Cpk correct sur la condton d assemblage : l ndce Cpm semble donc meux adapté [Parlar et al, 1999], [Dennston, 006].1.3. Les représentatons graphques de l ndce Cpm La lmte du domane de tolérance de l ndce Cpm dans le graphe (δ,σ) peut s écrre IT CF [ 1-34 ] σ = δ 6. Cpm Et dans le graphe (δ,σ ) le domane de tolérance est délmté par : IT σ CF δ [ 1-35 ] = 6. Cpm Graphe (δ,σ) Graphe en U Graphe (δ,σ ) Fgure 1- : Les dfférentes représentatons de l ndce Cpm

39 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D L ndce Cpmk L ndce Cpmk [Pearn et al, 199] est défn par : IT δ Cpmk = [ 1-36 ] 3 σ + δ Dfférentes valeurs types sont proposées pour l utlsaton de cette ndce de capablté dans [Pearn et al, 00]. Une expresson de la borne supéreure du TNC en foncton de l ndce Cpmk est exprmée dans [Pearn et al, 004] à partr de la relaton présentée par [Boyles, 1991] entre l ndce Cpk et la borne maxmum du TNC : TNC Sup ppm 6 ( 1 Φ( 3. )).10 =. Cpmk [ 1-37 ] Les représentatons graphques de l ndce Cpmk L expresson de l ndce de capablté Cpmk peut se tradure dans le graphe (δ,σ) par : σ = IT CF δ [ 1-38 ] 3. δ Cpmk Et dans le graphe (δ,σ ), le domane de tolérance défn par l ndce Cpmk est délmté par : σ = IT CF δ δ [ 1-39 ] 3. Cpmk Graphe (δ,σ) Graphe en U Graphe (δ,σ ) Fgure 1-3 : Les dfférentes représentatons de l ndce Cpmk

40 3 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal.1.5 Combnason d ndces de capablté et domane assocé La combnason des ndces de capablté correspond à l utlsaton d au mons deux ndces pour la même tolérance. Ce cas est souvent rencontré dans le tolérancement tradtonnel où l ntervalle de tolérance est accompagné des ndces de capablté Cp et Cpk. Le domane de varablté de la combnason des ndces de capablté correspond à la parte commune des dfférents domanes, autrement dt c est l ntersecton des domanes de varablté des dfférents ndces de capablté. Dans la fgure suvante sont présentés deux cas de combnason d ndces de capablté Cas 1, combnason Cp>,5, Cpk> et Cpm>1. Ce cas peut être une expresson classque de la tolérance d un composant d une chaîne de cotes. Les lmtes de capablté sont des lmtes nféreures. Graphe (δ,σ) Graphe en U Graphe (δ,σ ) Fgure 1-4 : Combnason des ndces Cp>,5, Cpk> et Cpm>1 Grâce aux représentatons des domanes de tolérance, on peut juger de l ntérêt de combner les ndces de capablté. Dans ce cas, on peut remettre en cause l utlté de la spécfcaton de la tolérance avec l ndce Cpk, vu que le domane est prncpalement délmté par l ndce Cp et l ndce Cpm Cas, combnason Cp<4 et Cpk>1 Ce cas est notamment rencontré pour le tolérancement statstque, afn de rédure le décentrage des composants. L ndce Cp exprme c une lmte supéreure de capablté alors que l ndce Cpk exprme une lmte nféreure. Graphe (δ,σ) Graphe en U Graphe (δ,σ ) Fgure 1-5 : Combnason des ndces Cp<4 et Cpk>1 On vot c l ntérêt de combner une lmte nféreure sur l ndce de capablté Cpk avec une lmte supéreure sur l ndce de capablté Cp. Le but est de lmter le décentrage maxmal afn que la moyenne ne pusse pas attendre le dem-ntervalle.

41 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 33 Cependant, l est dommage de ne pas accepter des lots relatvement centrés dont l écart type est fable. Par conséquent, l pourrat être ntéressant de remplacer cette combnason d ndce de capablté par l ndce Cpm qu seul lmte le décentrage.. Condton fonctonnelle et son domane d acceptaton Dans le tolérancement tradtonnel, la condton fonctonnelle est exprmée par un ntervalle de tolérance IT CF autour d une cble. On a vu que l ntervalle de tolérance est garant par l ndce de capablté Cpk. Ans on propose de tradure le respect de la condton fonctonnelle défne par un IT à l ade de l ndce Cpk. Le domane d acceptaton correspondant à un ntervalle de tolérance est décrt par l ndce Cpk = 1. En consdérant un ndce Cpk = 1, cela revent à accepter sx écarts types dans l ntervalle de tolérance dans le cas centré. Certans peuvent être plus exgeant et mposer hut écarts types au mnmum dans l IT CF, cela revent à consdérer un Cpk supéreur ou égal à Cpk = 1,33. On consdère donc dans un premer temps qu une condton fonctonnelle est caractérsée par un ntervalle de tolérance IT CF autour de la cble, et par un ndce de capablté Cpk CF. Il est mantenant possble de tradure la condton fonctonnelle en domane d acceptaton des résultantes d assemblage. Pour le cas d applcaton de la fgure 1-1 on chost une condton fonctonnelle défne par un IT CF = 1 mm. Sans autre ndcaton, on consdère que l ndce Cpk CF = 1. Ans le domane d acceptaton est décrt par la fgure suvante. Graphe (δ,σ) Graphe en U Graphe (δ,σ ) Fgure 1-6 : Les dfférentes représentatons de la condton fonctonnelle : IT CF Dans un second temps, on pourra consdérer que la CF est toujours caractérsée par un ntervalle de tolérance IT CF autour d une cble, mas qu on mpose une lmte maxmale du taux de non-conformté TNC CF. Comme l exste un len entre le TNC et le Cpk, cette seconde expresson de la CF est assez smlare à celle présentée c. Mas on se contente pour l nstant d exprmer la CF par un IT CF et un Cpk CF. L étude de la seconde expresson de la CF par un TNC se fera lors du développement du tolérancement nertel..3 Tolérancement tradtonnel Le tolérancement dmensonnel tradtonnel d une caractérstque se fat par le bas de deux lmtes sur la caractérstque. Ces lmtes, supéreure et nféreure, défnssent une zone de conformté de la caractérstque, représentée par un ntervalle [Mn, Max]. Sur la condton fonctonnelle, ces lmtes sont mposées par le concepteur autour d une valeur de cote, auss appelée Valeur Cble.

42 34 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal La conformté de la caractérstque tolérancée est jugée bonne lorsque la mesure de cette caractérstque est comprse dans l ntervalle [Valeur Cble + Mn, Valeur Cble + Max]. Cet ntervalle [Mn, Max] sur la dmenson mesurée se représente par une double frontère, et exprme graphquement la noton de conformté d une caractérstque par rapport à ses tolérances. Dans le cas de tolérancement tradtonnel de systèmes assemblés, tros approches sont couramment employées, celle du "pre des cas" (Worst of Case), l approche statstque (Statstcal) et l approche "statstque augmentée" (Inflated Statstcal). Le paragraphe suvant présente brèvement les dfférentes méthodes de tolérancement, et leur applcaton sur l assemblage de cnq composants. L applcaton des méthodes de tolérancement sur l exemple consste à fare une synthèse des tolérances des composants, pus à fare l analyse des tolérances calculées par les deux méthodes décrtes précédemment, l analyse de l ensemble des stuatons possbles par la somme de Mnkowsk des domanes de tolérance et l analyse par smulaton de Monte Carlo..3.1 Le pre des cas L hypothèse du pre des cas sous-entend que la condton fonctonnelle est respectée dans toutes les confguratons, en partculer dans la pre confguraton. Ce pre cas est dentfé comme l assemblage de composants en lmte de tolérance dont le décalage est maxmal, et la dsperson nulle par conséquent. Dans ce cas le décalage résultant, qu dot être comprs dans le dem IT CF, vaut la somme des décalages des composants, défns par le dem ntervalle de tolérance. On a donc la relaton suvante, qu correspond à l analyse des tolérances au pre des cas. = IT α Y ITX [ 1-40 ] Où IT Y représente l ntervalle de tolérance sur la condton fonctonnelle, et IT X l ntervalle de tolérance sur les caractérstques des composants. On défnt donc la relaton permettant de fare la synthèse des tolérances des composants par : ITY ITX = α [ 1-41 ] Dans le cas d une répartton non unforme des tolérances des composants, on utlse les ndces de fasablté β, la relaton s exprme alors comme : ITX = β. ITY α. β [ 1-4 ] Dans le cas d une répartton unforme, tous les β = 1, et d une ncdence drecte de tous les composants, tous les α = 1, la synthèse des tolérances se calcule par la relaton ben connue du tolérancement au pre des cas : ITY ITX = [ 1-43 ] n Ce tolérancement présente l avantage de respecter la condton fonctonnelle dans toutes les stuatons, y comprs la pre confguraton du tolérancement tradtonnel. Par contre, ses tolérances serrées engendrent un coût élevé de producton.

43 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D Le cas d applcaton En s ntéressant à la synthèse des tolérances au pre des cas de l exemple d applcaton, on obtent les tolérances suvantes résumées dans le tableau c-dessous. Composant 1 Composant Composant 3 Composant 4 Composant 5 Incdence α Fasablté β Tolérance IT 0, 0, 0, 0, 0, Tableau 1-1 : Caractérstques et tolérances au pre des cas des composants Sans condton partculère, on consdère que les ntervalles de tolérances de composants sont garants par des ndces de capablté Cpk = Analyse de l ensemble des confguratons résultantes Ans, on trouve les domanes de tolérance des composants tous égaux car les tolérances sont dentques. Par alleurs, en fasant l analyse des domanes de tolérance, on trouve le domane résultant de l assemblage des tolérances que l on compare au domane de la condton fonctonnelle. La fgure suvante montre le domane de tolérance des composants, ans que la comparason avec le domane de la CF du domane résultant de l analyse des tolérances. Fgure 1-7 : Domane de tolérance des composants au pre des cas, et domane résultant de l analyse des tolérances On constate ben que la CF est entèrement respectée par le tolérancement au pre des cas. En effet, le domane résultant est entèrement nclus dans le domane CF. Dans ce cas d applcaton, l ndce de qualfcaton du non respect de la CF R HCF est nul car la CF est respectée. L ndce d explotaton de la CF c vaut R expl. = 0,8. L analyse par smulaton de Monte Carlo donne la répartton des assemblages résultants présentée dans la fgure c-dessous. Conformément à l objectf du tolérancement, aucun assemblage n est hors du domane d acceptaton de la CF. Par contre, on se rend compte que la combnason aléatore des décentrages des composants donne une répartton des assemblages proche de la cble.

44 36 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal.3. Tolérancement statstque Le tolérancement statstque a été développé dans le but de prendre en compte la fable probablté d avor pluseurs caractérstques en lmte de leur tolérance en même temps [Shewhart, 1931], [Evans, 1975]. Sous l hypothèse que les varables X sont ndépendantes avec un écart type σ, on obtent la relaton suvante défnt par l équaton [ 1-1 ] : σ Y = α σ [ 1-44 ] Avec des tolérances proportonnelles à l écart type [Chase et al, 1991], on obtent alors la relaton suvante pour l analyse statstque des tolérances : IT Y = α ITX [ 1-45 ] Dans cette méthode de tolérancement, la consdératon de base est le centrage de toutes les caractérstques des composants sur leur valeur cble. On défnt ans la relaton permettant de fare la synthèse des tolérances statstques des composants. Dans le cas général où la dstrbuton des tolérances est non-unforme, on obtent : β. ITY ITX = α β [ 1-46 ] Dans le cas partculer où les ncdences des composants sont drectes (α = 1), et la répartton des tolérances se fat de manère unforme (β = 1), l expresson précédente se résume en : ITY ITX = [ 1-47 ] n L nconvénent de cette méthode est qu elle ne garantt pas la conformté de l assemblage selon toutes les confguratons des composants. Il se peut que pluseurs caractérstques des composants soent conformes à leurs tolérances mas que leurs décalages par rapport à leurs valeurs cbles entraînent une non-conformté de la condton fnale Le cas d applcaton Premère analyse sans précauton partculère En s ntéressant à la synthèse des tolérances statstques de l exemple d applcaton, on obtent les tolérances suvantes résumées dans le tableau c-dessous. Composant 1 Composant Composant 3 Composant 4 Composant 5 Incdence α Fasablté β Tolérance IT 0,447 0,447 0,447 0,447 0,447 Tableau 1- : Caractérstques et tolérances statstques des composants Comme précédemment sans condton partculère, on consdère que les ntervalles de tolérances de composants sont garants par des ndces de capablté Cpk = 1.

45 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 37 En fasant l analyse des domanes de tolérance, on trouve le domane résultant de l assemblage des tolérances que l on compare au domane de la condton fonctonnelle. La fgure suvante montre le domane de tolérance des composants, ans que la comparason avec le domane de la CF du domane résultant de l analyse des tolérances. On constate que le tolérancement statstque sans précauton n est pas ben adapté pour le tolérancement de la CF. On garantt le respect de la dsperson maxmale, mas le décentrage maxmum est largement dépassé. Dans ce cas d applcaton, l ndce de qualfcaton du non respect de la CF vaut R HCF = 0,68 et l ndce de non explotaton de la CF c vaut R expl. = 1. L analyse par smulaton de Monte Carlo donne la répartton des assemblages avec un ndce de non-respect de la CF : R MC HCF = 0,15. Fgure 1-8 : Domane de tolérance des composants, et domane résultant de l analyse des tolérances Seconde analyse avec Cpk > 1,66 Fgure 1-9 : Domane de tolérance avec Cpk = 1,67, et domane résultant de l analyse des tolérances

46 38 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal On se propose de fare l analyse des tolérances mas en consdérant cette fos-c une valeur mnmale de l ndce Cpk des composants. On chost arbtrarement un ndce Cpk = 1,67 pour tous les composants de la chaîne de cote. La fgure suvante résume l analyse des tolérances. L analyse par la méthode des ares donne un ndce d explotaton R expl. = 0,59 et un ndce de non-conformté R HCF = 0,48. Avec l analyse par smulaton de Monte Carlo, l ndce de nonconformté devent R MC HCF = 0,03. Malgré l utlsaton d ndce de capablté Cpk > 1, on constate que le tolérancement statstque offre beaucoup de confguraton à rsque sur la résultante. Son utlsaton sans précauton pour vérfer son hypothèse de composants centrés est rsquée pour le tolérancement de la CF..3.3 Tolérancement statstque augmenté Pluseurs méthodes sont proposées pour rédure l aspect négatf du tolérancement statstque, dont une dscusson est proposée dans [Graves et al, 000]. [Glson, 1951] et [Bender, 196] proposent une méthode basée sur le tolérancement statstque comprenant un facteur augmenté f (nflated factor). La tolérance dans le cas général est alors défne par la relaton suvante β. ITY ITX = f. α. β [ 1-48 ] Où f représente le coeffcent augmenté. Ce coeffcent est souvent chos arbtrarement autour d une valeur de f = 1, 5 ou 1,6 selon leurs expérences avec de nombreux assemblages. Dans le cas partculer de répartton unforme (β = 1) et d ncdence drecte de tous les composants ( α = 1), on obtent les tolérances sur les composants par : IT ITY = [ 1-49 ] f n X. Dans le cas où f = 1, on retrouve une répartton des tolérances par la méthode statstque, dans le cas où f = n, on retrouve du tolérancement au pre des cas. Une dscusson sur la valeur du coeffcent est proposée par [Graves, 1997] et [Graves, 001] sur dfférentes stuatons qu condusent au chox de dfférentes valeurs de f. Graves propose une approche ntéressante pour optmser le coeffcent f selon les ndces de capablté. Mas malgré la qualté de cette méthode de tolérancement, l est toujours possble de trouver une stuaton ne garantssant la CF. En effet, comme on peut le constater sur la fgure 1-30, le décentrage maxmal résultant excède le décentrage maxmal admssble.

47 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D Le cas d applcaton La synthèse des tolérances statstques augmentées de l exemple d applcaton donne les tolérances suvantes en utlsant le facteur augmenté f = 1,6. Sans condton partculère, on consdère que les ntervalles de tolérances de composants sont garants par des ndces de capablté Cpk = 1. Composant 1 Composant Composant 3 Composant 4 Composant 5 Incdence α Fasablté β Tolérance IT 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 Tableau 1-3 : Caractérstques et tolérances statstques augmentées des composants Fgure 1-30 : Domane de tolérance des composants, et domane résultant de l analyse des tolérances En fasant l analyse des domanes de tolérance, on trouve le domane résultant de l assemblage des tolérances que l on compare au domane de la condton fonctonnelle. La fgure suvante montre le domane de tolérance des composants, ans que la comparason avec le domane de la CF du domane résultant de l analyse des tolérances. Dans ce cas, la CF est relatvement ben respectée ben que le tolérancement du système permette des confguratons hors de la CF. En effet, l ndce de confguraton hors de la CF fourn par l étude des ares est R HCF = 0,3 alors que l ndce d explotaton vaut R exp. = 0,41. En revanche, par la méthode de Monte Carlo, on obtent un ndce de non-respect de la tolérance de R MC HCF = 0,00. Cette observaton nous permet de constater que cette méthode explote correctement l aspect aléatore des combnasons des décentrages et par la même garantt statstquement la CF.

48 40 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 3 Tolérancement nertel 1D OBJECTIFS DE CETTE PARTIE Cette parte est un état de l art du tolérancement nertel. Nous allons aborder pluseurs ponts : Dans un premer temps nous présentons la foncton de perte de Taguch. Pllet s est basé sur cette foncton de perte pour défnr un crtère de qualfcaton des écarts qu l nomme l nerte. Nous abordons dans un second temps les représentatons graphques de la tolérance nertelle, et notamment le graphe b-tolérance que nous ntrodusons. La trosème parte ntrodut les deux ndces de capablté (Cp et Cp) que l on utlse pour contrôler un lot en tolérancement nertel, Dans une quatrème parte on présente les deux types de condton fonctonnelle applcable avec le tolérancement nertel qu sont la tolérance nertelle et l ntervalle de tolérance, Enfn la cnquème parte trate de tros cas de tolérancement nertel et de leurs hypothèses de calcul des tolérances. Deux approches de tolérancement vsent à garantr une CF défne par une nerte et la trosème vse à garantr un IT. 3.1 Perte de Taguch et le crtère nerte Cette parte présente la foncton de perte de Taguch qu est à l orgne de la genèse du crtère nerte qu ntrodut Pllet La foncton de perte de Taguch Taguch propose une formule smple permettant d évaluer la contreparte fnancère due aux erreurs de producton, la foncton quadratque de perte de qualté. Le but de formule est d évaluer en unté monétare la perte fnancère sube à la sute d une défallance d un produt. Cette estmaton de la perte englobe non seulement l entreprse mas auss le clent et le vendeur. Taguch caractérse cette perte fnancère engendrée par l écart d une caractérstque par rapport à sa cble comme une foncton proportonnelle au carré de cet écart. Il donne ans : ( T X ) L = k [ 1-50 ]. Où L représente la perte fnancère (fnancal Loss), et k est un coeffcent permettant de reler les écarts quadratque à l unté fnancère (euros/mm² par exemple). T représente la valeur cble (Target) et X est la valeur mesurée sur un composant. [Taguch et al, 1989], donne une méthode permettant de détermner le coeffcent k en foncton de l ntervalle de tolérance, défnssant la lmte d acceptaton de la pèce, et du prx de producton assocé à la pèce. A k = IT [ 1-51 ] Où IT est l ntervalle de tolérance et A est le prx de producton de la pèce ou son prx de retouche.

49 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D Le crtère nerte En partant de la défnton de la foncton de perte de Taguch, Pllet propose un nouveau crtère d acceptaton l nerte. A ses débuts l nerte est défne par : I ( T ) = [ 1-5 ] X Pllet montre que cette expresson peut auss s écrre sous la forme d une addton du carré de l écart par rapport à la cble et du carré de l écart type, sot : I = δ + σ [ 1-53 ] Pour un souc de cohérence entre les valeurs mesurées en mm et les valeurs de l nerte mm ntalement, le calcul de l nerte est redéfn en prenant la racne carrée de sa défnton ntale. Ans l y a homogénété entre les valeurs mesurées et la valeur du crtère nerte. La nouvelle défnton de l nerte s écrt : I = δ + σ [ 1-54 ] On dspose donc d un crtère d accepton du lot lé à la perte fnancère engendrée. Ce crtère d acceptaton est un scalare dont l unté est proportonnelle à l unté de mesure des pèces du lot. L nerte est la combnason quadratque du décentrage de la moyenne du lot par rapport à la cble et de l écart type du lot. 3. Représentaton graphque de la tolérance nertelle Cette parte trate des représentatons graphques de la tolérance nertelle. Nous abordons dans un premer temps les représentatons utlsées dans les partes 0 et 0 qu permettent de représenter les tolérances tradtonnelles et nertelles. Nous présentons enfn une représentaton graphque dédée à la tolérance nertelle que nous nommons le graphe btolérance Premères représentatons graphques La premère représentaton graphque de l nerte s est naturellement fate dans le domane (δ,σ), vor la fgure 1-6. Dans cette représentaton, on vot ben l nteracton entre la moyenne et l écart type, mas l nterprétaton n est pas auss évdente que la tolérance tradtonnelle où le lot est représenté dans son ntervalle de tolérance. Pour un souc de dffuson de la méthode de tolérancement nertel, le premer traval de recherche s est focalsé sur les représentatons graphques de la tolérance nertelle. La fgure suvante montre les dfférentes représentatons graphques décrtes en début de ce chaptre.

50 4 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Graphe (δ,σ) Graphe en U Graphe (δ,σ ) Fgure 1-31 : Les dfférentes représentatons de la tolérance nertelle On vot l ntérêt de la représentaton du graphe en U, qu permet d exprmer une tolérance sur les caractérstques δ et σ du lot en une lmte d acceptaton sur la représentaton du lot par la gaussenne équvalente. C est la premère représentaton qu permet d nterpréter la tolérance nertelle d une manère plus courante. Cependant, une autre représentaton est proposée, propre à la tolérance nertelle celle-c. 3.. Graphe b-tolérance Une dernère proposton de représentaton graphque des tolérances est la représentaton btolérances. En observant le graphe (δ,σ), on se rend compte que la tolérance nertelle qu lmte l nerte du lot, fuson entre le décentrage δ et la dsperson σ, peut être exprmée en deux tolérances dépendantes sur le décentrage et la dsperson. L ntérêt est alors de pouvor qutter la représentaton (δ,σ) pour revenr à une représentaton classque sur la dstrbuton du lot, mas en affchant deux tolérances mobles contrarement à l IT. La tolérance sur le décentrage du lot δ tol. Se calcule en foncton de la tolérance nertelle I tol. et de la dsperson du lot σ lot. : δ tol. = Itol. σ lot [ 1-55 ] La tolérance est alors représentée comme un ntervalle centré sur la cble représentant une blmte sur la moyenne du lot δ lot. Cette premère tolérance vérfe la relaton : lot [ δ δ ] δ + [ 1-56 ] tol. ; tol. La tolérance sur la dsperson σ tol. Est défne par : σ tol. = Itol. δ lot [ 1-57 ] La tolérance est alors représentée comme un ntervalle centré sur la moyenne du lot représentant une b-lmte sur l étendue du lot, sx dspersons. Cette seconde tolérance exprme la relaton : [ δ. σ ; δ + 3. σ ] [ δ 3. σ ; δ + 3 σ ] lot [ 1-58 ] 3 lot lot lot lot tol. lot. tol. Les fgures suvantes montrent les deux représentatons dans le graphe (δ,σ) et la tolérance blmte sur un hstogramme de mesures. Là encore on utlse une représentaton équvalente du lot, la gaussenne équvalente, prncpalement pour comparer la dsperson du lot à la dsperson autorsée par la tolérance en consdérant le décentrage du lot.

51 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 43 Graphe (δ,σ) Graphe b-tolérance Fgure 1-3 : Qualfcaton d un lot en tolérance nertelle b-tolérance 3.3 Indces de capablté nertels L ndce Cp Comme pour le tolérancement tradtonnel, Pllet défnt un ndce de capablté défnssant le rato entre la varablté permse et la varablté court terme du processus, l ndce Cp. L ndce Cp est défnt par : I Cp = CF [ 1-59 ] σ Les représentatons graphques de l ndce Cp Le domane de tolérance de l ndce Cp dans le graphe (δ,σ) est délmté par : I CF σ = [ 1-60 ] Cp Et dans le graphe (δ,σ ) le domane de tolérance est délmté par : I σ CF [ 1-61 ] = Cp

52 44 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Graphe (δ,σ) Graphe en U Graphe (δ,σ ) Fgure 1-33 : Les dfférentes représentatons de l ndce nertel Cp On constate ben que l ndce Cp du tolérancement tradtonnel ou du tolérancement nertel a ben le même rôle, l compare la varablté nstantanée du procédé à la varablté autorsée L ndce Cp L nerte est un crtère de qualfcaton du lot à elle seule, elle combne le décentrage δ et l écart-type σ. Cependant, comme pour le tolérancement tradtonnel Pllet ntrodut un ndce de capablté Cp qu permet de comparer l nerte du lot à la tolérance nertelle. L ndce Cp est défn par : I Cp [ 1-6 ] = CF δ + σ Les représentatons graphques de l ndce Cp La lmte du domane de tolérance de l ndce Cp dans le graphe (δ,σ) peut s écrre I CF [ 1-63 ] σ = δ Cp Et dans le graphe (δ,σ ) le domane de tolérance est délmté par : I σ CF δ [ 1-64 ] = Cp Graphe (δ,σ) Graphe en U Graphe (δ,σ ) Fgure 1-34 : Les dfférentes représentatons de l ndce nertel Cp

53 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 45 On observe que l ndce de capablté tradtonnel Cpm et l ndce de capablté nertel Cp ont le domane de tolérance. Cela vent du fat que ces deux ndces qualfent le lot de la même façon à l ade de la foncton de perte de Taguch. La dfférence majeure est que l ndce Cpm est basé sur un ntervalle de tolérance soulevant un problème d acceptaton de lot dans l IT mas avec un mauvas Cpm. Cette ambguïté est dscutée dans le chaptre suvant sur l applcaton du tolérancement nertel au tolérancement tradtonnel à l ade de l ndce Cpm. 3.4 Condton fonctonnelle et son domane d acceptaton Le tolérancement nertel a pour but de garantr une nerte sur la résultante de l assemblage, mas on peut également chercher à garantr un ntervalle de tolérance Une nerte comme CF En se basant sur la foncton de perte de Taguch, l nerte désgne une zone pour laquelle le coût de non qualté est constant. En produsant des assemblages dont l nerte est nféreure à la tolérance nertelle défnssant la condton fonctonnelle autour d une cble, d après Taguch on produt ans des assemblages dont le coût de non qualté maxmum est maîtrsé. En vue d obtenr la même dsperson dans le cas centré entre une CF exprmée par un IT ou une nerte, on mpose d avor les mêmes valeurs des ndces de capablté Cp tradtonnel et nertel. Ans on a la relaton : I IT σ 6.σ Inertel CF CF Cp = = = Lot Lot Cp Tradtonnel [ 1-65 ] D où on tre une relaton d équvalence entre l nerte et l ntervalle de tolérance dans le but d obtenr la même dsperson dans le cas centré : ITCF I CF = [ 1-66 ] 6 De cette relaton on peut exprmer la tolérance nertelle équvalente à l IT CF défnt dans le cas du tolérancement tradtonnel. Ans, nous défnssons la condton fonctonnelle de notre exemple d applcaton par I CF = 0,167 mm. Les domanes de tolérances sont représentés par la fgure Un ntervalle de tolérance comme CF Toujours dans un souc de dffuson du tolérancement nertel, certan souhate exprmer la condton fonctonnelle comme tradtonnellement par un ntervalle de tolérance. Dans ce cas la défnton de la CF ne change pas par rapport au cas tradtonnel, on consdère un IT CF = 1 mm et un ndce de capablté Cpk CF = 1. Le domane de tolérance défn par un ntervalle de tolérance est présentée dans la fgure 1-6.

54 46 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 3.5 Tolérancement nertel L nerte résultante de l assemblage de composants tolérancés en nertel se calcule par les relatons statstques qu lent les deux caractérstques des composants δ et σ aux caractérstques de la résultante de l assemblage δ ass et σ ass. Ans en calculant l nerte de la résultante de l assemblage on trouve : I ass = α. I +. α. α. δ. δ j j j [ 1-67 ] En partant de cette relaton, dfférentes hypothèses de tolérancement sont évoquées [Pllet, 004]. On se contente de présenter deux méthodes garantssant une CF défne par une tolérance nertelle, et la méthode actuelle garantssant une CF défne par un ntervalle de tolérance Garantr une nerte sous l hypothèse du pre des cas En s nsprant de l hypothèse de pre des cas, on consdère que l nerte résultante est unquement due aux décentrages δ des composants, en consdérant tous les α égaux, l nerte résultante est donc donnée par : I = n. [ 1-68 ] ass I Pllet propose donc un tolérancement nertel permettant de garantr une nerte résultante avec une hypothèse de pre des cas : I CF I = [ 1-69 ] n Comme pour le tolérancement tradtonnel au pre des cas, cette méthode de tolérancement garantt la CF dans toutes les confguratons, mas les tolérances obtenus sont encore plus serrées que le tolérancement tradtonnel Le cas d applcaton La synthèse des tolérances nertelles de l exemple d applcaton donne les tolérances exprmées dans le tableau 1-4. Sans condton partculère, on consdère que les nertes des composants sont garantes par des ndces de capablté Cp = 1. En fasant l analyse des domanes de tolérance on trouve le domane résultant de l assemblage des tolérances que l on compare au domane de la condton fonctonnelle. Composant 1 Composant Composant 3 Composant 4 Composant 5 Incdence α Fasablté β Tolérance I 0,033 0,033 0,033 0,033 0,033 Tableau 1-4 : Caractérstques et tolérances au pre des cas des composants La fgure suvante montre le domane de tolérance des composants, ans que la comparason avec le domane de la CF du domane résultant de l analyse des tolérances.

55 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 47 Fgure 1-35 : Domane de tolérance des composants, et domane résultant de l analyse des tolérances On constate ben que la CF est entèrement respectée par le tolérancement au pre des cas, en effet le domane résultant est entèrement nclus dans le domane CF Garantr une nerte sous l hypothèse de décentrage aléatore En consdérant l hypothèse de dstrbuton aléatore des décalages δ des composants, ce qu permet de néglger le double produt δ.δ j, l nerte résultante est donc donnée par : I = n. [ 1-70 ] ass I Pllet propose un tolérancement nertel garantssant une nerte résultante avec une hypothèse statstque de dstrbuton aléatore des moyennes des composants : I CF I = [ 1-71 ] n Cette méthode de tolérancement garantt ben l écart type maxmum de la CF, mas l exste des confguratons, notamment en cas de non-compensaton des décentrages des composants, où la CF n est pas respecté Le cas d applcaton Premère analyse sans précauton partculère En s ntéressant à la synthèse des tolérances nertelles sous l hypothèse statstques de dstrbuton aléatore des décentrages des composants de l exemple d applcaton, on obtent les tolérances suvantes résumées dans le tableau c-dessous. Composant 1 Composant Composant 3 Composant 4 Composant 5 Incdence α Fasablté β Tolérance I 0,075 0,075 0,075 0,075 0,075 Tableau 1-5 : Caractérstques et tolérances statstques des composants Comme précédemment sans condton partculère, on consdère que les nertes des composants sont garantes par des ndces de capablté Cp = 1.

56 48 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal En fasant l analyse des domanes de tolérance on trouve le domane résultant de l assemblage des tolérances que l on compare au domane de la condton fonctonnelle. La fgure suvante montre le domane de tolérance des composants, ans que la comparason avec le domane de la CF du domane résultant de l analyse des tolérances. Fgure 1-36 : Domane de tolérance des composants, et domane résultant de l analyse des tolérances On constate que le tolérancement nertel statstque garantssant un nerte comme CF sans précauton n est pas suffsamment adapté pour le tolérancement de la CF. On garantt le respect de la dsperson maxmale, mas le décentrage maxmum est dépassé Garantr un ntervalle de tolérance sous l hypothèse de décentrage aléatore Comme tradtonnellement la CF d un assemblage est détermnée par un ntervalle de tolérance IT CF. Le tolérancement nertel est adapté de façon à garantr une CF exprmé par un IT CF et non une nerte I CF. Néanmons l adaptaton de la méthode est basée sur le tolérancement nertel sous l hypothèse de décentrage aléatore. L nerte I CF de la méthode précédente est exprmée en foncton de l IT CF à garantr grâce à la relaton [ 1-66 ]. Ans le calcul des nertes des composants I dans le cas d ncdences et de répartton dentques des tolérances est exprmé par : Le cas d applcaton I ITCF = [ 1-7 ] 6. n Premère analyse sans précauton partculère En s ntéressant à la synthèse des tolérances nertelles sous l hypothèse statstque de dstrbuton aléatore des décentrages des composants de l exemple d applcaton, on obtent les tolérances suvantes résumées dans le tableau c-dessous. On constate que les tolérances nertelles sont dentques à celles du tolérancement nertel garantssant une nerte sous l hypothèse de dstrbuton aléatore des décentrages. Cela se justfe par le fat que l IT CF dans ce cas et l I CF dans le cas précédent sont équvalents en terme de dsperson centrée. Comme précédemment sans condton partculère, on consdère que les nertes des composants sont garantes par des ndces de capablté Cp = 1.

57 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 49 Composant 1 Composant Composant 3 Composant 4 Composant 5 Incdence α Fasablté β Tolérance I 0,075 0,075 0,075 0,075 0,075 Tableau 1-6 : Caractérstques et tolérances statstques des composants A partr de l analyse des domanes de tolérance, on trouve le domane résultant de l assemblage des tolérances que l on compare au domane de la CF. La fgure suvante montre le domane de tolérance des composants, ans que la comparason avec le domane de la CF du domane résultant de l analyse des tolérances. Fgure 1-37 : Domane de tolérance des composants, et domane résultant de l analyse des tolérances On constate que le tolérancement nertel statstque garantssant un nerte comme CF sans précauton n est pas ben adapté pour le tolérancement de la CF. On garantt le respect de la dsperson maxmale, mas pour certanes confguratons le domane de tolérance défn par la CF n est pas respectée. Pour ce cas d applcaton, on obtent les ndce de capablté suvant : R HCF = 0,34 et R expl. = 0,98. L analyse du tolérancement par la smulaton de Monte Carlo donne R MC NCF = 0,0.

58 50 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Seconde analyse avec Cp = 1, On se propose de fare l analyse des tolérances mas en consdérant cette fos c une valeur mnmale de l ndce Cp des composants. On chost arbtrarement un ndce Cp = 1, pour tous les composants de la chaîne de cote. La fgure suvante résume l analyse des tolérances. Fgure 1-38 : Domane de tolérance des composants avec Cp = 1,, et domane résultant de l analyse des tolérances Les ndces R HCF = 0,03 et R expl. = 0,84, et la smulaton de Monte Carlo donne un ndce de capablté R MC NCF = 0. Un blan est présenté dans le chaptre en page 78, présentant les dfférentes approches de tolérancement qu sont comparées grâces aux ndcateurs présentés (R expl., R HCF, R MC HCF) pour le cas partculer de l assemblage de 5 composants.

59 Chaptre 1 : Présentaton non exhaustve du tolérancement 1D 51 4 Conclusons et perspectves 4.1 Conclusons du chaptre Ce chaptre a perms de balayer le domane du tolérancement 1D sans pour autant le trater de manère exhaustve. Nous avons ntrodut un outl ntéressant qu est le graphe (δ,σ ) qu permet l analyse des tolérances des composants. Cet outl et les ndces de qualfcaton assocés permettent une analyse quantfable des méthodes de tolérancement. Au regard des dfférentes méthodes de tolérancement et de leurs résultats sur le cas d applcaton, on peut conclure que le tolérancement nertel avec l utlsaton d un ndce de capablté semble la méthode la meux adaptée pour garantr et exploter au meux la CF. 4. Perspectves Du graphe (δ,σ ) : Il serat ntéressant de poursuvre de manère plus exhaustve d autres analyses de Monte Carlo en ntégrant notamment les approches proposées dans [Anselmett et al, 003] sur la répartton des composants dans l IT. L hypothèse d utlsaton du graphe est de consdérer des composants ndépendants. Cependant la méthode peut également être adaptée en consdérant l hypothèse contrare c est à dre avec des composants fortement dépendants. En effet, on peut utlser la même méthodologe d assemblage des domanes de tolérances mas en utlsant le graphe (δ,σ) comme le préconse l équaton [ 1-10 ]. Du tolérancement nertel : Etant donné l effet de l ndce de capablté Cp sur le domane résultant de l assemblage des tolérances par rapport au domane CF, on envsage de détermner la valeur optmale de l ndce Cp garantssant dans toutes les confguratons la CF. Cette perspectve est tratée dans le chaptre.

60

61 53 Chaptre Chaptre Tolérancement nertel 1D garantssant une Condton Fonctonnelle OBJECTIF DU CHAPITRE Ce chaptre répond à la queston suvante : Comment garantr un taux de non-conformté sur une condton fonctonnelle en utlsant le tolérancement nertel? La condton fonctonnelle est caractérsée par une cble et un ntervalle de tolérance répart de façon symétrque autour de cette cble. Deux vsons sont alors possbles, on peut chercher à respecter l IT de la CF, dans ce cas on mpose une valeur mnmale sur l ndce Cpk de l assemblage, ou on peut chercher à garantr un Taux de Non- Conformté sur l IT de la CF. Ce chaptre se décompose en tros partes qu suvent l évoluton des travaux de recherche : On présente en premer leu une applcaton du tolérancement nertel garantssant absolument un ndce Cpk sur l IT de la CF. Le but est de fare garantr la CF à la plus mauvase confguraton. Dans un second temps, nous adapterons les résultats obtenus afn de garantr dans toutes les stuatons une valeur maxmale du TNC de la CF sur son IT. Enfn, nous nous attacherons à l occurrence de cette plus mauvase confguraton grâce aux smulatons de Monte Carlo.

62 54 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Glossare Cp Indce de capablté nertel Cp CF Indce de capablté Cp à mposer sur les composants pour garantr la CF Cpk ass Indce de capablté de la résultante de l assemblage (foncton des δ et σ ) Cpk Mn ass Valeur mnmum de l ndce Cpk ass pour la plus mauvase confguraton Cpk CF Indce de capablté Cpk à respecter sur la CF I CF Inerte de la condton fonctonnelle I Inerte du composant IT CF Intervalle de tolérance de la condton fonctonnelle n Nombre de composants dans la chaîne de cte TNC CF Taux de Non-Conformté à respecter sur la CF TNC nf. Borne nféreure du TNC à pour un ndce Cpk donné TNC MAX Valeur maxmal du TNC résultant pour la plus mauvase confguraton α Coeffcent d ncdence du composant β Indce de fasablté du composant δ Décentrage par rapport à la cble du composant Mn δ j Décentrage du composant j donnant la plus mauvase confguraton de la résultante Ecart-type du composant σ

63 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 55 1 Des propostons de tolérancement nertel dans le cas de produts assemblés OBJECTIF DE CETTE PARTIE : Pluseurs propostons de tolérancement nertel garantssant un IT comme CF sont possbles. Dans le cadre de nos recherches, deux méthodes de tolérancement basées sur le tolérancement nertel et garantssant un IT comme condton fonctonnelle ont été proposées. Nous effectuerons un survol de ces méthodes avant de développer une trosème approche. 1.1 Un comproms entre tolérancement au pre des cas et tolérancement statstque Basée sur l observaton des premères méthodes de tolérancement nertel, une façon nnovante de tolérancer est proposée. Pllet développe pluseurs méthodes de tolérancement nertel et leurs hypothèses. On s ntéresse plus partculèrement aux deux méthodes de tolérancement nertel présentées dans la premère parte en vue de garantr une nerte I CF sous l hypothèse du pre des cas ou l hypothèse statstque. Un tolérancement nertel permettant de garantr une nerte résultante avec une hypothèse de pre des cas: I CF I = [ -1 ] n Ben que sédusante, cette façon de tolérancer condut à des condtons très restrctves au nveau de la fabrcaton des composants. Un tolérancement nertel garantssant une nerte résultante avec une hypothèse statstque : I CF I = [ - ] n Dans cette seconde défnton, l nerte résultante n est garante que s les décentrages de chacune des composantes se compensent. Basée sur cette défnton du tolérancement nertel, Pllet propose une méthode permettant de garantr un ntervalle de tolérance IT CF : I ITCF = [ -3 ] 6. n Cette proposton garantt dans «presque» tous les cas le respect d un ntervalle de tolérance sur la cote condton. Le problème résde dans le «presque». En se fondant sur ces deux premères approches, nous avons proposé une approche hybrde : I Expo ITCF = α [ -4 ] 6. n Où α est l exposant de tolérancement dont la valeur reste à défnr. Deux valeurs lmtes sont défnes mplctement par Pllet : α = 1 pour un tolérancement garantssant absolument l nerte résultante,

64 56 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal α = 1/ pour un tolérancement garantssant l nerte résultante dans l hypothèse de dstrbuton aléatore des décentrages. Il reste à détermner la valeur de l exposant α permettant de garantr la CF. On décde de caractérser la CF de l assemblage par un ndce Cpk CF sur l ntervalle de tolérance IT CF. Dans ce cas, on montre dans [Adragna et al, 006 a] que la soluton permettant de garantr la CF est donnée par : α = n ln + n. Cpk 9.ln ( n) [ -5 ] Nous n approfondssons pas davantage la réflexon sur la valdté de la méthode dans le cas d ncdences non toutes drectes sur la CF et le cas de répartton non unforme. Néanmons, cette soluton permet de comparer le tolérancement nertel garantssant une CF au tolérancement tradtonnel va la comparason des exposants α pour le tolérancement au pre des cas et statstque [Adragna et al, 006 a]. 1. Un tolérancement nertel ajusté Une autre méthode de tolérancement nertel ayant pour but de garantr la CF est nsprée du tolérancement tradtonnel statstque augmenté et applqué au tolérancement nertel classque vsant un IT. Le tolérancement tradtonnel augmenté est défnt par : Et le tolérancement nertel classque vsant un IT est défn par : ITCF IT = [ -6 ] f. n I ITCF = [ -7 ] 6. n Le rapprochement de ces deux méthodes est proposé dans [Adragna et al, 006 b], où on propose l utlsaton d un coeffcent I C, coeffcent nertel d ajustement. On défnt ans une nouvelle formule de synthèse de tolérance nertelle, le tolérancement nertel ajusté : I Ajust ITCF = [ -8 ] 6. I. n C Le coeffcent I C est calculé en foncton de la CF à garantr sur l assemblage, et cette CF est exprmée comme précédemment par un IT CF et un ndce de capablté Cpk CF. Pour garantr la CF, la soluton proposée dans [Adragna et al, 006 b] est défne comme sut : I = CpkCF [ -9 ] 9 n C + Cette méthode possède l avantage ncontestable de garantr le respect de la CF par une approche statstque. Cependant, quelques ponts partculers sont à mettre an avant : l ndce de correcton Ic est calculé en foncton de la qualté de la CF (Cpk CF ) avant le calcul des tolérances des composants, les tolérances sont lées à la qualté de la condton fonctonnelle (Cpk CF ) et pour un même IT CF, elles peuvent varer d une CF à l autre, la méthode n utlse aucun ndce de capablté ou à défaut un ndce Cp = 1.

65 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 57 Ce derner pont peut sembler contradctore avec la tendance habtuelle qu consste plutôt à avor les tolérances des composants par une méthode de tolérancement et des ndces de capablté dépendant de la qualté de la CF à garantr. La méthode développée pour la sute de ce projet, est plus proche de cette méthode conventonnelle. On propose un tolérancement des composants dépendant unquement de l IT CF, pus on mpose des ndces de capablté en vue de garantr la CF. 1.3 Tolérancement nertel classque et ndce de capablté Cp Dans le but de smplfer l utlsaton du tolérancement nertel et sa dffuson, l est préférable de ne consdérer qu une seule formule pour le calcul de la synthèse des tolérances. On décde de se baser sur le tolérancement nertel classque pour le calcul des tolérances, mas la lmtaton des écarts des composants se fat grâce à l ndce de capablté nertel Cp dans le but de garantr une CF sur l assemblage. L dée est de garder une méthode classque de calcul des tolérances, et de calculer l ndce Cp à respecter sur les composants afn de garantr la CF. Ans on défnt la méthode de tolérancement des composants dans le cas partculer par : I Class ITCF = [ -10 ] 6. n Et dans le cas général où les ncdences sont non toutes drectes et la répartton des tolérances est non unforme, l expresson précédente se généralse en : I Class β. IT = 6. α CF. β [ -11 ] Pour contrôler les varatons des composants par rapport à leurs tolérances garantssant la CF de l assemblage, on utlse l ndce de capablté Cp : Class Class I I Cp = = [ -1 ] I δ +σ Où Cp dot être déalement défn par une valeur garantssant la CF de l assemblage. Le prncpal avantage de cette méthode comparée aux deux propostons précédentes est de garder la même tolérance nertelle pour chaque composant quelle que sot la CF à garantr, le seul changement se trouve sur la valeur de l ndce Cp à respecter en foncton de la CF à garantr. Cependant, on peut reprocher le fat d utlser des ndces de capablté dfférents en foncton du nombre de composants où de la qualté de la CF à garantr. En effet, on peut se demander comment l serat possble de gérer sur un plan dfférentes cotes avec des ndces de capablté dfférents.

66 58 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 1.4 Chox d une méthode de tolérancement Pour la sute de ce projet, nous chosssons d utlser la méthode de tolérancement nertel classque en utlsant les ndces de capablté Cp. Nos travaux ont pour objet d dentfer les valeurs de l ndce Cp à mposer sur les composants. Le but est de garantr la CF d un assemblage, dentfée par un IT CF et un Cpk CF ou un IT CF et un TNC CF, dans la plus mauvase confguraton ou en acceptant un rsque dû à la fable probablté de rencontrer la plus mauvase confguraton. Cependant, pour lasser le chox de l utlsaton de telle ou telle méthode, nous présentons dans cette parte des équvalences entre les méthodes de tolérancement ctées permettant de passer de l une à l autre. En effet, les tros propostons de tolérancement nertel présentées dans les partes 1.1, 1. et 1.3 sont équvalentes De l nertel avec exposant α à l nertel ajusté avec ndce I C Ces deux méthodes de tolérancement, nertel ajusté et nertel avec exposant α, donnent les mêmes tolérances des composants et ne nécesste aucune utlsaton de l ndce de capablté Cp par défaut. Par conséquent, le passage de l une à l autre est drecte. En comparant les dénomnateurs des deux formules de calcul des tolérances, on trouve dans le cas de répartton unforme (α =1) et de fasabltés dentques (β = 1) : α. n [ -13 ] I C n = D où on peut conclure la relaton suvante : (. n) ln I α = C [ -14 ].ln ( n) 1.4. De l nertel avec ndce Cp à l nertel ajusté avec ndce I C L équvalence est rapde entre la tolérance défne par le tolérancement nertel ajusté avec ndce I C et la tolérance défne par le tolérancement nertel classque avec ndce de capablté Cp. En comparant les deux tolérances nertelles, on retrouve l ndce de capablté Cp : Class. I = IC = Cp Ajust. I [ -15 ] Ans on possède deux méthodes de tolérancement offrant les mêmes varabltés sur les composants mas lassant le chox d agr sur les tolérances ou les ndces de capablté. Nous dsposons donc de deux paramètres pour garantr la CF grâce au tolérancement nertel, la tolérance nertelle I et l ndce de capablté Cp. Dans le paragraphe suvant, nous poussons plus lon le rasonnement pour permettre d mposer une tolérance ou un ndce de capablté tout en garantssant le respect de la CF.

67 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF Tolérance fxe ou ndce de capablté Cp fxe Dans la pratque, on peut être amener à travaller dans le cadre d une relaton clent fournsseur avec un ndce de capablté fxe. Cette parte propose de tradure le couple tolérance nertelle et ndce de capablté Cp, garantssant la CF en un autre couple dont l un est spécfé par le concepteur. On envsage les deux cas possbles : un ndce de capablté donné ou une tolérance donnée. Par conséquent, l autre partenare du couple est calculé pour offrr la même varablté du composant Tolérance mposée, ndce Cp varable Consdérons le cas où la tolérance d un composant est mposée par I mp. On cherche à conserver la varablté défne par le tolérancement par le couple I et Cp. Dans ce cas, la valeur de l ndce Cp vare pour donner la même varablté. La relaton permettant de défnr le nouvel ndce de capablté Cp var. offrant la même varablté est défne par : I var. Cp = Cp. mp. [ -16 ] I Indce Cp mposé, tolérance varable Consdérons mantenant le cas plus courant où l ndce de capablté est mposée par Cp mp.. Comme précédemment, on cherche à conserver la varablté défne par le tolérancement par le couple I et Cp. Dans ce cas, la valeur de la tolérance I vare pour donner la même varablté. La relaton permettant de défnr la nouvelle tolérance I var. offrant la même varablté est défne par : Cp Cp var. I = I mp. [ -17 ] 1.5 Synthèse Nous dsposons donc de dfférentes approches de tolérancement nertel permettant de garantr la CF. Ne pouvant trater de front ces tros approches, pour la sute de nos recherches, nous ne consdérons que le tolérancement nertel classque que nous accompagnons de son ndce de capablté Cp. Cependant, on a vu que ces tros approches sont smlares et offrent les mêmes varabltés sur les composants. Nous proposons ans des passerelles permettant d applquer les résultats de ce chaptre aux autres méthodes. On propose auss une dscusson offrant plus de lberté à l utlsaton de la méthode en permettant de défnr un ndce de capablté fxe et de calculer les tolérances garantssant la CF.

68 60 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Garantr une CF exprmée par un IT CF et un ndce Cpk CF mnmum OBJECTIF DE CETTE PARTIE Cette parte présente la démarche de développement d une méthode de tolérancement garantssant une CF en se basant sur le tolérancement nertel classque et l utlsaton de l ndce Cp. Le but de la méthode proposée est de garantr la condton fonctonnelle de l assemblage exprmée par une valeur mnmale de l ndce Cpk, Cpk CF, à garantr sur l ntervalle de tolérance, IT CF. Pour répondre à cet objectf, nous allons suvre la démarche suvante : Dans un premer temps, on exprme l ndce de capablté Cpk de la résultante de l assemblage Cpk ass en foncton des caractérstques des composants, décentrage δ et écart-type σ. En consdérant que les composants sont tolérancés par le tolérancement nertel classque vsant un ntervalle de tolérance IT CF, et que leurs varabltés sont lmtées par l ndce de capablté nertel Cp, l expresson de l ndce Cpk résultant Cpk ass se smplfe. Enfn, on étude les varatons de l ndce Cpk résultant Cpkass, pour trouver son mnmum, et ans dentfer la valeur de l ndce Cp garantssant le respect de la CF défne par le Cpk CF à ce mnmum du Cpk ass..1 Tolérancement nertel et ndce de capablté Cpk ass résultant Dans cette parte, on exprme l ndce de capablté Cpk ass de la résultante de l assemblage en foncton des caractérstques des composants. On précse les hypothèses permettant de smplfer l expresson de l ndce Cpk ass en consdérant que les composants sont en lmte de leur capablté nertelle. Avec les relatons sur les moyennes et les relatons sur les écarts-types lant les caractérstques des composants aux caractérstques de la résultante d assemblage, l est possble d exprmer l ndce de capablté Cpk ass de la résultante en foncton des caractérstques des composants. Cpk ass = IT CF 3. α α. δ. σ [ -18 ].1.1 Hypothèse smplfcatrce : des composants en lmte de tolérances nertelles On se doute que l ndce Cpk ass de la résultante d assemblage est mons bon lorsque les composants sont en lmte de tolérance. En effet, pour une confguraton donnée où un des composants de la chaîne de cote n est pas en lmte de tolérance, l accrossement de son décalage δ ou de son écart-type σ provoque un accrossement de une des caractérstques de la résultante δ ass ou σ ass, ce qu a pour but de fare décroître la valeur de l ndce Cpk ass. Cette consdératon est valable pour n mporte quel type de tolérance, par ntervalle ou nertelle.

69 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 61 On consdère donc que les composants de la chaîne de cote sont en lmte de tolérance nertelle. Cette hypothèse smplfcatrce permet d exprmer un des paramètres (δ ou σ) de la dstrbuton du composant en foncton de sa tolérance nertelle I et de son autre paramètre. On chost d exprmer l écart-type des composants σ en foncton de leur décalage δ, on obtent ans la relaton suvante. I σ δ = Cp [ -19 ].1. Indce Cpk ass d une chaîne de cote en lmte de tolérance nertelle Il est donc possble d exprmer l ndce de capablté Cpk ass de la résultante d assemblage d une chaîne de cote dont les composants sont tous en lmte de tolérance nertelle en foncton du décalage des composants. Cpk ass = 3. IT CF I α. Cp α. δ δ [ -0 ] Le problème de l étude des varatons de l ndce de capablté Cpk ass de la résultante d assemblage a donc été rédut d un problème à.n varables, comprenant les δ et les σ, à un problème à n varables, comprenant unquement les δ. Les nertes des composants I sont des constantes exprmées par le tolérancement nertel classque et l ndce Cp permettant de contrôler les varatons des composants. L ndce Cpk ass de la résultante d assemblage peut donc s écrre : Cpk ass = 3. IT CF β. ITCF α. 6. Cp. α. β α. δ δ. Valeur et confguraton du Cpk ass mnmum [ -1 ] L expresson précédente de l ndce Cpk ass de la résultante d assemblage est smplfée par l hypothèse de composants en lmte de tolérance nertelle. L expresson de l ndce Cpk ass trate le cas général d une chaîne de cote d ncdences non toutes drectes, coeffcents d ncdence α non tous non égaux à 1, et de répartton des tolérances non unforme, ndces de fasablté β non tous égaux. Le but de cette parte est de montrer que l ndce Cpk ass de la résultante d un assemblage de composants en lmte de tolérance nertelle admet une valeur mnmale. Il s agt alors de trouver cette plus mauvase confguraton, ensemble des décalages δ, pour laquelle ce mnmum est attent et la valeur obtenue dans cette confguraton.

70 6 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal..1 Hypothèse smplfcatrce : réducton du domane d étude Afn de trouver la plus mauvase confguraton pour laquelle l ndce Cpk ass de la résultante d assemblage est mnmum, on consdère l ndce Cpk ass comme une foncton de pluseurs varables de R n dans R. Afn de smplfer la foncton Cpk ass, en partculer pour supprmer la foncton valeur absolue sur le décalage résultant, on rédut le domane d étude à R +n. Cette smplfcaton est possble car l ndce de capablté Cpk est symétrque par rapport à δ, et on consent que la confguraton défavorable se trouve lorsque les décalages des composants se combnent de façon à augmenter le décentrage. En consdérant les décalages des composants postfs, cela mplque que tous les coeffcents d ncdence sont postfs, la récproque est auss vrae. δ + R α > 0 [ - ] On défnt ans la foncton Cpk ass sous les deux hypothèses smplfcatrces utlsées par : Cpk ass = 3. IT CF β. ITCF α. 6. Cp. α. β α. δ δ Et le domane de défnton de cette foncton Cpk ass est donné par D Cpkass : Que l on peut auss noter : + ( R /δ < I ) n DCpk ass = 1 [ -3 ] δ [ -4 ] n DCpk ass = I = 1 [, [ 0 [ -5 ] Avec les I tolérances nertelles des composants défnes par le tolérancement du système... Recherche de la plus mauvase confguraton Afn de trouver la plus mauvase confguraton qu donne le plus mauvas ndce Cpk ass, l sufft de calculer le gradent de cette foncton de pluseurs varables et d en trouver le pont snguler. Le gradent de la foncton Cpk ass se note : Cpkass... Cpk = δ j... Et les termes contenus dans ce vecteur gradent s exprment comme sut : Cpk δ j ass ITCF = ITCF Cp n = 1 α. δ. α j. δ j n = 1 α. δ 3 ass 3. ITCF 6. Cp α j n = 1 α. δ [ -6 ] [ -7 ]

71 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 63 On cherche le pont snguler de la foncton Cpk ass, c est à dre celu qu annule son gradent, ce qu revent à résoudre le système de n nconnus à n équatons : Cpkass = 0 [ -8 ] Sur une étape ntermédare de la résoluton en descendant, on trouve la soluton ncomplète de la j ème équaton : n ITCF α = j+. δ 1 Mn 36. Cp δ j = [ -9 ] ITCF n α1. α = j+ 1. δ La résoluton de la dernère équaton, correspondant à la dernère lgne du système donne la dernère nconnue de la plus mauvase confguraton : δ Mn n ITCF = [ -30 ] 18. Cp. α En remplaçant les solutons des dernères lgnes dans les précédentes, on trouve les solutons du système : δ Mn j n ITCF = [ -31 ] 18. Cp. α On connaît donc mantenant les valeurs des décentrages des composants δ j Mn défnssant la plus mauvase confguraton de l ndce Cpk ass de la résultante de l assemblage. Remarques j On observe que la soluton est générale, en effet s le sgne des coeffcents d ncdence α j change, cela change le sgne du décentrage donnant la plus mauvase confguraton δ j Mn. Cela correspond ben à l hypothèse d une basse de l ndce de capablté résultant lorsque les composants se combnent pour augmenter le décentrage de la résultante. On peut auss remarquer que le décalage des composants défnssant la plus mauvase confguraton est dépendant de la CF, des coeffcents d ncdence α et de l ndce de capablté Cp. Par contre, les ndces de fasablté β n ont aucune nfluence. Par conséquent, la plus mauvase confguraton est ndépendante des tolérances des composants, mas elle est lée à leur nfluence dans la chaîne de cote...3 La foncton Cpk ass est convexe Le but de cette parte est de montrer que l ndce de capablté résultant Cpk ass est une foncton convexe. Ans on pourra conclure que la confguraton dentfée dans la parte précédente est ben l unque mnmum de la foncton dans le domane d étude. Nous avons démontré dans [Adragna et al, 006 a] que l ndce de capablté Cpk ass de la résultante de l assemblage est ben convexe. Le cas traté présente les partculartés suvantes : tolérances des composants défns par le tolérancement nertel avec exposant α, on consdère le cas partculer d nfluence drecte de tous les composants (α = 1), on consdère une dstrbuton unforme des tolérances (β = 1),

72 64 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal A partr de ces consdératons, nous avons pu montrer que la matrce hessenne de la foncton Cpk ass de pluseurs varables est ben défne postve. Cette démonstraton peut faclement être applquée au cas du tolérancement nertel classque avec l utlsaton de l ndce Cp que nous utlsons dans ce chaptre. Cependant, l extenson de cette démonstraton au cas général (α 1 et β 1) n est pas faclement réalsable. D autres approches ont été envsagées sans succès pour le moment Smplfcaton de l étude de convexté On propose de fare un changement de varable permettant d exprmer chaque varable de décentrage des composants δ en foncton d une seule varable δ, on propose ans de consdérer : δ = α. δ [ -3 ] L ntérêt est de smplfer la problématque tout en tratant le cas générale (α 1 et β 1). Ce changement de varable revent à trater le cas partculer dans la drecton de plus forte pente détermnée par le gradent de la foncton...3. Cpk ass foncton d une seule varable La foncton Cpk de la résultante de l assemblage, dans sa drecton de plus forte pente peut alors s écrre : Cpk ass = 3. IT CF ITCF 6. Cp n. δ n. δ [ -33 ] Ce qu revent à trater le cas partculer (α = 1 et β = 1). Nous avons montré dans [Adragna et al, 006 b] que cette foncton est convexe. Nous étudons les varatons de la fonctons Cpk ass sous la condton qu elle reste postve. Cette condton se tradut par la relaton suvante : n Cp > [ -34 ] 3 Le dérvée premère de cette foncton Cpk ass smplfée donne : Cpk δ ass ITCF n. δ = IT CF 3. n. δ 6. Cp 3 3. n ITCF 6. Cp n. δ [ -35 ] Cette foncton dérvée permet de détermner les sgnes de varaton de la foncton Cpk ass. On obtent ans le tableau de varaton suvant :

73 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 65 Cpk δ 0 δ = 18. Cp δ Cpk ass Cpk δ ass Cp. n. Cp IT CF IT CF n Cp + nfn nfn ass Tableau -1 : Tableau de varaton de Cpk ass Ce tableau présente les varatons de la foncton Cpk ass sous l hypothèse de rester postve sur son domane de varaton. On peut donc représenter sa varaton pour deux valeurs dstnctes de l ndce Cp (Cp = 1 en bleue et Cp = 1.33 en nore) pour le cas partculer d un assemblage de 5 composants. Dans le cas ou l ndce Cp ne respecte pas la condton [ -34 ], (sot Cp < 0,75), on obtent une varaton de l ndce Cpk ass qu peut être négatve (plus de 50% de non conformté) (Cp = 0,7 en rouge), le mnmum est alors attent lorsque les décentrages sont maxma. On ne s ntéresse pas à ce cas car très mauvas, on consdère donc le mnmum Décentrages maxma Fgure -1 : Varaton de l ndce Cpk ass de la résultante de l assemblage en foncton de l ndce Cp et du décentrage des composants

74 66 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal CONCLUSION INTERMEDIAIRE On vent de montrer que l ndce de capablté Cpk ass de la résultante d un assemblage dont les composants sont tolérancés en nertel admet un mnmum. La confguraton de ce mnmum est dentfée par la confguraton des composants de la chaîne de cote, en lmte de capablté et dont le décalage est donné par l IT CF et l ndce de capablté Cp dentque sur les composants. Mantenant que cette plus mauvase confguraton est dentfée, l reste à évaluer la valeur du mnmum de l ndce Cpk ass en foncton de l ndce Cp et du nombre de composants. A partr de l expresson de ce mnmum, on pourra ans proposer une valeur de l ndce Cp permettant de garantr que le mnmum de l ndce Cpk ass sera défn par la condton fonctonnelle donnée par le Cpk CF. C est ce que trate la parte suvante qu donne la soluton pour garantr la CF..3 Garantr un Cpk ass mnmum sur l IT CF de la CF La plus mauvase confguraton de l ndce Cpk ass de la résultante de l assemblage est mantenant dentfée. Il reste à évaluer le mnmum obtenu en cette plus mauvase confguraton, pus trer une relaton à partr de ce mnmum entre l ndce Cp et la CF à garantr..3.1 Valeur mnmale du Cpk ass résultant Pour connaître la valeur mnmale de l ndce Cpk ass de l assemblage résultant, on évalue la foncton en sa plus mauvase confguraton défne par les δ j Mn. On obtent ans le mnmum de l ndce Cpk ass résultant défn par la smple relaton suvante: Cpk Mn ass = Cp [ -36 ] 9 n On remarque que le mnmum de l ndce Cpk ass de la résultante d assemblage dépend seulement de deux paramètres : le nombre n de composants présents dans la chaîne de cote la valeur de l ndce de capablté nertel Cp qu est respecté sur les composants. Plus le nombre de composants dans la chaîne de cote est mportant, plus l ndce de capablté Cp devra être mportant pour lmter la plus mauvase confguraton. Cependant, comme pour le tolérancement statstque tradtonnel, on conçot que plus le nombre de composants dans la chaîne de cote est mportant, plus le rsque de se trouver dans la plus mauvase confguraton est fable, rendant nutle l utlsaton d un Cp auss élevé. Ce comproms à trouver entre garantr la plus mauvase confguraton et une confguraton moyenne observée en moyenne fat parte d une étude statstque que nous présentons dans la sute de ce traval..3. Garantr un Cpk ass Mn défn par la CF La précédente relaton [ -36 ]donne un len entre : le mnmum de l ndce Cpk ass pour un assemblage de composants dans leur plus mauvase confguraton et la valeur de l ndce Cp des composants de la chaîne de cote. Il est possble d nverser cette relaton afn d exprmer l ndce Cp des composants en foncton du mnmum de l ndce Cpk ass résultant et du nombre de composants.

75 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 67 Mn ( Cpk ) n Cp = ass + [ -37 ] 9 Le but de la méthode proposée est de garantr le respect de la Condton Fonctonnelle grâce au tolérancement nertel. On cherche donc à toujours respecter la CF et en partculer au pont le plus crtque de l assemblage défn par la plus mauvase confguraton. La précédente relaton [ -37 ]permet de trouver la valeur des ndces Cp permettant de garantr la CF dans la plus mauvase confguraton d assemblage du tolérancement nertel. Cp = CpkCF [ -38 ] 9 n CF + Où Cpk CF est la valeur de l ndce Cpk défnssant la CF sur l IT CF, ntervalle de tolérance de la CF, et n est le nombre de composants dans la chane de cote..3.3 Le cas d applcaton Premère condton fonctonnelle: IT CF = 1mm et Cpk CF = 1 On applque la méthode au cas d applcaton traté par les dfférentes méthodes de tolérancement et présenté par la fgure 1-1. Ce cas d applcaton est un assemblage de n = 5 composants. La CF est donnée par l ntervalle de tolérance IT CF = 1 mm, et par défaut l ndce de capablté garantssant cet IT CF et donnée par Cpk CF = 1. Dans ces condtons, l ndce de capablté Cp CF à mposer sur les composants est donné par la relaton suvante : n 5 CpCF = CpkCF + = 1+ = 1,47 [ -39 ] 9 9 Il est possble d évaluer la plus mauvase confguraton pour laquelle la CF sera tout juste respectée dans notre cas. La plus mauvase confguraton est donnée par le décalage des composants de la chaîne de cote par la relaton [ -31 ]. Dans notre cas, le décalage donnant cette plus mauvase confguraton vaut : Mn ITCF 1 δ j = = = 0,036 [ -40 ] 18. Cp. α 18.1,47 j Les tolérances des composants sont calculées par la méthode de tolérancement nertel classque vsant un ntervalle de tolérance donné par la relaton [ -10 ] dans le cas partculer d ncdence drecte des composants et de répartton unforme des tolérances. Le tableau suvant résume les tolérances des composants. Composant 1 Composant Composant 3 Composant 4 Composant 5 Incdence α Fasablté β Tolérance I 0,075 0,075 0,075 0,075 0,075 Tableau - : Caractérstques et tolérances des composants garantssant la CF La fgure suvante est la représentaton des domanes de tolérance des composants dans le (δ,σ ), ans que la comparason du domane de la CF avec le domane résultant de l analyse des tolérances.

76 68 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Fgure - : Domane des tolérances nertelles garantssant le Cpk CF = 1, et analyse des tolérances Les caractérstques des composants δ et σ sont schématsées par un vecteur dont le décentrage est donné par la relaton [ -31 ] et la varance par l hypothèse de composants en lmte de tolérance. La plus mauvase confguraton de la résultante est représentée par la somme vectorelle des vecteurs caractérstques des composants. Remarques On se rend compte que la CF est respectée : le domane résultant de l analyse des tolérances des composants est nclus exactement dans le domane de la tolérance fonctonnelle. On conclut que la méthode est comparable au tolérancement tradtonnel au pre des cas en terme de respect de la CF. Ce qu dfférence l effcacté de ces deux méthodes concerne la parte non explotée. Dans le cas du tolérancement nertel, l ndce qualfant la parte explotée vaut R expl.. = 0,768, alors que la valeur de cet ndce dans le cas du tolérancement tradtonnel au pre des cas vaut R expl.. = 0,80. On constate que la plus mauvase confguraton est la confguraton pour laquelle la résultante de l assemblage est la plus mauvase en terme de respect de la CF. Avec cette méthode de tolérancement, on est capable de contrôler cette plus mauvase confguraton et de l mposer à la valeur chose, en l occurrence à la valeur de la CF défne c par un Cpk CF sur un IT CF. En résumé, la méthode nertelle paraît auss effcace que la méthode du "pre des cas" car elle garantt la CF dans toutes les confguratons. Par contre, elle autorse tros fos plus de varatons au fnal permettant de meux exploter le domane de tolérance de la CF Seconde condton fonctonnelle : IT CF = 1mm et Cpk CF = 1, Afn de montrer que la méthode est effcace pour garantr un IT CF assocé à toute valeur de l ndce Cpk CF, on chost d applquer à nouveau la méthode mas en changeant la CF. On sélectonne cette fos-c une CF exprmée par le même IT CF = 1mm mas en mposant un ndce de capablté Cpk CF = 1,. Avec cette nouvelle CF, l ndce de capablté à mposer sur les composants vaut :

77 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 69 n 5 CpCF = CpkCF + = 1, + = 1,413 [ -41 ] 9 9 Les tolérances nertelles des composants sont dentques à celles défnes précédemment par le tolérancement nertel classque vsant un IT CF. La plus mauvase confguraton est mantenant défne par le décentrage donné c dessous : Mn ITCF 1 δ j = = = 0,08 [ -4 ] 18. Cp. α 18.1,413 j La fgure suvante présente les domanes de tolérance des composants, ans que la comparason du nouveau domane de tolérance de la CF avec le domane résultant de l analyse des tolérances. Fgure -3 : Domane des tolérances nertelles garantssant le Cpk CF = 1,, et analyse des tolérances La fgure c-dessus présente la plus mauvase confguraton de l assemblage sur les composants et sur le domane de tolérance. Remarque Même pour une CF défne par un IT CF et un Cpk CF dfférent de 1, la méthode présentée est effcace et garantt le respect de la CF dans la plus mauvase confguraton. La méthode est donc effcace quelle que sot la valeur de l ndce Cpk CF à garantr sur la CF..3.4 Impossble d attendre la plus mauvase confguraton Il se peut que la plus mauvase confguraton du tolérancement nertel garantssant la CF ne sot pas attegnable. C est le cas lorsque la varaton maxmale d un composant est plus fable que le décalage qu défnt la plus mauvase confguraton. Ce cas peut être rencontré en foncton des valeurs des ndces de fasablté. En effet, ces derners ntervennent dans la défnton des tolérances nertelles mas pas dans celle des décentrages de la plus mauvase confguraton. A partr de la relaton [ -43 ] donnant la varablté maxmale des composants, et l équaton [ -31 ] défnssant le décentrage de la plus mauvase confguraton, on peut fare la comparason de la varablté avec le décentrage présentée par la relaton [ -44 ].

78 70 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Class Max I I = [ -43 ] Cp CF La plus mauvase confguraton ne peut être attente s la varaton permse est plus pette que le plus mauvas décentrage du composant, sot : Ce qu se tradut par : 6. Cp. β. IT Max I < δ [ -44 ] Mn < IT CF CF α Cp α. β 18.. [ -45 ] Ce qu peut s écrre : β. α < α. β 3. Cp [ -46 ] La plus mauvase confguraton ne peut donc être attente s au mons un composant de la chaîne respecte la condton défne par l équaton [ -46 ]. Dans un tel cas, le mnmum de l ndce résultant Cpk ass sera donc supéreur au Cpk CF. La CF sera donc respectée mas le tolérancement peut être qualfé de sur-contrant. On ne peut cependant, ren conclure actuellement sur la nouvelle "plus mauvase" confguraton, les cas sont multples. On peut seulement dre que la méthode proposée pour garantr la CF est toujours valable Le cas d applcaton : une répartton non unforme des tolérances Dans cette applcaton, on décde de tolérancer les composants avec une répartton non unforme des tolérances. Le tableau suvant regroupe les caractérstques des composants, coeffcents d ncdence dans la chaîne de cote et ndce de fasablté, ans que les tolérances de chaque composant. La CF est dentque au cas précédent (IT CF = 1mm et Cpk CF = 1), de ce fat l ndce Cp garantssant la CF est auss dentque (Cp CF = 1,47). Composant 1 Composant Composant 3 Composant 4 Composant 5 Incdence α ,1-1 1 Fasablté β Tolérance I 0,16 0,063 0,063 0,063 0,063 Tableau -3 : Caractérstque des composants et tolérances On se rend compte que le composant 3 se trouve dans le cas où la tolérance est plus pette que le décentrage de la plus mauvase confguraton. En effet, l vérfe la relaton donnée par [ -46 ] : α. β β 3. α 3 < 0,1 < 0, Cp [ -47 ]

79 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 71 Dans ce cas, comme le décentrage de la plus mauvase confguraton ne peut être attent par ce composant, son décentrage est maxmal et la dsperson est nulle. La fgure -4 suvante montre les dfférents domanes de tolérance des composants, on retrouve ben deux domanes de talles dfférentes détermnées par les ndces de fasablté β des composants. On présente auss la comparason du domane de tolérance de la CF avec le domane résultant de l analyse des tolérances. Fgure -4 : Domane des tolérances nertelles garantssant un Cpk CF = 1, et analyse des tolérances Cette dernère fgure présente la plus mauvase confguraton sur les composants et sur le domane de tolérance. On se rend ben compte que le domane résultant du tolérancement n attent pas le domane CF. Dans ce cas, le tolérancement garantt toujours le respect de la CF, on peut même dre que le tolérancement est trop sévère. Remarque Quelle que sot la répartton des tolérances, la méthode proposée garantt le respect de la CF. Dans certans cas, le tolérancement proposé est même trop sévère, ce qu permettrat d élargr les tolérances. Afn de garantr tout juste la CF, on peut envsager d élargr les tolérances des composants. CONCLUSION INTERMEDIAIRE Cette parte est un pas mportant dans le développement du tolérancement nertel. Elle montre l ntérêt et l effcacté de la méthode pour le tolérancement de chaîne de cote 1D dont la CF est défne par un IT. En effet, le tolérancement nertel n est pas unquement applcable à une CF défne par une nerte mas auss par un ntervalle de tolérance. De plus, cette méthode statstque de tolérancement est capable de garantr une CF défne par un ndce Cpk CF. Son utlsaton nécesste alors la smple utlsaton d un seul ndce de capablté sur les composants, l ndce nertel Cp, dont la valeur est calculée en foncton de la CF.

80 7 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 3 Garantr une CF exprmée par un IT CF et un TNC CF maxmum OBJECTIF DE CETTE PARTIE Nous avons proposé dans la parte de ce chaptre, une méthode garantssant une CF défne par un ntervalle de tolérance (IT CF ) et un ndce de capablté Cpk qualfant cet ntervalle (Cpk CF ). Cette parte a pour objectf d applquer cette méthode de tolérancement nertel pour garantr une CF toujours défne par un IT CF mas qualfée cette fos c par un Taux de Non Conformté (TNC CF ). Le développement de cette parte sut la démarche suvante : dans un premer temps, on défnt le domane de la tolérance fonctonnelle défnt par un IT CF et un TNC CF pour une dstrbuton normale du lot, dans un second temps, on chost un len entre l ndce Cpk et le TNC de la lo normale pour défnr une soluton permettant de garantr la CF, on propose ensute une soluton permettant de garantr une CF défne par un IT CF et un TNC CF, enfn, la méthode est applquée sur l exemple de l assemblage de cnq composants. 3.1 Le domane de tolérance défn par un TNC CF assocé à un IT CF On a démonté l ntérêt du tolérancement nertel pour garantr un IT CF. Mas l expresson d une CF, surtout en tolérancement statstque, se caractérse auss par un TNC à respecter sur un ntervalle de tolérance, le TNC CF. Plus fréquente, cette expresson de la CF tradut la volonté du concepteur d utlser une méthode statstque de tolérancement. Pour assocer un domane de tolérance à une CF défne par un TNC CF, l faut fare le chox d une lo de dstrbuton. Par défaut, on chost la lo normale pour deux rasons prncpales : La lo est symétrque, donc la répartton des TNC est dentque des deux cotés. On s attend fnalement à obtenr un domane de tolérance symétrque tout comme le domane de tolérance donné par l ndce Cpk CF ou le domane résultant de l analyse des tolérances. Le théorème central lmte ndque que la résultante d un assemblage de lo quelconque tend vers une lo normale Domane de tolérance d un TNC CF sur un IT CF Dans notre applcaton, on chost de défnr le domane de tolérance d un TNC sur un IT assocé à la lo de dstrbuton normale. Le TNC est calculé par l ntégrale de la probablté de densté de la lo normale. Il est donc mpossble d exprmer de façon analytque l écart-type en foncton du TNC et du décentrage. Le domane de tolérance est donc détermné numérquement. La fgure suvante montre les domanes d acceptaton pour dfférentes valeurs de TNC CF sur un même IT CF. En complément du domane TNC CF, on trace le domane Cpk assocé au TNC du cas décentré (lmte nféreure foncton du Cpk) défnt par la relaton [ 1-30 ] donnée par [Boyles, 1991].

81 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 73 Fgure -5 : Les domanes de tolérance des TNC CF La fgure précédente montre la comparason des deux types de domanes CF. On remarque que les formes des domanes TNC CF sont smlares aux domanes Cpk CF : en confguraton décentrée, les deux domanes sont strctement égaux, en confguraton centrée ou proche de la cble, le domane TNC CF est plus restrctf que le domane Cpk CF. Remarque On se rend compte que le domane de tolérance défn par un TNC CF ou un ndce de capablté Cpk CF sont très smlares, en partculer dans les cas décentrés où les domanes sont dentques. On décde donc d utlser le len entre l ndce de capablté Cpk et TNC pour développer la sute de cette parte Garantr un TNC Max grâce au Cpk de la plus mauvase confguraton [Boyles, 1991] présente deux relatons qu lent le TNC d un lot en foncton du Cpk du lot pour une dstrbuton normale des composants. Il met en évdence l exstence de deux bornes délmtant le TNC d un lot à ndce Cpk constant. Avec ce qu on a pu constater sur la méthode proposée de tolérancement nertel garantssant le respect d un ndce Cpk CF sur l IT CF, la plus mauvase confguraton est une combnason de confguraton décentrée des composants. La résultante est donc auss décentrée. On peut donc s attendre à ce que le TNC attent par la plus mauvase confguraton sot défn par le Cpk d un lot décentré. On s ntéresse donc unquement au len entre le Cpk et la borne nféreure du TNC rappelée c-dessous : TNC Inf 6 ( 1 Φ( 3. Cpk) ).. = 10 [ -48 ] On vent de chosr la relaton qu fat le len entre la méthode de tolérancement proposée précédemment pour garantr un Cpk CF sur un IT CF et la nouvelle méthode qu on cherche à mettre en place garantssant un TNC CF sur un IT CF.

82 74 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Grâce à la relaton précédente lant le TNC au Cpk dans la confguraton décentrée du lot, on décde d utlser la méthode précédente de tolérancement garantssant le respect de l ndce Cpk de la résultante de l assemblage pour garantr un TNC. De cette relaton, on peut exprmer la valeur de l ndce Cpk CF à garantr en vue de respecter le TNC CF sur l assemblage : Cpk CF Φ = 1 TNC CF [ -49 ] On a donc le len permettant de défnr une CF équvalente à celle demandée, et ans détermner l ndce de capablté Cp à mposer sur les tolérances nertelles des composants dans le but de garantr un TNC CF sur l IT CF,. La méthode que nous proposons c, a pour but de garantr une CF défne par un IT CF et un TNC CF par le tolérancement nertel. Les tolérances sont calculées par la méthode classque vsant un IT CF sous l hypothèse de répartton aléatore des moyennes. Quant à l ndce de capablté Cp à mposer sur les composants pour garantr cette CF, l se calcule par l ntermédare de l ndce de capablté équvalent à la CF donné c dessus par la relaton [ -49 ] Le cas d applcaton Une condton fonctonnelle: IT CF = 1mm et TNC CF = 300ppm On applque la méthode au cas d applcaton traté par les dfférentes méthodes de tolérancement et présenté par la fgure fgure 1-1. Ce cas d applcaton est un assemblage de n = 5 composants. La CF est donnée par l ntervalle de tolérance IT CF = 1 mm, et le taux de non-conformté à garantr TNC CF = 300ppm. Dans une premère phase, on calcule l ndce de capablté Cpk CF équvalent à cette condton fonctonnelle. Cpk CF Φ = = 1,144 3 [ -50 ] Dans ces condtons, l ndce de capablté Cp CF à mposer sur les composants est donné par la relaton suvante : n 5 CpCF = CpkCF + = 1,144 + = 1,365 [ -51 ] 9 9 Dans notre cas, le décalage donnant cette plus mauvase confguraton vaut : Mn ITCF 1 δ j = = = 0,04 [ -5 ] 18. Cp. α 18.1,144 j Les tolérances des composants sont calculées par la méthode de tolérancement nertel classque vsant un ntervalle de tolérance. Les tolérances des composants sont les mêmes que pour les autres cas d applcaton, seul change l ndce de capablté Cp à mposer sur les composants, c est l ntérêt de cette méthode. La fgure suvante présente les domanes de tolérance des composants, ans que la comparason du domane de la CF avec le domane résultant de l analyse des tolérances.

83 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 75 Fgure -6 : Domanes des tolérances nertelles garantssant un TNC CF, et analyse des tolérances La fgure c-dessus présente la plus mauvase confguraton de l assemblage sur les composants et sur le domane de tolérance. On se rend compte que la CF est ben respectée, le domane résultant de l analyse des tolérances des composants est nclus dans le domane de la CF. On admet qu l exste des réparttons de tolérances qu ne permettent pas d attendre la plus mauvase confguraton comme cté précédemment avec la CF défne par un Cpk CF. CONCLUSION INTERMEDIAIRE La méthode de tolérancement 1D que l on propose est une méthode de tolérancement statstque capable de garantr un TNC sur la résultante de l assemblage. Ben que le tolérancement statstque sous-entend qu on prend des rsques sur la CF, ou que la méthode est effcace sous certanes hypothèses dont le centrage des composants, la méthode que l on propose garantt la CF dans toutes les confguratons possbles de la résultante, y comprs la plus mauvase confguraton où la CF est juste respectée. 3. Comparason des méthodes de tolérancements Cette parte trate de la comparason des varabltés permse sur les composants par les approches tradtonnelle de tolérancement et notre approche garantssant la CF Comparason des écarts-types maxmums autorsés [Radouan, 003] propose une estmaton du gan entre les tolérancements tradtonnelle par ntervalle de tolérance sous l hypothèse statstques et pre des cas. Pour comparer les dfférentes méthodes de tolérancement, on consdère des lots centrés et dspersé dont l ndce de capablté Cp = 1. Cela équvaut à consdéré sx écarts-types dans un ntervalle de tolérance, ou un écart-type égale à une nerte. Ans pour les dfférentes approches on a : au pre des cas : en statstque : IT CF σ Max pc = [ -53 ] 6. n

84 76 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal en nertel classque : IT CF σ Max st = [ -54 ] 6. n en nertel ajusté, avec IT CF σ Max c = [ -55 ] 6. n Cp = 1+ n 9 IT CF σ Max a = [ -56 ]. 9. n + n Avec une étude de lmte, on constate que le tolérancement nertel ajusté offre un écart-type tros fos plus large que celu du tolérancement tradtonnel au pre des cas. Fgure -7 : Comparason des écarts-types maxmums des dfférentes approches de tolérancement 3.. Comparason des décentrages maxmums autorsés On consdère mantenant que les écarts-types sont nuls et que les décentrages sont maxmums, défns par la tolérance. Ans pour les dfférentes approches on a : au pre des cas :

85 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 77 IT CF δ Max pc = [ -57 ]. n en statstque : en nertel classque : IT CF δ Max st = [ -58 ]. n en nertel ajusté, avec IT CF δ Max c = [ -59 ] 6. n Cp = 1+ n 9 IT CF δ Max a = [ -60 ]. 9. n + n Avec une étude de lmte, on constate que le tolérancement nertel ajusté offre un décentrage égale à celu du tolérancement tradtonnel au pre des cas. Fgure -8 : Comparason des décentrages maxmums des dfférentes approches de tolérancement

86 78 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 3..3 Comparason grâce au graphe (δ,σ ) Nous présentons c un blan des comparasons des approches de tolérancement sur le cas d assemblage de 5 composants. On obtent le tableau suvant : R epxl. R HCF R MC HCF Pre des cas 0, Statstque 1 0,680 0,148 Statstque augmenté 0,41 0,33 0 Inertel classque 0,980 0,34 0,018 Inertel ajusté 0, Tableau -4 : Comparason des approches de tolérancement CONCLUSION INTERMEDIAIRE En observant les résultats de la comparason du tolérancement tradtonnel au pre des cas et du tolérancement nertel, on constate que lorsque le nombre de composants crot : le décentrage maxmal de l nertel ajusté tend vers celu du pre des cas, alors que l écart-type de l nertel ajusté tend vers tros fos celu du pre des cas. On remarque donc que le tolérancement nertel ajusté tend vers le tolérancement au pre des cas mas en offrant tros fos de dsperson dans le cas centré. On peut donc dre que le tolérancement nertel ajusté est une méthode statstque permettant de garantr "au pre des cas" la CF de l assemblage. Le tableau -4 permet de constater que le tolérancement nertel ajusté est le comproms entre tolérancement au pre des cas, offrant un R HCF = 0 donc statstquement aucun rsque d être hors de la CF, et le tolérancement statstque offrant la melleure explotaton du domane résultant. CONCLUSION DE LA PARTIE Le pont mportant de cette parte est l dentfcaton de la confguraton des composants qu donne la plus mauvase confguraton de la résultante de l assemblage. Cette confguraton est clarement dentfée en foncton de l ndce Cp des composants et de l IT CF. L utlsaton de cette proprété est utlsée pour la synthèse de tolérance. En effet, en applcaton sur les tolérances nertelles classques I, on calcule l ndce Cp qu garantt la CF. Pour autant, cette proprété peut être utlsée dans une phase d analyse de tolérance pour calculer la CF garante en foncton des tolérances I et de l ndce Cp. Nous avons auss ms en évdence une condton qu permet de tester s cette plus mauvase confguraton peut être attente. Cependant, l reste un pont obscur : celu de l explotaton de la marge de tolérance restante pour augmenter les tolérances I tout en garantssant la CF en une confguraton crtque. En outre, on ne sat pas encore évaluer le rsque prs lorsque le tolérancement ne garantt pas parfatement la CF. Ce derner pont est une perspectve qu sera tratée dans la parte 4.

87 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 79 4 Garantr la CF en consdérant les décentrages aléatores des composants OBJECTIF DE CETTE PARTIE La méthode proposée c-dessus permet de garantr la CF de l assemblage dans toutes les confguratons, y comprs la plus mauvase confguraton. On peut se poser la queston de l occurrence de cette plus mauvase confguraton qu restrent les tolérances des composants. Est-l possble de prendre un rsque qu serat maîtrsé tout en garantssant la CF dans la majorté des cas? Cette parte a pour but de proposer une soluton de tolérancement qu fat le comproms entre garantr la CF de l assemblage et élargr les tolérances des composants. La réflexon se déroule en deux étapes : Dans un premer temps, on estme la répartton des assemblages résultants grâce à des smulatons de Monte Carlo. Deux modèles sont présentés : - l un est une répartton unforme des composants dans le domane de tolérance comme présenté dans le précédent chaptre, - l autre consdère des composants en lmte de tolérance nertelle unformément réparts sur la lmte du domane de tolérance. Dans un second temps, on propose une méthode permettant de façon smple d élargr les tolérances des composants tout en garantssant la CF dans la majorté des cas. On propose auss des abaques basés sur les résultats des smulatons permettant de chosr l ndce Cp à mposer sur les composants en foncton de la CF et d un rsque consdéré. 4.1 Répartton des assemblages par smulaton de Monte Carlo La méthode d analyse du tolérancement basée sur la smulaton de Monte Carlo va nous permettre d évaluer la répartton des assemblages en foncton du nombre de composants dans la chaîne de cote Hypothèses Chox d une confguraton partculère Afn de rédure le nombre de smulatons à effectuer, on chost de consdérer le cas partculer d une ncdence drecte pour tous les composants de la chaîne de cote (α = 1), ans qu une répartton unforme des tolérances des composants (β = 1). Comme pour l analyse des tolérances par la somme de Mnkowsk, certanes confguratons de tolérancement (α et β ) ne permettent pas d attendre la plus mauvase confguraton. On se doute que les résultats ne seront pas dentques en consdérant une répartton non homogène des tolérances ou des ncdences non toutes drectes Indépendance du chox de l IT CF L ntervalle de tolérance de la CF, IT CF, n est pas un paramètre que l on fat varer dans les smulatons. D après leurs défntons, les caractérstques des composants donnant la plus mauvase confguraton sont proportonnelles à l ntervalle de tolérance IT CF. Une varaton de l IT CF consste donc à fare une homothéte des domanes, et ne devrat donc pas nfluer sur les résultats des smulatons de MC.

88 80 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 4.1. Smulatons d assemblage de composants dans leurs domanes de tolérance On a vu que les méthodes de tolérancement garantssant une CF défne par un Cpk CF ou un TNC CF sont dentques. Par conséquent on utlse le résultat d une smulaton pour étuder les réparttons des assemblages suvant les deux crtères : l ndce de capablté Cpk ass et le taux de non-conformté TNC ass de l assemblage résultant. Par conséquent, on chost d mposer la même CF à tous les assemblages. Les tolérances des composants I ans que les ndces de capablté Cp sont calculés dans le but de respecter la CF. Les études de la répartton des assemblages résultants par la méthode de Monte Carlo ont pour objet : l effcacté de la méthode qu garantt ben les dfférentes CF, mas auss la sévérté de la plus mauvase confguraton par rapport à la combnason aléatore des décentrages. L dée est de smuler des assemblages avec un nombre crossant de composants dans la chaîne de cote. On peut ans montrer que la compensaton due au décentrage aléatore des composants est ben crossante avec le nombre de composants Une CF défne par un Cpk CF = 1, ou un TNC CF = 1350 ppm Nous consdèrerons le cas courant où le concepteur ne spécfe qu un ntervalle de tolérance IT CF comme condton fonctonnelle. La CF est donc exprmée par un ndce de capablté Cpk CF = 1, ce qu équvaut dans le cas décentré à un taux de non-conformté TNC CF = 1350 ppm. Observaton des smulatons Les analyses de la méthode de tolérancement que nous proposons pour garantr cette CF donne les graphes suvants, sur lesquels on observe un centrage des assemblages résultants. Fgure -9 : Légende des fgures suvantes Fgure -10 : Smulaton d assemblage de composants

89 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 81 Fgure -11 : Smulaton d assemblage de 3 composants Remarque L applcaton de la méthode est justfée pour des assemblages de deux ou tros composants dans la chaîne de cote. En effet, la plus mauvase confguraton donnant un TNC ass maxmum égal au TNC CF, ou un Cpk ass mnmum égal au Cpk CF, est rencontrée dans les smulatons que l on présente. Fgure -1 : Smulaton d assemblage de 4 composants Fgure -13 : Smulaton d assemblage de 5 composants

90 8 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Fgure -14 : Smulaton d assemblage de 6 composants Fgure -15 : Smulaton d assemblage de 7 composants Fgure -16 : Smulaton d assemblage de 8 composants Fgure -17 : Smulaton d assemblage de 9 composants

91 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 83 Fgure -18 : Smulaton d assemblage de 10 composants Remarques On constate que le domane résultant de la somme de Mnkowsk respecte ben les deux CF défnes par un Cpk CF ou un TNC CF, et cec quel que sot le nombre de composants dans la chaîne de cote. Le domane résultant a tendance à s aplatr, provoquant l augmentaton du décentrage maxmum résultant tout en dmnuant l écart-type maxmum résultant. On peut penser que la méthode de tolérancement tend vers le tolérancement tradtonnel au pre des cas pour lequel le décentrage maxmal résultant égale le décentrage maxmal admssble. L observaton des résultats des smulatons de Monte Carlo confrme ce qu on attendat sur le comportement des assemblages résultants, à savor un centrage crossant des assemblages en augmentant le nombre de composants dans la chaîne de cote. Et donc une forte et rapde basse de l occurrence de la plus mauvase confguraton sous l hypothèse chose de répartton unforme dans le domane de tolérances des composants. Analyse des résultats de cette premère smulaton Pour nterpréter les smulatons présentées c-dessus, on propose de suvre l évoluton du taux de non-conformté TNC ass et de l ndce de capablté Cpk ass en foncton du nombre de composants dans la chaîne de cote. On décde d étuder l évoluton des caractérstques des assemblages, TNC ass et Cpk ass, en foncton du pourcentage de composant respectant cette valeur de caractérstque, c est à dre qu on observe l évoluton des caractérstques pour x% des assemblages smulés résultants. La noton de x% des assemblages résultants respectant la caractérstque, un TNC ass ou Cpk ass, ne correspond pas à un taux de non-conformté mas plutôt à une occurrence de l assemblage en foncton d une stuaton ntale défne par la CF. En se basant sur les résultats-c dessous, pour un assemblage de cnq composants dont la CF est défne par un Cpk CF = 1, on peut prédre que dans 90% des cas, l ndce de capablté résultants Cpk ass ne sera pas nféreur à Cpk ass 90% = 1,4.

92 84 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Fgure -19 : Analyse des résultats pour une CF : Cpk CF = Une CF défne par un Cpk CF = 1,16, ou un TNC CF = 50 ppm On ne présente pas c l observaton des résultats de la smulaton, qu sont smlares à ceux de la premère CF, mas on se contente smplement de décrre l analyse des résultats des caractérstques en foncton du pourcentage de cas consdérés. Les analyses suvantes présentent les résultats des smulatons garantssant une CF défne par un Cpk CF = 1,16, ou un TNC CF = 50ppm. Fgure -0 : Analyse des résultats pour une CF : Cpk CF = 1, Une CF défne par un Cpk CF = 1,33, ou un TNC CF = 33ppm On présente c une trosème analyse de tolérancement garantssant un Cpk CF = 1,33, sot un TNC CF = 33ppm.

93 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 85 Fgure -1 : Analyse des résultats pour une CF : Cpk CF = 1,33 CONCLUSION INTERMEDIAIRE Les résultats des smulatons c-dessus montrent ben que la méthode est effcace, la CF est constamment respectée. En revanche, on met en évdence que le tolérancement proposé est d autant plus sévère, que le nombre de composants est crossant. On a prs en compte l aspect statstque pour deux rasons : la combnason des décentrages aléatores, les composants ne sont pas tous en lmtes de capablté. Néanmons, on peut trouver les résultats des smulatons un peu trop optmstes. En effet, la plus mauvase confguraton n est jamas attente même pour un assemblage de deux composants. De ce fat, on remet en cause le chox d une dstrbuton unforme dans le domane de tolérance. On propose alors le même type de smulaton mas en consdérant des composants en lmte de tolérances unquement Smulaton d assemblage de composants en lmte de leurs domanes de tolérance Le modèle de smulaton précédent consdère que les composants sont unformément réparts dans le domane de tolérance. Par conséquent, de nombreux lots de composants sont lon de la lmte de tolérance, ce qu a pour effet de dmnuer grandement le rsque de se trouver dans la plus mauvase confguraton. Cette parte présente un modèle de smulaton plus pessmste que précédemment. En effet, dans cette parte, on consdère que les composants sont en lmte de conformté, ce qu consste à trer des lots de composants unquement sur la lmte du domane de tolérance. On retrouve donc l hypothèse de composants en lmte de capablté nertelle qu a serv à détermner la méthode de tolérancement Une CF défne par un Cpk CF = 1 ou un TNC CF = 1350 ppm Comme précédemment, avec l hypothèse de lots unformément réparts dans le domane de tolérance, la premère smulaton est fate sur une CF garantssant juste l ntervalle de tolérance IT CF, c est à dre en consdérant un ndce de capablté Cpk CF = 1, ce qu équvaut à garantr un taux de non conformté TNC CF = 1350 ppm. Les fgures suvantes présentent les résultats des smulatons pour dfférents nombres de composants dans la chaîne de cote.

94 86 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Observaton des smulatons Fgure - : Smulaton d assemblage de composants Fgure -3 : Smulaton d assemblage de 3 composants Fgure -4 : Smulaton d assemblage de 4 composants Remarques Les formes en arcade que l on observe sont dues au fat que certanes confguratons de lot ne sont pas explotées. On retrouve alors la forme des balayages des domanes pour le calcul de la somme de Mnkowsk. En effet, les composants sont en lmte de capablté, donc sur le domane de tolérance. Cela explque pourquo l assemblage de composants se trouve sur le balayage des domanes. La répartton des assemblages résultants dans le domane de tolérance peut explquer la répartton des taux de non conformté résultants TNC ass, notamment les pcs que l on observe pour les assemblages de deux et tros composants.

95 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 87 Fgure -5 : Smulaton d assemblage de 5 composants Fgure -6 : Smulaton d assemblage de 6 composants Fgure -7 : Smulaton d assemblage de 7 composants Fgure -8 : Smulaton d assemblage de 8 composants

96 88 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Fgure -9 : Smulaton d assemblage de 9 composants Fgure -30 : Smulaton d assemblage de 10 composants Analyse des résultats de cette premère smulaton Comme pour les smulatons précédentes supposant une répartton unforme des tolérances, on analyse les réparttons des caractérstques résultantes, Cpk ass et TNC ass, en foncton de leur occurrence x%. Fgure -31 : Analyse des résultats pour une CF : Cpk CF = 1

97 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF Une CF défne par un Cpk CF = 1,16 ou un TNC CF = 50 ppm Les smulatons donnent des résultats smlares en terme de répartton des assemblages dans le domane de tolérance. On se contente de présenter les résultats des analyses des caractérstques résultantes Cpk ass et TNC ass en foncton de leurs occurrences. Fgure -3 : Analyse des résultats pour une CF : Cpk CF = 1, Une CF défne par un Cpk CF = 1,33 ou un TNC CF = 33ppm On présente c les résultats d une trosème smulaton de Monte Carlo pour l analyse d un tolérancement dont le but est de garantr une CF défne par un Cpk CF = 1,33, ce qu équvaut à garantr un TNC CF = 33ppm. Fgure -33 : Analyse des résultats pour une CF : CpkCF = 1,33

98 90 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Remarque On se rend compte que pour un assemblage de deux composants, l ndce de capablté résultant Cpk ass respecte ben la CF défne par un Cpk CF, ce qu nous conforte dans l effcacté de la méthode. Par contre, le taux de non-conformté résultant TNC ass excède légèrement la CF défne par un TNC CF, cette remarque est dscutée dans [Adragna et al 007 a]. Cec est dû au fat que la plus mauvase confguraton sur la résultante est relatvement centrée, d où un TNC ass comprs entre la lmte nféreure et la lmte supéreure du TNC à Cpk constant. CONCLUSION INTERMEDIAIRE En observant la courbe d évoluton des ndces de capablté Cpk ass, on peut constater que la valeur maxmale observée pour 100% des cas est proche de la lmte défne par la CF, Cpk CF. Cette même observaton sur les TNC ass montre que jusqu à 5 composants dans la chaîne de cote l est possble d obtenr des assemblages à la lmte de la CF. De ce fat, cette hypothèse de composants en lmte de tolérance permet de se rendre compte de l effcacté de notre méthode de tolérancement. Il ressort de ces smulatons que pour mons de sx composants dans la chaîne de cote, la méthode de tolérancement garantssant la CF dans toutes les confguratons est fondée. Toutefos en consdérant qu un rsque de 1% de ne pas respecter la CF, l serat potentellement possble d élargr les tolérances des composants. Cette perspectve est traté dans la parte suvante. 4. Tolérancement nertel avec des rsques 4..1 Dfférentes approches possbles de modélsaton du rsque Afn de caractérser le rsque nous proposons l utlsaton de dfférentes permettant de modélser les résultats des smulatons. Une fos les évolutons des TNC ass ou Cpk ass modélsés, nous sommes alors capables d estmer la valeur élarge de la CF afn de garantr la vrae CF en consdérant un rsque Comportement des ndces de capablté résultant Cpkass En observant l analyse des ndces de capablté résultants Cpk ass, on constate que leurs évolutons sont globalement lnéarement crossantes. De plus cette remarque est valable sous les deux hypothèses consdérées, des composants aléatorement réparts dans leurs tolérances et des composants en lmtes de tolérance. Par conséquent on peut proposer des modèles smples de comportement des ndces de capablté résultants en foncton de l occurrence voulue x%. On pourrat noter alors : ( Cpk, x% ) x% Cpkass = f CF [ -61 ] A cette relaton on pourrat même ajouter un trosème crtère qu serat le type d hypothèse consdérée. Or autour de cnq et sx composants, sous l hypothèse de composants en lmte de tolérance, on observe un changement de pente dans les varatons de certanes occurrences. De ce fat on peut envsager une approxmaton affne par morceau, [Zhang et al, 006], permettant une melleure approxmaton des courbes.

99 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF Comportement du taux de non-conformté résultant TNC ass La caractérsaton des TNC ass n est pas auss smple que celle des Cpk ass car une approxmaton affne n est pas le modèle qu convent. On peut se pencher sur un comportement en exponentel décrossante. Ans dans [Adragna et al, 007 a], nous proposons une modélsaton du TNC moyen et du TNC médan, que l on note respectvement TNC µ et TNC 50%. Par exemple, sous l hypothèse de composants en lmte de capablté, le TNC médan peut être estmé par : TNC 0,5 n. TNC 50 % = CF [ -6 ] Le TNC moyen sous la même hypothèse peut être estmé quant à lu par : TNC = 0,6 n. TNC µ CF [ -63 ] Ben sûr d autres modèles meux approprés et plus fdèles peuvent être proposés. Cependant, nous ne poussons pas plus lon la recherche de modèle Proposton d abaques Fgure -34 : Exemple d abaque pour un TNC CF = 00ppm

100 9 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Une autre soluton permettant de caractérser les résultats obtenus par les smulatons de MC est de représenter les dfférentes confguratons dans un abaque. Nous présentons le résultat d une telle démarche dans la fgure -34. L abaque que nous montrons trate la méthode pour respecter un TNC CF = 00ppm sous l hypothèse de composants en lmte de tolérance. Cependant, une telle approche nécesste un nombre mportant de smulaton et le développement d un abaque pour chaque valeur de CF (TNC CF ou Cpk CF ). De ce fat nous consdérons que cette approche utlsée de manère tradtonnelle sur feulle paper n est pas optmale. Néanmons la méthode est ntéressante et nous pouvons envsager une nformatsaton de ces abaques permettant de les générer automatquement quelle que sot la CF. 4.. Une estmaton statstque du rsque Fnalement nous proposons une approche smple de l estmaton du rsque de rencontrer la pre confguraton. On suppose que la pre confguraton est défne par la combnason des décentrages du même coté. De ce fat, chaque composant a une chance sur deux se trouver du coté de la plus mauvase confguraton. Ans pour un système assemblé comportant n composants dans sa chaîne de cote, on consdère que l occurrence de la plus mauvase confguraton est donnée par : P 0, 5 % n = [ -64 ] Alors le TNC ass obtenu sur la résultante de l assemblage en foncton du TNC CF et du nombre de composants est donné par : n TNC ass 0,5. = TNC [ -65 ] Or ce résultat est le même que l estmaton du TNC médan, TNC 50%, sous l hypothèse de composants en lmte de tolérance. On en conclut que cette estmaton du TNC ass résultants calculée par deux approches dfférentes est correcte. CF

101 Chaptre : Tolérancement nertel 1D garantssant une CF 93 5 Concluson du chaptre Le tolérancement nertel 1D est une méthode effcace de synthèse de tolérancement dans le but de garantr l assemblage et la foncton du produt fnal. On vent de démontrer dans ce chaptre que cette approche de tolérancement 1D permet le respect de la condton fonctonnelle. La méthode que nous proposons, grâce à la smple utlsaton d un seul ndce de capablté Cp, garantt la CF dans toutes les confguratons possbles y comprs la plus mauvase confguraton. La méthode est une sorte de tolérancement statstque garantssant la CF en statstque au «pre des cas», sous l hypothèse de varable ndépendante. Qu dt tolérancement statstque suppose répartton aléatore des décentrages des composants, et donc un fable rsque de se retrouver dans la plus mauvase confguraton d assemblage des composants. Ce second aspect du tolérancement a été prs en consdératon avec l ntégraton d une noton de prse de rsque dans la garante de la Condton Fonctonnelle. Présenté par une lo généralsée ou sous forme d abaque, on fat le chox des ndces de capablté Cp à mposer sur les composants en vue de garantr la CF en prenant en compte un rsque maîtrsé de dépasser cette CF. Seul l aspect concepton du tolérancement nertel a été abordé c, mas d autres aspect du cycle de ve du produt sont tratés sur le tolérancement nertel tels que le plotage en producton [Pllet et al, 007], le contrôle de lot en récepton [Pllet et al, 005] et [Pllet et al, 006 a] ans que le tr en cas de lot non conforme [Pllet et al, 006 b]. Des démarches de concepton ont auss été menées dans le cas des mcro-systèmes [Bourgeos et al, 005]. On peut donc consdérer que le tolérancement nertel n est pas seulement une vson de l esprt mas une méthode qu est suffsamment développée pour être applcable dans le mleu ndustrel. C est d alleurs le rôle d une thèse commencée fn 006 dans le cadre du Pole de Compéttvté Arve Industres et réalsée par Dmtr Dénmal.

102

103 95 Chaptre 3 Chaptre 3 Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage OBJECTIF DU CHAPITRE L objectf de ce chaptre est d étendre le tolérancement nertel au 3D et à l analyse de forme. Pour attendre cet objectf, nous présentons le paramétrage modal des formes, appelé "méthode modale". Il s agt d une méthode générque de caractérsaton des écarts de forme. Nous explquons le chemnement réalsé pour fare évoluer cette méthode d analyse de forme, et proposer une approche d analyse des défauts d assemblages. Ce chaptre se décompose en quatre partes : Une premère parte bblographque résume dfférentes méthodes de tolérancement 3D et d analyse des écarts de forme. Quelques méthodes de tolérancement 3D ou d analyse d écart de forme sont légèrement détallée car elles parassent proches de notre proposton ou elles permettent de fare une comparason avec nos travaux. La seconde parte présente la méthode modale naturelle. On défnt ans la termnologe assocée à cette approche ans qu un cas d applcaton smple sur un profl poutre. Ce cas d exemple sert à llustrer l évoluton de la caractérsaton modale présentée dans la trosème parte. La trosème parte trate des évolutons apportées à la méthode. Les évolutons concernent le résdu de la descrpton, une sgnfcaton métrque de la caractérsaton et l ntroducton de défauts complémentare dans la base des défauts naturels. Le cas d exemple est de la parte précédente est traté pour comparer l effet de des évolutons de la méthode. La quatrème et dernère parte aborde l assemblage des composants d un système. L objectf est de fare évoluer la méthode de caractérsaton des écarts d une géométre vers l analyse d assemblage avec défauts de forme. Un premer pont trate la caractérsaton des défauts d accostage, et un second pont présente l assemblage de composants selon deux crtères : sur les surfaces assocées ou sur les écarts de forme.

104 96 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal PROBLEMATIQUES ABORDEES Les évolutons apportées à la méthode modale, que l on présente dans la seconde parte de ce chaptre, ont été en parte sollctées par des problématques ndustrelles. En effet, les collaboratons ndustrelles dans le cadre du projet Interreg IIIA, ont fat apparaître des problématques communes sur deux applcatons dfférentes : Un tror de dstrbuteur hydraulque : la forme est lée à une condton d assemblage et un débt de fute entre tror et chemse Problématque d affleurement Problématque de jeu Un capot plastque : la forme est lée à une condton d accostage et une condton d aspect Les problématques communes que l on a pu dentfer sur ces deux sujets sont : L dentfcaton et la maîtrse de la forme (traté dans ce chaptre), La qualfcaton statstque d un lot (traté dans le chaptre 4).

105 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 97 Glossare : B base modale (n,m) contenant les m vecteurs modaux, E F1A Ecart de forme de la surface 1A, dû au postonnement avec défaut de forme EGRM Elément Géométrque de Référence Mnmum E A Ecart de la surface A du composant 1 par rapport à la confguraton déale E pa1 Ecart dû au postonnement du composant sur le composant 1 E r1a Ecart rgde de la surface 1A, du au postonnement sur la surface assocée J 1A Jeu entre les composants 1 et par les surfaces A (1A et A) J c1a Jeu de contact, correspond au défaut d orentaton de postonnement J m1a Jeu de moblté entre les surfaces 1A et A MAP MAntent en Poston (effort) Q vecteur modal (n,1) décrvant la forme d un défaut modal, R(m) vecteur résdu (n,1) de caractérsaton de la méthode modale avec m modes r(m) résdu scalare de la descrpton par la méthode modale avec m modes R A Repère assocée à la surface A de la pèce r L/F Rato de la longueur (L) de la géométre sur l ampltude du défaut de forme (F) SATT Surfaces Assocées Technologquement et Topologquement T vecteur écart (n,1) de forme à analyser, V Vecteur défaut de forme mesuré Λ 1A Sgnature modale de la surface A du composant 1 Λ 1A Sgnature modale de l écart entre les surfaces 1A et A Λ vecteur (m,1) sgnature modale de l écart de forme dans la base modale, λ coeffcent modal de l nfluence du mode, ρ(p,m) effcacté de descrpton modale de p modes à m modes

106 98 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 1 Tolérancement 3D et analyse de forme : un blan non exhaustf Le but de nos travaux de recherche n est pas de présenter un état de l art exhaustf des domanes abordés, néanmons nous regroupons des approches par domanes et approfondssons la présentaton de celles qu servront à comparer nos méthodes. 1.1 Norme et tolérancement 3D Nous ne pouvons parler de tolérancement 3D et de défaut de forme sans cter la norme. En effet, le tolérancement est un langage normalsé qu représente un moyen de communcaton entre dfférents méters. Ce langage spécfe les lmtes des défauts des pèces de façon unvoque et compréhensble par les acteurs du cycle d élaboraton du produt La norme ISO C est une norme nternatonale qu trate de la spécfcaton et se présente par un langage graphque. La défnton normalsée repose sur : un prncpe, par exemple : le prncpe de l ndépendance [ISO 8015] qu consdère que toutes les exgences spécfées sur un dessn dovent être respectées, des exgences, par exemple : l exgence du maxmum matère, spécfé par le M symbole à drote de la valeur de la tolérance, des tolérances dmensonnelles [ISO 8015] : ces tolérances portent sur les longueurs et les angles, et des tolérances géométrques [ISO 8015] : ces tolérances lmtent les écarts d un élément par rapport à sa forme, son orentaton et/ou sa poston théorque [ISO 1101] La Spécfcaton Géométrque des Produts (GPS) Le concept GPS (Geometrcal Product Specfcaton) est défn pour reméder à quelques ambguïtés des normes dues à leur nombre mportant. Ans le concept GPS est-l défn comme un langage de communcaton unvoque et nternatonal entre le concepteur, le fabrcant et le métrologue permettant un échange clar sur les exgences fonctonnelles d un produt. Le concept s appue sur la matrce GPS [ISO/TR 14638] qu regroupe les normes exstantes à révser, en cours d étude et celles à défnr. Cette matrce est composée de dx hut lgnes, les "chanes", qu regroupent des caractérstques géométrques de l élément tolérancé (talle, dstance, rayon, ). Ces chaînes sont dvsées en sx mallons caractérsant les étapes de l élaboraton du produt, les deux derners mallons par exemple sont plus spécfques à la métrologe. 1. Modèle et outls de tolérancement 3D Nous pouvons dstnguer certans artcles qu présentent un état de l art des méthodes de tolérancement. On peut cter entre autre [Hong et al, 00] qu présente un état de l art en abordant dfférents sujets tels que la schématsaton des mécansmes, la représentaton et la spécfcaton des tolérances, des approches de synthèse et d analyse de tolérances ans que des méthodes de transfert de tolérance.

107 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage Graphes de mécansme Les graphes permettent une représentaton schématsée d un mécansme et quelques-unes de ses caractérstques telles que les types de lasons entre composants, tolérances des surfaces etc. Les défauts entre les surfaces d une même pèce sont modélsés par des écarts. Un mécansme est un ensemble de pèces avec défauts qu sont lées entre elles par des lasons. Les lasons sont modélsées par des jeux. Il exste pluseurs façons de représenter les lasons entre les surfaces par les graphes. Ces graphes contennent généralement : les pèces, représentées par des bulles ndcées : ce sont les sommets des graphes, les éléments géométrques tels que les surfaces élémentares, schématsées par les pôles portant des lettres avec le numéro de la pèce en ndce. Les surfaces sont les sommets du graphe, les lasons, représentées par des arcs entre les pèces ou les surfaces, les condtons fonctonnelles, CF, qu sont généralement des lasons dont le jeux est lmté. [Pett, 004] présente un état de l art des représentatons des mécansmes par les graphes. Il dstngue les graphes des lasons, les graphes d assemblage [Dantan, 000], les graphes des tolérances [Kandkjan et al, 001], [Murauskate et al, 004], et enfn le graphe LMéca. On s ntéresse précsément à ce derner graphe car l affche la partcularté de représenter les repères lés aux pèces, vore aux surfaces. Les repères sont alors les pôles du graphe : le graphe est orenté, et les torseurs jeux et écarts entre les repères sont ndqués. Les torseurs sont dts : écarts s les extrémtés de l arc appartennent à la même pèce, jeux s les extrémtés appartennent à deux pèces du mécansme. 1.. Modèles de tolérancement 3D Le modèle de tolérancement est le support conceptuel qu permet les exgences de la CF vers les composants du mécansme. On peut dstnguer dfférentes approches et modèles assocées, on peut cter de façon non exhaustve : Classes varatonnelles, [Requcha, 1977] et [Requcha, 1983]. Cette méthode consdère des décalages des surfaces nomnales coté ntéreur matère et extéreur matère qu défnssent ans des zones de varaton. Une extenson de ces travaux a porté à la traducton des exgences fonctonnelles en frontères vrtuelles [Jayaraman et al, 1989]. Modèle vectorel, [Wrtz, 1989] caractérse la poston d une surface dans l espace par un pont et un vecteur dans une base donnée. Quatre vecteurs ndépendants peuvent être nécessares pour défnr la poston, orentaton, forme et dmenson. [Gaunet, 1993] présente un approche smlare mas en ntégrant tros concepts : o Surfaces Assocées Technologquement et Topologquement (SATT), o Elément Géométrque de Référence Mnmum (EGRM), o et les torseurs de petts déplacements [Bourdet et al, 1988]. [Chase, 1999] utlse une chaîne de cote 3D, "Vector chan", qu l crée à partr d une méthode de lnéarsaton drecte (Drect Lnearzaton Method DLM). Il est ans capable de trater des varatons de poston-orentaton et talle. Une étude de sensblté permet de défnr la répartton des tolérances. Méthode CLIC (Cotaton en Localsaton avec Influence des Contacts) [Anselmett, 001] permet une cotaton formalsée et fonctonnelle du mécansme. A partr du Tableau de Mse en Poston (TMP) et des exgences fonctonnelles, une cotaton ISO est générée [Anselmett et al, 00], [Anselmett, 005].

108 100 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Modèle des T-Maps [Davdson et al, 00 a], qualfe les varatons d une géométre par rapport aux structures prmtves de contrôles [Kandkjan et al, 001] qu dentfe les degrés de lberté et les nvarants d une structure. Ans une zone de tolérance est tradute en régon mult-dmensonnelle appelé Tolérance-Map (T-Map) en foncton de la nature de l objet tolérancé, (plan [Mujeznovc et al, 004], cylndre [Davdson et al, 00 b], etc). L accumulaton des défauts des dfférents composants du système est réalsé par la somme de Mnkowsk des T-Map, représentant ans une analyse des tolérances des composants. Approche paramétrque, défnt des lmtes à des paramètres scalares [Gulford et al, 1993]. [Turner, 1987] propose une approche varatonnelle construte à partr du modèle CAO, détermnant ans des varables du modèle (M défnssant une rotaton, translaton, etc) auxquelles sont assocées des contrantes de tolérance (T ). On détermne ans un espace de fasablté correspondant aux varatons permses tout en respectant les tolérances. Approche par les torseurs de petts déplacements. Issue de la qualfcaton des écarts en métrologe [Bourdet et al, 1976], [Bourdet, 1987], [Bourdet et al, 1995], cette noton donne leu à pluseurs concepts : o Le concept SATT [Clément et al, 1994] qu dentfe les géométres assocées à une surface ou un groupe de surface. On catégorse ans sept classes permettant de trer les lasons entre surface ou groupe de surface. o L EGRM [Clément et al, 1994] qu correspond à l ensemble mnmum nécessare et suffsant pour décrre la lason d une classe. Ans, on peut défnr les défauts d un mécansme par dfférents torseurs : o le torseur d écarts qu qualfe les défauts d une surface assocée par rapport à son nomnal, o le torseur défaut qu rele les écarts entre deux surfaces d une même pèce, o le torseur jeu qu représente le jeux entre deux surfaces nomnales de deux pèces, o et le torseur pèce qu rele tous les torseurs d écarts d une même pèces Méthode des domanes jeux et écarts Nous détallons légèrement cette approche qu par la sute nous sert de référence de comparason pour l approche de tolérancement et de spécfcaton que nous proposons. Intée par [Gordano et al, 199], [Gordano et al, 1993], la méthode des domanes jeux et écarts consste à tradure les zones de tolérance ISO en domanes de tolérance dans l espace des torseurs de petts déplacements. Cette approche nécesste la défnton de repère attaché à un pont d applcaton. Généralement le pont d applcaton est défn au centre de la surface. Torseur et domane écart On nomme torseur écarts les composantes de petts déplacements de la surface assocée par rapport à sa poston nomnale. Cette appellaton torseur écarts caractérse auss ben le torseur d écarts que le torseur défnt précédemment. Le domane écart est la traducton de la tolérance mposée à une surface dans l espace des petts déplacements.

109 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 101 Torseur et domane jeux Le torseur jeux exprme les degrés de lberté possble entre deux pèces grâce au jeu d une lason défne par deux surfaces en contact. En consdérant l hypothèse de pèces ndéformables, les pettes mobltés dues aux jeux sont lmtées par la condton d mpénétrablté des pèces entre elles. Ans dans un torseur de lason, on dstngue les mobltés de la lason qu sont les nvarants de la lason, et les mobltés du jeu que l on nomme torseur jeux. Le domane jeux d une lason défnt l ensemble des torseurs jeux possbles pour une lason. Tolérancement au pre des cas La méthode d analyse des tolérances 3D consste à exprmer les domanes écarts des surfaces tolérancées ans que les domanes jeux des lasons au même ponts. Grâce à la somme de Mnkowsk, on trouve le domane écarts résultant de l assemblage des tolérances des surfaces, ans que le domane jeux résultant de l assemblage des jeux des lasons. Pour fare smple, le tolérancement garantt la CF s le domane écarts résultant est nclus dans le domane jeu résultant. Pour plus de détals sur la méthode, se référer notamment à [Gordano et al, 1999], [Gordano et al, 001], [Kataya, 00], [Pett, 004] Modèles de tolérancement 3D avec prse en compte des défauts de forme Dans ben des approches le défaut de forme est néglgé. Ben souvent c est une problématque de second rang qu vent enrchr ou complexfer une méthode de tolérancement 3D. Nous ctons quelques approches qu trate les défauts de forme lors du tolérancement 3D. Approche paramétrque [Gupta et al, 1993] où le défaut de forme est modélsé par le déplacement des nœuds d un mallage crée en dscrétsant les enttés géométrques. Modèle des T-Map [Ameta et al, 007] qu propose de consdérer une tolérance supplémentare pour la forme, qu est ajoutée à la tolérance 3D. Des approches présentent une analyse des assemblages avec prse en compte des écarts de forme, telles que : [Lee et al, 006] qu présente une approche de mse en poston de deux composants avec défauts de forme (ondulaton et rugosté) suvant un mécansme de mse en poston comprenant une surface auxlare et des drectons de mse en poston, [Radouan, 003] propose une étude expérmentale afn d évaluer la dfférence entre la mse en poston théorque sur les surfaces assocées et les essas. Ces phénomènes sont caractérsés par deux paramètres, l nterpénétraton et le décollement. Il défnt ans une méthode permettant de prendre en compte le défaut de planété dans le calcul des tolérances. Ben souvent, les systèmes sont consdérés ndéformables, c est le cas pour le moment dans nos travaux de recherche. Cependant, des approches tratent des mécansmes flexbles dont [Perpol, 004] fat un blan telles que les approches de [Sellem et al, 1998], [Shu et al, 003] ou [Merkley, 1998].

110 10 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 1.3 Analyse et caractérsaton des défauts de forme Les méthodes de caractérsaton des formes sont nombreuses dû aux dfférents domanes d applcaton tels que : les formes 3D dans le domane médcal [Cootes, 004] ou [Davatzkos et al, 003]. l optque avec les polynômes de Zerncke [Wyant et al, 199], Analyse d écart de formes dans le domane métrologque La norme ISO défnt la tolérance de forme par zone détermnée par le balayage d une sphère sur la géométre tolérancée. Dans le cas général on utlse [ISO 1101], cas des profls [ISO 1660]. Dans le cas des défauts de cylndrcté, la norme [ISO ] dentfe tros types d écarts : lgne médane, écarts radaux et écarts de sectons. La méthode que la norme préconse pour caractérser les défauts est basée sur une qualfcaton en harmonque par la méthode de Fourer. Dans le mleu de la recherche scentfque, des approches proposent de caractérser les écarts de forme telles que : [Capello et al, 000] qu présente une extenson de la caractérsaton des défauts de forme par les séres de Fourer aux surfaces planes. Intalement, sa démarche trate des défauts crculare et cylndrque, qu consdère les séres de Fourer pour analyser les défauts de surface crculare ou cylndrque. [Summerhays et al, 00] présente une méthode d analyse des défauts cylndrque en caractérsant la forme par une combnason des seres de Fourer et des polynômes de Chebyshev, qu l complète par une base de défauts propres (vecteurs propres) ssus des mesures. [Huang et al, 003] trate de la caractérsaton des défauts de forme emboute par la méthode des transformées en cosnus dscret (Dscret Cosnus Transform DCT). Cette méthode lu permet d dentfer des ampltudes des défauts de poston-orentaton, pus de forme.

111 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 103 La méthode modale naturelle OBJECTIF DE CETTE PARTIE Cette parte est une présentaton de la méthode modale ntalement défne par [Formosa et al, 007]. Le but est de fare un blan de la méthode avant le début de nos travaux. Cette parte se décompose en pluseurs étapes : un état de l art de la méthode, ctant les premers travaux, les détals de la méthode et le vocabulare assocé, une descrpton de notre démarche de créaton de la base modale et des outls que nous utlsons pour développer et utlser la méthode, une présentaton d un cas théorque smple, un profl poutre D, ayant pour but de présenter la base modale ntale. Ils servent de cas d applcaton pour les évolutons que nous présentons au paragraphe 3, et enfn l utlsaton de la méthode modale naturelle sur les écarts de formes de ces cas théorques, dont le but est de montrer non seulement l ntérêt de la méthode mas auss les ponts à amélorer..1 Etat de l art de la méthode modale On peut reprocher une spécfcté dans l applcaton des méthodes d analyse de forme présentée dans le paragraphe En effet, certanes sont applcables sur des géométres types, mas ne peuvent être généralsées dans leur applcaton notamment sur les surfaces gauches. Pour répondre à la problématque de dsposer d une méthode générque, permettant l analyse de tout type de défaut pour tout type de géométre, [Perpol, 004], [Bonargent, 005] et [Formosa et al, 007] proposent la méthode modale. L dée est d utlser les modes naturels de vbraton de la géométre à étuder pour créer sa propre base de défauts. Ans un écart de forme est décrt dans la base des modes propres de l élément géométrque (profl ou surface), d où le nom de méthode modale. Cette approche d analyse des écarts de forme a des proprétés ntéressantes : 1) Un défaut de forme analysé est décrt par une combnason de défauts de forme élémentares, ) La base modale est une base de défauts de forme a pror, les défauts modaux sont générés automatquement 3) La méthode est applcable sur tout type de géométre, y comprs les profls et surfaces gauches 4) Une seule base décrt tous les types de défauts : poston et orentaton, talle, forme de grande et courte pérode, 5) Les longueurs d onde des défauts sont nversement proportonnelles à l ordre du mode dans la base, la complexté des défauts est crossante.1.1 Créaton de la base modale théorque naturelle La méthode modale est fondée sur l analyse vbratore de géométre à étuder, qu peut donc être de type quelconque, curvlgne, surfacque ou volumque. La méthode est donc générque et peut s applquer à tout type de géométre.

112 104 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal L analyse vbratore peut se fare sur un modèle contnu, vor la dynamque des structures de systèmes contnus. Mas son applcaton et la résoluton des formes des modes de vbraton se complexfe rapdement en foncton des condtons lmtes et de la géométre étudée. Or, comme on cherche à analyser des écarts de forme de mesures dscrètes et qu l est plus smple de résoudre un système dscret, on consdère donc une géométre dscrétsée. De plus on dspose sur le marché de nombreux solveurs de système dynamque dscret, ce qu faclte la créaton de la base modale propre à une géométre Dynamque lnéare d un système dscret En dynamque lnéare, les équatons de mouvement d un système conservatf à n degré de lberté s écrvent sous la forme générale : M. q.. + K. q = 0 [ 3-1 ] Où M (n,n) est la matrce de masse généralsée, K (n,n) la matrce de radeur et q (n,1) le vecteur des déplacements nodaux Modes propres de vbraton Un mouvement propre d une structure est un mouvement pérodque en temps, dans lequel la structure bouge en phase. En consdérant des déplacements de fables ampltudes, l équaton de mouvement peut être lnéarsée et les solutons s écrvent alors sous la forme : ( t) q = Q. cos ω. [ 3- ] où Q (n,1) est le vecteur ampltude et ω la pulsaton en rad.s -1. Les mouvements propres sont donc solutons de l équaton : ( ). M. Q = 0 K ω [ 3-3 ] Remarque Cette équaton admet n solutons qu sont les modes propres de la structure, car M et K sont défnes postves. S K est m sngulère, on obtent alors les m modes propres correspondants. Les pulsatons propres ω des dfférents modes propres sont les solutons du polynôme caractérstque : ( K. ) M = 0 Det ω [ 3-4 ] Les pulsatons propres ω sont trées par ordre crossant, ce qu a pour effet de trer les vecteurs propres assocés Q par ordre crossant. On obtent ans en prncpe un ordre crossant de complexté des défauts de forme de la base. Cette complexté crossante peut être assocer à un ordre d ondulaton. Les proprétés des vecteurs modaux Q sont : L ensemble des vecteurs modaux Q détermne une base dans l espace des n degrés de lberté, t On défnt le produt scalare A. B = A. M. B et la norme t A = A. M. A tels que Q. Q j δ j = 1 = δ j δ j = 0 s s = j j

113 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 105 Dû au chox de travaller sur des géométres dscrétsées, le nombre de degrés de lbertés du modèle lmte ans la talle de la base modale. Une base modale est complète lorsque le nombre de modes est égal au nombre de degrés de lberté du modèle EF. Néanmons, on chost toujours une base modale rédute, où le nombre de modes est nféreur au degré de lberté du modèle. En effet, le paramétrage modal n a aucun d ntérêt s le nombre de vecteurs sgnfcatfs (pour reconstrure un défaut) est auss grand que le nombre de nœuds du mallage. Dans un tel cas, la dscrétsaton est trop fable ou que la méthode n a aucun ntérêt. La seconde sgnfe que l on utlse autant de descrpteur (défauts modaux) que de caractérstques à modélser (ponts de mesure de la géométre). Par conséquent, la méthode modale est utle pour représenter des défauts de forme relatvement «lsses», à l opposé des défauts de formes très locaux types pcs ou marches qu sont alors fltrées par la caractérsaton..1. Analyse d un écart de forme et vocabulare assocé Nous énumérons c les dfférentes étapes et le vocabulare assocés pour la caractérsaton d un écart de forme. On consdère que la base modale est crée et que l écart de forme à analyser est mesuré Projecton modale La projecton modale correspond à la caractérsaton d un écart de forme dans la base modale. Cela consste à dentfer les coeffcents d nfluences, nommés coeffcents modaux, des dfférents modes composant l écart de forme. Ces coeffcents modaux s obtennent par : λ = Q [ 3-5 ] t V. Q = V. M. Où λ est le coeffcent modal du défaut modal (mode ) dans la descrpton de l écart de forme V (n,1). L ensemble des λ coeffcents modaux décrt un vecteur Λ (m,1) que l on nomme sgnature modale. Cette sgnature content les nfluences des m défauts modaux de la base sur la caractérsaton de l écart de forme V.... Λ = λ [ 3-6 ]... Des évolutons de la projecton modale sont présentées dans la parte 3.et Reconstructon modale La reconstructon modale correspond à la recombnason des défauts modaux pondérés de leurs coeffcents modaux. L objectf est de recréer l écart de forme à partr de sa caractérsaton modale. Connassant la sgnature modale de l écart de forme, sa reconstructon est donnée par : T = m = 1 λ. [ 3-7 ] Q Où T (n,1) correspond à la reconstructon du défaut analysé par la base modale assocée Résdu de projecton modale Dans le cas d une base complète, où le nombre de vecteurs modaux correspond au nombre de degrés de lberté du système, un écart de forme est alors toujours parfatement décrt.

114 106 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Dans le cas contrare d une base tronquée, le nombre de modes est donc nféreur aux degrés de lberté, d où la caractérsaton de l écart n est pas exacte. On défnt ans un résdu d analyse: R = V T [ 3-8 ] R (n,1) est le vecteur résdu qu correspond à la dfférence de forme entre l écart analysée et sa descrpton modale. On défnt ans le scalare r, le résdu global d analyse, par la norme du vecteur résdu : r = R. R [ 3-9 ] De façon générale, on défnt le vecteur résdu en foncton du nombre de modes utlsés pour la caractérsaton. Ans on défnt R(m) qu est le vecteur écart résdu d analyse en consdérant m mode de la base modale : R m ( m) = V = 1 λ. [ 3-10 ] De la même façon que le résdu scalare, on défnt r(m) le résdu de la descrpton modale en consdérant m modes. Q ( m) R( m) R( m) r =. [ 3-11 ] Une évoluton de la caractérsaton du résdu est présentée dans la parte Ecrture sous forme matrcelle Les étapes de décomposton et reconstructon modale d un défaut de forme peuvent s écrre sous la forme d un produt de matrce et de vecteurs. Pour ce-fare, on défnt B (n,m), la base modale, contenant l ensemble des m vecteurs modaux Q. Ans la projecton d un écart V de forme dans la base modale B s écrt : Λ t = V t. M. B [ 3-1 ] Et sa reconstructon T par sa sgnature modale Λ dans la base modale B s écrt : D où on défnt l écart de caractérsaton R : T = B.Λ [ 3-13 ] R = V T = V B. Λ [ 3-14 ] Il en ressort un ntérêt certan pour cette écrture de la méthode qu permet de calculer la sgnature modale en une seule étape. De même, la reconstructon de la forme, à l écart de descrpton prêt, se fat en une seule opératon. On vot surtout l ntérêt pour l ntégraton de la méthode dans un logcel de calcul matrcel, type Matlab.. Un cas d llustraton smple : un profl poutre Pour llustrer nos propos et se rendre compte des dfférentes évolutons que nous proposons, nous chosssons de trater un cas smple à vsualser qu est le profl d une poutre D. La géométre consdérée est un profl de 100mm de longueur dscrétsé en 50 éléments...1 Base modale naturelle d une poutre La fgure 3-1 présente les neufs premers modes de la base modale naturelle obtenue par l analyse vbratore du modèle poutre.

115 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 107 Mode 1, mode rgde Mode, mode rgde Mode 3, mode de forme Mode 4, mode de forme Mode 5, mode de forme Mode 6, mode de forme Mode 7, mode de forme Mode 8, mode de forme Mode 9, mode de forme Fgure 3-1 : Premers modes de la base modale naturelle du modèle poutre Remarques Cette base modale est générée automatquement, on se rend compte de la complexté crossante des défauts de forme en foncton de leur ordre naturel dans la base modale. Les deux premers modes rgdes ne sont pas des modes de translaton ou de rotaton pure. Ce sont des combnasons de ce qu on espère, le mode de translaton suvant la drecton y vertcale et le mode de rotaton autour de l axe z normal au plan D... Un défaut de forme smulé Pour applquer la méthode modale, on chost un exemple smulé de défaut de forme. On utlse la résoluton statque du modèle EF dont certans nœuds sont soums à des déplacements. Cette approche permet de fournr une forme relatvement lsse (pas de pc ou marche). On justfe le chox d une applcaton sur une smulaton car la méthode est récente et nécesste d être évaluée. On peut ans la tester sur tout type de forme avec un aspect relatvement lsse.

116 108 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Fgure 3- : Ecart de forme smulé et recomposton modale..3 Caractérsaton du défaut de forme La fgure 3-3 montre la descrpton du défaut de forme par sa sgnature modale. On peut auss remarquer que le résdu de caractérsaton décroît rapdement avec le nombre de modes. On peut observer que le résdu de reconstructon avec 30 modes est très fable, mas pas nul. Cela se justfe par le fat que la base modale n est pas complète, on obtendra donc toujours un résdu. On peut observer une source de ce résdu sur la fgure 3-. Un zoom local montre un écart entre le défaut de forme et la recomposton modale. Fgure 3-3 : Sgnature modale et évoluton du résdu de caractérsaton

117 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 109 CONCLUSION INTERMEDIAIRE Ce cas d exemple smple permet de vor le fonctonnement de la méthode, et l ntérêt que nous lu portons. Ben sûr le prncpal ntérêt de la méthode n est pas présenté c, elle est applcable a tout type de géométre y comprs les surfaces gauches. C est prncpalement ce derner pont qu nous pousse à utlser cette approche de caractérsaton des écarts de forme. Entre autre la méthode présente des proprétés ntéressantes : L écart de forme est caractérsé par une combnason de défaut de forme élémentare, L dentfcaton d un écart de forme peut être représentée de façon smple par un hstogramme ndquant l nfluence de chaque défaut modal, Le résdu de caractérsaton de la forme dmnue rapdement en augmentant le nombre de modes dans la descrpton de l écart de forme. Cependant, les écarts de forme n ont pas l nterprétaton métrque fondamentale pour sa manpulaton en tolérancement. Ce pont nous amène à une évoluton de la base modale vers une base métrque présentée dans la parte 3.3.

118 110 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 3 Evoluton de la méthode modale La base modale est un outl ntéressant grâce à ses dfférentes proprétés (exhaustves et applcables sur tout type de géométre). Cependant, du pont de vue du métrologue qu utlserat cette méthode d analyse des écarts de forme, l nterprétaton des résultats n est pas toujours évdente. La sgnature modale permet de mettre en avant la combnason de certans défauts modaux avec des nfluences plus ou mons grandes. Cependant, la quantfcaton n a pas de sens métrque. De plus, l utlsateur de la méthode peut avor un certan nveau d expertse sur la géométre à caractérser et peut alors être amené à compléter la base modale naturelle par des défauts de forme qu l cherche à observer. En réponse à ces problématques, nous proposons deux prncpales évolutons de la méthode modale de caractérsaton des écarts de formes : en donnant une sgnfcaton métrque aux coeffcents modaux, en proposant d ntégrer des défauts de forme dts technologques. Pour clarfer la démarche d évoluton de la base modale, nous avons schématsé les dfférentes avancées et leur ordre d utlsaton. Méthode modale naturelle Défaut de forme Base modale naturelle Méthode modale optmsée Méthode modale métrque Résdu normé Produt scalare euclden Norme nfne Mode techno. Base modale métrque complétée Base modale métrque Fgure 3-4 : Schéma d évoluton de la base modale Le premer bloc de ce schéma correspondant à la méthode modale naturelle est traté précédemment dans la parte.1.1. Les deux autres blocs qu tratent de l évoluton de la base modale sont tratés dans cette parte 3.

119 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 111 On présente dans la parte 3.1 une évoluton sur la qualfcaton du résdu de la caractérsaton modale. Celle-c n apparaît pas comme une étape dans le schéma des évolutons de la fgure 3-4 mas cette nouvelle qualfcaton du résdu de caractérsaton modale permet de comparer l effcacté de la méthode d une façon plus générque. Le bloc correspondant à la base modale métrque est traté en deux partes : la premère présente la smplfcaton de la descrpton du défaut de forme dans la base modale en consdérant un espace vectorel euclden, la seconde donne un len métrque entre la valeur du coeffcent modal et l ampltude du défaut modal en utlsant la norme nfne. Le derner bloc enfn représente la dernère évoluton que nous apportons à la méthode modale. Cette évoluton est présentée dans la parte 3.4 et correspond à l ntroducton de défauts technologques, correspondant à des formes qu ne sont pas naturellement comprses dans la base modale. 3.1 Evoluton du résdu de caractérsaton modale Le but est de présenter une méthode standard de caractérsaton des résdus de la descrpton modale des écarts de forme. L ntérêt est de pouvor comparer l effcacté de la méthode quel que sot l écart à analyser. L nconvénent de la défnton actuelle du résdu est que sa valeur ntale dépend de l écart caractérsé. Ans on ne peut pas asément comparer les résdus de deux analyses modales car ls ne sont pas à la même échelle (résdu ntal dépendant du défaut). Pour s affranchr de l unté de mesure et de la valeur ntale du résdu, on défnt ρ(p,m) le rato des résdus r(p) sur r(m) qu correspond à un résdu relatf. ( p) ( m) r ρ ( p, m) = [ 3-15 ] r L ntérêt d une telle défnton est de montrer l effcacté de la descrpton modale entre dfférents nveaux de la caractérsaton : S m = 0, on qualfe la méthode par rapport à la mesure de l écart de forme lu même, comme présenté dans [Adragna et al, 006 c]. Ans on a une qualfcaton du résdu de caractérsaton par rapport à l écart ntal, S m égale le nombre de modes rgdes, on juge alors l effcacté de la méthode modale pour la descrpton de la forme unquement, ρ correspond à un pourcentage de non-dentfcaton du résdu, comprs entre 0 et 1 et dont la valeur optmale tend vers 0.

120 11 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Fgure 3-5 : Ancenne et nouvelle expresson du résdu de caractérsaton 3. Base modale eucldenne La méthode ntale de projecton se fat dans une base M-orthogonale. Les coeffcents modaux obtenus ont donc une sgnfcaton matéraux et non métrologque. L objectf est de défnr la projecton modale du défaut de forme dans la base modale grâce au produt scalare euclden : λ = Q [ 3-16 ] t V. Q = V. Où λ est le coeffcent modal du mode, Q, dans la descrpton du défaut de forme V. L ntérêt de cette approche est de smplfer la projecton modale et de se dspenser de cette matrce de masse M Orthonormalsaton de Gram Schmdt Q orthog. Q naturel Q orthon. Q 1 orthon. Q 1 naturel Fgure 3-6 : Orthonormalsaton de Gram Schmdt Pour transformer la base modale en base eucldenne on utlse la méthode d orthonormalsaton de Gram-Schmdt [Wkpeda, 007 a]. Cette méthode d orthonormalsaton d une base modale est facle à mplémenter suvant l algorthme :

121 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 113 pour < 1 jusqu à = n pour < 1 jusqu à = j 1 Q < Q <Q. Q j >. Q j fn pour Q <- Q / racne(<q. Q >) fn pour Où Q représente un des n vecteurs de la base, est le numéro d un vecteur, et <Q. Q j > est le produt scalare euclden des vecteurs Q et Q j. Remarque La partcularté de cette méthode d orthonormalsaton est l nfluence de l ordre des vecteurs dans la base. En effet, les premers vecteurs sont prortares sur les suvants dû à la démarche d orthonormalsaton de la base. Cette noton est mportante notamment lors de l ntroducton de défauts dts technologques dans la base modale. Ces défauts supplémentares sont ben souvent des combnasons lnéares de certans vecteurs de la base, ans leur ntroducton parm les premers modes provoque un changement de forme des suvants. Cette approche est présentée au paragraphe Base modale métrque Mode 4 : mode de forme métrque Mode 4 avec un coeffcent modal λ 4 = 0,4 Fgure 3-7 : Exemple de défaut modal métrque Afn de donner un ntérêt supplémentare à la caractérsaton modale pour le mleu de la métrologe, on présente la base modale métrque. La projecton d un défaut de forme dans cette base fournt alors une sgnature modale, dont les coeffcents ont un sens métrque (mm par exemple). Cette base modale métrque est une évoluton de la base modale eucldenne. Ses vecteurs modaux sont orthogonaux au sens du produt scalare euclden, mas leurs normes est mantenant défnes par la nfne ( Q = 1) et plus la norme eucldenne ( Q 1). Cette approche rend untare l ampltude maxmale des défauts modaux. Il en découle que l écart maxmal de la recomposton d un vecteur Q est défn par son coeffcent modal λ. =

122 114 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal On constate alors que cet aspect est très ntéressant pour la mse en place de la méthode en métrologe, la sgnature modale défnt des ampltudes métrques des défauts élémentares Projecton modale dans la base métrque Le changement de norme des vecteurs modaux nflue sur la projecton modale. En effet on ne peut plus smplement utlser le produt scalare euclden pour détermner drectement l nfluence de chaque mode de la base sur la caractérsaton de l écart de forme. Comme les vecteurs modaux on une norme nfne, on a : ( ) 1 = Max Q, = j Q [ 3-17 ] Où Q,j représente la j ème coordonnée du ème vecteur modale de la base et Φ représente le ème vecteur de la base dont la norme est nfne. On a une relaton entre le vecteur en norme eucldenne et le même vecteur en norme nfne : Q = Q Q [ 3-18 ] Où Q représente le ème vecteur en norme eucldenne, Q représente le même ème vecteurs en norme nfne et Q représente la norme eucldenne du ème vecteur modal en norme nfne. En utlsant la projecton modale eucldenne défne au paragraphe 3. mas en utlsant les défauts modaux métrques, on a : D où l nfluence de ce mode est : Q λ = Q, V = Q., V [ 3-19 ] Q ( Q ) Q Q Q T = λ [ 3-0 ]. Q = Q., V. Q =.,. V Q Q Q De cette relaton et la relaton [ 3-18 ] on peut dédure : T ( Q ). Q, V. Q = [ 3-1 ] Le produt scalare euclden classque utlsé pour projecton dans la base modale eucldenne est à modfer c pour la projecton dans la base modale métrque. On propose donc de défnr la projecton dans la base modale métrque par : Où Q, V base métrque. Q, V λ = [ 3- ] ( Q ) est le produt scalare euclden de l écart de forme par le ème vecteur modal de la

123 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage Défauts technologques La base modale a la proprété d être exhaustve, elle peut décrre tout type de défaut à la condton que la dscrétsaton du modèle assocé sot suffsamment fne au regard de l écart de forme à décrre. Néanmons les défauts modaux sont ssus de l analyse vbratore des géométres d étude et possèdent donc certanes proprétés géométrques comme la contnuté de la forme des modes. Par conséquent, on ne peut pas obtenr de défauts modaux comportant un pc, une marche ou un brusque changement de pente. De plus, la descrpton d un écart de forme peut combner pluseurs modes qu pour le métrologue caractérsent un seul défaut "technologque". C est d alleurs un tel cas qu est à l orgne de la méthode [Adragna et al, 006 d], et que l on résume dans la parte Enrchssement de la base modale La méthode que nous proposons pour enrchr la base modale correspond à l ajout d un nouveau défaut de forme qu n est pas naturellement exprmé par l analyse vbratore. Ce défaut est dt technologque car : pour le clent, l correspond à une forme à contrôler, pour les études et les méthodes, l correspond à un défaut qu l est possble d obtenr par les moyens de producton, pour la métrologue, l dentfe une forme que la méthode modale naturelle décrt par une combnason de pluseurs défauts. Comme ce défaut a une forme connue, l peut être décrt par des fonctons mathématques contnues (que l on dscrétse) ou dscrètes. De cette manère les déplacements des nœuds correspondants sont connus. Une fos dentfés et défns, les défauts de formes sont ntroduts dans la base modale. Nous préconsons de les placer parm les premers modes de la base, après les modes rgdes car : ce sont des défauts que l on s attend à observer, l est donc préférable de les placer en début de base, le processus d orthogonalsaton de la base rsque de modfer leur forme en foncton des modes précédents, on mnmse ans ce rsque de modfcaton du défaut technologque Le cas d applcaton ndustrel Nous rappelons c rapdement la démarche présentée dans [Adragna et al, 006 d] qu consste à enrchr la base modale par des défauts technologques. Nous avons caractérsé un lot de trors de dstrbuteur hydraulque mesuré sur une machne de mesure de forme. Les mesures des pèces sont réalsées par des mesures radales de dfférentes sectons. L observaton des sgnatures modales a ms en évdence une sgnature commune fasant apparaître un écart répéttf sur les dfférentes pèces du lot (utlsaton du crtère de smlarté de Pearson). Cet écart répéttf a été dentfé comme un écart de damètre du cylndre, que l on nomme défaut de talle qu est présenté avec sa sgnature modale dans la base naturelle dans la dans la fgure 3-8. Cette forme de mode n étant pas ncluse dans la base modale naturelle, elle est décrte par une combnason de modes.

124 116 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Sgnature modale dans la base naturelle Sgnature modale du défaut de talle Fgure 3-8 : Sgnature modale naturelle et dentfcaton du 1 er défaut technologque Sgnature modale dans la 1 ère base enrche Sgnature modale du défaut de talle Fgure 3-9 : Sgnature modale dans la base enrche et dentfcaton du second défaut technologque L analyse du lot dans cette nouvelle base modale enrche d un mode technologque de "talle" fat apparaître une seconde sgnature modale que l on retrouve sur les dfférentes pèces. Cet écart répéttf est dentfé par un défaut de type "concté", qu lu auss est tradut par une combnason de modes dans la base naturelle.

125 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 117 Mode talle Mode cône Fgure 3-10 : Sgnature modale à deux dfférentes échelles dans la base technologque (modal + talle + cône) La base modale technologque ans dentfée permet alors d dentfer les défauts de forme sans lasser de défaut répéttf parm les pèces du lot. On peut ans dentfer : des écarts dus au dégauchssage de la mesure sur les quatre premers modes, un écart de talle de 35,3µm, qu est en fat un paramètre de plotage de l usnage pour apparer les composants, un écart de forme conque, le coeffcent modal λ 6 = 1,µm, sot un écart de concté d ampltude 1,µm orenté dans le sens contrare à la défnton du défaut élémentare. Après expertse cet écart est dentfé comme un écart du moyen de mesure, des écarts de forme dont tous sont nféreurs à 0,3µm. CONCLUSION INTERMEDIAIRE La méthode que nous proposons dans ce paragraphe, que nous appelons enrchssement de la base modale, confrme l ntérêt porté à la méthode modale. En effet on dspose mantenant non seulement d une base de caractérsaton des écarts de forme a pror, sans savor ce qu on attend comme défaut de forme, mas on peut avor une expertse plus poussée et compléter cette base modale par des défauts de forme que l on souhate observer et que l on sat décrre par expertse ou a posteror. Ans s le concepteur ou le métrologue sat à l avance les formes qu l peut observer sur la mesure des écarts de forme, la base modale vent alors en arrère plan lassant la prorté de caractérsaton de la forme à la base de défauts technologques. Une fos les nfluences des formes technologques dentfées, les défauts modaux décrvent le résdu d écart de forme qu n a pu être caractérsé par la base technologque.

126 118 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 3.5 Applcaton sur le cas d exemple On reprend c le cas du profl poutre et de l écart de forme smulé pour applquer les évolutons proposées. On caractérse ensute l écart de forme smulé pour présenter les évolutons obtenues sur l analyse d un défaut de forme Evoluton de la base modale On applque les évolutons de la méthode modale sur la base modale du profl poutre. On procède en deux étapes afn de montrer les deux phases de l évoluton Base modale métrque Mode 1, mode rgde Mode, mode rgde Mode 3, mode de forme Mode 4, mode de forme Mode 5, mode de forme Mode 6, mode de forme Fgure 3-11 : Base modale métrque du modèle poutre On remplace le premer mode rgde par un mode de translaton pure. On rend la base eucldenne, pus métrque. On peut constater que les formes globales des défauts modaux changent très peu entre la base naturelle et la base métrque. Cependant, le pont remarquable sur cette nouvelle base de défaut de forme est : la présence de deux défauts rgdes purs, translaton et rotaton, l écart maxmal de chaque mode est maîtrsé et défn untare, ce sont des modes métrques. L ntérêt de cette premère évoluton est de ler l ampltude du défaut type dentfé à une valeur métrque. On constate ans une dfférence entre la caractérsaton dans la base naturelle (fgure 3-3) où les coeffcents modaux sont lés aux ampltudes sans sgnfcaton métrque, et la caractérsaton du même écart de forme dans la base métrque de la fgure 3-1.

127 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 119 La seconde évoluton qu consste à nsérer des défauts technologque est présentée en annexe, où l on propose d nsérer des défauts caractérsant des effets de bord. Cependant, les résultats de cette évolutons nous parassent mons ntéressant que ceux de la base modale métrque, c est pourquo on chost de ne les présenter qu en annexe Analyse de l écart de forme smulé La fgure 3-1 présente la caractérsaton du défaut de forme dans la base modale métrque. Par rapport à la caractérsaton modale dans la base naturelle, l n y a pas de franc changement d aspect global, horms les modes rgdes. Cependant, le changement marquant est la sgnfcaton métrque de la sgnature modale. Fgure 3-1 : Caractérsaton de l écart de forme dans la base métrque Re-combnason des modes On présente c à ttre ndcatf la combnason des modes lors de la recomposton du défaut de forme. Cet aspect est plutôt ludque mas présente cependant, un ntérêt. On peut observer la combnason et la compensaton des modes. On peut ans constater l effet des modes de grande nfluence (coeffcent modal élevé ou forte chute du résdu). On constate ans que le mode 3 et le mode 5 ont en effet un rôle mportant dans la descrpton de ce défaut de forme.

128 10 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal recomposton mode 1 recomposton mode recomposton mode 3 recomposton mode 4 recomposton mode 5 recomposton mode 6 recomposton mode 7 recomposton mode 8 recomposton mode 9 recomposton mode 10 recomposton mode 11 recomposton mode 1 Fgure 3-13 : Déroulement de la recomposton modale étape par étape 3.6 Equvalence entre modes rgdes et composantes du torseur de petts déplacements Les transformatons rgdfantes d une surface peuvent s exprmer selon pluseurs types de paramètres ndépendants. S ces transformatons sont exprmées à l ade de relatons lnéares, alors les relatons entre ces paramètres sont elles auss des relatons lnéares. Ces paramètrages étant équvalents (ls représentent les mêmes mobltés) l espace qu ls décrvent est de la même dmenson. La relaton lnéare entre deux paramétrages lnéares ndépendants peut être écrte à l ade d une matrce carrée défne 1. Nous avons chos de n exprmer que le len entre le paramétrage rgde modal et le torseur de petts déplacements (TPD). En effet, nous utlsons le concept de TPD pour l assemblage. 1 A détermnant non nul. La relaton est de ce fat un système craméren.

129 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 11 La base modale content des «défauts types» que l on peut décomposer en deux catégores, les modes rgdes et les modes de forme. Ils correspondent aux écarts d une surface mesurée par rapport à sa géométre déale. Ces écarts (mesurés ou smulés) sont «mesurés» dans des repères locaux à chaque pont de mesure (vor paragraphe 4.1 de ce chaptre). Dans cette modélsaton, chaque nœud du mallage EF (dont des ponts de mesures) défnt sa propre référence (un repère lu est assocé). Dès lors le déplacement de chaque nœud est décrt par rapport à sa référence (surface déale), connue dès l étape de dscrétsaton. A la dfférence des torseurs de petts déplacements, les modes rgdes ne sont pas forcément chacun défns comme une moblté (Tx, Ty,, Rz) de la surface mas représentent sx mobltés rgdfantes ndépendantes. Ils forment un sous espace des modes qu peut être recomposé de façon à correspondre à des mobltés plus explcte pour le concepteur. Cette premère évoluton est présentée dans la parte de ce chaptre. La relaton lnéare [ 3-3 ] peut avor une écrture smplfée avec une matrce de passage dagonale. Cependant, l orthogonalsaton de la base modale ne permet pas d mposer les modes rgdes car elle modfe un vecteur modal de la base en foncton des précédents. Ans, les modes rgdes d orentaton peuvent s apparenter à des écarts de rotaton dont l orgne du repère correspond au centre de gravté des nœuds du mallage. Il est alors possble de défnr une matrce de passage permettant d établr un len entre la paramétrsaton modale rgde et les composantes du TPD d un repère assocé : R [ r TPDO ] λ = Λ. Τj [ 3-3 ] O... Où λ R représente les coeffcents des modes rgdes, auss appelé la sgnature modale rgde Λ r, Τj représente les composantes du torseur de pett déplacement du repère... O (O,x,y,z), et [ Λ TPD r O ] représente la matrce de passage des composantes du torseur de pett déplacement au pont O vers les coeffcents modaux rgdes. Dans le cas le plus général, la matrce de passage est une matrce (6 x 6). Dans le cas partculer où les modes rgdes modaux correspondent à des composantes prses une à une du torseur de pett déplacement, la matrce est dagonale. C est le cas pour le modèle D présenté dans le paragraphe de ce chaptre.

130 1 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal CONCLUSION DE LA PARTIE On peut dès lors vor un premer len entre tolérance 3D et méthode modale. On peut même trer une relaton nécessare qu vérfe s un écart de forme est comprs dans une zone de tolérance : Pour que la zone de tolérance sot respectée, l faut au mnmum que chaque coeffcent modal sot nféreur en valeur absolue à la valeur de la zone de tolérance. Ben sûr cette condton est nécessare, mas non suffsante. S tous les coeffcents modaux respectent ndvduellement la condton, la combnason des nfluences des modes peut être hors de la zone de tolérance. Une courte dscusson est proposée dans le chaptre 4 sur la représentaton de la tolérance dans la base modale. L ntégraton de nouveaux modes ("technologques") dans la base modale est à pratquer avec précauton. Le cas des défauts de forme est délcat car la base se sufft pour la descrpton des formes. Cette étape d enrchssement nécesste donc une certane expertse de la géométre à analyser, dont la base modale naturelle permet de se passer le plus souvent.

131 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 13 4 Assemblage de composants et méthode modale Cette parte trate prncpalement de l assemblage de composants. Elle se détalle en tros sous-partes : Une premère parte présente la caractérsaton modale des accostages. La méthode de descrpton des défauts de forme permet la créaton d une base d analyse des écarts d accostage grâce à une défnton approprée de repères locaux. Une seconde parte trate de l assemblage modal de composants sans prendre en compte les écarts de forme. On présente un crtère d assocaton d une surface sur un défaut de forme, que l on peut comparer aux mondres carrés, et qu permet de fare l assemblage de composants sur ces surfaces assocées. Enfn, une trosème parte propose une approche d assemblage de composants avec prse en compte des défauts de forme. Pour cela, nous défnssons la surface convexe de contact, et un nter-effort de lason qu nous permettent de détermner l écart de mse en poston d une géométre par rapport à l autre. 4.1 Accostage et méthode modale Cette parte trate d une approche permettant de caractérser les écarts de forme des accostages. On retrouve cette problématque des accostages dans de nombreux cas ndustrels tels que l assemblage de deux capots. Une condton fonctonnelle est esthétque et l autre est l assemblage. Parm les nombreux produts qu peuvent être ctés, nous trouvons des éléments d électroménager (balances, télécommandes) et des éléments de carrossere (ales de carrosseres dans [Perpol, 004]). En effet le clent est sensble à un problème d accostage par sa vue ou son toucher Défnton des défauts d accostages La noton d accostage entre composants est très présente dans l automoble, où les notons de jeu et affleurement sont mportantes pour la satsfacton du clent. L accostage est défn par l espace entre les partes fxes et/ou les ouvrants du véhcule. Autre que la foncton technque, le clent perçot l esthétque de l assemblage des composants. Une défnton de la qualfcaton d un accostage à été proposée dans [Balmas, 1999] qu prend en compte la poston de l observateur pour détermner la parte du jeu ou de l affleurement réellement perçu. D autres équpes de recherche travallent sur la qualfcaton des écarts d accostage, [Clement et al, 1996], [Clozel, 000]. On peut caractérser les écarts d accostage en foncton d un repère d accostage. Ce repère d accostage est défn tel que : La drecton x du repère est colnéare au profl d accostage au pont d ntérêt, La drecton y caractérse le jeu, elle est donc tangente à la surface de référence, La drecton z est telle que (x,y,z) est un repère orthonormé, et donc z est orthogonale à la surface de référence et caractérse l affleurement.

132 14 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Y Z X X Fgure 3-14 : Exemple de confguraton du repère d accostage lé à un jeu entre deux profls Le tableau 3-1 résume les dfférents défauts d accostage que l on peut obtenr. Les défauts sont catégorsés en jeux et affleurements et décrts suvant chaque axe du repère local. On commence par cter les 3 écarts de type jeux, pus les tros écarts de type affleurements et on assoce à chaque écart d accostage le torseur de petts déplacements assocés Analyse modale et écarts d accostage La méthode modale est approprée au tratement de la caractérsaton des écarts de jeu et affleurement. En effet, la défnton de repères locaux convent partculèrement pour la créaton de la base modale (sélecton des degrés de lberté lés au défaut de forme). Ans, les repères locaux du modèle EF permettant d obtenr la base modale sont défns par les repères d accostages. Grâce au tableau 3-1 et à la connassance des défauts modaux, on peut ler un type de défaut, jeu ou affleurement, à un comportement de mode : Les jeux sont caractérsés suvant les drectons y locales, donc par des modes de déformaton suvant cette drecton y, par exemple des modes de flexon autour de z, Les affleurements sont caractérsés suvant les drectons z locales, donc par exemple par des modes de flexon autour de la drecton y. Comme on ne peut mesurer les écarts de type jeu de décalage, ce défaut de forme est gnoré, l est donc consellé de bloquer ces degrés de lberté pour ne pas les fare apparaître dans la base des défauts modaux de forme.

133 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 15 Repère Vsualsaton Torseur de petts déplacements Proposton d appellaton Tz 0 Affleurement Ry 0 0 Affleurement évolutf 0 Rx Affleurement de tangence 0 0 Ty Jeu Rz Jeu évolutf Tx Jeu de décalage Tableau 3-1 : Défnton des jeux et affleurements

134 16 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Bonnes pratques pour la caractérsaton des accostages On propose la lste suvante des bonnes pratques permettant de créer deux bases d analyse des écarts d accostages : 1) Défnr le modèle EF du type poutre correspondant au profl d accostage, ) Défnr des repères locaux à chaque nœud du mallage EF, 3) On bloque les mobltés suvant la drecton x des repères locaux pour évter les modes de déformaton de type tracton-compresson caractérsant le jeu de décalage, nutle dans ce cas. 4) En bloquant les degrés de lberté suvant les drectons y locales, on obtent des défauts de forme suvant les drectons locales z pour la caractérsaton des jeux, 5) En bloquant les degrés de lberté suvant les drectons z locales, on obtent des défauts de forme suvant les drectons locales y pour la caractérsaton des affleurements. On consttue ans une méthode permettant de caractérser les défauts d accostage non plus par une seule mas deux sgnatures modales. Cette soluton permet de meux qualfer la descrpton du profl d accostage en décrvant les affleurements et les jeux de façon séparée. Sans tenr compte de ces bonnes pratques, on obtent une base globale comprenant les deux défauts d accostages, jeux et affleurements, sans prépondérance de l un sur à l autre (ntercalage des types de défauts) Un cas d applcaton ndustrel Un cas d accostage est présenté dans [Adragna et al, 006 c] qu trate deux écarts de profls smulés. La problématque est la caractérsaton des écarts d accostage de capot de balance. L accostage Le jeu L affleurement Repères locaux Fgure 3-15 : Cas d accostage entre deux composants, et repères locaux assocés au profl La fgure 3-15 présente la problématque d accostage traté. Le profl d accostage 3D complet est dévolé dans la fgure 3-16, nous consdérons un modèle poutre. Chaque capot du mécansme comporte son propre profl d accostage, qu coïncdent lors de l assemblage de pèces parfates. Ces profls sont détermnés par l ntersecton des surfaces rouges de contact pour le jeu et l affleurement.

135 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage Méthode applquée Y X Z X Z Y X Vue sométrque Vue dans le plan (X,Z) Vue dans le plan (X,Y) Fgure 3-16 : le profl d accostage 3D L approche présentée trate la problématque avec une seule base modale caractérsant les deux types de défauts (jeux et accostages). Malgré le fat que les deux caractérsatons sont présentes dans la même base, nous proposons une méthode permettant de donner la prorté à un type de défaut. En utlsant les proprétés des modes de vbraton, on peut favorser la flexon dans une drecton grâce à la secton de la poutre Les modes de jeu Les défauts de jeu sont caractérsés par des modes de flexon hors du plan (X,Z). Pour vsualser ces défauts modaux (écart suvant Y), on présente les modes en projecton dans le plan (X,Y). D. 7 D. 9 D. 13 D. 11 D. 15 D. 17 Fgure 3-17 : Quelques défauts modaux caractérsant les écarts de jeu du profl du capot

136 18 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Les modes d affleurement Les défauts d affleurement sont caractérsés par des modes de flexon dans le plan (X,Z). Pour vsualser ces défauts modaux, on présente les modes en projecton dans le plan (X,Z). D. 8 D. 1 D. 16 D. 18 D. 0 D. Fgure 3-18 : Quelques défauts modaux caractérsant les écarts d affleurement du profl du capot descrpton modale d un défaut d accostage On caractérse c un défaut de forme de basse fréquence, dont les longueurs d onde sont longues relatvement à la forme. Pour autant nous n assocons pas de frontère permettant de dstnguer les défauts de basse fréquence parm les autres défauts. Vue sométrque Vue dans le plan (X,Z) Vue dans le plan (X,Y) Fgure 3-19 : Défaut de grande longueur d onde On peut constater que ce défaut de grande longueur d onde (ou de basse fréquence) est ben caractérsée (mons de 1% de résdu) par les 50 premers modes.

137 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 19 Cependant, on peut regretter la non-dfférencaton entre les jeux et les affleurements qu est présenté par cette méthode classque. On justfe ans l utlsaton de la bonne pratque qu dstngue les deux caractérsatons. Fgure 3-0 : Caractérsaton modale du défaut d accostage de grande longueur d onde CONCLUSION INTERMEDIAIRE La méthode modale semble être très approprée pour la caractérsaton des écarts de forme de profls d accostage. Le clent exprme deux problématques dstnctes que le jeu et l affleurement. La démarche que nous proposons répond à cette problématque. En utlsant les repères locaux, qu exprment les jeux et affleurements, la méthode modale propose une base de caractérsaton des jeux séparément d une autre base caractérsant les affleurements. Cependant, l applcaton dans la base modale classque dans un repère unque globale, fournt une base suffsamment rche pour caractérser l accostage. Cependant, on peut reprocher le mélange des caractérsatons qu ne répond plus alors exactement aux problématques du clent. Nous n avons pas consdéré l assemblage de deux accostages. Cependant, les composants étudés étant en plastque, ls acceptent une certane déformaton lors de leur assemblage, le modèle à consdérer dot donc être flexble. La perspectve de cette remarque est de consdérer une modélsaton flexble des accostages. L utlsaton d un modèle EF permet d envsager la déformaton élastque de la géométre sute à une mse en poston (par effort ou déplacement). 4. Assemblage sans défaut de forme Cette premère étape de l assemblage 3D consdère l assemblage de deux composants sur leurs géométres assocées. Les défauts de forme sont fltrés dans un premer temps, pour être prs en compte dans un second temps dans la parte Assocaton modale des formes rgdes La méthode modale permet une caractérsaton du défaut de forme en défaut élémentare, dont des modes rgdes de poston-orentaton (translaton et rotaton). Cette parte présente la méthode modale comme un moyen d assocaton d une surface sans défaut de forme sur une surface mesurée comportant des écarts.

138 130 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Cette nouvelle approche d assocaton de surface est comparée à la méthode des mondres carrés, qu est une méthode de référence actuellement. Ben sûr l exste d autres crtères d assocaton (mnmum ou maxmum matère, plan tangent, etc) que nous ne détallerons pas. L assocaton aux mondres carrés consste à mnmser la somme des carrés des écarts entre les ponts et l élément à assocer. La plus courte dstance entre un pont et l élément à assocer est défne par la normale à l élément passant par le pont. En revanche, la caractérsaton modale mnmse les écarts suvant les drectons d expresson des écarts, les normales locales à la géométre déale. Crtère des mondres carrés Crtère modal Fgure 3-1 : Crtères d assocaton d une géométre à un défaut de forme On se rend donc compte que les deux approches d assocaton d une géométre à un écart de forme n ont pas le même crtère d assocaton. Par contre, sous l hypothèse des petts déplacements, on peut penser que les écarts décrts les mondres carrés tendent vers la descrpton modale des écarts. On peut donc supposer que la méthode modale est le crtère des mondres carrés donnent des résultats d assocaton semblables, sous l hypothèse des petts déplacements Crtère modal et crtère des mondres carrés sous l hypothèse des petts déplacements Fasons l hypothèse qu consdère que l assocaton modale d une géométre à un défaut de forme est smlare à l assocaton des mondres carrés. Pour vérfer cette hypothèse, nous comparons les résultats d assocaton des deux méthodes sur un cas smple. On chost un profl rectlgne, dont le défaut de forme est tré aléatorement. On compare les deux crtères d assocaton en fasant varer l hypothèse des petts déplacements. En consdérant le même défaut de forme (même valeurs d écarts), on fat varer la longueur du profl. On peut ans se trouver sous l hypothèse de petts déplacements lorsque la longueur est ben supéreure à l ampltude du défaut de forme. Mas en consdérant un longueur plus pette l hypothèse de petts déplacements n est plus vérfée. On défnt dont le rato r L/F comme le rapport de la longueur du profl sur l ampltude du défaut de forme. Dans un premer temps nous effectuons une comparason vsuelle des résultats d assocaton. Pus dans un second temps on s ntéresse aux évolutons des écarts de poston (translaton) et d orentaton (rotaton) des surfaces assocées par les deux crtères. Pour cette dernère observaton on décrt le résultat de l assocaton aux mondres carrés dans l espace des coeffcents modaux rgdes (translaton et rotaton).

139 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 131 La fgure 3- présente tros résultats d assocatons en consdérant des ratos : r L/F = 0,1 pus r L/F = 1 : l hypothèse de petts déplacements n est pas vérfée, et on constate que les deux assocatons sont dfférentes, r L/F = 10, l hypothèse de petts déplacements est vérfée, et on remarque que les deux surfaces assocées sont confondues. Les courbes d évoluton des dfférentes caractérstques d assocaton (translaton et rotaton) montrent la convergence des deux approches. La caractérsaton de la translaton est dentque par les deux approches et n est pas sensble à l hypothèse de petts déplacements. Le crtère de rotaton quant à lu est sensble à l hypothèse. On vot que la méthode des mondres carrés converge rapdement vers la méthode modale. Dans notre cas d exemple, lorsque l hypothèse est vérfée (r L/F 13), l écart d assocaton entre les deux méthodes est de l ordre de 0,5%. Fgure 3- : Comparason des modèles d assocaton Fgure 3-3 : Comparason des modèles d assocaton

140 13 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal On en conclut que sous l hypothèse des petts déplacements la méthode des mondres carrés peut être approxmée par la méthode modale. On chost donc d utlser la méthode modale pour fare l assocaton d une surface rgde (défne par les modes rgdes) sur un nuage de ponts pour pluseurs rasons : Tout d abord pour la rason juste énoncée que la méthode modale tend vers le mondre carré sous l hypothèse des petts déplacements, souvent vérfée dans les dfférentes approches de tolérancement, On utlse ans une seule méthode pour la caractérsaton de l écart de forme et l assocaton d une forme rgde, La méthode modale est applcable sur toute géométre, et la caractérsaton d un écart de forme se fat par une smple projecton dans la base modale (la méthode des mondres carrés nécesste une optmsaton) 4.. Assemblage modal sans défaut de forme Assemblage sans défaut de forme Pour le moment, nous consdérons que l assemblage de géométres sans consdérer les défauts de forme se fat par leurs surfaces assocées. Les surfaces assocées peuvent être caractérsées par leurs torseurs équvalent, qu détermne les nvarants de la lason et les transmsson d effort. On peut donc s appuyer sur les caractérstques des surfaces d une lason défnes par le SATT. L ntérêt de s appuyer sur les caractérstques des lasons pour les fare coïncder est de supprmer les nconnus d assemblage dû au jeu de la lason. Dans cette approche, on consdère donc que le jeu est nul. Dans la parte 4.3 on propose une méthode permettant de s affranchr des nvarants de mse en poston dû à la forme, donc du jeu.

141 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 133 R 1A R 1A R A R A + + R A R A R A R A = = R 1A = R A R 1A = R A R A Assemblage des deux composants sur les caractérstques des géométres assocées Fgure 3-4 : Assemblage par les géométres assocées (type EGRM), cas plan sur plan et cylndre dans cylndre La fgure 3-4 llustre le prncpe de l assemblage sur les repères des surfaces assocées dans le cas de profls poutre (schématsant une lason plan sur plan) et dans le cas de cercles (schématsant une lason pvot). On magne asément l extenson du prncpe à des géométres 3D grâce au prncpe des EGRM Assemblage modal sans défaut de forme On défnt l écart de mse en poston E 1A d une pèce () sur l autre (1) par la combnason des écarts des surfaces de contact de chaque pèce de la lason, E 1A et E A. En utlsant les défntons de Bourdet pour qu l écart entre deux surfaces de deux pèces est un jeu, cet écart de mse en poston E 1A peut être renommé jeu de contact J c1a. Cela revent à défnr un jeu de moblté J m1a correspondant à la défnton actuelle du jeu, et le jeu de contact.

142 134 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal On consdère un jeu de moblté nul, J m1a = 0, Alors, le jeu de contact est égal à la combnason des écarts des surfaces des deux composants, sot par la relaton de Chasles : Jc 1A E1 A = E1 A E A = [ 3-4 ] Composant R A E A E 1A E 1A R A R 1A Composant 1 Fgure 3-5 : Assemblage par les surfaces assocées Pour caractérser l assemblage de deux surfaces grâce à la méthode modale, l faut orenter les repères des deux surfaces de façon dentque. Cela permet de caractérser les surfaces dans la même base modale (même orentaton des modes), et ans de trater l assemblage sans défaut de forme par leurs sgnatures modales rgdes. On défnt Λ r1a la sgnature modale rgde de mse en poston des surfaces A du composant sur le composant 1. Cette sgnature modale Λ r1a correspond à la caractérsaton modale de l écart de mse en poston décrt par le jeu de contact J c1a. Cette descrpton modale rgde est calculée par la dfférence de la sgnature modale rgde Λ r1a de la géométre A du composant 1 mons la sgnature modale rgde Λ ra de la géométre A du composant : Λ [ 3-5 ] r1a = Λr1A Λr A Cette sgnature modale est la descrpton de l écart de mse en poston du composant sur le composant 1 par mse en contact des surfaces assocées A Ecart entre deux surfaces d une même pèce Le graphe des lasons décrt auss les écarts entre deux surfaces d une même pèce, qu sont nommés écarts. La fgure 3-6 présente l écart, au sen du composant 1, de la surface B par rapport à la surface A, que l on note E B1A. Grâce à la relaton de Chasles, on peut défnr : = [ 3-6 ] EB 1A E1 A E1B Où E 1A et E 1B représente l écart de la surface A et l écart de la surface B de la pèce 1 respectvement.

143 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 135 E B1A Composant y y x y B x B 1 A L A A 1 x L B Fgure 3-6 : Ecart entre deux surfaces d une même pèce Cependant, la caractérsaton modale de l écart E B1A n est pas drecte, alors que son calcul par les torseurs de petts déplacements l est. Toutefos, une soluton permet d exprmer l écart dans la base modale de la surface B, cela consste à utlser les torseurs de petts déplacements. On a l équvalence entre les modes rgdes et les composantes du torseur de pett déplacement comme présenté au paragraphe 3.6 de ce chaptre : λ A 1 0 1,1 T Λ L 1A = = A. λ A 0,1 R A Y Z A [ 3-7 ] Ans dans notre cas : λ1,1 A + λ1,1 B Λ = L [ 3-8 ] B1 A B λ,1a. + λ,1b LA Où λ 1,1A et λ 1,1B correspondent aux composantes modales de translaton, et λ,1a ans que λ,1b correspondent aux rotatons. Pour compléter le schéma de l assemblage des écarts, l faut défnr une méthode de transport des écarts. Ben qu une proposton sot fate par l extrapolaton modale (Annexe 1), on conselle l utlsaton des torseurs de petts déplacements qu est ben plus smple.

144 136 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 4.3 Prse en compte de l écart de forme On propose de noter l écart de la surface assocée E RA1. Cet écart correspond à l écart "rgde", dû unquement au composante de translaton et rotaton (modes rgdes). R R1A E R1A R A Fgure 3-7 : Ecart rgde E R1A de mse en poston de la surface assocée En plus de cet écart rgde dû aux défauts de la surface assocée (translaton et rotaton), on défnt l écart de poston dû au défaut de forme, E FA1. Cet écart supplémentare caractérse l écart entre la surface assocée et la surface de contact entre les composants. Dans le cas de la fgure 3-8 la surface de contact est défnt tangente (mn ou max matère, non défn c). E F1A R F1A R R1A Fgure 3-8 : Ecart de forme E F1A de mse en poston de la surface de contact Or dans le cas d assemblage de composants, la mse en contact des surfaces ne se fat pas oblgatorement sur ce crtère. De ce fat, notre objectf est de proposer une méthode pour détermner cette surface de contact. Fnalement on retrouve l écart de la surface de contact par rapport à sa confguraton déale, E 1A. On défnt ans une relaton entre l écart de la surface de contact, E 1A, et les écarts rgdes et de forme E R1A et E F1A : = [ 3-9 ] E1 A ER 1A + EF1A

145 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 137 R F1A E F1A E 1A E R1A R A E 1A = E R1A + E F1A Fgure 3-9 : Ecart de la surface de contact, dû à l écart rgde de la surface assocée et l écart contact dû à la forme Notre proposton : un effort de mse en poston Notre démarche proposée dans [Adragna et al, 007 c] se présente en deux étapes : premèrement, on consdère un dspostf de pré-postonnement bloquant les degrés de lberté de la lason, on détermne l ensemble des confguratons possbles de mse en contact des surfaces, enfn, grâce à la prse en compte d un effort de manten en poston, on dentfe la confguraton de contact des deux composants. F F F F Fgure 3-30 : Exemple d nconnue de mse en poston La fgure 3-30 montre les ponts de contact entre les deux surfaces lorsque la lason est soumse à un effort de MAnten en Poston (MAP). En foncton de la drecton de cet effort de MAP, les ponts de contact changent. On dspose donc d un ensemble de possbles ponts de contact qu l faut détermner. Il faut ensute dentfer la combnason de ces ponts de contact ( ponts c car problème D) permettant le postonnement d une géométre sur l autre est dentfée grâce à la drecton de la forme de MAP.

146 138 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal La méthode que l on propose consdère un système de gudage des composants et un effort de manten en poston. Le gudage du composant permet de bloquer les mobltés de la lason. On bloque ans les glssements d un plan sur l autre dans le cas de la lason plan sur plan. L effort de manten en poston permet de détermner la mse en poston d un composant sur l autre quel que sot le jeu ou les défauts de forme des géométres en vs-à-vs Le cas d exemple Pour llustrer nos propos, nous consdérons un cas smple de mse en poston d un profl rectlgne sur un autre. Ce cas peut représenter une coupe d une lason plan sur plan. On présente ans deux profls smulés d une pèce 1 et d une pèce en contact sur ce profl nommé A. Le profl est caractérsé par une base modale métrque de 30 modes. On représente : la surface brute, correspondant à une mesure, la surface fltrée, qu est la recomposton modale la surface assocée, auss appelée surface rgde. 0.4 Analyse modale d un profl 0.5 Sgnature modale surface A1 Ecart des ponts de la surface (mm) Surface A1 brute Surface A1 fltrée Surface A1 rgde Abscsse des ponts de la surface (mm) Ampltude du mode (mm) Ordre du défaut modal Fgure 3-31 : Défaut de forme et sgnature modale du profl A1 0.4 Analyse modale d un profl 0.5 Sgnature modale surface A Ecart des ponts de la surface (mm) Surface A brute Surface A fltrée Surface A rgde Abscsse des ponts de la surface (mm) Ampltude du mode (mm) Ordre du défaut modal Fgure 3-3 : Défaut de forme et sgnature modale du profl A

147 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 139 On peut dès lors applquer l assemblage de ces deux défauts de forme par leurs surfaces assocées. Cela revent à ne pas prendre en compte les défauts de forme, comme présenté dans la parte 4.. Mse en poston des surfaces assocées Surface A1 Surface assocée Surface A Echelle (mm) Abscsse des ponts de la surface (mm) Fgure 3-33 : Assemblage par les surfaces assocées Comme on peut se rendre compte sur cet exemple, les surfaces assocées ne sont pas le melleur crtère pour l assemblage des composants Assemblage modal, surface écart et pont de contact Surface écart L assemblage de deux géométres avec défaut de forme défnt un ensemble de possbles ponts de contact. Pour détermner ces possbles ponts de contact on défnt la surface écart qu représente l ensemble des écarts entre les deux surfaces. Elle représente les dstances pont à pont lors de la mse en correspondance de forme. La détermnaton de cette surface écart peut se fare drectement à partr des surfaces brutes ssues de la mesure. Un autre moyen est l utlsaton de la caractérsaton modale des écarts de forme. Comme les deux défauts de forme sont décrts dans la même base modale, la surface écart défne par la dfférence des deux géométres est caractérsée par la dfférence des sgnatures modales. Un ntérêt est le fltrages des défauts type rugosté ou brut de mesure. Par conséquent la sgnature modale de la surface écart lssée est détermnée par : Λ [ 3-30 ] 1A = Λ1A Λ A Cette formule est l écrture généralsée au défaut de forme de l équaton [ 3-5 ]. La détermnaton de la surface écart consste à redresser une surface pour reporter son défaut de forme sur la surface en vs a vs Surface écart convexe et ponts de contact Mantenant que la surface écart est défne, on cherche les possbles ponts de contact. La mse en contact des pèces se fat sur les plus courtes dstances entre les surfaces.

148 140 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Pour dentfer tous les ponts de contact, on calcule l enveloppe de la surface écart que l on nomme surface écart convexe. Les ponts qu défnssent cette surface écart convexe sont les possbles ponts de contact. Il en ressort que les facettes de la surface convexe, détermnées par p ponts de contact (p = dans notre cas car problème D), sont dentfées comme les possbles facettes de contact. Remarque La mse en contact de deux surfaces se fat sur 3 ponts ( ponts dans un cas D comme c). Ces tros ponts détermnent une facette, qu est un plan (drote en D) quel que sot le type de lason. Dstance entre les surfaces (mm) Surface dstance fltrée et surface convexe de contact Surface dstance Surface convexe Pont de contact potentel ampltude métrque du mode Sgnatude modale surface Abscsse des ponts de la surface (mm) ordre du défaut modal Fgure 3-34 : Surface écart et sgnature modale La fgure 3-34 présente la surface écart, dfférence entre les géométres avec défauts de forme. Cette surface écart est ncluse dans la surface convexe, défne par les possbles ponts de contacts et les possbles facettes de contacts assocées. On peut auss observer la sgnature modale de cette surface écart. Ses deux premers coeffcents modaux Λ R1A sont la descrpton de l écart de mse en poston sur la surface assocée E R1A. Le reste de la sgnature modale correspond à la caractérsaton de la surface écart de forme, qu permet de détermner l écart de mse en poston dû à la forme, E F1A, grâce à l effort de MAP Effort de manten en poston et facette de contact Pour dentfer la facette de contact on défnt un nter-effort de lason que l on nomme effort de manten en poston. Cet effort de MAP possède certanes caractérstques : L effort de manten en poston est un glsseur, Sa drecton est défnt par les composantes de transmsson d effort de la lason [Hernandez et al, 00], Sa poston est contenue par la géométre déale, pas d effort hors des surfaces Par exemple, dans le cas d une lason plan sur plan, l effort de MAP est drgé suvant la vertcale au plan déal de contact, et son pont d applcaton se trouve dans cette surface. Dans le cas d une lason pvot, l effort de MAP est radal passant par l axe du cylndre déal. Avec l hypothèse de système rgde ndéformable l ntensté de l effort mporte peu. On ne consdère donc que sa drecton et son sens.

149 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 141 Par conséquent, la facette de contact est celle qu content la drecton de l effort de MAP. La fgure 3-35 montre quatre mses en poston dfférentes en foncton de la poston de l effort sur le profl.

150 14 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Dstance entre les ponts des surfaces (mm) Dstance entre les ponts des surfaces (mm) Dstance entre les ponts des surfaces (mm) Dstance entre les ponts des surfaces (mm) Identfcaton de la facette de contact Surface convexe Force de manten Facette de contact Abscsse des ponts de la surface (mm) Identfcaton de la facette de contact Surface convexe Force de manten Facette de contact Abscsse des ponts de la surface (mm) Identfcaton de la facette de contact Surface convexe Force de manten Facette de contact Abscsse des ponts de la surface (mm) Identfcaton de la facette de contact Surface convexe Force de manten Facette de contact Abscsse des ponts de la surface (mm) Echelle (mm) Echelle (mm) Echelle (mm) Echelle (mm) Mse en poston sur la facette de contact -0. surface A1 surface A postonnée facette de contact Abscsse des ponts de la surface (mm) Mse en poston sur la facette de contact -0. surface A1 surface A postonnée facette de contact Abscsse des ponts de la surface (mm) Mse en poston sur la facette de contact -0. surface A1 surface A postonnée facette de contact Abscsse des ponts de la surface (mm) Mse en poston sur la facette de contact -0. surface A1 surface A postonnée facette de contact Abscsse des ponts de la surface (mm) Fgure 3-35 : Quelques assemblages des défauts de forme

151 Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 143 La facette de contact défnt l écart E 1A du plan de contact de la surface A du composant par rapport à la surface 1, que l on a auss noté comme le jeu de contact J c1a. De ce fat, l écart d assemblage (dû à la mse en poston) du composant sur le composant 1 est défn par l opposé du jeu de contact J c1a. Il en découle que l écart résultant du composant par rapport au composant 1, dû au postonnement de l un sur l autre par la surface A, est défn par E pa1 et vaut : E = J [ 3-31 ] p A1 c1a CONCLUSION DE LA PARTIE La méthode modale semble partculèrement effcace pour la caractérsaton des défauts d un profl d accostage. Grâce à la bonne pratque que nous défnssons, nous répondons aux besons du clent qu spécfent un jeu et un affleurement. Cette parte est un pas mportant vers le tolérancement modal des systèmes assemblés. Nous sommes mantenant capables de trater l analyse des écarts de deux composants sous l hypothèse de système non déformable et : En consdérant les surfaces assocées par le crtère modal (approxmaton des mondres carrés). Le jeu de la lason entre composants est nul, les surfaces sont assemblées sur les EGRM. Ou En consdérant les défauts de forme des surfaces mses en contact, l écart de postonnement d une surface sur l autre dépend de l effort de manten en poston de la lason. Le jeu de moblté de la lason est nul, car on consdère un jeu de contact défnssant l écart de mse en poston d une pèce sur l autre.

152 144 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 5 Concluson et perspectves 5.1 Concluson du chaptre Ce chaptre est une étape majeure dans l évoluton de la méthode modale de caractérsaton des écarts de forme vers une approche de tolérancement 3D avec prse en compte des défauts de forme. La fgure 3-36 résume les dfférentes étapes développées dans ce chaptre. La problématque est la caractérsaton des assemblages de composants représentée par le bloc central. Pour attendre cet objectf, nous avons fat évoluer la méthode modale afn de dsposer d une méthode de caractérsaton des écarts de forme, schématsée par le bloc de gauche. Nous proposons une approche permettant l analyse du postonnement d une géométre sur une autre en consdérant les surfaces assocées (type EGRM) ou en consdérant les défauts de forme et un nter-effort de postonnement (MAP), représentée par le bloc de drote.

153 Surface A brute Surface A fltrée Surface A rgde Surface A1 brute Surface A1 fltrée Surface A1 rgde Surface dstance Surface convexe Pont de contact potentel Chaptre 3 : Tolérancement 3D et forme d une pèce ou d un assemblage 145 Base modale Surface A1 Surface assocée Surface A Sans prse en compte des défauts de forme : Assemblage par les surfaces assocées (EGRM) OU Composant E A surface A1 surface A postonnée facette de contact Prse en compte des défauts de forme : Assemblage grâce à un effort de MAntent en Poston (MAP) E 1A E 1A Composant Caractérsaton modale des défauts de forme des composants Système assemblé Caractérsaton modale de l assemblage des composants Analyse des écarts du système Fgure 3-36 : Synthèse du chaptre On peut estmer que la méthode modale de caractérsaton des écarts de forme est suffsamment évoluée pour être applcable en métrologe de forme. En effet l évoluton vers la base métrque permet une lecture explcte des défauts de forme. De plus l enrchssement de la base des défauts élémentares permet de fare évoluer la descrpton des écarts. Cependant, due à l utlsaton du produt scalare euclden (nécesstent une base orthogonale), cette ntroducton de défauts technologques dot se fare de façon réfléche (Annexe ) pour optmser la descrpton modale. Ce pont peut malgré tout être un avantage en vérfant l effcacté de l enrchssement de la base modale. L analyse du postonnement d une géométre sur l autre est à ses débuts. Dans l état actuel, l approche gère le postonnement des surfaces en consdérant un effort glsseur (pas de moment). L extenson de cette méthode à d autres surfaces ne semble pas poser de problème à pror, pour le moment nous manquons de recul pour l affrmer. 5. Perspectves du chaptre On peut dentfer quelques perspectves de ce chaptre : La projecton modale par le produt scalare euclden nécesste une base orthogonale, ce qu modfe les formes élémentares lors de l ntroducton de défauts technologques. On peut se demander s la projecton eucldenne est la melleure méthode de caractérsaton d un écart de forme, peut-on se passer d une base modale eucldenne? Un début de réponse est apporté par Hugues Favrelère en thèse sur le déploement de la méthode modale en métrologe.

154 146 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal L approche modale est adaptée à la caractérsaton des accostages. Une prochane étape mportante est l évoluton vers des modèles flexbles, tels que le proposent entres autres [Merkley, 1998], [Sellem et al, 1998], [Shu et al, 003], on peut auss regarder pencher sur les modélsaton que propose [Mounaud et al, 007]. Le postonnement d une géométre soumse à un couple. L ambton d une telle évoluton est la détermnaton de l écart de postonnement d une géométre dans une autre, caractérsant une lason avec jeu, lorsque l effort de MAP est extéreur à la lason (type pvot dans un mécansme avec porte-à-faux).

155 147 Chaptre 4 Chaptre 4 Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel OBJECTIF DE CE CHAPITRE Le chaptre 3 précédent présente les évolutons de la méthode modale dans la caractérsaton d un défaut de forme. La méthode modale décrt un écart de forme avec une sgnfcaton métrque, dans une base de défauts de forme élémentare défne à pror ou spécfée dans une relaton clent-fournsseur. Ce même chaptre présente auss l utlsaton de la méthode modale pour l analyse des écarts dans l assemblage de composants. Toutes ces évolutons sont fates pour la qualfcaton d un seul défaut de forme et l analyse d un seul assemblage. Le chaptre 5 propose l extenson de la méthode modale à la caractérsaton d un lot de forme et l analyse de lot d assemblages. Cette évoluton vers le tratement statstque des écarts de forme se fat en deux étapes : Dans une premère parte, on propose une descrpton modale statstque d un lot de défauts de forme. Pour cela, on ntrodut la caractérsaton de la forme moyenne du lot et sa forme écart type. Dans une seconde parte, on propose d applquer le crtère d nerte à la descrpton statstque modale. Nous rapprochons ans notre crtère de quantfcaton, l nerte, à notre méthode de qualfcaton, la méthode modale. Grâce à cette avancée de la caractérsaton modale des écarts de forme vers le domane statstque, on dspose alors d un nouveau crtère d acceptaton 3D des formes. Sute aux bons résultats de l utlsaton du crtère nerte en tolérancement undrectonnel, on se propose de tester ce crtère en tolérancement 3D. On propose donc de trater un cas smple d assemblage D de tros composants comprenant des bras de levers. Afn de comparer notre méthode de tolérancement statstque 3D avec une méthode exstante de tolérancement, les défauts de forme ne sont pas étudés lors des smulatons d assemblage.

156 148 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Glossare Λ Sgnature modale moyenne B Base modale I Crtère nerte I ajustée Inerte ajusté d un lot de défaut de forme I Inerte du pont I s Inerte scalare du lot de défaut de forme I s, Inerte scalare de la surface I s,j Inerte de la surface j I T Surface nertelle du lot de défauts de forme δ I λ Inerte du coeffcent modal λ due au décentrage σ I λ Inerte du coeffcent modal λ due à l écart-type K Nombre de défauts de forme (surface) N Nombre de ponts mesurés par défaut de forme (surface) Q ème vecteur modal T Recomposton modale de la surface décrte X,j Ecart du pont j de la surface Λ j Sgnature modale de la forme no j Σ T Matrce de varance-covarance du lot de défauts de forme Σ Λ Matrce de varance-covarance modale λ ème coeffcent modal λ ème coeffcent de la sgnature modale moyenne λ,j ème coeffcent modal du j ème défaut de forme µ T Surface moyenne du lot de défauts de forme µ λ Moyenne du ème coeffcent modal σ T Surface écart-type du lot de défauts de forme σ Λ Sgnature modale écart-type Ecart type du ème coeffcent modal σ λ

157 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel Statstque et méthode modale OBJECTIF DE LA PARTIE Dans cette parte, on présente l applcaton de la méthode modale à un lot de défauts de forme. Ans on aborde l aspect statstque de la caractérsaton modale. L évoluton de la méthode modale vers la qualfcaton statstque d un lot de défauts de forme se fat en pluseurs étapes : On présente le lot de sgnatures modales représentant la descrpton d un lot de défaut de forme, De ce lot de caractérsaton modale des défauts de forme, on extrat la caractérsaton moyenne des défauts de forme ans qu une caractérsaton des écartstypes des défauts de forme élémentare composant les défauts de forme. On ntrodut ans la sgnature modale moyenne et écart-type d un lot de défauts de forme. On ntrodut une représentaton de la forme moyenne du lot d écarts de forme, ans qu une géométre représentant les écarts types des formes. Enfn, on fat le len entre les descrptons modales du défaut de forme moyen et écart-type pour en fare la représentaton sous forme de géométre moyenne et écart type. 1.1 Smulaton d un lot d écarts de forme Avant de dscuter de la caractérsaton modale d un lot de défauts de forme, nous ntrodusons d abord un cas smple permettant d llustrer nos propos. Ensute, nous développons une méthode basée sur la caractérsaton modale qu nous permet de smuler non seulement une forme mas auss un lot de défauts de forme Exemple d llustraton Pour llustrer les dfférentes représentatons graphques d un lot de défauts de forme, on chost de trater le cas smple du profl poutre ntrodut dans le chaptre 3. La caractérsaton modale d un écart de forme est présentée dans la parte.1.5 où l écart de forme analysé est créé par déformaton statque d un modèle par éléments fns. Le modèle géométrque que l on consdère est un profl poutre de cnquante nœuds. La fgure suvante rappelle les dfférents défauts de forme élémentares qu composent la base modale métrque. Dans le cas d exemple, on se contente de consdérer vngt défauts modaux élémentares, dont dx sont énumérés dans la fgure 4-1. Cependant, on rappelle que la base modale peut être plus complète.

158 150 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Fgure 4-1 : Base modale métrque du modèle poutre 1.1. Créaton d un lot de défauts de forme Cette parte trate d une méthode de créaton d un lot d écarts de forme. On justfe l utlsaton de cette méthode avant d en développer la démarche Justfcaton de la méthode Nos travaux de recherche sont récents et leurs essas sur des mesures sont prévus dans un avenr proche. Cependant, afn de tester la méthode, on décde de fare de la smulaton de défaut de forme. Le premer avantage de notre méthode de créaton de défauts de formes est de permettre le paramétrage des formes obtenues. La méthode que l on propose permet une maîtrse des géométres créées. Une utlsaton future de cette méthode qu n est pas détallée dans ce rapport est lée à l assemblage de surface avec défaut de forme. En effet, étant donné que l on maîtrse les défauts de forme smulés, on peut donc tester l nfluence des défauts de forme élémentares, leur ampltude et leur combnason sur l écart de mse en poston. Afn de fare apparaître une tendance dans les écarts de forme à analyser, dans le but de représenter un lot de pèces ssues d un même procédé de fabrcaton, on décde de créer des varatons de forme autour d un écart de forme de base. Pluseurs solutons sont possbles, on peut fare varer les déplacements mposés lors de la résoluton statque du défaut de forme, mas on envsage d utlser la méthode modale pour créer le lot de défaut de forme. Notre objectf c est de créer un lot de défauts de forme qu pourrat être ssu d un procédé de producton générant un défaut de forme systématque Sgnature modale du défaut de forme de base : la moyenne Pluseurs possbltés s offrent à nous. On part sot d un défaut de forme connu, ssu de la mesure, sot d une déformée statque ou autre que l on caractérse pour obtenr sa sgnature modale. On peut partr drectement d une sgnature modale chose arbtrarement. Dans notre cas, nous chosssons de trer aléatorement une sgnature modale que nous consdérons comme la caractérsaton du défaut de forme ntal. Les ampltudes des coeffcents modaux respectent une lo nversement proportonnelle à leur ordre d apparton dans la base. On justfe le chox d une telle lo de dstrbuton des coeffcents modaux car elle est proche de ce qu on peut observer sur les caractérsatons des écarts de forme [Samper et al, 007], [Perpol, 004], [Adragna et al, 006 d] et [Favrelère et al, 007]. Les défauts de forme de courte ondulaton sont généralement mons mportants dans la descrpton de l écart de forme que ceux de plus grande ondulaton.

159 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 151 Fgure 4- : Moyenne ntale, sgnature modale et forme recomposée Dans le cas de surfaces volontarement texturées (ou ondulées), la forme échappe à cette lo, cependant la forme n est pas le défaut de forme. ( ) A = [ 4-1 ] A 0 Où A() représente l ampltude maxmale du ème l ampltude ntale. ( ) coeffcent modal et A 0 représente λ = ω.a [ 4- ] Où ω est un générateur de nombre aléatore appartenant à l ntervalle [-1 ; 1]. On présente ans dans la fgure 4-, la sgnature modale de base et la forme de base recomposée Créaton d un lot à partr du défaut de base : la dsperson Afn de créer de la varaton autour de ce défaut de forme de base, pluseurs solutons sont possbles. On peut ajouter des écarts aléatores sur la forme moyenne, cette soluton consste à créer du brut que l on peut apparenter à du brut de mesure. Cette soluton n est pas suffsante pour créer de la dsperson autour de la forme moyenne. Les varatons engendrées sur la caractérsaton modale dépendent de l ampltude du brut et du nombre de ponts du modèle. Une autre soluton consste à ajouter des écarts aléatores sur la sgnature modale de la forme de base, ans on change la forme du défaut. Pour créer ce brut aléatore sur les coeffcents modaux, on chost la même lo de dstrbuton que celle utlsée pour la créaton de la sgnature modale du défaut de forme de base. Au fnal, on décde de combner les deux solutons présentées pour créer de la dsperson. Dans un premer temps, on ajoute un brut aléatore sur la sgnature modale pour créer une varaton de la forme. Et dans un second temps, on ajoute un brut de mesure sur les formes recomposée. On obtent ans une forme smlare à la forme de base mas comportant des varatons de formes. Pour créer un lot de forme, on répète cette opératon pour créer toutes les formes smulées. On présente auss les formes obtenues par les varatons sur les sgnatures modales ans que les formes obtenues par le brut de mesure smulé.

160 15 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Fgure 4-3 : Lot smulé de formes avec varaton modale pus brut de mesure 1. Représentaton modale des écarts de forme La méthode modale permet de caractérser des écarts de forme de n mporte quelle géométre en une combnason de défaut de forme élémentare. Le résultat de la caractérsaton d un écart de géométre V est un nombre lmté de descrpteur, les coeffcents modaux λ. Ces coeffcents modaux sont les coeffcents d nfluence de chaque défaut de forme élémentare Q dans la descrpton de l écart de forme. L ensemble de ces coeffcents modaux est regroupé dans un vecteur que l on nomme sgnature modale Λ. Cependant, l utlsateur peut être ntéressé à caractérser non plus une seule pèce, mas un lot de pèce. Nous proposons alors deux méthodes permettant la représentaton des caractérstques d un lot de pèce : Dans un premer temps, on représente l ensemble des caractérsatons des écarts de forme par l ensemble de leurs sgnatures modales sous forme d hstogramme. Cette représentaton peut être ntéressante mas comporte certans nconvénents. Enfn on présente une sgnature modale moyenne, qu est la moyenne des sgnatures modale et une sgnature modale écart type, qu est l écart-type des sgnatures modales. Ans seulement deux sgnatures modales suffsent à représenter un lot d écarts de forme Premère représentaton : hstogramme des sgnatures Cette parte propose une premère représentaton de la caractérsaton modale d un lot de formes. Le résultat de la caractérsaton modale d un lot de défauts de forme est un lot de sgnatures modales. La premère façon que l on chost pour représenter les dfférentes caractérsatons des défauts de forme est une successon d hstogrammes. On obtent ans une représentaton exhaustve des sgnatures modales représentant les caractérsatons dans la même base modale de toutes les pèces du lot. A partr des résultats obtenus, on peut repérer les modes communs à chaque géométre. On peut ans vsuellement dentfer une sgnature moyenne du lot, qu peut correspondre à une tendance de la forme moyenne du lot. Cependant, on peut rencontrer des dffcultés lors de la vsualsaton du lot de sgnatures :

161 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 153 Les défauts de formes ne sont pas tous de même ampltude, mas on observe néanmons une tendance globale des descrptons des défauts de forme. On peut normer l ampltude maxmale du mode le plus nfluent. Ans toutes les caractérsatons peuvent avor la même ampltude. La talle du lot est mportante, dans ce cas l affchage ou la lecture de toutes ces sgnatures modale n est pas évdente. L nterprétaton est d autant mons évdente s les smltudes entre les descrptons des formes sont fables. Fgure 4-4 : Deux vues de la même descrpton du lot de forme par l hstogramme des sgnatures modales 1.. Seconde représentaton : sgnature modale moyenne et sgnature modale écart type La seconde approche que nous proposons consdère le lot de sgnature modale comme un lot de caractérstques. On fat alors une nterprétaton smlare au cas 1D ou le lot de caractérstques est décrt par une moyenne et une dsperson. Dans notre cas, on propose de calculer la sgnature moyenne et la sgnature écart type. Ces sgnatures correspondent respectvement à la moyenne et l écart-type de chaque coeffcent modal Sgnature modale moyenne Ce qu on appelle sgnature modale moyenne correspond à la moyenne des sgnatures modales. Les coeffcents modaux de la sgnature modale moyenne sont les moyennes des coeffcents modaux des sgnatures modales des géométres du lot. Λ la sgnature modale moyenne d un lot de défaut de forme est calculée de la façon suvante :... λ, j 1 j Λ = Λ j = λ = [ 4-3 ] n j n... Où Λ j est la sgnature modale du j ème défaut de forme et λ,j est le ème coeffcent modal de cette j ème sgnature modale. On défnt auss λ comme la ème coordonnée modale de la sgnature modale moyenne, c est auss la moyenne des ème coeffcents modaux des défauts de forme.

162 154 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal La fgure 4-5 présente la sgnature modale moyenne du lot de défauts de forme smulés présenté dans la fgure Sgnature modale écart-type La sgnature modale écart-type regroupe des coeffcents postfs. On note σ λ le coeffcent modal de la sgnature modale écart-type σ Λ. Ses coeffcents correspondent aux écarts types des coeffcents modaux λ des sgnatures modales Λ j. Fgure 4-5 : Sgnatures modales moyenne et écart-type du lot La fgure 4-5 c dessus présente la sgnature modale écart-type. Cette descrpton modale permet de vsualser les défauts élémentares modaux qu partcpent à la varaton aléatore du lot de défauts de forme. On peut auss observer au contrare les défauts de forme élémentares pour lesquels la dsperson est nulle. Fgure 4-6 : Deux vues de la matrce varance-covarance modale du lot Néanmons cette caractérsaton des dspersons peut ne pas être suffsante, on propose alors une autre représentaton qu est plus complète. Il s agt de Σ Λ la matrce de varancecovarance des coeffcents modaux. Elle permet de fare apparaître des corrélatons entres les défauts de formes élémentares. La dagonale de cette matrce est la sgnature modale écarttype σ Λ présentée précédemment.

163 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 155 La fgure 4-6 c dessus est une représentaton de la matrce de varance covarance comme le propose [Merkley, 1998]. La lecture d un tel résultat n est pas asée. Dans la représentaton sous forme d mage, la varance du mode 1 est dvsée par 10 afn de ne pas masquer les ampltudes des autres varances et covarances Surface moyenne et surface écart-type OBJECTIF DE LA PARTIE Cette parte fat le len entre les caractérsatons statstques d un lot de défauts de forme et leurs représentatons géométrques. Ce qu on appelle les caractérsatons statstques sont en fat la sgnature modale moyenne et la matrce de varance-covarance modale. On présente ans la surface moyenne et la surface écart type. Du pont de vue de l expert en méthode modale, les caractérstques modales statques, sgnature modale moyenne et sgnature modale écart-type ou la matrce de varancecovarance, peuvent être suffsantes pour décrre un lot de défauts de forme. Cependant, cette parte a vu le jour notamment grâce à la collaboraton ndustrelle. Il est évdent que la représentaton par une forme géométrque plutôt que par sa descrpton modale faclte l nterprétaton d un lot d écarts de forme. L ntérêt de la méthode modale est l équvalence (au résdu près) entre la descrpton en défauts élémentares et la recomposton en forme géométrque. On peut ans décrre un lot de défauts de forme et obtenr les caractérstques statstques de ce lot, sgnature modale moyenne et écart-type. L nterprétaton de ces caractérsatons statstques modales n est pas évdente, c est pourquo on propose une représentaton sous forme de géométre 3D. [Favrelère et al, 007] présente ans la forme moyenne et la forme écart-type représentant les caractérstques statstques d un lot de géométre. Ces surfaces moyenne et écart-type représentent les moyennes et les écarts-types de chaque pont de la surface. Elles sont calculées à partr des ponts de chaque défaut de forme. On peut obtenr les mêmes représentatons 3D de la moyenne et l écart-type sans l ntermédare de la méthode modale. L ntérêt d utlser la méthode modale est le fltrage des géométres analysées permettant ans de lsser les écarts de forme dentfés. De plus, en utlsant la méthode modale, on a drectement les caractérsatons modales du lot, ce qu permet de ne pas analyser les surfaces moyenne et écart-type pour obtenr leurs caractérsatons modales Surface modale moyenne La méthode modale permet la descrpton d une forme par une relaton lnéare : =. t T λ. Q = B Λ [ 4-4 ] Où Q (m,1) est le ème vecteur modale de la base modale B (n,m). On consdère donc la méthode modale comme une transformaton lnéare du type Y = A.X où A est une matrce de constantes non carrée [Saporta, 000]. La surface moyenne µ T d un lot de forme fltré par la méthode modale se calcule grâce à la base modale et la sgnature modale moyenne. On obtent ans : t µ = B.Λ [ 4-5 ] T Dans notre cas d applcaton, la surface moyenne est détermnée par la sgnature modale moyenne présentée à la fgure 4-5. La fgure 4-8 c-dessous présente la géométre moyenne du lot d écart de forme.

164 156 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Surface modale écart type La surface écart-type σ T du lot de forme fltré ne s obtent pas drectement à partr de la sgnature modale écart-type σ Λ. La relaton statstque d une transformaton lnéare le les matrces de varance-covarance. On ne peut donc drectement travaller sur la sgnature modale écart-type et la surface écart type. On obtent en fat la matrce de varance-covarance Σ T des ponts du lot de forme fltré grâce la matrce de varance-covarance modales Σ Λ du lot. On a donc : T. Λ. Σ = B t Σ B [ 4-6 ] Le résultat de ce calcul donne la matrce de varance-covarance entre les nœuds des défauts de forme analysés. Ce qu nous ntéresse est la surface écart-type qu est détermnée grâce à la dagonale de cette matrce varance-covarance. Le résultat de la converson modale de la matrce de varance-covarance des modes est une matrce de varance-covarance des ponts de la géométre. Comme pour la matrce de varance-covarance des modes, on peut représenter cette matrce. Fgure 4-7 : Deux vues de la matrce de varance-covarance modale des ponts de la géométre Pour notre cas d applcaton, la surface écart-type est détermnée par la matrce de varancecovarance modale présentée à la fgure 4-6. t ( B Σ B) σ T = dag. Λ. [ 4-7 ]

165 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 157 Fgure 4-8 : Surfaces modales moyenne et écart-type du lot La fgure 4-8 b) présente la géométre écart-type du lot d écart de forme. Les ponts où la forme est proche de la géométre déale sgnfent que la dsperson est localement fable. Au contrare, aux endrots où la forme écart-type est élognée de la géométre déale, cela sgnfe que ces ponts ont une grande dsperson parm les dfférents écarts de forme du lot.

166 158 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 1.3 Synthèse de la parte Lot de défaut de forme Lot de sgnature modale Méthode modale La base modale Statstque géométrque Statstque modale Fgure 4-9 : Résumé du de la caractérsaton modale statstque La fgure 4-9 c-dessus résume cette parte 1qu trate de la caractérsaton statstque d un lot de défaut de forme. On peut obtenr drectement la descrpton statstque de la géométre du lot à partr du lot de défaut de forme. Cette étape symbolsée par la flèche rose n est pas détallée dans cette parte, contrarement aux flèches bleues qu reprennent les tros étapes de la caractérsaton statstque d un lot de forme. La premère qu consste à décrre les défauts de forme V j dans la base modale B pour obtenr les sgnatures modales Λ j est présentée dans le chaptre 4 précédent. La seconde étape, symbolsée par la flèche vertcale, permet d obtenr la descrpton statstque modale à partr du lot de descrpton modale des défauts de forme. On obtent ans : o Une sgnature modale moyenne Λ représentant le défaut de forme moyen du lot, o Une matrce de varance-covarance Σ Λ des sgnatures modales du lot, dont la dagonale correspond à la sgnature modale écart-type σ Λ. La trosème étape consste à re-basculer les nformatons modales statstques dans l espace géométrque des surfaces. On présente ans : o Une forme modale moyenne µ T représentant le défaut de forme moyen du lot, o Une matrce de varance-covarance Σ T des ponts du lot, dont la dagonale correspond à la forme modale écart-type σ T.

167 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 159 Fuson de la méthode modale et du crtère nerte OBJECTIF DE CETTE PARTIE Dans cette parte, nous tratons du rapprochement de nos deux axes de recherche, le tolérancement nertel et la méthode modale. Le tolérancement nertel est basé sur un crtère d acceptaton, l nerte, qu permet de qualfer statstquement un lot de composants tout en garantssant effcacement la CF de la résultante de l assemblage. La méthode modale est une méthode de caractérsaton des écarts de poston-orentaton, talle et forme de tout élément géométrque en défauts de forme élémentares. Cette méthode trate auss l assemblage de géométres avec écart de poston et/ou de forme. Notre objectf dans cette parte est de proposer une extenson du crtère de quantfcaton nertel sur la méthode de qualfcaton modale. [Pllet et al, 005] propose déjà une extenson du crtère nertel au tratement des géométres 3D. Nous reprenons cette défnton pour la compléter par la caractérsaton modale, pus nous proposons une évoluton de ce crtère nerte 3D. Cette parte se présente donc en deux sous partes : Dans un premer temps, on utlse la défnton exstante de la défnton de l nerte d une surface. La méthode modale permet ans de détermner l nerte d une surface ou d un lot de surface grâce à la caractérsaton statstque modale. Dans un second temps, on propose une évoluton de ce crtère. En effet, nous dscuterons de sa défnton ntale afn de justfer notre nouvelle proposton d nerte d une surface..1 Inerte 3D classque Cette parte trate de la fuson du crtère nerte sur la descrpton modale. Dans un premer temps, on présente la défnton de l nerte 3D d une géométre pus la démarche permettant d obtenr une nerte à partr de la méthode modale. On expose enfn le calcul de l nerte d une surface, pus l nerte d un lot de surface..1.1 L nerte 3D par Pllet [Pllet, 004] présente un crtère de quantfcaton des écarts undrectonnels, l nerte, dont nous avons dscuté dans les chaptres 1 et. p 1 I = ( X k C) = δ +σ [ 4-8 ] p k= 1 La premère paruton de l nerte 3D est présentée dans [Pllet et al, 005]. La vson d un défaut de forme correspond à celle que l on décrt par la méthode modale : un écart de forme est mesuré selon les normales à la surface déale, un défaut de forme est décrt par des ponts de mesure prédéfns, Inerte d une surface Ans la quantfcaton nertelle I s, du défaut de forme d une surface, se défnt par : I s, = 1 n n ( X, j C) j= 1 [ 4-9 ]

168 160 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Avec : I s, : l nerte de la surface, n : le nombre de ponts de mesure sur la surface, X,j : la mesure du pont j de la surface, C : la valeur cble Cette relaton peut auss s écrre sous la forme : = δ + σ [ 4-10 ] Is, Où δ représente le décentrage moyen des ponts de mesures par rapport à leurs valeurs cbles, et σ est l écart-type de la répartton des ponts autour de leurs valeurs cbles. Remarque On reconnaît c la défnton de l nerte d un lot d une smple caractérstque que l on utlse dans le chaptre 3. Pour le calcul de l nerte d une surface, on consdère que les ponts de mesure sont des mesures ndépendantes. On ne tent pas compte d un quelconque len dû à leur appartenance à la même surface Inerte d un lot de surface Dans le cas d un lot de surface, l nerte I du lot de k surfaces est défne comme sut : I = 1 k. n = k j = n j = 1 = 1 ( X C), j [ 4-11 ] Où k représente le nombre de surfaces du lot, et n est le nombre de ponts de mesures par surface. De cette relaton générale on peut trer deux relatons partculères : Inerte du lot à partr des nertes des surfaces La relaton [ 4-11 ] peut auss s écrre sous la forme : I = 1 k Ce qu peut fnalement s écrre par : n = k j = n 1 ( X, j C) = 1 j = 1 [ 4-1 ] I = 1 k = k I s, = 1 [ 4-13 ] Cette équaton sgnfe que l nerte d un lot de défaut de forme est la moyenne quadratque des nertes de chaque défaut de forme. Inerte du lot à partr des nertes des ponts La relaton [ 4-11 ] peut auss s écrre sous la forme : I = 1 n j = n = k 1 ( X, j C) k j = 1 = 1 [ 4-14 ]

169 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 161 Ce qu peut fnalement s écrre par : I = 1 n j = n j = 1 I j [ 4-15 ] Où I j est l nerte du pont j des défauts de forme. Cette équaton sgnfe que l nerte d un lot de défaut de forme peut auss être calculée par la moyenne quadratque des nertes de chaque pont de la géométre. Lot de défaut de forme Pont de vue ponts : n lots de k ponts Pont de vue surface : k lots de n ponts Un lot de n nertes des ponts I j Un lot de k nertes des surfaces I Une nerte du lot des surfaces I Fgure 4-10 : Résumé des approches de calcul de l nerte d un lot de forme On a donc deux méthodes permettant d obtenr l nerte d un lot de défaut de forme. On peut consdérer chaque défaut de forme comme une caractérstque pour laquelle on calcule son nerte, et l nerte du lot est ensute calculée en combnant les nertes de tous les défauts de forme. On peut consdérer chaque pont de mesure comme une caractérstque et calculer l nerte de chaque pont du mallage de mesure. L nerte du lot est ensute calculée par la combnason des nertes de chaque pont du mallage de mesure..1. Inerte et descrpton modale La méthode modale permet une descrpton des défauts de forme par un nombre mnmale de caractérstques que sont les coeffcents modaux λ, regroupés dans la sgnature modale Λ. Un défaut de forme V j est caractérsé par sa sgnature modale Λ j, contenant les λ,j coeffcents modaux. On a présenté dans le paragraphe 1 une caractérsaton statstque d un lot de défauts de forme par la méthode modale. Le but de cette parte est de permettre l obtenton de l nerte d un lot de défauts de forme grâce à la méthode modale et la caractérsaton statstque Surface nerte Dans le paragraphe on a défn la surface moyenne et dans le paragraphe 1..3., la surface écart-type. Ces deux surfaces consttuent les caractérstques statstques des ponts du mallage.

170 16 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal En combnant ces moyennes et écarts-types grâce à l équaton [ 4-10 ], on calcule les nertes de chaque pont du mallage qu défnssent ans la surface nerte. On nomme cette représentaton la surface nerte modale du lot d écart de forme : IT = µ + σ [ 4-16 ] T T Où µ T correspond à la surface modale moyenne défne à l équaton [ 4-5 ] et σ T correspond à la surface modale écart-type défne à l équaton [ 4-7 ]. Fgure 4-11 : La surface nerte modale du lot La détermnaton du scalare nerte qu quantfe les écarts du lot par rapport à leur cble est alors défne par la relaton [ 4-14 ]. On peut alors écrre : I = 1 n j = n I T, j j= 1 [ 4-17 ] Où I T,j représente l nerte du pont j du lot, I T,j est en fat le j ème pont la surface modale nertelle I T..1.. Cas partculer On peut dentfer deux cas partculers pour le calcul de l nerte d un lot en foncton des caractérstques modales statstques : Cas 1 : la sgnature modale écart-type est nulle, Cas : la sgnature modale moyenne est nulle. Inerte unquement due à la moyenne Dans le cas 1, on ne trate qu une seule pèce ou alors le lot est très peu dspersé. Par conséquent, la surface nerte modale n est due qu à la surface modale moyenne. L nerte du lot se calcule donc unquement grâce à la sgnature modale moyenne.. t I = B.Λ [ 4-18 ] T

171 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 163 Inerte unquement due à l écart-type Dans le cas, on ne trate qu un lot de pèces centrées sur la géométre cble. De ce fat, la surface nerte modale n est due qu à la surface modale écart-type. L nerte du lot se calcule donc unquement grâce à la matrce de varance-covarance modale. t ( B Σ B). Λ IT = dag. [ 4-19 ] Où dag est la foncton qu retourne la dagonale d une matrce carrée. Sgnatures nertelles? Cette problématque est présentée dans [Adragna et al, 007 b], donnant auss leu à des défntons de sgnatures modales nertelles. Mas ce concept de sgnature nertelle modale n est pas faclement explotable. En effet, dans le cas d écart de forme unquement dû à une moyenne, la sgnature modale est le vecteur sgnature modale moyenne. Dans le cas de défaut de forme unquement dû à l écart-type, la sgnature nertelle est en fat la matrce carrée de varance-covarance modale. Cependant, dans la parte.3.3, nous proposons une représentaton graphque de la sgnature modale moyenne et de la sgnature modale écart-type sur certans modes de la base modale. On défnt ans des domanes de tolérance. Mas, étant donné qu on ne prend pas en compte la covarance entre les modes, on ne peut consdérer cette représentaton fort ntéressante comme aboute.. Inerte 3D ajustée Cette parte trate d une nouvelle défnton de l nerte 3D d un lot de forme. C est à partr de l étude de l nerte 3D classque que nous dévolons une nouvelle défnton de l nerte 3D...1 Brève crtque de l nerte 3D classque Cette crtque a pu vor le jour grâce au rapprochement de l nerte et de la méthode modale. La dscusson repose sur les deux défauts de forme rgdes ssus de la base modale du modèle poutre, la translaton et la rotaton Une nerte dépendante du nombre de ponts de mesure D après la défnton de l nerte d un défaut de forme 3D, l nerte de la forme est la moyenne quadratque des nertes des ponts du mallage. Consdérons un unque écart de géométre donné par le mode de rotaton. Ce défaut de forme est centré et symétrque. Donc en consdérant un pont à chaque extrémté du profl, p 1 et p, on a la relaton sur les décalages des ponts : δ = [ 4-0 ] 1 δ D où les nertes de ces deux ponts sont égales à la valeur du décentrage, que l on note δ. Dans ce cas l nerte du défaut de forme est : I 1 = I = δ [ 4-1 ] I + = 1 I I = δ [ 4- ]

172 164 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal δ p 1 p 3 p δ Fgure 4-1 : Un défaut de forme mesuré en et 3 ponts Consdérons ce même défaut de forme mesuré mantenant en tros ponts, p 1 et p à chaque extrémté, et p 3 au centre. Les ponts p 1 et p ont les mêmes nertes que précédemment, p 3 quant à lu a une nerte nulle car le défaut est centré sur la cble en p 3. D où l nerte du défaut de forme est mantenant égale à : I1 + I + I3 I = = δ. [ 4-3 ] 3 3 La remarque est présentée dans [Adragna et al, 007 b]. En consdérant une combnason des modes de translaton et de rotaton, on observe une augmentaton de l écart-type admssble en foncton du nombre de ponts de mesure. Se dégage ans le problème suvant : afn que deux personnes trouvent la même nerte d un défaut de forme, l faut spécfer le nombre de ponts de mesure et leurs emplacements. Quel peut alors être la relaton entre un clent et son fournsseur s cette précauton n est pas prse? L un pourrat chosr les ponts de mesure pour artfcellement augmenter l nerte du lot et avor une melleure qualté alors que l autre pourrat augmenter le nombre de ponts de mesure pour essayer de dmnuer l nerte du lot et gagner en rentablté...1. Une nerte ne garantssant plus la CF Pour llustrer ce pont, on propose de consdérer un smple exemple d emplage D de deux composants. Le problème est ensute décomposé en deux chaînes de cote 1D que l on trate par le tolérancement nertel du chaptre. t Réf. t Composant B X B X B1 X B X B1 Composant A X A X A1 X A X A1 Réf. Fgure 4-13 : Emplage D

173 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 165 La fgure 4-13 c-dessus présente le cas d exemple d un emplage D traté par le tolérancement vectorel. On dspose ans de deux chaînes de cote, 1 et. Grâce à la méthode de tolérancement nertel 1D que l on propose, on peut garantr la CF, vor même garantr un TNC sur cette CF. En applquant la méthode sur les deux chaînes de cote 1 et, on peut garantr la CF ndépendamment sur l une et l autre, et ans garantr la CF du problème D. Consdérons mantenant le cas partculer présenté dans la fgure Les composants de la chaîne de cote 1 sont parfatement centrés. En supposant une fable dsperson, l nerte de chaque composant est fable. Par défnton, l nerte 3D classque autorse alors plus d écarts sur la chaîne de cote. Cette augmentaton d écart ne garantt plus de ce fat la CF sur cette seconde chaîne de cote. Par conséquent, la méthode ne la garantt plus sur la globalté. CONCLUSION INTERMEDIAIRE : La défnton classque est une défnton ntéressante pusqu elle jette les bases de l nerte 3D. Cependant, elle a ses lmtes et ne permet pas de répondre à l objectf du tolérancement. On propose donc une nouvelle nerte qu évte ces problèmes partculers : l nerte 3D ajustée... L nerte 3D ajustée Cette parte a pour but de défnr une évoluton de l nerte 3D classque que l on appelle nerte 3D ajustée qu répond aux crtères suvants : obtenr la même nerte d un lot quel que sot le nombre de ponts mesurés sur la surface, garantr la CF 3D résultante grâce à la méthode de tolérancement nertel 1D garantssant une CF....1 Défnton de l nerte 3D ajustée En se basant sur les remarques du paragraphe..1 précédent, on en a dédut la proposton suvante pour l nerte d une géométre : ( ) I = Max [ 4-4 ] ajustée I Où I ajustée est un scalare qu représente l nerte 3D ajustée, et I est l nerte des ponts mesurés de la géométre.

174 166 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal... Dscusson sur cette défnton Cette nouvelle défnton de l nerte géométrque permet d évter la problématque soulevée par le paragraphe..1.. Cette parte est une rapde dscusson sur les problématques présentées dans le paragraphe..1. Avantages En effet, l nerte d une géométre ne dépend plus du nombre de ponts mesurés, elle est défne par la plus grande nerte mesurée sur la géométre. Cependant, elle dépend toujours de l endrot où les écarts sont mesurés. En utlsant la méthode modale, on peut fare l nterpolaton des défauts de forme, et ans artfcellement augmenter le nombre de ponts de mesure pour affner le mallage. On a alors plus d opportuntés de trouver le pont qu possède la plus mauvase nerte, et donc de détecter une nerte dentque quels que soent les ponts de mesures. De plus, dans le cas du tolérancement de l emplage de composants, l nerte 3D ajustée permet mantenant de garantr la CF. En effet, la chaîne de cote est seule prse en compte quelles que soent les nertes plus fables de la chaîne de cote 1. Donc on garantt la CF sur la chaîne de cote, et donc sur l emplage 3D des composants. Une applcaton smlare sur l emplage de cnq composants est présentée dans [Adragna et al, 007 b]. Inconvénents L applcaton de cette méthode sur une surface brute révèle quelques nconvénents : une erreur de mesure peut fare apparaître un pc sur la surface faussant la valeur de l nerte 3D ajustée, alors que son mpact serat mondre avec l nerte 3D classque. Le crtère d nerte 3D ajustée nécesste alors d être applqué sur une surface fltrée (lssage des pcs). Cette remarque renforce le chox de l utlsaton de la méthode modale. Par alleurs, la méthode garantt la CF, ce qu on consdère acqus dans le cas des emplages. C est un avantage ncontestable. Cependant, comme dans le cas 1D et plus encore dans le cas 3D, on lmte l nerte acceptable pour des confguratons partculères dont l occurrence peut être fable. On se drge alors vers une méthode pouvant engendrer de la sur-qualté..3 L espace des coeffcents modaux Cette parte trate de la représentaton graphque des coeffcents modaux. Cet aspect n a pas été présenté plus tôt car on a chos de présenter en prorté la base métrque et le crtère nerte 3D. L objectf de cette parte est d ntrodure la représentaton de la tolérance 3D par zone et nertel dans l espace des coeffcents modaux. L ntérêt est entre autres de pouvor comparer les deux méthodes de tolérancement, le tolérancement 3D au pre des cas et le tolérancement 3D nertel que nous proposons par la sute. Cette parte se décompose en tros sous-partes : Une ntroducton de la représentaton dans l espace des coeffcents modaux. Cette parte s accompagne d une rapde dscusson sur la descrpton modale d un écart par rapport à la méthode des petts déplacements ou des TMaps. La représentaton de la tolérance 3D par zone dans le domane modal. On ntrodut ans, sans entrer dans les détals, quelques réflexons sur dfférentes bases de défauts de formes élémentares avec certanes proprétés. La représentaton de la tolérance nertelle 3D ajustée dans l espace des coeffcents modaux. On présente ans une dscusson sur le domane nertel de tolérance.

175 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel La représentaton dans l espace des coeffcents modaux Un écart de forme V j est caractérsé par la méthode modale par une combnason de coeffcents modaux λ,j regroupés dans la sgnature modale Λ j. Cette sgnature modale peut être représentée par un pont dans l espace des coeffcents modaux. On compare cette représentaton dans l espace modale à celle plus connue dans l espace des petts déplacements, à la dfférence que la méthode modale content des modes de forme ce qu augmente la talle de l espace de représentaton. Modes rgdes 3 modes Fgure 4-14 : Un défaut de forme et sa descrpton modale La fgure 4-14 présente un défaut de forme et sa sgnature modale. A partr de sa sgnature modale on représente la surface rgde que l on consdère comme la surface assocée par la méthode modale. Ce profl assocé est auss caractérsé par la méthode des petts déplacements. Fgure 4-15 : Représentaton dans les espaces modaux (λ 1, λ ) et (λ,λ 3 ), et l espace des petts déplacements (T Y, R Z ) La fgure 4-15 c dessus représente le défaut de forme caractérsé dans la base modale. Sa caractérsaton est représentée dans l espace des tros premers modes (translaton, rotaton et bombé). L autre représentaton correspond aux caractérstques du profl assocé dans l espace des petts déplacements.

176 168 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal La restrcton de la base modale aux modes rgdes de poston-orentaton permet de comparer la méthode à la méthode des petts déplacements comme dscuté au paragraphe 3.6 du chaptre 3. Le centre du repère correspond au centre de gravté du mallage, l axe x est algné sur le modèle et l axe y et normal au modèle orenté suvant un écart postf du mode 1. On peut donc fare un len entre les deux représentatons. Dans le cas présenté on a : T Y R Z = λ 1 λ = l [ 4-5 ] Où T Y et R Z correspondent respectvement aux composantes de translatons suvant Y et rotaton autour de Z du torseur de petts déplacements. λ 1 et λ correspondent eux respectvement aux coeffcents modaux des modes de translaton et de rotaton. La représentaton de plus de tros dmensons pose un problème. Une soluton est de présenter le résultat dans pluseurs coupes ou projecton. On peut utlser la même méthode pour les résultats de la caractérsaton modale. Néanmons, l faut noter que la représentaton de domanes est réservée au développement de la méthode. L utlsateur fnal n est pas concerné par ce problème. Ce derner cherche à fare les bons chox de spécfcatons et à les valder à l ade d outls numérques. Comparason méthode modale torseurs de pett déplacement L avantage de la méthode modale par rapport aux torseurs de petts déplacements est la caractérsaton d un écart et la représentaton d un écart de forme. En effet, la méthode modale permet nstantanément de caractérser les écarts de postonorentaton par une smple projecton vectorelle, alors qu l faut assocer une surface déale et caractérser ces écarts pour la méthode des petts déplacements. De plus, la méthode modale possède une homogénété dans la caractérsaton des écarts. Le défaut de rotaton est caractérsé par un déplacement et non une rotaton. Ans la représentaton statstque d un lot défauts de poston-orentaton dans l espace modal permet de donner du sens à la corrélaton du nuage de ponts car les untés sont cohérentes. Cependant, on dot le reconnaître, la méthode des torseurs de petts déplacements permet le transport des écarts de manère smple par l utlsaton d un produt vectorel, alors que le transport des écarts par la méthode modale est mons smple et explcte. On peut par conséquent envsager une combnason des deux méthodes permettant de ne garder que les avantages de chacune. La méthode modale permet de : caractérser faclement un écart de forme et en extrare ses composantes rgdes, représenter dans un espace métrque les composantes du défaut, La méthode des petts déplacements quant à elle offre l avantage de : permettre faclement le transport des défauts d un repère à un autre, fare l assemblage des défauts lors de la mse en coïncdence des surfaces..3. Représentaton de la zone de tolérance 3D ISO A la manère des domanes écarts défns par la méthode des domanes, on peut nterpréter une zone de tolérance 3D dans l espace des coeffcents modaux. [Samper et al, 007] présente un domane modal qu correspond à l nterprétaton d une tolérance de localsaton. Ce domane modal correspond à l ensemble des confguratons qu respectent la zone de tolérance.

177 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 169 La prse en compte des modes de forme ne donne pas toujours un domane modal symétrque. On peut le constater notamment dans le cas du profl avec le mode d nclnason et le mode 3 de bombé. Fgure 4-16 : Coupes du domane modal dans les plans (λ 1,λ ), (λ 1,λ 3 ) et (λ,λ 3 ) pour une tolérance t = 1mm Cependant, en ne consdérant que les modes rgdes, le domane modal est symétrque. Le respect de la tolérance peut s exprmer par la relaton : Cette relaton est due aux modes rgdes pour lesquels, on a : λ 1 + λ t [ 4-6 ] ( ) λ 1 + λ = Max X [ 4-7 ] Où Max ( X ) représente l écart maxmal par rapport à la cble. λ λ 1 +λ λ λ 1 Fgure 4-17 : écart maxmal des modes rgdes Cette relaton n est pas vérfée en consdérant certans modes de forme, comme on peut le constater dans la coupe des modes 1 (translaton) et 3 (bombé) Noton de modes extrêmes On présente ans ce qu on nomme les modes extrêmes qu permettent de défnr une relaton smple d nterprétaton du respect de la zone de tolérance, telle que la relaton de l équaton [ 4-6 ]. De façon générale, on peut donner la défnton des modes extrêmes : Une base de défauts de forme élémentares est appelée base extrême s pour toute recomposton de forme comprse dans une zone de tolérance, on a : λ t [ 4-8 ] Ce crtère d extrêmalté peut être vsualsé par un hyperdamant (dual de l hypercube) qu est un losange symétrque par rapport aux axes en D. Dans le cas de la fgure 4-16, on se rend compte que le couple de modes (1,) (translaton et rotaton) est extrême, alors que le couple (1,3) (translaton, bombé) ne l est pas.

178 170 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Ben que nos recherches sur ce sujet soent en cours de développement, on ntrodut cette noton de domane modal de tolérance assocé à une zone de tolérance. Cette noton de représentaton graphque de la tolérance est utle pour comparer la zone de tolérance nertelle 3D..3.3 Représentaton de l nerte 3D ajustée Cette parte consttue une dscusson sur la représentaton de la tolérance nertelle 3D ajustée dans l espace des coeffcents modaux. On chost de travaller avec les défauts modaux rgdes, qu sont extrêmes. Par conséquent, ls permettent d utlser la relaton [ 4-4 ], et smplfent la représentaton du domane dans une schématsaton D (translaton et rotaton). En consdérant ces deux modes extrêmes, la relaton [ 4-7 ] est valable. Cette relaton peut s nterpréter en statstque par une relaton sur les moyennes et une relaton sur les écarts-types sous l hypothèse que les λ sont ndépendants : Et ( ) + µ Max µ 1 X [ 4-9 ] µ λ λ = σ ( ) + [ 4-30 ] λ σ Max σ 1 λ = X Ces deux relatons peuvent s nterpréter drectement sur l nerte de la surface I. De plus en ntrodusant la noton d nerte des coeffcents modaux I λ1 et I λ, on peut dstnguer deux cas permettant d exprmer une relaton entre l nerte des coeffcents modaux et l nerte de la surface. On dstngue ans deux relatons permettant de dfférencer deux domanes nertels modaux. Domane nertel dû aux décentrages Dans le cas de dsperson nulle, les nertes sont unquement dues aux décentrages, avec la relaton [ 4-9 ], on peut dre : δ δ δ I λ 1 + Iλ = I s [ 4-31 ] Où I λ δ représente l nerte du coeffcent λ unquement due à son décentrage, et I s δ représente l nerte de la surface unquement au décentrage. Domane nertel dû aux écarts-types Et dans le cas de centrages des caractérstques, les nertes sont unquement dues aux écartstypes, avec la relaton [ 4-30 ], on a : σ λ σ λ I + I = I 1 σ s [ 4-3 ] Où I λ σ représente l nerte du coeffcent λ unquement due à son écart-type, et I s σ représente l nerte de la surface unquement à l écart-type. On a donc deux équatons qu lmtent le domane nertel modal en foncton de l hypothèse retenue. On présente ces deux domanes nertels dans la fgure On se permet de défnr un symbole permettant d exprmer la combnason des dfférentes nertes, de translaton et de rotaton, quelle que sot l hypothèse consdérée, décentrage pur ou dsperson pure. On défnt ans : I λ 1 I λ = I s [ 4-33 ]

179 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 171 Où le symbole est emprunté entre autres au produt de convoluton de lo de dstrbuton, et que l on lt "combné à". Dans notre cas, comme les nertes I λ1 et I λ sont des scalares, l n y a pas d ambguïté quant à la sgnfcaton du symbole. Ans le symbole dans notre cas désgne la combnason des nertes des coeffcents modaux selon l hypothèse de décentrage pure, dsperson pure ou aucune hypothèse. Dans cette dernère stuaton, la combnason est détallée par l équaton [ 4-34 ]. µ λ σ λ σ λ1 I + I σ λ I µ λ1 σ λ1 I + I δ λ δ λ1 I a) Relaton sur les moyennes, écarts-types nuls b) Relaton sur les écarts-types, moyennes nulles Fgure 4-18 : Domanes modaux sur les moyennes et les écarts-types des coeffcents En détallant davantage la composton de l nerte ajustée de la surface I, on se rend compte que c est la combnason quadratque de la somme des valeurs absolues des moyennes des coeffcents modaux, µ λ1 et µ λ, et de la somme quadratque des écarts-types des coeffcents modaux σ λ1 et σ λ. δ σ ( + µ ) + ( σ + σ ) = µ + σ = I s + I s = Is µ [ 4-34 ] λ1 λ λ1 λ, λ, λ,, Ι λ σ σ σ I + I = Is I λ1 λ δ δ δ I + I = Is I λ1 λ Ι λ δ I s σ I s Ι λ1 Ι λ1 a) Relaton sur les nertes b) Détals des nertes modales

180 17 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Fgure 4-19 : Domanes modaux sur les nertes des coeffcents La fgure 4-19 b est une vue de la combnason des nertes des coeffcents modaux, dues aux décalages et aux écarts-types avec leurs domanes de tolérance assocés. Comme pour le cas de la tolérance nertelle 1D, connassant le décentrage I s δ et l nerte I s, on peut calculer la tolérance restante sur l écart-type I s σ, et vce versa, connassant l écart-type I s σ, on peut calculer la tolérance dsponble pour le décalage I s δ. Attenton cependant, à ne pas fare l erreur de calculer l nerte de la surface I s par la somme vectorelle des nertes de décalage I s δ et d écart-type I s σ.

181 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel Synthèse de cette parte D un pont de vue général : Nous avons réuss la fuson de la méthode modale de qualfcaton des défauts de forme avec la méthode nertelle de quantfcaton des écarts. Ans, on peut obtenr l nerte des écarts de forme à partr de la caractérsaton modale du lot de défaut de forme, Le crtère nerte classque qualfe le lot de défauts de forme dans sa globalté en moyennant les écarts de l ensemble des ponts des défauts de forme. Nous consellons son utlsaton à la caractérsaton de la forme unquement, Le crtère nerte ajustée qualfe la plus grande nerte de chaque pont du lot de forme. Ce crtère ne prend pas en compte le lot de défauts de forme dans sa globalté, l est donc plus restrctf que l nerte classque. Cependant, sa défnton permet d envsager une méthode de tolérancement 3D statstque garantssant une CF. Cette parte nous a également perms de fare une comparason entre la méthode des domanes jeux et écarts lée aux torseurs de petts déplacements et la méthode modale. Ans, nous pouvons comparer les spécfcatons de tolérance de notre méthode, le tolérancement modalnertel, et une méthode exstante et reconnue qu est le tolérancement par les domanes jeux et écarts. Nous montrons auss une représentaton du domane de tolérance défn par l nerte 3D ajustée dans l espace des coeffcents modaux. Cependant, la présentaton qu en est fate dans ce document ne représente pas encore une approche aboute. Elle mérte pluseurs études complémentares de valdaton et d nterprétaton qu sont planfées pour les prochans mos au sen de notre laboratore.

182 174 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal 3 Proposton de tolérancement 3D nertel OBJECTIF DE CETTE PARTIE Ce parte a pour ambton de proposer une approche de tolérancement 3D en utlsant la défnton d nerte modale. L nerte modale est un crtère de quantfcaton des défauts de forme. C est l unon du crtère nerte de quantfcaton des écarts et de la méthode modale de qualfcaton des écarts de forme. L objectf c est d utlser la méthode modale nertelle de qualfcaton et quantfcaton des écarts de forme présentée dans la parte pour fare de la spécfcaton de tolérance en vue de garantr une condton fonctonnelle d un assemblage. Cette parte se décompose en deux sous-partes : Dans un premer temps, on présente une dscusson sur des spécfcatons de tolérances nertelles 3D. Par comparason avec les tolérances actuelles 3D par zone, on défnt une méthode de spécfcaton des tolérances nertelles 3D ajustée sur les défauts de forme rgdes. On dscute auss de la spécfcaton de la tolérance des défauts de forme. Dans un second temps, on présente une approche de tolérancement nertel 3D, les défauts de forme ne sont pas consdérés. On applque la méthode sur un cas théorque d emplage de composant comportant des bras de lever. Le fat de ne pas consdérer les défauts de forme permet de comparer notre méthode à celle des domanes des composantes de torseurs de petts déplacements. On présente enfn une applcaton du tolérancement modal nertel sur le même cas théorque d emplage avec bras de lever en consdérant les défauts de forme. Cette dernère applcaton est accompagnée d une dscusson. 3.1 Spécfcaton de tolérance modale nertelle OBJECTIF DE CETTE PARTIE Dans cette premère sous-parte, nous proposons une méthode de spécfcaton de la tolérance nertelle 3D. On se rend compte que la seule spécfcaton par un scalare n est pas suffsante dans tous les cas. On propose une spécfcaton de la tolérance nertelle de forme en deux temps : Une premère spécfcaton des défauts de la surface assocée par la tolérance nertelle 3D ajustée. Le but est de garantr la CF lorsque les défauts de formes ne sont pas prs en compte. On ntrodut ans une lo de spécfcaton des composantes d écart. La seconde spécfcaton concerne les défauts de forme dont la tolérance nertelle peut être spécfée de deux façons, par un scalare représentant l nerte ou une spécfcaton par composantes.

183 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel Sans prse en compte des défauts de forme Pour la modélsaton d un système sans prse en compte des défauts de forme, le tolérancement dfférence les défauts de poston-orentaton et les défauts de forme. Le découpage en deux problèmes se justfe auss par l hypothèse ben souvent consdérée que les défauts de forme sont néglgeables devant les écarts de poston-orentaton. Ans, on développe le tolérancement nertel en pluseurs étapes avec des phases de valdaton et de confrontaton de la méthode à d autres méthodes de tolérancement 3D. Ben que notre approche sot capable de tolérancer et spécfer tous types de défauts, poston et forme, la phase de valdaton se fat par la confrontaton avec la méthode des domanes des torseurs de petts déplacements, donc sans prse en compte des défauts de forme. Dans le but de garantr une CF et du fat que l on consdère les modes extrêmes (rgdes et talle), on chost de travaller avec la tolérance nertelle 3D ajustée. La spécfcaton de la tolérance nertelle 3D se fat par évoluton. On ne trate que deux cas de tolérance qu sont les équvalents de la tolérance de localsaton et une combnason de la tolérance de localsaton et la tolérance de parallélsme La localsaton nertelle L nterprétaton modale de la tolérance de localsaton est un losange dans l espace des modes de translaton et de rotaton. Les dagonales de ce losange sont de même longueur, on accorde autant de varaton sur la translaton que sur la rotaton. Pour la tolérance nertelle de localsaton, on accorde donc la même proprété, autant de rotaton que de translaton. On a donc la relaton suvante qu caractérse le domane nertel de tolérance : I I = I λ s I [ 4-35 ] 1 λ La fgure 4-0 suvante présente la comparason des formes des domanes de tolérance tradtonnelle par zone de tolérance et nertelle. C est une comparason qualtatve, on n a aucune correspondance entre les grandeurs des axes. t λ I Ι λ t t λ 1 Ι λ1 t I a) Domane de tolérance tradtonnelle par zone b) Domane de tolérance nertelle Fgure 4-0 : Domanes modaux tradtonnel et nertel pour une tolérance de localsaton

184 176 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Combnason nertelle de la localsaton et du parallélsme Ce paragraphe propose une expresson de la tolérance nertelle 3D ajustée qu se veut l équvalent de la combnason de la tolérance 3D de localsaton et de la tolérance de parallélsme. La tolérance de localsaton est présentée dans le paragraphe précédent. La tolérance de parallélsme quant à elle, est exprmée par deux plans parallèles lmtant la rotaton des défauts de poston-orentaton. Elle est représentée dans l espace des modes de translaton et de rotaton par deux drotes parallèles à l axe des translatons dstantes de la valeur de la tolérance. Les translatons ne sont pas tolérancées. Dans la méthode des domanes jeu et écart, la combnason de tolérance est une combnason de domane écart, qu retourne la parte commune des domanes écarts. Ans la combnason d une tolérance de localsaton et d une tolérance de parallélsme admet une varaton sur la translaton défne par la valeur de la localsaton et une varaton sur la rotaton défne par la valeur de parallélsme. Pour la tolérance nertelle de localsaton, on accorde donc la même proprété : mons de rotaton que de translaton. On a donc la relaton suvante qu combne les dfférentes nertes pour défnr le domane nertel de tolérance : I I = I λ 1 α. λ s I [ 4-36 ] Où α correspond à un coeffcent de majoraton des écarts de rotaton par rapport aux écarts de translaton. La fgure 4-1 suvante présente la comparason des formes des domanes de tolérance tradtonnelle par zone de tolérance et nertelle. t λ t α. Ι λ t t t α. t λ 1 I α I Ι λ1 a) Domane de tolérance tradtonnelle par zone b) Domane de tolérance nertelle Fgure 4-1 : Domanes modaux tradtonnel et nertel pour une combnason de tolérance de localsaton et de parallélsme On arrête c la présentaton des tolérances 3D. Notre but n est pas de présenter la lste exhaustve des tolérances nertelles 3D que nous pouvons défnr. Comme le tolérancement nertel 3D en est à ses débuts on propose une méthodologe permettant sa compréhenson, et son utlsaton Lo de spécfcaton des écarts On se rend compte par cette dernère spécfcaton de l équaton [ 4-36 ] que le scalare nerte ne sufft plus à exprmer la tolérance d un composant. Il faut précser une lo de combnason des nertes des coeffcents modaux.

185 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 177 Ans d une façon générale, on peut donner une valeur de tolérance nertelle 3D ajusté spécfée par un scalare I, que l on accompagne d une lo de spécfcaton. Dans notre cas d exemple de tolérancement du profl D, la base de défauts extrêmes se compose de deux modes, la translaton et la rotaton. Dans ce cas, on peut envsager d exprmer la combnason de la tolérance de localsaton et de parallélsme par un scalare I et la lo de spécfcaton. I aj. Ref. λ 1 + α.λ I aj. Ref. Réf. Réf. a) Localsaton seule b) Localsaton et parallélsme Fgure 4- : Exemple de spécfcaton de tolérance 3D nertelle La lo de spécfcaton peut être exprmée comme la combnason des coeffcents modaux λ majorés de leurs coeffcents de majoraton α. L annotaton I aj. précse qu on utlse l nerte 3D ajustée. Cette lo de combnason n est qu une proposton mas l dée est présente. La tolérance serat plus explcte peut être en spécfant les composantes du torseur de petts déplacements Prse en compte des défauts de forme Le tolérancement 3D avec prse en compte des défauts de forme est plus délcat que le tolérancement rgde par les formes assocées. En effet, la prse en compte des défauts de forme lors de l assemblage modfe la mse en poston d un composant sur l autre par rapport à leur mse en contact sur les surfaces assocées, vor le paragraphe 4.3 du chaptre 3 (page 136). On dvse la problématque du tolérancement avec défaut de forme en deux étapes : le tolérancement des défauts rgdes proposé dans le paragraphe 3.1.1, le tolérancement des défauts de formes. Nous tratons ans deux solutons de tolérancement nertel 3D à applquer aux défauts de forme : une premère smple et rapde qu consste à spécfer la tolérance par une smple nerte, une autre qu consste à utlser une lo de spécfcaton des écarts déjà ntrodute au paragraphe Notre recherche sur le tolérancement des défauts de forme dans le tolérancement 3D d un système réclame des études complémentares. Nous justfons ce pont par un manque de recul sur cette problématque et la récente mse en place de l outl de smulaton des assemblages avec défaut de forme proposé au chaptre 4. Il nous faut smuler et expérmenter l nfluence des défauts de forme sur les écarts de mse en poston, mas auss recuellr et analyser des problématques ndustrelles qu nous permettrons alors d évoluer dans la dscusson du tolérancement 3D nertel des défauts de forme.

186 178 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Tolérance nertelle scalare La soluton la plus smple consste à défnr une tolérance nertelle scalare que les défauts de forme ne dovent pas excéder. Une fos la valeur de cette nerte de forme défne, l reste à chosr le crtère d nerte à applquer, nerte 3D classque ou ajustée. Pour rester dans l esprt du tolérancement nertel de Pllet, on chost l nerte 3D classque qu a pour avantage de consdérer le défaut de forme dans sa globalté. On peut auss chosr le crtère nerte 3D ajustée. On est dans ce cas plus sévère quant à la dmenson de l écart maxmal admssble sur le défaut de forme. Cependant, on encadre l nerte maxmale de chaque pont du défaut de forme. Cette approche peut se comparer à celle présentée par [Ameta et al, 007] sur la méthode des T-Maps qu consdère une zone de tolérance supplémentare pour contrôler le défaut de forme. Dans ce cas, on n autorse pas la compensaton d un défaut par l autre, on ajoute leurs conséquences. Cette hypothèse peu probable (approche au pre des cas étendue au défauts de forme) est pénalsante Lo de spécfcaton Une autre méthode de tolérancement des défauts de forme peut être l utlsaton d une lo permettant de spécfer les défauts de forme plus ou mons admssble. Comme pour le paragraphe précédent, on se pose la queston du chox du crtère d nerte, 3D classque ou ajustée? On justfe le chox de l utlsaton d une lo de spécfcaton par un exemple. Reprenons le cas d exemple de l emplage de composant présenté à la fgure On peut consdérer que tous les défauts de forme sont admssbles dans une certane mesure, à l excepton du mode 3 de bombé. En effet, s les surfaces des deux composants ont ce défaut de forme, l assemblage possèdera une nstablté de mse en poston en foncton de la poston de l effort de posage. On peut donc affecter un mportant coeffcent de majoraton pour ce défaut élémentare. On peut même pousser la réflexon plus lon, en consdérant que ce défaut de forme est plus gênant dans le sens maxmum matère, alors que dans le sens mnmum matère, l peut permettre d absorber les autres défauts de forme Dscusson On vent de vor qu l exste pluseurs façons de spécfer les défauts de forme. Nous manquons de cas d applcaton et donc d expertse quant à l utlsaton en statstque de notre outl d assemblage des défauts de forme. Cependant pour un expert, la pste que nous évoquons sur la spécfcaton de la tolérance par une lo peut être ntéressante. Elle peut mener dans le cas d exemple que nous ctons, à précser le beson. Dans le cas courant, on préconse l utlsaton d un smple scalare accompagné de la tolérance nertelle classque.

187 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel Applcaton du tolérancement 3D nertel sans défaut de forme OBJECTIF DE CETTE PARTIE Cette parte est une mse en applcaton du concept de tolérancement nertel 3D sur un cas théorque. Le but est de tester la méthode de tolérancement statstque que l on propose et de la comparer à une méthode exstante et éprouvée qu est la méthode des domanes jeux et écarts. La comparason des méthodes se fat auss ben sur les varabltés permses sur les composants que sur la résultante de l assemblage. Afn de pouvor comparer les méthodes cette parte ne trate pas les défauts de forme, on consdère les géométres parfates ne comportant que des écarts de poston-orentaton. Cette parte se présente en pluseurs sous-partes : Dans un premer temps, on présente le cas d applcaton théorque, un assemblage de tros composants comportant des bras de lever. On présente en même temps le tolérancement par la méthode des domanes. Les tolérances 3D sont représentées dans l espace des modes pour servr de base de comparason. Dans un second temps, on applque le tolérancement nertel 3D. On calcule ans les tolérances des composants que l on compare au domane de tolérance de la méthode des domanes. La trosème parte présente la méthode de smulatons que l on utlse. Les résultats des smulatons d assemblage sont comparés au domane de tolérance de la condton fonctonnelle. On teste dfférentes hypothèses de smulatons permettant d évaluer des confguratons défavorables. Avant de commencer l étude du tolérancement du cas d assemblage avec bras de lever, on tent à présenter et dscuter un premer cas de tolérancement nertel 3D paru dans [Adragna et al, 007 b] Tolérancement nertel d un emplage de cnq composants Un premer cas d applcaton du tolérancement nertel 3D a été présenté dans [Adragna et al, 007 b]. Il s agt d un smple emplage de cnq composants. Le problème est traté en D, en ne consdérant que le défaut de translaton et un défaut de rotaton. La condton fonctonnelle est une localsaton de la surface supéreure de l assemblage par rapport à la surface A. Cet emplage smple pourrat être consdéré comme un cas undmensonnel ne nécesstant pas de tolérancement 3D. Dans ce cas, les défauts de rotaton ont la même nfluence que les défauts de translaton. Cependant, nous pensons qu l est néanmons ntéressant à trater comme un premer cas d applcaton du tolérancement nertelle 3D. Nous montrerons que même dans ce cas smple, l approche statstque tradtonnelle offre beaucoup de confguratons à rsque pour lesquelles la CF n est pas respectée. Le tolérancement nertel est plus effcace pour garantr une CF dans toutes les confguratons des composants, car l prend en compte et pénalse le décentrage. Les smulatons fates sur ce premer cas d applcaton ont perms de vérfer que, dans le cas centré, l nerte 3D ajustée autorse plus de varablté sur les composants que le tolérancement au pre des cas. Et dans les confguratons très décentrées ou très fablement dspersées, les deux lmtes semblent smlares.

188 180 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal t A Component 5 Component 5 A Emplage des cnq composants et la condton fonctonnelle de localsaton t Component 4 Component 3 Component Component 1 Vue D du problème Component 4 Component 3 Component Component 1 Assemblage sur les surfaces assocées Fgure 4-3 : Cas smple d emplage de cnq composants, problème D Smulated shape for component 4 Component 4 modal dstrbuton Pont devaton Pont devaton Pont poston Répartton centrée des formes du composant Smulated shape for component Pont poston Répartton décentrée des formes du composant Rotaton mode Rotaton mode Translaton mode Répartton centrée des coeffcents modaux Component 3 modal dstrbuton Translaton mode Répartton décentrée des coeffcents modaux Fgure 4-4 : Les confguratons acceptables en nerte 3D ajustée, centrée et décentrée La fgure 4-4 c-dessus est une comparason des tolérances 3D nertelles et pre des cas.

189 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 181 Les résultats des smulatons sur ce premer cas d applcaton sont convancants. Sans précauton partculère, en consdérant un ndce de capablté nertel de base, Cp = 1, dans le cas centré, le TNC est très fable. En revanche, les smulatons sous l hypothèse de cas défavorables, tous les décentrages du même coté, donnent un TNC plus élevé. Cependant, cette valeur reste fable par rapport à la valeur maxmale que l on peut attendre en 1D sous les mêmes hypothèses. En mposant un ndce de capablté arbtrare à Cp = 1,5, le TNC dans obtenu pour les smulatons en cas défavorable est à nouveau contrôlé. Répartton aléatore des décentrages, TNC = 8 ppm Décentrages du même coté, ppm Décentrage du même coté et Cp = 1,5, 4 ppm Fgure 4-5 : Résultat des smulatons [German, 007] montre l ntérêt du tolérancement statstque dans le tolérancement 3D. Notre smulaton confrme ses travaux mas notre approche va plus lon en consdérant les décalages. Ben que cette premère applcaton du tolérancement nertel 3D sot smple, les résultats obtenus nous confortent dans le chox de l applcaton du crtère nerte au tolérancement 3D. On se rend compte que l aspect aléatore de la combnason des décentrages est encore plus forte dans le tolérancement 3D. Ben que la plus mauvase confguraton n sot pas encore dentfée, on préssent qu elle est la combnason de confguraton partculère sur chaque composant. 3.. Cas d applcaton avec bras de lever et tolérancement 3D au pre des cas Cette parte présente le cas d applcaton théorque qu sert à tester la méthode de tolérancement nertel 3D sur un assemblage avec bras de lever. On trate également du tolérancement actuel 3D au pre des cas. Ce tolérancement 3D par zone de tolérance est représenté dans l espace des modes rgdes pour servr de base de comparason Emplage de tros composants avec bras de lever Nous étudons c un cas d applcaton d assemblage de composants comportant des bras de levers. Le chox d un tel système assemblé permet de rester smple dans le tolérancement du mécansme tout en augmentant la complexté par rapport au cas du paragraphe 3..1.

190 18 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal d t A Comp. 3 Surf. C Comp. Surf. A A Surf. B Comp. 1 Emplage des tros composants et la condton fonctonnelle de localsaton L L 1 Vue D du problème et détal du système, no. des pèces et nom des surfaces Fgure 4-6 : Emplage de tros composants avec bras de lever, problème D 3... Tolérancement 3D au pre des cas Le tolérancement 3D au pre des cas est assez smple dans cet exemple. La fgure 4-8 suvante présente notre proposton de tolérancement pour ce mécansme. La soluton est dscutable mas elle nous permet d utlser les tolérances de localsaton et parallélsme défnes dans ce chaptre 4. Descrpton du système par les graphes 1 B 1 A 1 R 1B R 1A E A1B J 1B J CF B R B R 3A A 3 E BC E A3C C R C J C3 R 3C C 3 3 Fgure 4-7 : Graphe des lasons du mécansme

191 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 183 Dans le graphe de la fgure 4-7 on retrouve le nom des surfaces des composants et la désgnaton des jeux où écarts entres ces dfférentes surfaces. Tolérancement qualtatf Surf. A 3 C 3 t 1 C 3 t B t A 1 A 1 t 1 B t 1 A 1 Surf. C Surf. B 1 B Fgure 4-8 : Tolérance 3D qualtatf par zone Les domanes de tolérance exprmés par les tolérances 3D peuvent être représentés comme sut : t 1 t t 1 t1 L R Z t1 L t L t L t1 t t 1 T Y t L. d t1 t t 1 t L R Z t L t 1 t L. d t1 t T Y + a) Domane de tolérance au centre des surfaces B 1 et C b) Domane de tolérance décalé au centre de la surface CF Fgure 4-9 : domanes modaux tradtonnels exprmés au centre de leurs surfaces d applcaton pus au centre de la surface fonctonnelle

192 184 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Assemblage des domanes écarts t L 1 R Z. t L t t t. d t1 + + L 1 t t T Y t L 1 Fgure 4-30 : Somme de Mnkowsk des domanes de tolérances des composants Tolérancement quanttatf La frontère du domane de tolérance CF est défne par l équaton : D où on tre la relaton suvante pour le pont d ntérêt :. L R t 1 Z + TY = [ 4-37 ] L1 t 1 t. d t1 t t t = L + L [ 4-38 ] Il faut mantenant chosr le rato α entre la tolérance de localsaton et la tolérance de parallélsme. On ne cherche pas à fare d optmsaton sur la valeur du rato α pour augmenter l étendue du domane résultant par rapport au domane de la CF. On chost une valeur arbtrare α =, ce qu donne la tolérance untare t u telle que : t1 t u = t = [ 4-39 ]

193 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 185 D où la relaton [ 4-38 ] devent : t. d t u u L1 +. d +. L + tu +. + tu = tu. L [ 4-40 ] L L1 t u. = L t On a enfn la relaton sur la tolérance untare : t. L = [ 4-41 ] t u. 1 + ( L +. d. L ) D où la valeur de la tolérance de localsaton : t t. L Et la valeur de la tolérance de parallélsme : t = 1 L1 +. d +. L [ 4-4 ] t. L =. ( L1 +. d +. L ) [ 4-43 ] 3..3 Tolérancement nertel 3D du cas d applcaton avec bras de lever Il n exste pas de méthodologe prédéfne pour le tolérancement nertel 3D. Par conséquent, on propose une premère approche smplste qu consste à consdérer la tolérance de localsaton et la tolérance de parallélsme comme deux tolérances ndépendantes, ce qu on consdère équvalent à deux chaînes de cote ndépendantes. Une seconde approche est auss proposée au paragraphe comme une ouverture sur le tolérancement statstque 3D Approche smple : relatons ndépendantes Cette parte propose une approche smple du tolérancement nertel 3D. La méthode consste à consdérer autant de relaton ndépendante que de natures de paramètre à tolérancer. Dans notre cas, nous devons tolérancer les translatons et rotatons, sot paramètres de natures dfférentes. On propose donc de fare deux chaînes de cote, une premère qu ne consdère que les écarts de translaton, et une seconde ne consdérant que les écarts de rotaton. Le couplage des deux défauts étant prs en compte dans la tolérance nertelle 3D, le tolérancement devrat être effcace. Chaîne de cote des translatons Cette parte trate de la tolérance équvalente à la localsaton en ne consdérant que les défauts de translatons. La réflexon se fat sur les coeffcents modaux, on a alors la relaton : λ λ λ = δ 1, B + 1, C + 1, A Max [ 4-44 ] La relaton c-dessus est la chaîne de cote des translatons. Où λ 1,A, λ 1,B et λ 1,C représente les composantes modales de translaton des tolérances sur les surfaces A, B et C respectvement. λ 1,CF correspond au coeffcent modal de translaton de la CF résultant de l assemblage. On chost une so-répartton des tolérances, on a donc λ 1,A = λ 1,B = λ 1,C = λ 1. D où la relaton [ 4-43 ] peut s écrre : 3. λ = δ Max [ 4-45 ] 1

194 186 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal On cherche à garantr dans le cas centré que sx écarts-types du décentrage résultant, λ 1,CF, sont contenus dans la tolérance de la CF t. Le tolérancement nertel de cette chaîne de cote donne alors la tolérance nertelle de translaton modale des composants. t I λ 1 = [ 4-46 ] 6. 3 Chaîne de cote des rotatons Cette parte trate de la tolérance équvalente au parallélsme en ne consdérant que les défauts de rotaton. On a ans la relaton suvante : λ L λ L, B 1, C 1.. d d + + λ, A = δ Max [ 4-47 ] L L Comme la surface A est tolérancée par une localsaton, on a λ 1,A = λ,a, la tolérance est défne par la précédente chaîne de cote de translaton. De plus, en gardant le rato mposé dans la parte 3... entre la tolérance de localsaton et la tolérance de parallélsme, on a : I λ1 =.I λ [ 4-48 ] Dans cette chaîne de cote, on utlse donc les ndces de fasablté, tels que : β A = et [ 4-49 ] β B = β C = 1 Et les coeffcents d ncdences de cette chaîne de cote sont tels que : α A = 1 et. d + L [ 4-50 ] 1 α B = α C = L On détermne ans les tolérances nertelles des composantes modales de rotatons par : I λ, = 6. β. t α. β [ 4-51 ] Avec = A, B ou C, ans que les coeffcents d ncdence α et les ndces de fasablté β défns précédemment. Chox des tolérances Ces deux partes présentent deux chaînes de cote qu nous donnent les tolérances des composantes modales de translaton et de rotaton. Dans le paragraphe 3..6 de ce chaptre nous consdérons que les tolérances de chaque composantes défnssent la lo de combnason. Cependant dans ce paragraphe les tolérances ne sont pas ndépendantes car on mpose un rato entre la tolérance de parallélsme et de localsaton, l faut donc chosr les valeurs de tolérance qu avec la lo de combnason respecte la CF. Dans le but de respecter la CF, l faut sélectonner les tolérances qu garantssent le respect des deux chaînes de cotes. Par défaut, on chost donc les plus pettes tolérances pour les dfférents composants. Les tolérances des surfaces B et C sont smlares :

195 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 187 I C = I Et de même pour la surface A : I B A. I = Mn I I = Mn I λ, B λ, B λ, A λ, A On défnt ans les tolérances nertelles 3D. Dscusson I ; I I ; I λ1, A λ1, A λ1, λ1, B B [ 4-5 ] [ 4-53 ] La spécfcaton des tolérances que l on propose dans les équatons [ 4-5 ] et [ 4-53 ] sont dfférentes de celle proposée dans la parte Les deux équatons proposent une spécfcaton de la tolérance 3D nertelle par une spécfcaton des tolérances sur chaque composante. Alors que la spécfcaton de la tolérance 3D nertelle dans la parte propose une nerte unque accompagnée d une lo de spécfcaton de la combnason des nertes de chaque composante. Cependant, les résultats de ces deux approches sont dentques car les nertes sont combnées de la même manère. Les relatons ndépendantes des chaînes de cotes, de translaton et de rotaton, peuvent être exprmées dfféremment. En effet, les chaînes de cote présentées lent les défauts de forme à une caractérstque qu est l écart maxmal engendré. Or, on peut envsager de ler les défauts de forme élémentares, translaton et rotaton, aux défauts de forme élémentare de la CF. On construt ans ce qu on appelle une matrce d nfluence qu le les défauts de forme élémentares des composants aux défauts de forme élémentares de la CF. Dans notre cas, on obtent alors deux matrces d nfluence : une lant l nfluence de la composante de translaton des composants, et une autre lant la composante de rotaton des composants à la CF. Matrce d nfluence des composantes modales de translaton : λ1, λ, CF CF 1 = λ1, 1. λ1, 0 λ1, Matrce d nfluence des composantes modales de rotaton : λ1, λ, CF CF 0 = 1. d L L1 L A B C. d λ, L. L λ, 1 L λ, A B C [ 4-54 ] [ 4-55 ] L exgence de la CF est une tolérance sur la combnason des composantes de la CF. On retrouve ans nos deux relatons ndépendantes que sont les chaînes de cote des équatons [ 4-44 ] et [ 4-47 ] Dscusson et autre une méthode envsageable La proposton de tolérancement nertel par chaîne de cote ndépendante ne nous satsfat pas complètement. On présente donc une dscusson sur cette méthode de tolérancement ans que la proposton d une autre méthode de tolérancement que l on envsage.

196 188 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Dscusson sur le tolérancement par chaîne de cote ndépendante Cette parte est une dscusson sur le calcul des tolérances nertelles 3D par chaînes de cotes ndépendantes. Comme pour le tolérancement 3D au pre des cas, on peut dscuter de la valeur du rato α entre la tolérance de localsaton et la tolérance de parallélsme. Pluseurs crtères d optmsaton peuvent être envsager. Le crtère le plus smple est de maxmser les deux tolérances nertelles, de localsaton et de parallélsme. Un autre crtère peut consster à calculer le domane résultant de l assemblage des domanes nertels dus au décentrage pur ou des domanes nertels dus à la dsperson pure ou une combnason des deux domanes résultants. Comme pour le cas du 3D pre des cas, on maxmse ensute l étendue du domane. Ces ponts n ont pas été abordés dans nos travaux mas ls font parts des perspectves à suvre. Autre méthode de tolérancement, par les ellpses Cette parte dscute d une autre approche du tolérancement nertel 3D pouvant être comparée à la méthode 3D au pre des cas à la dfférence près qu on ne travalle pas au pre des cas sur les décentrages. t L 1 R Z t t T Y t L 1 Fgure 4-31 : Somme des domanes de tolérances nertelles centrées des composants Notre objectf n est pas tant de fare entrer la combnason des plus mauvas décentrages dans le domane de la CF mas de combner les domanes de tolérances unquement dus aux dspersons. On consdère comme dans le cas 1D des réparttons à sx écarts-types, par exemple. Pus on dentfe sur le domane résultant les ponts, qu caractérsent une confguraton partculère, pour laquelle la CF est le mons ben respectée.

197 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 189 Cela revent à dentfer la plus mauvase confguraton, sous l hypothèse de covarance nulle dans la fgure On applque ensute le tolérancement nertel dont le but est de garantr la CF pour cette confguraton, la méthode peut être comparée à celle développée pour le 1D Comparason des tolérancements 3D au pre des cas et nertel sur le cas d applcaton Cette parte présente une smulaton analytque du tolérancement nertel 3D. Les tolérances des composants ans que les résultats des smulatons d assemblage sont comparés à la méthode de tolérancement au pre des cas. Comme pour le cas du tolérancement du système smple défn par l emplage de cnq composants, on réalse tros smulatons : une premère smulaton d assemblage où les décentrages sont réparts unformément sur les caractérstques des composants (translaton et rotaton), une seconde ne consdérant que des décentrages du même coté, le but est de tester une confguraton défavorable, et la dernère smulaton dans une confguraton défavorable mas en utlsant un ndce de capablté Cp supéreur à Le cas d applcaton et comparason des valeurs de tolérance Cette parte correspond à l applcaton numérque des paragraphes 3... et sur le cas d applcaton. Le cas d applcaton possède tros cotes mportantes dans le tolérancement du mécansme : La longueur de la surface fonctonnelle A, L 1 = 100mm, La longueur des surfaces de contact B et C, L = 80mm, La longueur du bras de lever entre les centres des surfaces B et C et la surface fonctonnelle A, d = 0mm. La condton fonctonnelle du mécansme est une tolérance de localsaton de t = 0, mm. Avec ces caractérstques du mécansme on trouve les tolérances suvantes : Le tolérancement 3D au pre des cas donne une tolérance de localsaton t 1 = 0,09 mm, et une tolérance de parallélsme t = 0,0114 mm pour les composants 1 et, Le tolérancement 3D nertel donne une tolérance nertelle sur les écarts de translaton I 1 = 0,0068 mm, et une tolérance nertelle des écarts de rotaton I = 0,0034 mm pour les composants 1 et. On a donc une tolérance nertelle I = 0,0068 mm avec une lo de combnason I = I λ 1 I λ pour le composants 3 et I = I λ I pour les composants 1 et. 1. λ

198 190 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Dscusson sur le gan en tolérance En cherchant à comparer, dans le cas centré, comme l nerte combne les écarts des deux paramètres, l nerte équvalente de la méthode German est alors défne par la combnason des écarts-types sur chaque axe. Pour une confguraton centrée et équ-répart (dsperson maxmale sur chaque composante), l nerte équvalente est calculée va la lo de combnason des nertes I = I λ 1. I λ pour les composants 1 et. Ans on obtent pour des écarts-types donnés à 6.σ dans la tolérance sur chaque axe : une nerte de localsaton équvalente ( I = I λ 1 I λ ) I eq = 0,0054, et ( I = I λ 1. I λ ) I eq = 0,0054 pour la combnason de localsaton et parallélsme. D où le gan du tolérancement nertel dans le cas centré est de 6% dans ce chox de tolérance. Le gan obtenu dans la parte 3..6 sur un cas 3D sans mposé de restrcton est plus mportant.

199 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel Smulatons d assemblage Dans un premer temps, la méthode de German est étudée, et une extenson de son prncpe est développée. Dans un second temps, les résultats des smulatons de Monté Carlo permettent d analyser la méthode de tolérancement nertel 3D selon dfférentes hypothèses. Chaque étude présente les domanes de tolérances des composants ans que le trage de MC des composants. Sur chaque graphque des résultats de la smulaton, le domane résultant du tolérancement 3D au pre des cas est affché. Nous utlsons un trage de Monté Carlo de assemblages. Afn d avor une melleure évaluaton du TNC, on propose de répéter 100 fos la smulaton pour obtenr au fnal d assemblages smulés. On défnt ans une smulaton long terme permettant d obtenr un second TNC comme un TNC à long terme, noté TNC LT Tolérancement 3D au pre des cas et effet de bord La réflexon de F.German montre que le tr à 100% des pèces hors du domane de tolérance des composants n est pas nécessare. La constataton de F. German sur les effets de bord du tolérancement 3D au pre des cas [German et al, 007] est applquée sur notre cas d exemple à bras de lever. Nous consdérons cette approche comme le tolérancement statstque 3D de référence. Les tolérances des composants sont calculées dans le paragraphe 3... German propose de consdérer un nuage de ponts réparts suvant une lo mult-normale. Il consdère des ndces de capablté Cp = 1 sur chaque composante des tolérances. En rason du type de dstrbuton, des composants sont hors du domane de tolérance mas en fable nombre. C est ce qu l appelle l effet de bord. Cas centré La fgure 4-3 montre les domanes de tolérance des tros composants de l assemblage ans que les réparttons statstques des composants dans les domanes. Les caractérstques des composants sont centrées sur leurs cbles. Il en découle que s la globalté des composants est centrée, la résultante de l assemblage sera également centrée et le TNC sera fable ben qu l ne sot pas sur chaque composant. On parle d un rsque à évaluer qu est le calcul du TNC résultant. Une approche analytque et une approche statstque que nous n abordons pas sont tratées dans [German 007]. Remarque On se rend compte que les assemblages résultants sont centrés et très peu dspersés dans le domane résultant de l assemblage des tolérances pre des cas. On pense qu l est possble d augmenter les dspersons des composants tout en garantssant globalement la CF.

200 19 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Composant 3, tolérance de la surface A Composant 1, tolérance de la surface B Composant, tolérance de la surface C Assemblage, TNC = 0 ppm Fgure 4-3 : Tolérancement statstque sur les tolérance au pre des cas Fgure 4-33 : Smulaton à long terme, TNC LT = 1 ppm

201 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 193 Cas décentré Cependant, cette approche qu consste à consdérer une proporton du lot dans le domane de tolérance ressemble à l approche 1D utlsant l ndce de capablté Cpk. Notre crtère c est le nombre de composants hors de leur tolérance. Dans le cas de la tolérance de localsaton, nos smulatons ndquent que 6.65% des composants sont hors de leur tolérance lorsque les caractérstques de translaton et rotaton sont centrées et dspersées de sx écarts-types, Dans le cas de la tolérance de localsaton et parallélsme, nos smulatons ndquent sous les mêmes condtons de centrage et de dsperson que 1,55% des composants sont hors de leur tolérance. La fgure 4-34 suvante montre la smulaton d une confguraton partculère des composants pour lequel le TNC résultant est élevé. Ben que les proportons de composants hors de leur tolérance soent dentques à celles du cas centré, le taux de non-conformté résultant devent élevé. Composant 3, tolérance de la surface A Composant 1, tolérance de la surface B Composant, tolérance de la surface C Assemblage, TNC = 6600 ppm Fgure 4-34 : Cas partculer avec moyenne dans la tolérance

202 194 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Fgure 4-35 : Smulaton à long terme, TNC LT = 6943 ppm En utlsant pluseurs smulatons dans la même confguraton de décentrage et dsperson, on obtent un taux de non-conformté long terme TNC LT = 6943 ppm. En utlsant le crtère de qualfcaton nertelle, on trouve une nerte de la surface A, I A = 0,063mm, et une nerte équvalente pour les surfaces B et C I B = I C = 0,163 en utlsant la lo de combnason nertelle défne pour la tolérance de localsaton et parallélsme. Les défauts de la surface A sont acceptés par le crtère nerte, I A < 0,068, alors que ceux des surfaces B et C ne le sont pas, I B = I C > 0, Tolérancement nertel confguraton centrée Dans cette parte, on reste dans le cas des composants centrés sur les cbles. On consdère mantenant que les dspersons des écarts-types des composants sont toujours donnés par un Cp = 1 mas en regard des tolérances nertelles et non plus pre des cas.

203 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 195 Composants 3 surface A Composants 1 surface B Composants surface C Assemblage, TNC = 0 ppm Fgure 4-36 : Une smulaton d assemblage de défauts centrés équ-dspersés nertel Cp = 1 La fgure 4-37 c-dessous présente le résultat d une smulaton long terme sous l hypothèse de dstrbuton centrée des écarts modaux et de répartton équ-nerte.

204 196 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Assemblage TNC LT = 33ppm Fgure 4-37 : Smulaton long terme de défauts centrés équ-dspersés Le résultat de cette smulaton permet de confrmer les constatatons de German. Dans le cas présenté on élargt les écarts-types défns dans la parte de 6% pour attendre les écarts-types du tolérancement nertel centré présenté dans ce paragraphe Le tolérancement nertel permet d élargr les tolérances. Un autre avantage, et non des mondres, est la prse en compte et la lmtaton du décentrage quand celu-c n est pas nul. Les paragraphes qu suvent permettent de juger l ntérêt du tolérancement nertel. Les smulatons font varer aléatorement les décentrages et les écarts-types des composants en lmte de tolérance nertelle. Deux hypothèses sont testées sur les décentrages : la premère consdère des décentrages aléatores des composants, auss ben postf que négatf, La seconde smule des décentrages du même coté. L ntérêt c est de tester des confguratons dtes défavorables dues à la non compensaton des défauts. Enfn la dernère teste les effets des ndces de capablté Cp dans la confguraton défavorable Tolérancement nertel avec décentrage et écart-type aléatores On peut se rendre compte de dfférentes confguratons que la tolérance nertelle admet. On observe auss la représentaton des écarts de décentrage et d écart-type avec leurs domanes d so-écart assocé. Le vecteur bleu représente l nerte due aux écarts de décentrage des caractérstques modales. Le trangle contenant cette nerte est l so-nerte de décentrage. Le vecteur vert représente l nerte due aux écart-types des caractérstques modales. Le quart de cercle assocé est l sonerte des écarts-types.

205 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 197 Composants 3, tolérance de la surface A Composants 1, tolérance de la surface B Composants, tolérance de la surface C Fgure 4-38 : Smulaton d assemblage avec décentrages varables, Cp = 1

206 198 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Les deux domanes so-nerte dépendent l un de l autre et de la tolérance nertelle. Le domane de l un correspond à la dfférence quadratque de la tolérance nertelle mons l nerte de l autre. Cette relaton est défne par l équaton [ 4-34 ]. Les frontères des domanes so-nertes représentent les combnasons d écarts fournssant la même nerte. Ans deux lots ayant une nerte de décentrage dentque se trouvent sur la frontère du même domane so-nerte des décentrages. La réflexon est dentque concernant le domane so-nerte des écarts-types. La fgure 4-39 c dessous présente le résultat de l assemblage des lots de composants présenté dans la fgure 4-38 précédente. On se rend compte que l assemblage des lots présenté respecte très ben la CF. Par alleurs, ben que certans composants soent hors du domane de tolérance au pre des cas, on peut même constater que les assemblages résultants sont dans le domane résultant du pre des cas. Cela s explque prncpalement par la compensaton des décentrages des composants. Fgure 4-39 : Smulaton avec décentrage aléatore, TNC LT = 46 ppm La fgure 4-39 met en relef les résultats des smulatons dtes long-terme. On remarque que la quas-totalté du domane résultant au pre des cas est exploté, vore plus au centre du domane. On constate cependant que quelques assemblages sont hors tolérance, mas le taux est très fable pour l hypothèse consdérée. Avec un ndce de capablté Cp = 1, on obtent 46 ppm Tolérancement nertel avec décentrage du même coté Ce paragraphe cherche à évaluer une lmte supéreure en consdérant l hypothèse de noncompensaton des décentrages avec des moyennes toutes du même coté.

207 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 199 Composants 3, tolérance de la surface A Composants 1, tolérance de la surface B Composants, tolérance de la surface C Fgure 4-40 : Smulaton d assemblage nertel avec décentrage du même coté Cp =1 On peut constater là encore les dfférentes confguratons possbles ans que leurs représentatons dans les domanes nertels.

208 00 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal La fgure 4-41 c-dessous présente le résultat de l assemblage des composants de la fgure On se rend compte que malgré l hypothèse de non-compensaton des écarts de décentrages, le TNC de la smulaton est fable : seulement 63 ppm dans le cas présenté. La smulaton long terme montre un taux de non-conformté qu lu auss est fable : 90 ppm pour 100 smulatons de assemblages. De plus, ce TNC est obtenu en consdérant un ndce de capablté à sa valeur mnmale qu est Cp = 1. Fgure 4-41 : Smulaton avec décentrage du même coté, TNC = 63 ppm pus TNC LT = 90 ppm Cependant, on peut consdérer que ce TNC est non néglgeable. La soluton est alors de fare varer les valeurs des ndces de capablté Cp des composants, ce qu est traté dans le paragraphe suvant Tolérancement nertel et ndce de capablté Cp Ce paragraphe a pour objectf de tester dfférentes valeurs d ndce de capablté Cp mposé sur les composants dans la plus mauvase hypothèse testée qu consdère des décentrages moyens du même coté pour chaque composant. Les résultats des smulatons de cette parte sont obtenus en consdérant des décentrages postfs et des écarts-types aléatores. Les valeurs des TNC ne sont pas constantes entre deux smulatons avec les mêmes caractérstques. C est ce qu on peut constater pour la premère smulaton de ce paragraphe qu trate une smulaton en consdérant un Cp = 1 comme le paragraphe précédent. Le TNC LT vare de 19 ppm par rapport à la smulaton du paragraphe précédent. Cela peut s explquer entre autres, par la talle de la smulaton que [Cvetko et al, 1998] modélse. Ce qu on peut observer de la fgure 4-4 est que l ndce de capablté Cp a un effet certan sur la répartton des assemblages résultants. On se rend compte que l utlsaton d un ndce de capablté Cp = 1,16 permet d obtenr un TNC quasment nul. Le chox d un ndce de capablté Cp = 1,33 permet apparemment de ne plus générer de TNC. De plus, cette valeur d ndce de capablté est courante. Cependant, l ne faut pas trer de concluson hâtve. En effet, les smulatons présentées ne sont le résultat que de 100 smulatons, on n a donc pas testé toutes les confguratons possbles, et surtout la plus mauvase confguraton.

209 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 01 Cp = 1, TNC LT = 71 ppm Cp = 1,16, TNC LT = 1 ppm Cp = 1,33 Cp = 1,5 Fgure 4-4 : Smulaton long terme avec décentrage du même coté pour dfférents Cp 3..6 Tolérancement nertel 3D et torseur de petts déplacements Les paragraphes précédents tratent le problème en deux dmensons, avec une descrpton modale des écarts. Ce paragraphe permet d applquer le crtère nerte 3D sur le même cas d applcaton traté cette fos-c en tros dmensons, dont les écarts sont caractérsés par les composantes du torseur de petts déplacements. Les caractérstques du mécansme sont dentque au mécansme précédent en ajoutant la profondeur : longueur surface A suvant x : L Ax = 100 mm, longueur surface B et C suvant x : L Ax = 80 mm, longueur surface A, B et C suvant z : L Az = 80 mm, longueur du bras de lever entre les centres des surfaces B et C et le centre des surfaces A suvant x : d = 0 mm, la condton fonctonnelle est une localsaton de valeur t = 0,0 mm.

210 0 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal d t A Composant 3 Surf. A Surf. C Surf. B Composant L Bx Composant 1 L Ax L Az A z y x Fgure 4-43 : Emplage de tros composants avec bras de lever, problème 3D Tolérancement du mécansme Comme précédemment, le tolérancement nertel 3D est comparé au tolérancement tradtonnel au pre des cas. Tolérancement au pre des cas Nous gardons le même tolérancement qualtatf que précédemment, à savor un tolérance de localsaton sur la surface A 3, et une combnason de tolérance de localsaton et d une tolérance de parallélsme pour les surfaces B 1 et C. Le tolérancement quanttatf n est pas détallé, cependant, on obtent les même valeurs de tolérance que précédemment en consdérant un rato entre la tolérance de parallélsme et de localsaton : tolérance de localsaton t 1 = 0,09 mm tolérance de parallélsme t = 0,0114 mm Tolérancement nertel Notre approche de tolérancement nertel consste à détermner les tolérances nertelles de chaque composantes du torseur de petts déplacements. Cela consste à défnr tros chaîne de cotes dans cette problématque 3D, que l on exprme au centre de la surface A 3. Nous consdérons une répartton non unforme des tolérances nertelles de rotaton. Chaîne de cotes en translaton suvant y: En ne consdérant que les composantes de translaton suvant l axe y des dfférentes surfaces tolérancées, on obtent la chaîne de cotes suvante : Sot en consdérant une répartton unforme : T y1 + Ty + Ty3 = δ Max [ 4-56 ]

211 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 03 t I Ty = [ 4-57 ] 6. 3 Chaîne de cotes en rotaton autour de x: En ne consdérant que les composantes de rotaton autour de x des dfférentes surfaces tolérancées, on obtent la chaîne de cotes suvante : L Az. R L L Az Az x1 +. Rx +. Rx3 Sot en consdérant une répartton non unforme (β 1 = β = 1 et β 3 = ): I Rx = 3. L Az β. t. β = δ Max [ 4-58 ] [ 4-59 ] Chaîne de cotes en rotaton autour de z: En ne consdérant que les composantes de translaton suvant l axe y des dfférentes surfaces tolérancées, on obtent la chaîne de cotes suvante : L L L Ax Ax Ax + d. Rz1 + + d. Rz +. Rz3 Sot en consdérant une répartton non unforme (β 1 = β = 1 et β 3 = ): I Rz = 6. L. β1. Ax β. t + d L + β3. Ax = δ Max [ 4-60 ] [ 4-61 ] Tolérances nertelles des composants: On obtent ans les tolérances des composants suvant chaque axes. Composant 1 Composant Composant 3 Inerte de translaton T y (mm) 0,019 0,019 0,019 Inerte de rotaton R x (rad) 3, , , Inerte de rotaton R z (rad) 8, , , Tableau 4-1 : Tolérances nertelles des composants Que l on peut exprmer par une valeur de tolérance nertelle et une lo de combnason: I = 0,019 mm, I α. I α. I = I Avec : Ty Rx Rx Rz Rz

212 04 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal I α Rx =, qu vaut envron 56,6 pour les composants 1 et, et 8,3 pour le I Rx composant 1, I α Rz =, qu vaut envron 7,9 pour les composants 1 et, et 113,9 pour le I Rz composant 1, Comparason des tolérancements en confguraton centrée Afn de comparer les deux approches de tolérancement, nous consdérons la réflexon de German qu consdère des composants réparts suvant une lo mult-normale centrée dont sx écarts-types suvant chaque axes sont comprs dans le domane de tolérance. Il est alors possble de combner les écarts-types de ce nuage pour calculer l nerte équvalente. L nerte équvalente se calcule en consdérant la lo de combnason de la tolérance nertelle. Une autre comparason est fate sur chaque composantes. Les représentatons des dstrbutons mult-normale sont réalsées dans un premer temps par des ellpsoïdes transparentes, cec dans un soucs de clarté. En effet, un nuage de ponts occulterat les frontères du domane de tolérance au pre des cas. Par la sute, nous rétablssons la représentaton du lot par un nuage de ponts, notamment pour représenter le lot de la résultante de l assemblage. Tolérances des composants 1 et L nerte équvalente du tolérancement 3D au pre des cas pour une répartton centrée à sx écart-types suvant chaque axe vaut : I eq1 = I eq = 0,0118. D où le gan du tolérancement nertel en confguraton centrée est de 63%. Ce gan correspond à une augmentaton homothétque par rapport à la répartton à sx écart-types dans le domane au pre des cas. Une llustraton est présentée dans la fgure Hors la répartton du tolérancement au pre des cas et celle du tolérancement nertelles ne sont pas homothétques, comme on peut le constater sur la fgure On propose ans le tableau suvant qu compare le gan en dsperson suvant chaque axe en confguraton centrée. Composante T y (mm) Composante R x (rad) Composante R z (rad) Ecart-type équvalent pour la tolérance au pre des cas 0,0038 4, , Ecart-type pour la tolérance nertelle centrée 0,0111 1, , Gan (%) Tableau 4- : Gan en confguraton centrée du tolérancement 3D nertel par rapport au tolérancement 3D au pre des cas

213 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 05 Ellpsoïde à 6 écart-types pour la tolérance nertelle Ellpsoïde à 6 écart-types pour la tolérance pre cas Domane de la tolérance 3D au pre des cas Fgure 4-44 : Tolérances au pres des cas et nertelles centrée des composants 1 et Cette fgure 4-44 llustre le tableau 4- des dfférents gan sur chaque axes. L ellpsoïde rouge correspond à la répartton à sx écart-types suvant chaque axe dans le domane de tolérance au pre des cas. L ellpsoïde verte correspond à la répartton à sx écart-types de la tolérance nertelle dont les dsperson sont répartes proportonnellement à la tolérance nertelle suvant chaque axes. Cette dernère répartton correspond à une dstrbuton par défaut suvant le tolérancement nertel par composantes (translaton suvant y, rotaton autour de x pus rotaton autour de z), tout en respectant la tolérance nertelle du lot. La fgure 4-45 suvante représente le gan entre l nerte équvalente de la tolérance au pre des cas et la tolérance nertelle proposée. On peut observer dans ce cas que le gan est dentque sur les tros composantes. Cette valeur est de 63% dans ce cas.

214 06 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Fgure 4-45 : Gan homothétque de 63 % entre les tolérancements au pre des cas et nertel Tolérances du composant 3 L nerte équvalente du tolérancement 3D au pre des cas pour une répartton centrée à sx écart-types suvant chaque axe vaut : I eq1 = I eq = 0,0099. D où le gan du tolérancement nertel en confguraton centrée est de 95%. Le tableau suvant compare en confguraton centrée le gan sur chaque axe.

215 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 07 Composante T y (mm) Composante R x (rad) Composante R z (rad) Ecart-type équvalent pour la tolérance au pre des cas 0,0038 4, , Ecart-type pour la tolérance nertelle centrée 0,0111 3, , Gan (%) Tableau 4-3 : Gan en confguraton centrée du tolérancement 3D nertel par rapport au tolérancement 3D au pre des cas Fgure 4-46 : Tolérances au pres des cas et nertelles centrée du composant 3

216 08 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal Quelques résultats Cette parte présente brèvement des résultats de smulatons de l applcaton du tolérancement nertel 3D sur ce mécansme. Dans une premère parte nous montrons des confguratons des lots de composants avec la représentaton de leurs écarts dans les domanes nertels, pus des résultats de smulatons sont présentés sous forme d hstogramme de TNC résultants. Quelques confguratons des composants Fgure 4-47 : Une confguraton et sa représentaton nertelle A la manère du paragraphe de ce chaptre, la fgure 4-47 représente une confguraton partculère d un lot de composant et la représentaton graphque de la tolérance nertelle. On peut observer les domanes d so-écart : en bleu le domane so-nerte due aux décentrages, en vert le domane so-nerte due aux écarts-types, La fgure suvante trate un assemblage. On peut observer les domanes nertels des tros composants de la chaîne de cotes ans que la répartton du nuage de pont résultant. Le nuage de ponts est représenté par ponts, mas le TNC annoncé est calculé sur un nuage de ponts. On mpose un ndce de capablté Cp = 1,33 sur chaque composant.

217 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 09 Fgure 4-48 : Un assemblage, TNC = ppm La fgure suvante montre deux résultats de smulatons d assemblage sous les hypothèses de lot de composants en lmte de capablté et en consdérant les décentrages tous du même coté (postfs dans notre cas). Fgure 4-49 : Hstogrammes de TNC résultants

218 10 Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par le Tolérancement Inertel et Modal On se rend compte que malgré le chox des hypothèses dans le but de sur-estmer le TNC résultant, la répartton de ces TNC est concentré sur une TNC fable. Chaque hstogramme est construt sur la base de smulatons. On se rend compte que pour un ndce Cp = 1 le TNC maxmal attent vaut ppm, et le TNC moyen vaut ppm. Enfn pour un ndce de capablté Cp = 1,33, le TNC maxmum chute à 1400 ppm, avec une moyenne de 15 ppm. On ne peut trer de concluson sur les observatons des deux hstogrammes, s ce n est qu ls confrment l nfluence de l ndce Cp sur le respect de la CF. Cette parte 3..6 a pour but de confrmer l applcaton 3D de la méthode qu dot cependant être applquée sur d autre cas. On se rend compte que la représentaton 3D des tolérances et écarts des composants n est pas évdente, ce qu a motvé le tratement du mécansme en D Synthèse de cette parte Cette parte du chaptre 5 consttue le blan de nos travaux de recherche concernant le tolérancement modal nertel. Ce blan est relatvement postf car nous avons ms en place une méthode de tolérancement statstque 3D permettant de garantr la CF. Il est vra cependant que la synthèse des tolérances ne consdère que les défauts rgdes, la prse en compte des défauts de forme restant encore à développer. Nous avons décrt la méthode de tolérancement modal nertel en deux nveaux : le tolérancement 3D nertel basé sur le crtère nerte ajustée, et le tolérancement de forme. Le tolérancement de forme a été dscuté même s l nécesste encore quelques approfondssements. En revanche, le tolérancement 3D nertel que nous proposons semble être rapdement explotable : Les défauts modaux rgdes de poston, orentaton et talle (modes extrêmes) permettent de calculer drectement l nerte des écarts. A partr de quo, une représentaton graphque des écarts nertels a été mse en place. Cette représentaton permet de vsualser non seulement les dfférentes sources d écarts par rapport à la cble, décentrage ou dsperson, mas auss les composantes modales à l orgne de ces écarts. Nous avons proposé une méthode de tolérancement nertel 3D basée sur le crtère nerte ajustée. Cette méthode chost ans de trater pluseurs chaînes de cote 1D en consdérant les los de combnason des nertes. Les tolérances nertelles des composants sont ensute défnes par la chaîne de cote fournssant la tolérance la plus serrée. La mse en place de smulatons de Monté Carlo ont perms de rapdement tester le tolérancement nertel 3D. La méthode permet comme dans le cas 1D d élargr les dspersons dans le cas centré tout en garantssant la CF.

219 Chaptre 4 : Caractérsaton modale d un lot et tolérancement modal nertel 11 4 Synthèse et perspectves du chaptre Cette parte résume les ponts clefs développés dans ce chaptre. Dans un second temps, on présente les perspectves de ce chaptre. 4.1 Synthèse du chaptre Ce chaptre trate du tolérancement statstque 3D avec prse en compte des défauts de forme. L ensemble des concepts et méthodes présentés ont perms de boucler en parte cet aspect. En partant de la défnton d un système assemblé et de sa condton fonctonnelle, on présente une synthèse des tolérances statstques des composants. On présente auss l analyse des écarts statstques des composants pour vérfer le respect de la CF. La fgure 4-50 c-dessous résume ce chaptre en présentant les dfférents ponts clefs développés. La synthèse de ce chaptre se fat par un résumé des dfférentes partes du chaptre que l on retrouve dans la fgure. Produt assemblé t A A Acceptaton nertelle modal 3D B RB J1B 1 B1 R1B EA1B A1 R1A JCF R3A A3 Tolérancement nertel modal 3D EBC EA3C C RC JC3 R3C C3 3 Système mécanque + Condton Fonctonnelle I α Ι λ I Ι λ1 λ1 + α.λ I aj. Ref. Réf. Composant Fgure 4-50 : Synthèse du chaptre Ce chaptre présente l extenson de la méthode modale à la caractérsaton statstque de lots de défauts de forme qu permet la descrpton et l acceptaton modale d un lot de défaut de forme. Ans la parte 1 présente la caractérsaton modale d un lot de forme. On présente ans la sgnature modale moyenne et la matrce modale de varance covarance dans la parte 1...

Mesure avec une règle

Mesure avec une règle Mesure avec une règle par Matheu ROUAUD Professeur de Scences Physques en prépa, Dplômé en Physque Théorque. Lycée Alan-Fourner 8000 Bourges ecrre@ncerttudes.fr RÉSUMÉ La mesure d'une grandeur par un système

Plus en détail

Remboursement d un emprunt par annuités constantes

Remboursement d un emprunt par annuités constantes Sére STG Journées de formaton Janver 2006 Remboursement d un emprunt par annutés constantes Le prncpe Utlsaton du tableur Un emprunteur s adresse à un prêteur pour obtenr une somme d argent (la dette)

Plus en détail

Plan. Gestion des stocks. Les opérations de gestions des stocks. Les opérations de gestions des stocks

Plan. Gestion des stocks. Les opérations de gestions des stocks. Les opérations de gestions des stocks Plan Geston des stocks Abdellah El Fallah Ensa de Tétouan 2011 Les opératons de gestons des stocks Les coûts assocés à la geston des stocks Le rôle des stocks Modèle de la quantté économque Geston calendare

Plus en détail

DES EFFETS PERVERS DU MORCELLEMENT DES STOCKS

DES EFFETS PERVERS DU MORCELLEMENT DES STOCKS DES EFFETS PERVERS DU MORCELLEMENT DES STOCKS Le cabnet Enetek nous démontre les mpacts négatfs de la multplcaton des stocks qu au leu d amélorer le taux de servce en se rapprochant du clent, le dégradent

Plus en détail

Les jeunes économistes

Les jeunes économistes Chaptre1 : les ntérêts smples 1. défnton et calcul pratque : Défnton : Dans le cas de l ntérêt smple, le captal reste nvarable pendant toute la durée du prêt. L emprunteur dot verser, à la fn de chaque

Plus en détail

Montage émetteur commun

Montage émetteur commun tour au menu ontage émetteur commun Polarsaton d un transstor. ôle de la polarsaton La polarsaton a pour rôle de placer le pont de fonctonnement du transstor dans une zone où ses caractérstques sont lnéares.

Plus en détail

Chapitre 3 : Incertitudes CHAPITRE 3 INCERTITUDES. Lignes directrices 2006 du GIEC pour les inventaires nationaux de gaz à effet de serre 3.

Chapitre 3 : Incertitudes CHAPITRE 3 INCERTITUDES. Lignes directrices 2006 du GIEC pour les inventaires nationaux de gaz à effet de serre 3. Chaptre 3 : Incerttudes CHAPITRE 3 INCERTITUDES Lgnes drectrces 2006 du GIEC pour les nventares natonaux de gaz à effet de serre 3.1 Volume 1 : Orentatons générales et établssement des rapports Auteurs

Plus en détail

Contrats prévoyance des TNS : Clarifier les règles pour sécuriser les prestations

Contrats prévoyance des TNS : Clarifier les règles pour sécuriser les prestations Contrats prévoyance des TNS : Clarfer les règles pour sécurser les prestatons Résumé de notre proposton : A - Amélorer l nformaton des souscrpteurs B Prévor plus de souplesse dans l apprécaton des revenus

Plus en détail

Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique

Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique Spécale PSI - Cours "Electromagnétsme" 1 Inducton électromagnétque Chaptre IV : Inductance propre, nductance mutuelle. Energe électromagnétque Objectfs: Coecents d nductance propre L et mutuelle M Blan

Plus en détail

I. Présentation générale des méthodes d estimation des projets de type «unité industrielle»

I. Présentation générale des méthodes d estimation des projets de type «unité industrielle» Evaluaton des projets et estmaton des coûts Le budget d un projet est un élément mportant dans l étude d un projet pusque les résultats économques auront un mpact sur la réalsaton ou non et sur la concepton

Plus en détail

1 Introduction. 2 Définitions des sources de tension et de courant : Cours. Date : A2 Analyser le système Conversion statique de l énergie. 2 h.

1 Introduction. 2 Définitions des sources de tension et de courant : Cours. Date : A2 Analyser le système Conversion statique de l énergie. 2 h. A2 Analyser le système Converson statque de l énerge Date : Nom : Cours 2 h 1 Introducton Un ConVertsseur Statque d énerge (CVS) est un montage utlsant des nterrupteurs à semconducteurs permettant par

Plus en détail

MÉTHODES DE SONDAGES UTILISÉES DANS LES PROGRAMMES D ÉVALUATIONS DES ÉLÈVES

MÉTHODES DE SONDAGES UTILISÉES DANS LES PROGRAMMES D ÉVALUATIONS DES ÉLÈVES MÉTHODES DE SONDAGES UTILISÉES DANS LES PROGRAMMES D ÉVALUATIONS DES ÉLÈVES Émle Garca, Maron Le Cam et Therry Rocher MENESR-DEPP, bureau de l évaluaton des élèves Cet artcle porte sur les méthodes de

Plus en détail

Généralités sur les fonctions 1ES

Généralités sur les fonctions 1ES Généraltés sur les fonctons ES GENERALITES SUR LES FNCTINS I. RAPPELS a. Vocabulare Défnton Une foncton est un procédé qu permet d assocer à un nombre x appartenant à un ensemble D un nombre y n note :

Plus en détail

EH SmartView. Identifiez vos risques et vos opportunités. www.eulerhermes.be. Pilotez votre assurance-crédit. Services en ligne Euler Hermes

EH SmartView. Identifiez vos risques et vos opportunités. www.eulerhermes.be. Pilotez votre assurance-crédit. Services en ligne Euler Hermes EH SmartVew Servces en lgne Euler Hermes Identfez vos rsques et vos opportuntés Plotez votre assurance-crédt www.eulerhermes.be Les avantages d EH SmartVew L expertse Euler Hermes présentée de manère clare

Plus en détail

Assurance maladie et aléa de moralité ex-ante : L incidence de l hétérogénéité de la perte sanitaire

Assurance maladie et aléa de moralité ex-ante : L incidence de l hétérogénéité de la perte sanitaire Assurance malade et aléa de moralté ex-ante : L ncdence de l hétérogénété de la perte santare Davd Alary 1 et Franck Ben 2 Cet artcle examne l ncdence de l hétérogénété de la perte santare sur les contrats

Plus en détail

Exercices d Électrocinétique

Exercices d Électrocinétique ercces d Électrocnétque Intensté et densté de courant -1.1 Vtesse des porteurs de charges : On dssout une masse m = 20g de chlorure de sodum NaCl dans un bac électrolytque de longueur l = 20cm et de secton

Plus en détail

Calculer le coût amorti d une obligation sur chaque exercice et présenter les écritures dans les comptes individuels de la société Plumeria.

Calculer le coût amorti d une obligation sur chaque exercice et présenter les écritures dans les comptes individuels de la société Plumeria. 1 CAS nédt d applcaton sur les normes IAS/IFRS Coût amort sur oblgatons à taux varable ou révsable La socété Plumera présente ses comptes annuels dans le référentel IFRS. Elle détent dans son portefeulle

Plus en détail

STATISTIQUE AVEC EXCEL

STATISTIQUE AVEC EXCEL STATISTIQUE AVEC EXCEL Excel offre d nnombrables possbltés de recuellr des données statstques, de les classer, de les analyser et de les représenter graphquement. Ce sont prncpalement les tros éléments

Plus en détail

Dirigeant de SAS : Laisser le choix du statut social

Dirigeant de SAS : Laisser le choix du statut social Drgeant de SAS : Lasser le chox du statut socal Résumé de notre proposton : Ouvrr le chox du statut socal du drgeant de SAS avec 2 solutons possbles : apprécer la stuaton socale des drgeants de SAS comme

Plus en détail

Fiche n 7 : Vérification du débit et de la vitesse par la méthode de traçage

Fiche n 7 : Vérification du débit et de la vitesse par la méthode de traçage Fche n 7 : Vérfcaton du débt et de la vtesse par la méthode de traçage 1. PRINCIPE La méthode de traçage permet de calculer le débt d un écoulement ndépendamment des mesurages de hauteur et de vtesse.

Plus en détail

Contact SCD Nancy 1 : theses.sciences@scd.uhp-nancy.fr

Contact SCD Nancy 1 : theses.sciences@scd.uhp-nancy.fr AVERTISSEMENT Ce document est le frut d'un long traval approuvé par le jury de soutenance et ms à dsposton de l'ensemble de la communauté unverstare élarge. Il est soums à la proprété ntellectuelle de

Plus en détail

COMPARAISON DE MÉTHODES POUR LA CORRECTION

COMPARAISON DE MÉTHODES POUR LA CORRECTION COMPARAISON DE MÉTHODES POUR LA CORRECTION DE LA NON-RÉPONSE TOTALE : MÉTHODE DES SCORES ET SEGMENTATION Émle Dequdt, Benoît Busson 2 & Ncolas Sgler 3 Insee, Drecton régonale des Pays de la Lore, Servce

Plus en détail

Système solaire combiné Estimation des besoins énergétiques

Système solaire combiné Estimation des besoins énergétiques Revue des Energes Renouvelables ICRESD-07 Tlemcen (007) 109 114 Système solare combné Estmaton des besons énergétques R. Kharch 1, B. Benyoucef et M. Belhamel 1 1 Centre de Développement des Energes Renouvelables

Plus en détail

THESE. Khalid LEKOUCH

THESE. Khalid LEKOUCH N d ordre : /2012 THESE Présentée à la FACULTE DES SCIENCES D AGADIR En vue de l obtenton du GRADE DE DOCTEUR EN PHYSIQUE (Spécalté : Energétque, Thermque et Métrologe) Par Khald LEKOUCH MODELISATION ET

Plus en détail

VIELLE Marc. CEA-IDEI Janvier 1998. 1 La nomenclature retenue 3. 2 Vue d ensemble du modèle 4

VIELLE Marc. CEA-IDEI Janvier 1998. 1 La nomenclature retenue 3. 2 Vue d ensemble du modèle 4 GEMINI-E3 XL France Un outl destné à l étude des mpacts ndustrels de poltques énergétques et envronnementales VIELLE Marc CEA-IDEI Janver 1998 I LA STRUCTURE DU MODELE GEMINI-E3 XL FRANCE 3 1 La nomenclature

Plus en détail

hal-00409942, version 1-14 Aug 2009

hal-00409942, version 1-14 Aug 2009 Manuscrt auteur, publé dans "MOSIM' 008, Pars : France (008)" 7 e Conférence Francophone de MOdélsaton et SIMulaton - MOSIM 08 - du mars au avrl 008 - Pars - France «Modélsaton, Optmsaton et Smulaton des

Plus en détail

TD 1. Statistiques à une variable.

TD 1. Statistiques à une variable. Danel Abécasss. Année unverstare 2010/2011 Prépa-L1 TD de bostatstques. Exercce 1. On consdère la sére suvante : TD 1. Statstques à une varable. 1. Calculer la moyenne et l écart type. 2. Calculer la médane

Plus en détail

ÉLÉMENTS DE THÉORIE DE L INFORMATION POUR LES COMMUNICATIONS.

ÉLÉMENTS DE THÉORIE DE L INFORMATION POUR LES COMMUNICATIONS. ÉLÉMETS DE THÉORIE DE L IFORMATIO POUR LES COMMUICATIOS. L a théore de l nformaton est une dscplne qu s appue non seulement sur les (télé-) communcatons, mas auss sur l nformatque, la statstque, la physque

Plus en détail

Page 5 TABLE DES MATIÈRES

Page 5 TABLE DES MATIÈRES Page 5 TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE I LES POURCENTAGES 1. LES OBJECTIFS 12 2. LES DÉFINITIONS 14 1. La varaton absolue d'une grandeur 2. La varaton moyenne d'une grandeur (par unté de temps) 3. Le coeffcent

Plus en détail

GENESIS - Generalized System for Imputation Simulations (Système généralisé pour simuler l imputation)

GENESIS - Generalized System for Imputation Simulations (Système généralisé pour simuler l imputation) GENESS - Generalzed System for mputaton Smulatons (Système généralsé pour smuler l mputaton) GENESS est un système qu permet d exécuter des smulatons en présence d mputaton. L utlsateur fournt un ensemble

Plus en détail

CREATION DE VALEUR EN ASSURANCE NON VIE : COMMENT FRANCHIR UNE NOUVELLE ETAPE?

CREATION DE VALEUR EN ASSURANCE NON VIE : COMMENT FRANCHIR UNE NOUVELLE ETAPE? CREATION DE VALEUR EN ASSURANCE NON VIE : COMMENT FRANCHIR UNE NOUVELLE ETAPE? Boulanger Frédérc Avanssur, Groupe AXA 163-167, Avenue Georges Clémenceau 92742 Nanterre Cedex France Tel: +33 1 46 14 43

Plus en détail

Le Prêt Efficience Fioul

Le Prêt Efficience Fioul Le Prêt Effcence Foul EMPRUNTEUR M. Mme CO-EMPRUNTEUR M. Mlle Mme Mlle (CONJOINT, PACSÉ, CONCUBIN ) Départ. de nass. Nature de la pèce d dentté : Natonalté : CNI Passeport Ttre de séjour N : Salaré Stuaton

Plus en détail

Editions ENI. Project 2010. Collection Référence Bureautique. Extrait

Editions ENI. Project 2010. Collection Référence Bureautique. Extrait Edtons ENI Project 2010 Collecton Référence Bureautque Extrat Défnton des tâches Défnton des tâches Project 2010 Sasr les tâches d'un projet Les tâches représentent le traval à accomplr pour attendre l'objectf

Plus en détail

En vue de l'obtention du. Présentée et soutenue par Elayeb Bilel Le 26 juin 2009

En vue de l'obtention du. Présentée et soutenue par Elayeb Bilel Le 26 juin 2009 THÈSE En vue de l'obtenton du DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ DE TOULOUSE Délvré par Insttut Natonal Polytechnque de Toulouse (INPT) Dscplne ou spécalté : Informatque Présentée et soutenue par Elayeb Blel Le

Plus en détail

IDEI Report # 18. Transport. December 2010. Elasticités de la demande de transport ferroviaire: définitions et mesures

IDEI Report # 18. Transport. December 2010. Elasticités de la demande de transport ferroviaire: définitions et mesures IDEI Report # 18 Transport December 2010 Elastctés de la demande de transport ferrovare: défntons et mesures Elastctés de la demande de transport ferrovare : Défntons et mesures Marc Ivald Toulouse School

Plus en détail

Économétrie. Annexes : exercices et corrigés. 5 e édition. William Greene New York University

Économétrie. Annexes : exercices et corrigés. 5 e édition. William Greene New York University Économétre 5 e édton Annexes : exercces et corrgés Wllam Greene New York Unversty Édton françase drgée par Dder Schlacther, IEP Pars, unversté Pars II Traducton : Stéphane Monjon, unversté Pars I Panthéon-Sorbonne

Plus en détail

En vue de l'obtention du. Présentée et soutenue par Meva DODO Le 06 novembre 2008

En vue de l'obtention du. Présentée et soutenue par Meva DODO Le 06 novembre 2008 THÈSE En vue de l'obtenton du DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ DE TOULOUSE Délvré par l'unversté Toulouse III - Paul Sabater Spécalté : Informatque Présentée et soutenue par Meva DODO Le 06 novembre 2008 Ttre

Plus en détail

Corrections adiabatiques et nonadiabatiques dans les systèmes diatomiques par calculs ab-initio

Corrections adiabatiques et nonadiabatiques dans les systèmes diatomiques par calculs ab-initio Correctons adabatques et nonadabatques dans les systèmes datomques par calculs ab-nto Compte rendu du traval réalsé dans le cadre d un stage de quatre mos au sen du Groupe de Spectroscope Moléculare et

Plus en détail

BUREAU D'APPLICATION DES METHODES STATISTIQUES ET INFORMATIQUES

BUREAU D'APPLICATION DES METHODES STATISTIQUES ET INFORMATIQUES BUREAU DAPPLICATION DES METHODES STATISTIQUES ET INFORMATIQUES BAMSI REPRINT 04/2003 Introducton à l analyse des données Samuel AMBAPOUR BAMSSI I BAMSI B.P. 13734 Brazzavlle BAMSI REPRINT 04/2003 Introducton

Plus en détail

Impôt sur la fortune et investissement dans les PME Professeur Didier MAILLARD

Impôt sur la fortune et investissement dans les PME Professeur Didier MAILLARD Conservatore atonal des Arts et Méters Chare de BAQUE Document de recherche n 9 Impôt sur la fortune et nvestssement dans les PME Professeur Dder MAILLARD Avertssement ovembre 2007 La chare de Banque du

Plus en détail

BTS GPN 2EME ANNEE-MATHEMATIQUES-MATHS FINANCIERES MATHEMATIQUES FINANCIERES

BTS GPN 2EME ANNEE-MATHEMATIQUES-MATHS FINANCIERES MATHEMATIQUES FINANCIERES MATHEMATIQUES FINANCIERES I. Concepts généraux. Le référentel précse : Cette parte du module M4 «Acquérr des outls mathématques de base nécessares à l'analyse de données économques» est en relaton avec

Plus en détail

Grandeur physique, chiffres significatifs

Grandeur physique, chiffres significatifs Grandeur physque, chffres sgnfcatfs I) Donner le résultat d une mesure en correspondance avec l nstrument utlsé : S avec un nstrument, ren n est ndqué sur l ncerttude absolue X d une mesure X, on consdère

Plus en détail

Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2

Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2 Exo7 Nombres complexes Vdéo parte. Les nombres complexes, défntons et opératons Vdéo parte. Racnes carrées, équaton du second degré Vdéo parte 3. Argument et trgonométre Vdéo parte 4. Nombres complexes

Plus en détail

Prise en compte des politiques de transport dans le choix des fournisseurs

Prise en compte des politiques de transport dans le choix des fournisseurs INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE N attrbué par la bblothèque THÈSE Pour obtenr le grade de DOCTEUR DE L I.N.P.G. Spécalté : Géne Industrel Préparée au Laboratore d Automatque de Grenoble Dans

Plus en détail

Les prix quotidiens de clôture des échanges de quotas EUA et de crédits CER sont fournis par ICE Futures Europe

Les prix quotidiens de clôture des échanges de quotas EUA et de crédits CER sont fournis par ICE Futures Europe Méthodologe CDC Clmat Recherche puble chaque mos, en collaboraton avec Clmpact Metnext, Tendances Carbone, le bulletn mensuel d nformaton sur le marché européen du carbone (EU ETS). L obectf de cette publcaton

Plus en détail

Paquets. Paquets nationaux 1. Paquets internationaux 11

Paquets. Paquets nationaux 1. Paquets internationaux 11 Paquets Paquets natonaux 1 Paquets nternatonaux 11 Paquets natonaux Servces & optons 1 Créaton 3 1. Dmensons, pods & épasseurs 3 2. Présentaton des paquets 4 2.1. Face avant du paquet 4 2.2. Comment obtenr

Plus en détail

Pourquoi LICIEL? Avec LICIEL passez à la vitesse supérieure EPROUVE TECHNICITE CONNECTE STABILITE SUIVIE COMMUNAUTE

Pourquoi LICIEL? Avec LICIEL passez à la vitesse supérieure EPROUVE TECHNICITE CONNECTE STABILITE SUIVIE COMMUNAUTE L og c el s de D agnos t c s I mmob l er s Cont ac t eznous 32BddeS t r as bougcs3010875468 Par scedex10tel. 0253354064Fax0278084116 ma l : s er v c e. c l ent @l c el. f r Pourquo LICIEL? Implanté sur

Plus en détail

ErP : éco-conception et étiquetage énergétique. Les solutions Vaillant. Pour dépasser la performance. La satisfaction de faire le bon choix.

ErP : éco-conception et étiquetage énergétique. Les solutions Vaillant. Pour dépasser la performance. La satisfaction de faire le bon choix. ErP : éco-concepton et étquetage énergétque Les solutons Vallant Pour dépasser la performance La satsfacton de fare le bon chox. ErP : éco-concepton et étquetage énergétque Eco-concepton et Etquetage

Plus en détail

Calcul de tableaux d amortissement

Calcul de tableaux d amortissement Calcul de tableaux d amortssement 1 Tableau d amortssement Un emprunt est caractérsé par : une somme empruntée notée ; un taux annuel, en %, noté ; une pérodcté qu correspond à la fréquence de remboursement,

Plus en détail

Les déterminants de la détention et de l usage de la carte de débit : une analyse empirique sur données individuelles françaises

Les déterminants de la détention et de l usage de la carte de débit : une analyse empirique sur données individuelles françaises Les détermnants de la détenton et de l usage de la carte de débt : une analyse emprque sur données ndvduelles françases Davd Boune Marc Bourreau Abel Franços Jun 2006 Département Scences Economques et

Plus en détail

Stéganographie Adaptative par Oracle (ASO)

Stéganographie Adaptative par Oracle (ASO) Stéganographe Adaptatve par Oracle ASO Sarra Kouder, Marc Chaumont, Wllam Puech To cte ths verson: Sarra Kouder, Marc Chaumont, Wllam Puech. Stéganographe Adaptatve par Oracle ASO. CORESA 12: COmpresson

Plus en détail

Réseau RRFR pour la surveillance dynamique : application en e-maintenance.

Réseau RRFR pour la surveillance dynamique : application en e-maintenance. Réseau RRFR pour la survellance dynamue : applcaton en e-mantenance. RYAD ZEMOURI, DANIEL RACOCEANU, NOUREDDINE ZERHOUNI Laboratore Unverstare de Recherche en Producton Automatsée (LURPA) 6, avenue du

Plus en détail

L enseignement virtuel dans une économie émergente : perception des étudiants et perspectives d avenir

L enseignement virtuel dans une économie émergente : perception des étudiants et perspectives d avenir L ensegnement vrtuel dans une économe émergente : percepton des étudants et perspectves d avenr Hatem Dellag Laboratore d Econome et de Fnances applquées Faculté des scences économques et de geston de

Plus en détail

Terminal numérique TM 13 raccordé aux installations Integral 33

Terminal numérique TM 13 raccordé aux installations Integral 33 Termnal numérque TM 13 raccordé aux nstallatons Integral 33 Notce d utlsaton Vous garderez une longueur d avance. Famlarsez--vous avec votre téléphone Remarques mportantes Chaptres à lre en prorté -- Vue

Plus en détail

Analyse des Performances et Modélisation d un Serveur Web

Analyse des Performances et Modélisation d un Serveur Web SETIT 2009 5 th Internatonal Conference: Scences of Electronc, Technologes of Informaton and Telecommuncatons March 22-26, 2009 TUNISIA Analyse des Performances et Modélsaton d un Serveur Web Fontane RAFAMANTANANTSOA*,

Plus en détail

LE RÉGIME DE RETRAITE DU PERSONNEL CANADIEN DE LA CANADA-VIE (le «régime») INFORMATION IMPORTANTE CONCERNANT LE RECOURS COLLECTIF

LE RÉGIME DE RETRAITE DU PERSONNEL CANADIEN DE LA CANADA-VIE (le «régime») INFORMATION IMPORTANTE CONCERNANT LE RECOURS COLLECTIF 1 LE RÉGIME DE RETRAITE DU PERSONNEL CANADIEN DE LA CANADA-VIE (le «régme») INFORMATION IMPORTANTE CONCERNANT LE RECOURS COLLECTIF AVIS AUX RETRAITÉS ET AUX PARTICIPANTS AVEC DROITS ACQUIS DIFFÉRÉS Expédteurs

Plus en détail

Les déterminants de la détention et de l usage de la carte de débit : une analyse empirique sur données individuelles françaises

Les déterminants de la détention et de l usage de la carte de débit : une analyse empirique sur données individuelles françaises Les détermnants de la détenton et de l usage de la carte de débt : une analyse emprque sur données ndvduelles françases Davd Boune a, Marc Bourreau a,b et Abel Franços a,c a Télécom ParsTech, Département

Plus en détail

CHAPITRE DEUX : FORMALISME GEOMETRIQUE

CHAPITRE DEUX : FORMALISME GEOMETRIQUE CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE. CHPITRE DEUX : FORMLISME GEOMETRIQUE verson.3, -8 I. GEOMETRIE DNS L ESPCE-TEMPS ) Prncpe de relatvté Le prncpe de relatvté peut s exprmer ans : toutes les los physques

Plus en détail

INTRODUCTION. Jean-Pierre MAGNAN Chef de la section des ouvrages en terre Département des sols et fondations Laboratoire central

INTRODUCTION. Jean-Pierre MAGNAN Chef de la section des ouvrages en terre Département des sols et fondations Laboratoire central Etude numérque de la consoldaton undmensonnelle en tenant compte des varatons de la perméablté et de la compressblté du sol, du fluage et de la non-saturaton Jean-Perre MAGNAN Chef de la secton des ouvrages

Plus en détail

CHAPITRE 14 : RAISONNEMENT DES SYSTÈMES DE COMMANDE

CHAPITRE 14 : RAISONNEMENT DES SYSTÈMES DE COMMANDE HAITRE 4 : RAISONNEMENT DES SYSTÈMES DE OMMANDE RAISONNEMENT DES SYSTÈMES DE OMMANDE... 2 INTRODUTION... 22 RAELS... 22 alcul de la valeur ntale de la répone à un échelon... 22 alcul du gan tatque... 22

Plus en détail

PREMIERS PAS en REGRESSION LINEAIRE avec SAS. Josiane Confais (UPMC-ISUP) - Monique Le Guen (CNRS-CES-MATISSE- UMR8174)

PREMIERS PAS en REGRESSION LINEAIRE avec SAS. Josiane Confais (UPMC-ISUP) - Monique Le Guen (CNRS-CES-MATISSE- UMR8174) PREMIERS PAS en REGRESSION LINEAIRE avec SAS Josane Confas (UPMC-ISUP) - Monque Le Guen (CNRS-CES-MATISSE- UMR874) e-mal : confas@ccr.jusseu.fr e-mal : monque.leguen@unv-pars.fr Résumé Ce tutorel accessble

Plus en détail

Projet de fin d études

Projet de fin d études Unversté Franços Rabelas Tours Ecole Polytechnque Unverstare de Tours Département Informatque Projet de fn d études Ordonnancement Juste à Temps avec geston des stocks Chopn Antone Mrault Arnaud 3ème année

Plus en détail

Dynamique du point matériel

Dynamique du point matériel Chaptre III Dynaqe d pont atérel I Généraltés La cnéatqe a por objet l étde des oveents des corps en foncton d teps, sans tenr copte des cases q les provoqent La dynaqe est la scence q étde (o déterne)

Plus en détail

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE. MEMOIRE Présentée à

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE. MEMOIRE Présentée à REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE MEMOIRE Présentée à L Unversté de Batna Faculté des Scences Département de Physque

Plus en détail

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL L ASSURANCE AUTOMOBILE AU QUÉBEC : UNE PRIME SELON LE COÛT SOCIAL MARGINAL MÉMOIRE PRÉSENTÉ COMME EXIGENCE PARTIELLE

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL L ASSURANCE AUTOMOBILE AU QUÉBEC : UNE PRIME SELON LE COÛT SOCIAL MARGINAL MÉMOIRE PRÉSENTÉ COMME EXIGENCE PARTIELLE UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL L ASSURANCE AUTOMOBILE AU QUÉBEC : UNE PRIME SELON LE COÛT SOCIAL MARGINAL MÉMOIRE PRÉSENTÉ COMME EXIGENCE PARTIELLE DE LA MAÎTRISE EN ÉCONOMIQUE PAR ERIC LÉVESQUE JANVIER

Plus en détail

Professionnel de santé équipé de Médiclick!

Professionnel de santé équipé de Médiclick! Professonnel de santé équpé de Médclck! Dosser Médcal Partagé en Aqutane Ce gude vous présente les prncpales fonctonnaltés réservées aux professonnels de santé membres du réseau AquDMP. Sommare Connexon

Plus en détail

UNE ETUDE ECONOMÉTRIQUE DU NOMBRE D ACCIDENTS

UNE ETUDE ECONOMÉTRIQUE DU NOMBRE D ACCIDENTS BRUSSELS ECONOMIC REVIEW - CAHIERS ECONOMIQUES DE BRUXELLES VOL. 49 - N 2 SUMMER 2006 UNE ETUDE ECONOMÉTRIQUE DU NOMBRE D ACCIDENTS DANS LE SECTEUR DE L ASSURANCE AUTOMOBILE* MARÍA DEL CARMEN MELGAR**

Plus en détail

LA SURVIE DES ENTREPRISES DÉPEND-ELLE DU TERRITOIRE D'IMPLANTATION?

LA SURVIE DES ENTREPRISES DÉPEND-ELLE DU TERRITOIRE D'IMPLANTATION? LA SURVIE DES ENTREPRISES DÉPEND-ELLE DU TERRITOIRE D'IMPLANTATION? Anne PERRAUD (CRÉDOC) Phlppe MOATI (CRÉDOC Unversté Pars) Nadège COUVERT (ENSAE) INTRODUCTION Au cours des dernères années, de nombreux

Plus en détail

Pratique de la statistique avec SPSS

Pratique de la statistique avec SPSS Pratque de la statstque avec SPSS SUPPORT Transparents ultéreurement amélorés et ms à jour sur le ste du SMCS LIENS UTILES Ste du SMCS (Support en Méthodologe et Calcul Statstque) : http://www.stat.ucl.ac.be/smcs/

Plus en détail

santé Les arrêts de travail des séniors en emploi

santé Les arrêts de travail des séniors en emploi soldarté et DOSSIERS Les arrêts de traval des sénors en emplo N 2 2007 Les sénors en emplo se dstnguent-ls de leurs cadets en termes de recours aux arrêts de traval? Les sénors ne déclarent pas plus d

Plus en détail

Table des Matières RÉSUMÉ ANALYTIQUE... 1 I. CONTEXTE... 2 1. La dette publique du Gouvernement... 2 2. Contexte institutionnel de gestion de la

Table des Matières RÉSUMÉ ANALYTIQUE... 1 I. CONTEXTE... 2 1. La dette publique du Gouvernement... 2 2. Contexte institutionnel de gestion de la Out ld éval uat on del aper f or manceen mat èr e degest on del adet t e (empa) Maur t an a Mar s2011 LeeMPA estunemét hodol og epouréval uerl aper f or manceenmat èr edegest on del adet t eàt r aver sunensembl

Plus en détail

AVERTISSEMENT. Contact SCD INPL: mailto:scdinpl@inpl-nancy.fr LIENS

AVERTISSEMENT. Contact SCD INPL: mailto:scdinpl@inpl-nancy.fr LIENS AVERTISSEMENT Ce document est le frut d un long traval approuvé par le jury de soutenance et ms à dsposton de l ensemble de la communauté unverstare élarge. Il est soums à la proprété ntellectuelle de

Plus en détail

Calculs des convertisseurs en l'electronique de Puissance

Calculs des convertisseurs en l'electronique de Puissance Calculs des conertsseurs en l'electronque de Pussance Projet : PROGRAMMAON ate : 14 arl Auteur : herry EQUEU. EQUEU 1, rue Jules Massenet 37 OURS el 47 5 93 64 herry EQUEU Jun [V37] Fcher : ESGN.OC Calculs

Plus en détail

INTERNET. Initiation à

INTERNET. Initiation à Intaton à INTERNET Surfez sur Internet Envoyez des messages Téléchargez Dscutez avec Skype Découvrez Facebook Regardez des vdéos Protégez votre ordnateur Myram GRIS Table des matères Internet Introducton

Plus en détail

Interface OneNote 2013

Interface OneNote 2013 Interface OneNote 2013 Interface OneNote 2013 Offce 2013 - Fonctons avancées Lancer OneNote 2013 À partr de l'nterface Wndows 8, utlsez une des méthodes suvantes : - Clquez sur la vgnette OneNote 2013

Plus en détail

CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS

CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS ONSEVAOIE NAIONAL DES AS E MEIES ELEONIQUE ANALOGIQUE PH / ELE 4 / DU GEII ere année ------------------------- ------------------------- Dder LE UYE / Perre POVEN Janer ABLE DES MAIEES APPELS D ELEOINEIQUE...5.

Plus en détail

1.0 Probabilité vs statistique...1. 1.1 Expérience aléatoire et espace échantillonnal...1. 1.2 Événement...2

1.0 Probabilité vs statistique...1. 1.1 Expérience aléatoire et espace échantillonnal...1. 1.2 Événement...2 - robabltés - haptre : Introducton à la théore des probabltés.0 robablté vs statstque.... Expérence aléatore et espace échantllonnal.... Événement.... xomes défnton de probablté..... Quelques théorèmes

Plus en détail

Faire des régimes TNS les laboratoires de la protection sociale de demain appelle des évolutions à deux niveaux :

Faire des régimes TNS les laboratoires de la protection sociale de demain appelle des évolutions à deux niveaux : Réformer en profondeur la protecton socale des TNS pour la rendre plus effcace Résumé de notre proposton : Fare des régmes TNS les laboratores de la protecton socale de deman appelle des évolutons à deux

Plus en détail

Mécanique des Milieux Continus

Mécanique des Milieux Continus Mécanque des Mleux Contnus Golay Frédérc SEATECH MMC Golay MMC - - Ce cours de mécanque des mleux contnus est à la base de l ensegnement de mécanque à SEATECH. Les notons abordées c, transport de champs,

Plus en détail

Integral T 3 Compact. raccordé aux installations Integral 5. Notice d utilisation

Integral T 3 Compact. raccordé aux installations Integral 5. Notice d utilisation Integral T 3 Compact raccordé aux nstallatons Integral 5 Notce d utlsaton Remarques mportantes Remarques mportantes A quelle nstallaton pouvez-vous connecter votre téléphone Ce téléphone est conçu unquement

Plus en détail

GEA I Mathématiques nancières Poly. de révision. Lionel Darondeau

GEA I Mathématiques nancières Poly. de révision. Lionel Darondeau GEA I Mathématques nancères Poly de révson Lonel Darondeau Intérêts smples et composés Voc la lste des exercces à révser, corrgés en cours : Exercce 2 Exercce 3 Exercce 5 Exercce 6 Exercce 7 Exercce 8

Plus en détail

La Quantification du Risque Opérationnel des Institutions Bancaires

La Quantification du Risque Opérationnel des Institutions Bancaires HEC Montréal Afflée à l Unversté de Montréal La Quantfcaton du Rsque Opératonnel des Insttutons Bancares par Hela Dahen Département Fnance Thèse présentée à la Faculté des études supéreures en vue d obtenton

Plus en détail

Ecole Polytechnique de Montréal C.P. 6079, succ. Centre-ville Montréal (QC), Canada H3C3A7 lucas.greze@polymtl.ca robert.pellerin@polymtl.

Ecole Polytechnique de Montréal C.P. 6079, succ. Centre-ville Montréal (QC), Canada H3C3A7 lucas.greze@polymtl.ca robert.pellerin@polymtl. CIGI 2011 Processus d accélératon de proets sous contrantes de ressources avec odes de chevaucheent LUCAS GREZE 1, ROBERT PELLERIN 1, PATRICE LECLAIRE 2 1 CHAIRE DE RECHERCHE JARISLOWSKY/SNC-LAVALIN EN

Plus en détail

RAPPORT DE STAGE. Approcher la frontière d'une sous-partie de l'espace ainsi que la distance à cette frontière. Sujet : Master II : SIAD

RAPPORT DE STAGE. Approcher la frontière d'une sous-partie de l'espace ainsi que la distance à cette frontière. Sujet : Master II : SIAD UFR SCIENCES ET TECHNOLOGIES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE 63 177 AUBIERE CEDEX Année 2008-2009 Master II : SIAD RAPPORT DE STAGE Sujet : Approcher la frontère d'une sous-parte de l'espace

Plus en détail

Une analyse économique et expérimentale de la fraude à l assurance et de l audit

Une analyse économique et expérimentale de la fraude à l assurance et de l audit Une analyse économque et expérmentale de la fraude à l assurance et de l audt Sameh Borg To cte ths verson: Sameh Borg. Une analyse économque et expérmentale de la fraude à l assurance et de l audt. Economes

Plus en détail

MEMOIRE. Présenté au département des sciences de la matière Faculté des sciences

MEMOIRE. Présenté au département des sciences de la matière Faculté des sciences REPUBLIQUE LERIEN DEMOCRTIQUE ET POPULIRE Mnstère de l ensegnement supéreur et de la recherche scentfque Unversté El-Hadj Lakhdar-BTN- MEMOIRE Présenté au département des scences de la matère Faculté des

Plus en détail

Des solutions globales fi ables et innovantes. www.calyon.com

Des solutions globales fi ables et innovantes. www.calyon.com Des solutons globales f ables et nnovantes www.calyon.com OPTIM Internet: un outl smple et performant Suv de vos comptes Tratement de vos opératons bancares Accès à un servce de reportng complet Une nterface

Plus en détail

Corrigé du problème de Mathématiques générales 2010. - Partie I - 0 0 0. 0.

Corrigé du problème de Mathématiques générales 2010. - Partie I - 0 0 0. 0. Corrgé du problème de Mathématques générales 2010 - Parte I - 1(a. Sot X S A. La matrce A est un polynôme en X donc commute avec X. 1(b. On a : 0 = m A (A = m A (X n ; le polynôme m A (x n est annulateur

Plus en détail

GUIDE D ÉLABORATION D UN PLAN D INTERVENTION POUR LE RENOUVELLEMENT DES CONDUITES D EAU POTABLE, D ÉGOUTS ET DES CHAUSSÉES

GUIDE D ÉLABORATION D UN PLAN D INTERVENTION POUR LE RENOUVELLEMENT DES CONDUITES D EAU POTABLE, D ÉGOUTS ET DES CHAUSSÉES GUIDE D ÉLABORATION D UN PLAN D INTERVENTION POUR LE RENOUVELLEMENT DES CONDUITES D EAU POTABLE, D ÉGOUTS ET DES CHAUSSÉES Gude destné au mleu muncpal québécos NOVEMBRE 2013 Coordnaton : Martn Cormer,

Plus en détail

EURIsCO. Cahiers de recherche. Cahier n 2008-05. L épargne des ménages au Maroc : Une analyse macroéconomique et microéconomique.

EURIsCO. Cahiers de recherche. Cahier n 2008-05. L épargne des ménages au Maroc : Une analyse macroéconomique et microéconomique. Cahers de recherche EURIsCO Caher n 2008-05 L épargne des ménages au Maroc : Une analyse macroéconomque et mcroéconomque Rapport d étude Najat El Mekkaou de Fretas (coordnateur) Eursco Unversté Pars Dauphne

Plus en détail

RÉSUMÉ ANALYTIQUE... 1

RÉSUMÉ ANALYTIQUE... 1 Out ld éval uat on del aper f or manceen mat èr e degest on del adet t e (DeMPA) Républ quedu Sénégal Ma2010 LeDeMPA estunemét hodol og epouréval uerl aper f or manceenmat èr edegest on del adet t eàt

Plus en détail

Thermodynamique statistique Master Chimie Université d Aix-Marseille. Bogdan Kuchta

Thermodynamique statistique Master Chimie Université d Aix-Marseille. Bogdan Kuchta hermodynamque statstque Master Chme Unversté d Ax-Marselle Bogdan Kuchta Plan: Rappel: thermodynamque phénoménologque (dscuter l entrope, l évoluton de gaz parfat,) Premer prncpe Deuxème prncpe (transformaton

Plus en détail

Qualité de service 7. Ordonnanceurs de paquets. Contexte. Intégration de services. Plan. Multiplexage. FIFO/DropTail. Priorités

Qualité de service 7. Ordonnanceurs de paquets. Contexte. Intégration de services. Plan. Multiplexage. FIFO/DropTail. Priorités NE52 éseaux avancés Qualté de servce hrstophe Deleuze ESISA/INPG LIS 7 déc 24/3 jan 25 ontexte commutaton de crcuts partage statque solaton complète ex : vox gaspllage de la bande passante commutaton de

Plus en détail

II - Notions de probabilité. 19/10/2007 PHYS-F-301 G. Wilquet 1

II - Notions de probabilité. 19/10/2007 PHYS-F-301 G. Wilquet 1 II - Notos de probablté 9/0/007 PHYS-F-30 G. Wlquet Ue varable aléatore est ue varable dot la valeur e peut être prédte avec certtude mas dot la probablté d occurrece d ue valeur (varable dscrète) ou d

Plus en détail

La théorie classique de l information. 1 ère partie : le point de vue de Kolmogorov.

La théorie classique de l information. 1 ère partie : le point de vue de Kolmogorov. La théore classque de l nformaton. ère parte : le pont de vue de Kolmogorov. La sute de caractères comme outl de descrpton des systèmes. La scence peut être vue comme l art de compresser les données quelles

Plus en détail

Pro2030 GUIDE D UTILISATION. Français

Pro2030 GUIDE D UTILISATION. Français Pro2030 GUIDE D UTILISATION Franças Contents Garante... Introducton... 1 Artcle nº 605056 Rév C Schéma nº A605056 Novembre 2010 2010 YSI Incorporated. Le logo YSI est une marque déposée de YSI Incorporated.

Plus en détail

Prêt de groupe et sanction sociale Group lending and social fine

Prêt de groupe et sanction sociale Group lending and social fine Prêt de roupe et sancton socale Group lendn and socal fne Davd Alary Résumé Dans cet artcle, nous présentons un modèle d antsélecton sur un marché concurrentel du crédt. Nous consdérons l ntroducton de

Plus en détail

Surveillance temps-réel des systèmes Homme-Machine. Application à l assistance à la conduite automobile

Surveillance temps-réel des systèmes Homme-Machine. Application à l assistance à la conduite automobile Survellance temps-réel des systèmes Homme-Machne. Applcaton à l assstance à la condute automoble Mguel Gonzalez-Mendoza To cte ths verson: Mguel Gonzalez-Mendoza. Survellance temps-réel des systèmes Homme-Machne.

Plus en détail

OPTIMALITÉ DU MÉCANISME DE RATIONNEMENT DE CRÉDIT DANS LE MODÈLE ISLAMIQUE DE FINANCEMENT

OPTIMALITÉ DU MÉCANISME DE RATIONNEMENT DE CRÉDIT DANS LE MODÈLE ISLAMIQUE DE FINANCEMENT Etudes en Econoe Islaque, Vol. 6, Nos. & (-7) Mouharra, Raab 434H (Novebre 0, Ma 03) OPTIMALITÉ DU MÉCANISME DE RATIONNEMENT DE CRÉDIT DANS LE MODÈLE ISLAMIQUE DE FINANCEMENT ALIM BELEK Résué Le ratonneent

Plus en détail

22 environnement technico-professionnel

22 environnement technico-professionnel 22 envronnement technco-professonnel CYRIL SABATIÉ Drecteur du servce jurdque FNAIM Ouverture du ma IMMOBILIER, OÙ 1 Artcle paru également dans la Revue des Loyers, jullet à septembre 2007, n 879, p. 314

Plus en détail