THÉORÈME DE GAUSS. 4πε. int III. PROPRIÉTÉS DU CHAMP ÉLECTROSTATIQUE DANS UNE RÉGION VIDE DE CHARGES

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1 THÉOÈ D GAUSS I THÉOÈ D GAUSS Le théoème de Guss expime le lien ente les souces et le chmp Le flux du chmp électosttique à tves une sufce femée ( ), délimitnt un volume τ, est égl à l chge Q contenue à l éieu de cette sufce divisée p Q Théoème de Guss : Soit S une sufce femée dsext = II THÉOÈ D GAUSS POU LA GAITATION On vu que les ésultts pou le chmp électosttique peuvent ête génélisés u chmp gvittionnel en utilisnt l nlogie suivnte : chge msse 1 G 4π A Q Q ext ( ) On en déduit donc le théoème de Guss pou l gvittion : Le flux du chmp gvittionnel à tves une sufce femée ( ), délimitnt un volume τ, est elié à l msse contenue à l éieu de cette sufce Théoème de Guss pou l gvittion : Soit S une sufce femée A dsext = 4π G III POPIÉTÉS DU CHAP ÉLCTOSTATIQU DANS UN ÉGION ID D CHAGS Dns une égion vide de chges, le théoème de Guss s écit pou une sufce femée S : Q dsext = = S Dns une égion vide de chges : Le chmp électosttique est à flux consevtif Pou toute sufce femée ( ), le flux sotnt du chmp électosttique est nul : dsext = Le flux de est le même à tves toute section d un même tube de chmp Le potentiel ne peut ps voi d extemum (théoème de l extemum) On ne peut donc ps piége une pticule soumise uniquement à un chmp électosttique puisqu on ne peut ps voi d équilibe stble (l énegie potentielle d une chge ponctuelle est = q ) p ext ( ) Démonsttion p l bsude : Dns une égion vide de chges, supposons que le potentiel soit mximum en un po A de l espce Soit ( ) une sufce u voisinge de A A ( ) Les lignes de chmp sont diigées dns le sens des potentiels décoissnts Le flux sotnt de S est donc positif c les lignes de chmp divegent à pti de A O Q = D pès le théoème de Guss, il est impossible d voi dsext > et Q = Théoème de Guss Clculs de chmps (5-57) Pge 1 su 9 JN Beuy

2 I ÉTHODS D CALCUL DU CHAP T POTNTIL ÉLCTOSTATIQU POU UN DISTIBUTION D CHAGS I1 éthodes de clcul ) Clcul du chmp puis on en déduit le potentiel Clcul diect : pévoi l diection du chmp vec les plns de symétie ou d ntisymétie cie l dq dq K loi de Coulomb: d = u = K, pojete et ége 4π K 4π K ρ Utilise l éqution de xwell-guss div = (voi cous de deuxième nnée) Utilise le théoème de Guss Cette méthode donne des ésultts simples pou des distibutions hutement symétiques lle se fit en étpes : echeche des plns de symétie ou d ntisymétie, echeche des invinces et ppliction du théoème de Guss (l sufce de Guss est p exemple un cylinde de huteu h, une sphèe, un pllélépipède ) On en déduit diectement le potentiel en égnt l eltion d = d l b) Clcul du potentiel puis on en déduit le chmp dq Clcul à pti du potentiel donné p l loi de Coulomb : d = 4π K vec dq = ρd τ ou d S ou λdl Intége pou en déduie le potentiel ATTNTION : Cette méthode n est ps vlble s il y des chges à l infini On en déduit le chmp à pti de l eltion = gd ρ Éqution de Poisson : = L ége et en déduie le chmp (voi cous de deuxième nnée) I Popiétés dmises Pou une distibution volumique, et sont définis et continus en tout po de l espce Pou une distibution sufcique, est discontinu à l tvesée de l sufce de distibution 1 = n1 Le potentiel est continu en tout po de l espce pou une distibution sufcique Pou une distibution linéïque, et ne sont ps définis su l distibution Il ne fut ps oublie que les distibutions sufciques et linéïques sont des modélistions et donc une ppoximtion Il ne fut ps ête supis d voi des ésultts qui divegent I Choix de l constnte pou le potentiel Pou une distibution finie, on doit choisi ( ) = P conte, pou une distibution infinie, on ne peut ps choisi ( ) = Lie l énoncé qui impose bitiement un potentiel de éféence PLAN D SYÉTI T PLAN D ANTISYÉTI ( π + ) = pln de symétie ( ) ( ) ( π ) = pln d'ntisymétie ' ' sym( ) ' ' sym( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ') = ( ) ( ') = ( ) Théoème de Guss Clculs de chmps (5-57) Pge su 9 JN Beuy

3 I XPLS I1 Chmp céé p un segment unifomément chgé oi chpite su le Chmp électosttique I Disque de sufce S oi chpite su le Chmp électosttique I Cylinde illimité unifomément chgé en sufce S On considèe un cylinde illimité de yon unifomément chgé en sufce On ppelle l densité sufcique de chges ) Clcul du chmp électosttique P =, u, u et Q =, u, u Les plns ( θ ) ( ) pou les chges, souces du chmp, donc ( ) ( P Q) sont des plns de symétie, soit // u L distibution D de chges est invinte p ottion d ngle θ et p tnsltion d xe O, donc ussi Ses coodonnées ne dépendent ps de θ et Biln : = u ( ) Théoème de Guss ppliqué à sufce femée ( ) : cylinde de huteu h pssnt p et de Q ds ds ds ds u dsu π h yon ext = = + + = ( ) = ( ) 1 Les tois sufces fomnt ( ) sont : ( ) sufce supéieue, ( ) sufce inféieue et ( ) 1 sufce ltéle Attention : on ne peut ps pende comme sufce de Guss un cylinde infini! Il y deux cs : - Si > : dq = ds, donc Q = πh = λh L chge éieue peut s expime en fonction de mis ussi en fonction de λ l λ densité linéïque de chge équivlente On donc : = u = u π - Si < : Q =, donc = Le chmp n est ps défini su le cylinde à cuse de l modélistion sufcique Pou connîte le chmp dns l sufce, il fudit chnge d ppoximtion et considée une ppoximtion volumique b) Clcul du potentiel électosttique L distibution est infinie On ne peut donc ps choisi : ( ) = Il fut bien lie l énoncé qui indique où choisi l constnte Penons ( ) = d = dl = u du + dθu + du = d ( ) ( ) ( ) θ L distibution est sufcique : le potentiel est continu en tout po de l espce Si, =, donc d = et = cte = Si, d = d On ège ente et : ln λ = = ln π h 1 u u θ u c) Intepéttion physique - Si >, le chmp est le même que celui céé p un fil illimité - Les ésultts sont vlbles si on est loin des bods Théoème de Guss Clculs de chmps (5-57) Pge su 9 JN Beuy

4 + - De pt et d ute de l distibution, = et =, on une discontinuité du chmp électosttique On véifie que : 1 = n1 - On un modèle limite Il ne fut donc ps ête supis d voi un potentiel qui tend ves l infini qund tend l infini Le modèle du cylinde infini n est donc plus petinent - Le chmp divege à pti des chges positives Il est noml ux sufces équipotentielles et diigé dns le sens des potentiels décoissnts I4 Fil illimité unifomément chgé On considèe un fil illimité de densité linéïque λ unifome h 1 u u θ u ) Clcul du chmp électosttique Les plns P = (, u, u ) et Q = (, u, u θ ) sont des plns de symétie pou les chges, souces P Q, soit // u du chmp, donc ( ) ( ) L distibution D de chge est invinte p ottion d ngle θ et p tnsltion d xe O, donc ussi Ses coodonnées ne dépendent ps de θ et Biln : = u ( ) Théoème de Guss ppliqué à l sufce femée ( ) : cylinde de huteu h pssnt p et de Q ds ds ds ds u dsu π h yon : ext = = + + = ( ) = ( ) 1 Les tois sufces fomnt ( ) sont : ( ) sufce supéieue, ( ) sufce inféieue et ( ) sufce ltéle Attention : on ne peut ps pende comme sufce de Guss un cylinde infini! Le po est nécessiement à l extéieu du fil : Q = λh λ On donc : = u π b) Clcul du potentiel électosttique 1 L distibution est infinie On ne peut donc ps choisi : ( ) = Il fut bien lie l énoncé qui indique où choisi l constnte Penons ( ) d = dl = ( ) u ( du + dθu + du ) = ( ) d θ λ λ d = d On ège ente et : = ln π π = c) Intepéttion physique - dès qu on ente dns le fil, l ppoximtion linéïque n est plus vlble Il fut considée une ppoximtion sufcique ou volumique - Les ésultts sont vlbles si on est loin des bods Théoème de Guss Clculs de chmps (5-57) Pge 4 su 9 JN Beuy

5 - On un modèle limite Il ne fut donc ps ête supis d voi un potentiel qui tend ves l infini qund tend l infini Le modèle du fil infini n est donc plus vlble - Le chmp divege à pti des chges positives Il est noml ux sufces équipotentielles et diigé dns le sens des potentiels décoissnts I5 Sphèe unifomément chgée en volume On considèe une sphèe de yon unifomément chgé en volume On ppelle ρ l densité volumique de chges Soit Q l chge totle de l sphèe O u ) Clcul du chmp électosttique Les plns P = ( u,, u) et Q= ( u,, u θ ϕ) sont des plns de symétie pou les chges, souces du chmp, donc ( ) ( P Q), soit // u L distibution D de chge est invinte p ottions d ngle θ et ϕ, donc ussi Ses coodonnées ne dépendent ps de θ et ϕ Biln : = ( ) u Théoème de Guss ppliqué à l sufce femée ( ) : sphèe pssnt p et de yon Q d ext S = = ( ) u dsu = ( ) 4π Il y deux cs : 4 - Si : dq = ρdτ, donc Q = ρ π = Q ρ Q On donc : = u = u 4π 4 ρ - Si : Q = ρ π, donc = u b) Clcul du potentiel électosttique L distibution est finie Il fut donc choisi : ( ) = d = dl = u du + dθu + sinθdϕu = d ( ) ( ) ( ) θ L distibution est volumique : le potentiel est continu en tout po de l espce ρ Q Q Si, = u = u, donc d d d 4π = ρ = 4π On ège ente et : ρ Q 4π ( ) ( ) ( ) ( ) = = Pou =, on : ( ) Si, ( ) ( ) d ρ d = On ège ente et : ( ) ( ) ρ ρ ρ ρ = = + = 6 6 ρ = ρ ρ = 6 6 Théoème de Guss Clculs de chmps (5-57) Pge 5 su 9 JN Beuy

6 c) Intepéttion physique - Si, le chmp est le même que celui céé p une chge ponctuelle - On peut fie une nlogie vec l gvittion Si on suppose l tee à symétie sphéique, tout se psse comme si le chmp de gvittion céé p l tee étit céé p une msse ponctuelle dès qu on est à l extéieu de l tee - Le potentiel et le chmp sont continus en tout po de l espce C est noml c on une distibution volumique - Le chmp divege à pti des chges positives Il est noml ux sufces équipotentielles et diigé dns le sens des potentiels décoissnts - Les sufces équipotentielles sont des sphèes de cente O Les lignes de chmp sont des doites qui divegent à pti de O si Q > Les lignes de chmp sont des doites qui convegent ves O si Q < I6 Pln unifomément chgé On considèe un pln infini = unifomément chgé en sufce On ppelle l densité sufcique de chges 1 u u y sufce S O u x ) Clcul du chmp électosttique Les plns P = (, u, u ) et Q = (, u, u x y ) sont des plns de symétie pou les chges, souces du chmp, donc ( ) ( P Q), soit // u L distibution D de chge est invinte p tnsltion suivnt u et x u, donc ussi Ses y coodonnées ne dépendent ps de x et y Biln : = ( ) u Le pln = est un pln de symétie Le chmp en symétique de p ppot u pln = est : ( ') = sym( ( ) ) = ( ) u ( ) = ( ) u ( ') = ( ) ( ') = sym ( ) = u ( ) ( ) Théoème de Guss ppliqué à une sufce femée ( ) : cylinde pssnt p On suppose > : Q d ext d 1ext d ext d ext S = = S + S + S = ( ) u dsu + ( ( ) ) u ( ds) u = ( ) S 1 1 Le chge éieue vut Q = S, d où > : = u On en déduit imméditement le chmp dns l égion < : = u emque : Il est indispensble de feme l sufce de Guss p S On ne peut ps feme p S c le chmp n est ps défini pou = Théoème de Guss Clculs de chmps (5-57) Pge 6 su 9 JN Beuy

7 b) Clcul du potentiel électosttique L distibution est infinie On ne peut ps choisi : ( ) = On choisit p exemple ( ) L distibution est sufcique : le potentiel est continu en tout po de l espce d = dl = ( ) u ( dxu + dyu + du ) = ( ) d x y Dns l égion > : d = d On ège ente et : = Dns l égion > : d = d On ège ente et : = = = c) Intepéttion physique - On peut ête supis d voi un chmp constnt dns l égion > C est un modèle fot qui est vlble si on est loin des bods - Le chmp divege à pti des chges positives Il est noml ux sufces équipotentielles et diigé dns le sens des potentiels décoissnts > pln = < sufce équipotentielle (tits poillés) ligne de chmp (tits pleins) + - De pt et d ute de l distibution, = et =, on une discontinuité du chmp électosttique On véifie que : 1 = n1 - On une fonction impie pou et une fonction pie pou : c est noml puisque le pln = est un pln de symétie - Il est bon de connîte p cœu le chmp céé p un pln infini unifomément chgé en sufce u u On une discontinuité égle à Le signe + et peut se etouve fcilement schnt que le chmp divege à pti des chges positives et convege ves les chges négtives I7 On «ente dns le pln infini» Clcul du chmp et du potentiel On veut étudie le chmp dns «le pln infini» Il fut chnge d ppoximtion On considèe une distibution volumique de chges situées ente les plns = / et = / On choisit bitiement () = 1 O ρ x ) eltion ente l densité sufcique et l densité volumique de chges Pou fie le lien vec l execice pécédent, on cheche une eltion ente l densité sufcique de chges du pln infini et l densité volumique de chges de l distibution volumique L méthode est de clcule l chge dq de deux mnièes : dq = ds = ρds, d où = ρ Théoème de Guss Clculs de chmps (5-57) Pge 7 su 9 JN Beuy

8 b) Popiétés du chmp et du potentiel Les plns P = (, u, u ) et Q = (, u, u x y ) sont des plns de symétie pou les chges, souces du chmp, donc ( ) ( P Q), soit // u L distibution D de chge est invinte p tnsltion suivnt u et x u, donc et ussi y Ses coodonnées ne dépendent ps de x et y Biln : = u = ( ) et ( ) Le pln = est un pln de symétie Le chmp en symétique de p ppot u pln = est : ( ') = sym( ( ) ) = ( ) u ( ) = ( ) u ( ') = ( ) ( ') = sym ( ) = u ( ) ( ) Considéons un po pptennt u pln = Les plns (, u, u ), (, u, u ) et (, u, u x y x y) pptient à leu esection, donc = pou = sont des plns de symétie, donc ( ) c) éthode 1 : Théoème de Guss On suppose : L sufce de Guss est un cylinde pssnt p Q d ext d 1ext d ext d ext S = = S + S + S = ( ) u dsu + ( ( ) ) u ( ds) u 1 1 dsext = S On donc : ( ) S Si /, Q = ρs, on donc ρ = ρ Si /, Q = ρs, on donc = On en déduit le chmp dns l égion < p symétie : ρ Si / : = ρ ρ Si / : = = n dehos du volume chgé, on etouve les ésultts du pln infini puisque = ρ Si /, on = et si / : = -/ / -/ / L distibution est infinie On ne peut ps choisi : ( ) = On choisit p exemple ( ) = L distibution est volumique : le potentiel est continu en tout po de l espce d = dl = u dxu + dyu + du = d ( ) ( ) ( ) x y Théoème de Guss Clculs de chmps (5-57) Pge 8 su 9 JN Beuy

9 Si / / : ρ d = d On ège ente et : ρ = puisque ( ) = Le ρ potentiel vut en / : = 8 ρ ρ Si / : d = d On ège ente / et : d = d ρ ρ Dns l égion / : d = d On ège ente et : ρ = 8 Soit = ρ ρ + 8 ρ ρ ρ ρ Dns l égion / : L fonction est pie, donc = + = d) éthode : Théoème de supeposition On utilise le théoème de supeposition L distibution volumique D compise ente les plns = / et = / est l même que l supeposition de plques de même densité volumique et d épisseu d ρ Il fut connîte p cœu le chmp céé p un pln infini unifomément chgé en sufce n clculnt l chge p deux méthodes, on dq = ds = ρdds, soit = ρd On en déduit le chmp céé p l distibution volumique de chges d épisseu d d u u ρ ρd u d ρd u Il este à pplique le théoème de supeposition pou clcule le chmp céé p D ρd ρ - Si /, tous les plns sont u dessous du po On donc : = = ρd ρ - Si /, tous les plns sont u dessus du po On donc : = = - Si / /, les plns situés ente / et sont u dessous du po los que les plns situés ente et / sont en dessus du po On en déduit : ρd ρd ρ = + = Théoème de Guss Clculs de chmps (5-57) Pge 9 su 9 JN Beuy