Recherche opérationnelle : programme linéaire à plusieurs variables (simplexe)

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1 Recherche opérationnelle : programme linéaire à plusieurs variables (simplexe) Anne Fredet, Table des matières Programmation linéaire à plusieurs variables. Dénitions Méthode du simplexe Idée Système canonique Système générique Algorithme du simplexe Contraintes saturées et gains marginaux Exercices Méthode duale Dénition Exercices Applications Solutions des exercices

2 Programmation linéaire à plusieurs variables. Dénitions Dénition. Un programme linéaire est un programme consistant à trouver un extremum (maximum ou minimum) d'une fonction à plusieurs variables, vériant en outre un système d'équations ou d'inéquations, ces fonctions étant linéaires. La méthode graphique devient dicile à réaliser lorsqu'il y a variables, et impossible s'il y a plus de variables. Il faut donc trouver une autre méthode : celle du simplexe. Sous sa forme la plus générale, le modèle de programmation linéaire est le modèle d'optimisation suivant : n minimiser (ou maximiser) z(x) = c j x j i= fonction objectif sous les contraintes n a ij x j j= = b i i =,, m Les nombres c j, a ij, b i sont les paramètres du modèle, ils sont connus avant la résolution. Les variables de décision x j sont indéterminés à priori. Dénition. On appelle : point réalisable tout point x qui satisfait aux contraintes, espace réalisable ou polyhèdre des contraintes l'ensemble des points réalisables, solution optimale un point réalisable qui optimise (maximise ou minimise) z(x) valeur optimale la valeur de z(x) atteinte pour toute solution optimale.. Méthode du simplexe.. Idée On sait que la solution, si elle existe, se trouve au moins sur un sommet du domaine des solutions réalisables, la recherche de la solution optimale s'eectue uniquement sur ces sommets. L'algorithme du simplexe examine comme première solution un des sommets (en général l'origine), qui constitue la solution de base de l'algorithme. Puis il se déplace de sommet en sommet, an d'améliorer la fonction économique à chaque étape. Après un nombre ni d'itérations, il arrive à un sommet à partir duquel tout déplacement vers un autre sommet n'améliore plus cette valeur. On est alors au sommet optimal... Système canonique Pour appliquer la méthode du simplexe, on suppose que le système est donné sous forme canonique, c'est à dire qu'il comprend une contrainte de positivité pour chaque variable et que les autres contraintes sont des inégalités majorantes. On suppose de plus que la fonction objectif est à maximiser : Dénition. On appelle programme linéaire canonique un programme du type x 0. x n 0 a x + + a n x n b. a p x + + a pn x n b p max(c x + + c n x n ) A. Fredet

3 La manipulation de systèmes d'inéquations n'est pas aisée. En eet, la multiplication par un nombre négatif change le signe de l'inégalité et la somme de deux lignes peut être fausse. Exemple. Regardons cela sur exemples :. x + 4 x 4. Si on a { x + y > x + y > 4 alors on devrait avoir { y > (L L ) y > (L L ) { y < c'est à dire y > Or une seule de ces inégalités peut être exacte... C'est pourquoi, an de résoudre ce système, on commence par transformer les inéquations du sysème en équations, en ajoutant de nouvelles variables appelés variables d'écart. On obtient le système : x 0. x n 0 e 0. e p 0 a x + + a n x n + e = b. a p x + + a pn x n + e p = b p max(c x + + c n x n ) On notera Z la fonction objectif : Z = c x + + c n x n. On va considérer ce système sous forme de tableau an de le résoudre : x x x n e e e p e a a a n b e a a a n b.. e p a p a p a pn 0 0 b p Z c c c p Les variables correspondant à des coecients non nuls de la fonction objectif sont des variables hors base. Elles ne gurent pas dans la première colonne. La solution de base est x = = x n = 0 et e = b,, e p = b p. Dans ce cas, la fonction économique vaut 0, les variables x i sont hors base.... Système générique On peut transformer certaines contraintes an d'obtenir un système générique :. Toute inégalité de la forme a x + a x + + a n x n b peut être transformée en a x a x a n x n b. Toute égalité de la forme a x + a x + + a n x n = b peut être transformée en deux inégalités { a x + a x + + a n x n b et a x + a x + + a n x n b. c'est-à-dire { a x + a x + + a n x n b et a x a x a n x n b. A. Fredet

4 ..4 Algorithme du simplexe L'algorithme du simplexe consiste à parcourir le polyhèdre des points réalisables de sommet en sommet jusqu'à ce qu'on ne puisse plus améliorer la solution. Au point de départ, la fonction objectif est nulle, et il s'agit de l'augmenter. Si certains de ses coecients sont positifs, il apparait clairement qu'en augmentant l'une des variables correspondant à un coecients positifs, on augmente cette fonction objectif. On a donc un critère d'obtention de l'optimum : tant que la dernière ligne d'un tableau du simplexe contient au moins un coecient positif, la solution examinée peut être améliorée. Première étape : Recherche du pivot Le pivot est un coecient du tableau qui permet, grâce à la méthode du pivot, d'annuler tous les coecients de la colonne contenant ce pivot, excepté cet élément qui est ramené à après division de la ligne le contenant par ce nombre.. Choix de la colonne pivot La colonne pivot est dénie à partir des coecients de la fonction économique. On cherche à se focaliser sur la variable qui, en augmentant, augmentera le plus possible la fonction objectif. Cette variable correspond au plus grand coecient positif de la fonction objectif. Considérons les coecients c,, c n de la fonction économique. Parmi tous les coecients positifs, on considère le plus grand. La colonne pivot est la colonne qui le contient. S'il existe plusieurs coecients correspondant à cette valeur positive maximale, on peut choisir celui que l'on veut. La variable correspondante sera la variable entrante car elle ne va plus s'annuler. Exemple. Si on considère le programme linéaire suivant : x 0, x 0, x 0 x + x x x + 4x x + x max(x x + x ) En introduisant les variables d'écart, on obtient x 0, x 0, x 0 x + x + e = x + e = x + 4x + e = x + x + e 4 = max(x x + x ) e 0, e 0, e 0, e 4 0 Le premier tableau se présente donc ainsi : x x x e e e e 4 e e e e Z Le plus grand coecient positif de la fonction économique est c =. La colonne pivot est donc la première colonne. La variable x est donc entrante.. Choix de la ligne pivot La variable entrante va prendre la place d'une des variables de base, appelé variable sortante. Il faut maintenant trouver quelle valeur maximum peut prendre cette variable entrante an de maximiser la fonction objectif. Pour 4 A. Fredet

5 cela, chaque coecient de la dernière colonne est divisé par le coecient correspondant de la colonne pivot : si la colonne pivot est a i a i on calcule les rapports. a pi c i, b j a ji pour j =,, p lorsque a ij > 0. On obtient de cette façon, pour chaque contrainte prise séparement, la valeur maximal que peut prendre la variable entrante. On sélectionne le plus petit rapport positif, correspondant à la contrainte la plus forte : on cherche l'indice k tel que 0 b k a ki b j a ji en ne considérant les j que si a ij > 0. La k-ième ligne est la ligne pivot, et a ki est le pivot : la ligne pivot est la ligne k telle que b k a ki minimal. La variable correspondant à cette ligne est la variable sortante. Exemple. Si on considère l'exemple précédent, on avait le tableau suivant : soit positif et x x x e e e e 4 e e e e Z La première colonne est la colonne pivot. Les seuls coecients positifs non nuls de cette colonne sont a =, a = et a 4 =. Calculons les rapports bj a j correspondants. On a b a = = b a = = 4 b 4 a 4 = = Le plus petit rapport est le premier, donc la ligne pivot est la première. Le pivot associé est a =. La variable entrante est x et la variable sortante est e. Deuxième étape : Réduction du tableau On divise la ligne pivot par le pivot puis on annule ensuite les coecients du tableau situés au-dessus et au-dessous du pivot, en soustrayant la ligne pivot aux autres lignes. x x x e e e e 4 x e e on eectue L L L e on eectue L 4 L 4 L Z on eectue L 5 L 5 L La solution correspondante est dénie par x =, x = x = 0, e = 0, e =, e = 9 et e 4 =. La fonction économique vaut en ce point. 5 A. Fredet

6 Troisième étape : Itération S'il existe un coecient c i positif dans le nouveau tableau, on retourne à la première étape (choix du pivot) puis à la deuxième (réduction du tableau). On réitère ce processus jusqu'à ce que tous les coecients de la fonction économique soient négatifs. Cela se produira forcément. Exemple.4 On reprend le tableau de l'exemple précédent. Il existe un coecient c i positif, à savoir c =. La troisième colonne est donc la colonne pivot. Le seul coecient positif de cette colonne est a 4 =, c'est donc le pivot. On réduit le tableau et on obtient x x x e e e e 4 x e e x Z L 5 L 5 L 4 Tous les coecients de la fonction économique sont négatifs, on a donc la solution optimale. Elle est dénie par x =, x = 0, x =, e = 0, e =, e = 9 et e 4 = 0. Dans ce cas, max(x x + x ) = 5. Autre exemple On considère le programme linéaire suivant x 0, x 0, x 0, x 4 0 x + x + 4x + x x + 8x + 0x + x 4 0 x + x + x + x 4 5 max(6x + x + 7x + 8x 4 ) La résolution de ce programme nous donnes ces tableaux successifs : x x x x 4 e e e e e e Z La solution correspondante est x = x = x = x 4 = 0 et e = 70, e = 0, e = 5. La variable entrante est x 4 et la variable sortante est e. x x x x 4 e e e 5 e x 4 5 e 4 Z on eectue L L 4 L on eectue L L on eectue L L L on eectue L 4 L 4 L La solution correspondante est x 4 = 0, e = 40 et e = 5, les autres variables étant nulles. La fonction économique vaut 80. On cherche le pivot, et on le trouve sur la première colonne, trosième ligne. La variable entrante est donc x et la variable sortante est e : x x x x 4 e e e e on eectue L L L x on eectue L L 7 5 L 4 x on eectue L 5 L Z on eectue L 4 L L Ce tableau est le dernier car tous les coecients de la dernière ligne sont négatifs. La solution optimale correspondante est x =, x 4 =, e = 5. La fonction économique vaut en ce point A. Fredet

7 Autre présentation On peut ne pas garder les variables de la base dans la première colonne. La solution correspondante est alors dénie par les coecients nuls de la fonction objectif. Les autres variables seront nulles. On considère le programme linéaire suivant x 0, x 0, x 0, x 4 0 x + x + 4x + x x + 8x + 0x + x 4 0 x + x + x + x 4 5 max(6x + x + 7x + 8x 4 ) La résolution de ce programme nous donnes ces tableaux successifs : x x x x 4 e e e La solution correspondante est e = 70, e = 0, e = 5 (les coecients de la dernière ligne sont nuls) et x = x = x = x 4 = 0. On obtient ensuite x x x x 4 e e e La solution correspondante est x 4 = 0, e = 40 et e = 5, les autres variables étant nulles. La fonction économique vaut 80. Le dernier tableau est : x x x x 4 e e e Ce tableau est le dernier car tous les coecients de la dernière ligne sont négatifs. La solution optimale correspondante est x =, x 4 =, e = 5. La fonction économique vaut en ce point 96. Exercice. Résoudre le programme x, x, x 0 x x + x 7 x 4x 4x + x + 8x 0 max(x + x + x )..5 Contraintes saturées et gains marginaux Une contrainte est saturée au point solution si sa variable d'écart est nulle en ce point. Les gains marginaux sont les nombres de la dernière ligne du tableau, situés dans les colonnes des variables d'écart. Seuls les contraintes saturés conduisent à des gains marginaux non nuls. 7 A. Fredet

8 ..6 Exercices Exercice. Résoudre le programme x, x, x 0 x 00 x 50 x + x + x 00 x + x + x 00 max(x + 4x + x ) Exercice. Résoudre le problème suivant en utilisant l'algorithme du simplexe : Un artisan fabrique deux articles A et B nécessitant chacun deux opérations : un usinage et un traitement thermique. Le produit A subit un usinage d' heure et un traitement thermique de h. B subit un usinage de h et un traitement thermique de h. De plus, kg de matière première entrent dans la composition de A et kg dans celle de B. La fabrication de B se termine par un travail de nition qui dure h. Toutes les semaines, l'artisan dispose de l'atelier d'usinage pendant 80h et du four pendant 50h. De plus, pendant cette période, il ne peut pas consacrer plus de 5h au travail de nition ni stocker plus de 80kg de matière première. Quelles quantités de A et B l'artisan doit-il fabriquer pendant cette période si la marge bénéciaire est de 0 euros pour l'article A et de 0 euros pour l'article B.. Méthode duale La méthode du simplexe ne permet de résoudre que des systèmes ayant des contraintes sur les maxima et une fonction à maximiser. Il arrive qu'on ait des contraintes sur les valeurs minimales et qu'on chercher à minimiser une fonction (un coût par exemple). Pour cela, il nous faut considérer le dual du problème... Dénition Si on compare le problème (P) : avec le problème (P) maximiser z = n j= c jx j avec n j= a ijx j b i pour i =,, m minimiser z = m i= b iy i avec m i= a ijy i c j pour j =,, n On dit que P et P sont le primal et le dual d'un même programme linéaire. Le programme dual d'un programme linéaire est un programme linéaire. Le nombre de variables du dual est égal au nombre de contraintes du primal et le nombre de ses contraintes est égal au nombre de variables du primal. Par exemple primal dual variables :x, x variables :y, y, y, y 4 contraintes : contraintes : a x + a x b a x + a x b a y + a y + a y + a 4 y 4 c a x + a x b a y + a y + a y + a 4 y 4 c a 4 x + a 4 x b 4 fonction économique : fonction économique : z = c x + c x z = b y + b y + b y + b 4 y 4 La résolution du primal donne la solution du dual et réciproquement. Les données du primal sont utilisées horizontalement pour l'écriture du programme. Ces mêmes données sont utilisées verticalement pour l'écriture du programme dual. De plus, le type d'extremum du dual est le contraire de celui du 8 A. Fredet

9 primal. Si on considère le programme linéaire suivant : variables indépendantes x et x 4 contraintes : x + x 000 x + x 800 x 400 x 700 fonction économique : z = 0x + 0x à maximiser La solution optimale de ce problème est x = 00 et x = 700. Le programme dual du précédent est : 4 variables indépendantes y, y, y et y 4 contraintes : y + y + y 0 y + y + y 4 0 fonction économique : z = 000y + 800y + 400y + 700y 4 à minimiser La valeur optimale de z est 000. On a : état initial x x e e e e état optimal x x e e e e La solution optimale qui donne z = 000 est x = 00, x = 700, e = 00, e = 0, e = 00 et e 4 = 0. En regardant la dernière ligne du tableau, on trouve les valeurs correspondant à la solution optimale du problème dual : y = 0 et y 4 = 0, qui nous donne le bon résultat : z = = 000. On remarque que le dual du dual est le problème initial... Exercices Exercice.4 Résoudre u 0, u 0, u 0, u 4 0 u + u + u 0 u + u + u + u 4 0 minimiser 80u + 50u + 80u + 5u 4.4 Applications Exercice.5 Une usine produit deux modèles de machines, l'une que l'on appellera modèle A exige kg de matière première et de 0 heures de fabrication et donne un bénéce de 7 euros. L'autre que l'on appellera B exige 4 kg de matière première et de 5 heures de fabrication et donne un bénéce de 6 euros. On dispose de 00 kg de matière première et de 00 h de travail. Quelle production doit on avoir pour obtenir un bénéce maximal? Exercice.6 L'entreprise Duralumin fabrique des pièces en inox, de trois types A, B et C ; elles sont fabriquées par lot de 50 dans un grand atelier où sont rassemblées une machine de découpe de l'inox, une emboutisseuse et une polisseuse ; chaque machine fonctionne 0 heures par mois. Les caractéristiques de fabrication sont rassemblées 9 A. Fredet

10 dans le tableau suivant : coût horaire lot A lot B lot C découpe 0 euros h 0, 5 h h emboutissage 0 euros, 5 h h polissage 40 euros, 5 h h h inox (mat. première) 40 euros 85 euros 8 euros prix de vente (H.T.) 00 euros 80 euros 0 euros Quel est le programme de production optimal (pour un mois)? Exercice.7 Dans une cafétéria, on sert sortes de désserts glacés, à base de cocktails exotiques, de glace et de fruits conts : la créole et la tropicale. La créole nécessite 8cl de cocktail exotique, dl de glace et 5g de fruits conts. La tropicale nécessite 5cl de cocktail exotique, dl de glace et 5g de fruits conts. Chaque jour, l'atelier de patisserie peut préparer 600 cl de cocktail exotique, 50 dl de glace et 5 kg de fruits conts. Une créole est vendue, euros et une tropicale euro. Maximisez le prot. Exercice.8 Un agriculteur peut utiliser type d'engrais E et E pour épandre sur ses cultures. Les besoins par an et par hectare sont de 60 kg de potasse, 0 kg de calcium et 90 kg de nitrates. Pour une même quantité, les types d'engrais coutent la même chose. Leur composition pour 0 kg est de : produit E : kg de potasse, kg de calcium, kg de nitrates et kg de produit neutre produit E : kg de potasse, kg de calcium, kg de nitrates et 5 kg de produit neutre Question : Comment fertiliser les cultures à moindre coût? Exercice.9 La Société des Scieries Vosgienne (SSV) souhaite s'apprivisionner en bois de diérentes essences courantes. Compte tenu de la demande actuelle en bois scié, elle souhaite acquérir au moins 00m de chêne, au moins 60 m de hêtre et au moins 00m de sapin. Les prix au m sur la marché traditionnel sont de 40 euros pour le chêne, 90 euros pour le hêtre et 70 euros pour le sapin. Mais la SSV peut aussi proter des ores de certains exploitants forestiers dont les forêts ont été dévastées par la tempête du 6 décembre 999 et qui proposent par lots, à moindre coût, du bois de qualité équivalente. Trois ores ont été sélectionnées : ore A : lots de 5m de chêne, 5m de hêtre, 0m de sapin. Prix d'un lot : 840 euros. ore B : lots de 6m de chêne, 8m de hêtre, 4m de sapin. Prix d'un lot : 960 euros. ore C : lots de 9m de chêne, 4m de hêtre, m de sapin. Prix d'un lot : 880 euros.. Déterminez le prix et la quantité de bois que souhaite acquérir la SSV, si elle se fournit sur le marché traditionnel et achète les quantités minimales qu'elle désire acquérir.. L'objectif des questions suivantes est de déterminer si la SSV a intérêt à se fournir sur la marché traditionnel ou à proter des ores sélectionnées. On supposera dans ce qui suit qu'elle choisit d'acheter uniquement des lots A,B et C. (a) En notant respectivement a, b et c les quantités de lots A, B et C à acheter pour obtenir la quantité de bois désirée, écrire la forme canonique du programme P, établissant les contraintes et la fonction économique Z à minimiser pour satisfaire la SSV. (b) Écrire, sous forme canonique puis sous forme standard, le programme P, dual du programme P. On notera x, y et z les variables duales, e, e, e les variables d'écart du programme dual et Z la fonction économique du programme dual. (c) Établir les deux premiers tableaux permettant de résoudre le programme P par la méthode du simplexe. Indiquez soigneusement les variables entrantes et sortantes dans le premier tableau. (d) Le troisième tableau est le suivant : x y z e e e R 5 e z y Z A. Fredet

11 i. Montrez que ce tableau correspond à l'optimum, et déterminez les nombres de lots A, B et C que la SSV doit acheter pour minimiser ses coûts. ii. Indiquez le prix minimum à payer par la SSV pour satisfaire ses besoins. Quel est alors, en pourcentage, le rabais obtenu par rapport au prix du marché traditionnel? iii. Si la SSV désire acheter le nombre de lots A,B et C lui permettant de minimiser ses coûts, la quantité de bois acheté correspond-elle exactement à la quantité souhaitee? A. Fredet

12 .5 Solutions des exercices Solution. En ajoutant les variables d'écart, on s'intéresse au système suivant : x, x, x, e, e, e 0 x x + x + e = 7 x 4x + e = 4x + x + 8x + e = 0 max(x + x + x ) En appliquant l'algorithme du simplexe, on obtient les tableaux suivants (le pivot est en rouge) x x x e e e e e e Z La solution de base est alors x = x = x = 0, e = 7, e =, e = 0, Z = 0. x x x e e e x e e Z La solution est alors x = x = e = 0, x = 7, e = 5, e = 4 et Z = 7. x x x e e e x 0 7 e x Z La solution est alors e = e = x = 0, x =, x = 4, e = 77 et Z = 55. C'est la solution optimale car tous les coecients de la fonction économique sont négatifs ou nuls. Solution. En ajoutant les variables d'écart, on s'intéresse au système suivant : x, x, x, e, e, e, e 4 0 x + e = 00 x + e = 50 x + x + x + e = 00 x + x + x + e 4 = 00 max(x + 4x + x ) En appliquant l'algorithme du simplexe, on obtient les tableaux suivants (le pivot est en rouge) x x x e e e e 4 e e e e Z La solution de base est alors x = x = x = 0, e = 00, e = 50, e = 00, e 4 = 00, Z = 0. x x x e e e e 4 e x e e Z A. Fredet

13 La solution correspondante est e = x = x = 0, e = 00, x = 50, e = 50, e 4 = 00, Z = 600. x x x e e e e 4 e x x e Z La solution optimale est x = 50, x = 50, x = 0, Z = 750, e = 50, e = 0, e = 0, e 4 = 50 (tous les coecients de la fonction objectif sont nuls). Solution. On a le tableau suivant : article A article B dispo max usinage h h 80h traitement thermique h h 50h matière première kg kg 80kg nition h 5h marge 0 0 Soit x la quantité d'articles A et y la quantité d'articles B fabriqués en trois semaines. On s'intéresse donc au programme linéaire suivant : maximiser 0x + 0y x 0, y 0 x + y 80 x + y 50 x + y 80 y 5 c'est-à-dire maximiser 0x + 0y x 0, y 0 x + y 80 x + y 50 x + y 80 y 5 En ajoutant les variables d'écart, cela nous donne le système suivant : maximiser 0x + 0y x 0, y 0, e 0, e 0, e 0, e 4 0 x + y + e = 80 x + y + e = 50 x + y + e = 80 y + e 4 = 5 On obtient le tableau suivant : x y e e e e 4 e e e e Z A. Fredet

14 Le pivot est sur la première colonne, troisième ligne. x est donc la variable entrante et e la variable sortante : x y e e e e 4 e e x e Z Le pivot est maintenant sur la deuxième colonne, deuxième ligne. La variable entrante est y et la variable sortante est e : x y e e e e 4 e y x e Z Les coecients de la dernière ligne étant tous négatifs, l'algorithme s'arrète. La solution optimale est donc x = 0, y = 0, e = 0, e 4 = 5 et e = e = 0. Les contraintes deux et trois sont donc saturées. On retrouve bien les solutions obtenues par la méthode graphique. Solution.4 il sut d'eectuer la résolution de son dual : maximiser 0x + 0y x 0, y 0 x + y 80 x + y 50 x + y 80 y 5 Le dernier tableau de l'algorithme du simplexe est x y e e e e 4 e y x e Z La valeur minimale du problème initial est donc 00. Il correspond à u = 0, u = 0, u = 0 et u 4 = 0. Solution.5 Soit x le nombre d'appareils de modèle A et y le nombre d'appareils de modèle B. On s'intéresse donc au système suivant : x 0, y 0 x + 4y 00 0x + 5y 00 max(7x + 6y) En introduisans les variables d'écart, on obtient x 0, y 0, e 0, e 0 x + 4y + e = 00 0x + 5y + e = 00 max(7x + 6y) 4 A. Fredet

15 La méthode du simplexe nous donne les tableaux suivants : qui nous donne x y e e Z On obtient e y e x Z e e y x Z La solution optimale est donc x = 0 et y = 40. Le bénéce est alors de 80 euros. Solution.6 Soient x, x, x les quantités de pièces de type A, B, C fabriquées. Chaque pièce A coûte 0 euros pour la découpe,, 5 0 = 45 euros pour l'emboutissage,, 5 40 = 60 euros pour le polissage et 40 euros de matière première, soit 65 euros. Elle rapporte donc = 5 euros. Chaque pièce B coûte 0, 5 0 = 0 euros pour la découpe, 40 euros pour le polissage et 85 euros de matière première, soit 5 euros. Elle rapporte donc 80 5 = 45 euros. Chaque pièce C coûte 0 = 40 euros pour la découpe, 0 euros pour l'emboutissage, 40 euros pour le polissage et 8 euros de matière première, soit 48 euros. Elle rapporte donc 0 48 = 7 euros. On s'intéresse au système suivant : x 0, x 0, x 0 x + 0, 5x + x 0, 5x + x 0, 5x + x + x 0 max(5x + 45x + 7x ) En introduisant les variables d'écart, on obtient x 0, x 0, x 0, e 0, e 0, e 0 x + 0, 5x + x + e = 0, 5x + x + e = 0, 5x + x + x + e = 0 max(5x + 45x + 7x ) En utilisant la méthode du simplexe, on considère le tableau suivant qui nous donne x x x e 0, e, e, Z x x e x 0, 5 0, 5 0, e 0, 5 0 0, e 0, , Z A. Fredet

16 On obtient x e e x e x Z La solution optimale est donc obtenue en x = 0, x = 80, x = 40. Le bénéce est alors de euros. Solution.7 Soit x le nombre de créoles vendues et y le nombre de tropicales. On a 8x + 5y 600 (cocktail) x + y 50 (glace) 5x + 5y (fruits) On veut maximiser la fonction, x + y. On a les tableaux suivants : En modiant la ligne e, cela nous donne En modiant la ligne e, cela nous donne x y nd membre rapports e e e Z, y e nd membre rapports x 0, 65 0, e 0 0, 75 0, e 0 5, 65, Z 0 0, 5 0, e e nd membre x 0 0, 0 0, 04 0 e 0 0 0, 6 0, y 0 0, 0 0, Z 0 0 0, 0 0, 06 7 On a donc x = 0 créoles et y = 8 tropicales. Le prot est alors de 7 euros (et il reste 4 dl de glace) Solution.8 Soit x et y les quantités d'engrais E et E utilisées par an et par hectare. On veut alors : x + y 60 x + y 0 x + y 90 min(x + y) On considère le système dual : X + Y + Z X + Y + X max(60x + 0Y + 90Z) D'où les tableaux suivants : X Y Z e e nd membre e 0 e 0 Z A. Fredet

17 En modiant la première ligne, on obtient En modiant la deuxième ligne, cela donne X Z e e nd membre Y 0 4 e 0 Z Z e e nd membre 5 Y X Z Cela signie que les solutions du problème primal sont x = 0, y = 5 et le minimum vaudra 45. Il faut donc acheter 0 lots de E et 5 lots de E. Solution.9. Sur le marché traditionnel, les 00m de chêne couteraient euros, les 60m de sapin couteraient euros et les 00m de sapin couteraient euros, soit un total de euros.. On s'intéresse mainteant aux lots A,B et C (a) On cherche donc à minimiser Z = 840a + 960b + 880c avec a 0, b 0, c 0 5a + 6b + 9c 0 (chêne) 5a + 8b + 4x 60 (hêtre) 0a + 4b + c 00 (sapin) (b) le dual P est donc maximiser Z = 00x + 60y + 00z x 0, y 0, z 0 5x + 5y + 0z 840 avec 6x + 8y + 4z 960 9x + 4y + z 880 On obtient la forme standard en introduisant les variables décart : (c) On a donc les tableaux suivants : maximiser Z = 00x + 60y + 00z x 0, y 0, z 0, e 0, e 0, e 0 5x + 5y + 0z + e = 840 avec 6x + 8y + 4z + e = 960 9x + 4y + z + e = 880 x y z e e e e e e Z La variable entrante est donc z et la variable sortante est e. On obtient alors : x y z e e e 5 5 e z e Z , A. Fredet

18 (d) Le troisième tableau est le suivant : x y z e e e R 5 e z y Z i. L'optimum est atteint au troisième tableau car tous les coecients de la fonction économique sont négatifs ou nuls. Le maximum de P est alors de 5 00 euros. C'est également le minimum du problème primal P. En dernière ligne du tableau, on lit que les valeurs des variables réeles du primal permettant d'atteindre l'optimum sont a = 0, b = et c =. Pour minimiser ses coûts, la SSV doit donc acheter 0 lot A, lots B et lots C. Le prix correpondant est 5 00 euros, ce uqi est plus intéressant qu'au marché traditionnel ii. On cherche le rabais r tel que + r = On trouve r 0, 767. Le rabais est donc de 7,67%. iii. On a achete m de chêne en trop (cela se lit dans la première colonne de la dernière ligne du tableau ). 8 A. Fredet

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