Enseignant : Nom : Date : Groupe : Frédéric Ouellet Collège de Sainte- Anne- de- la- Pocatière

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1 Enseignant : Nom : Date : Groupe : Frédéric Ouellet Collège de Sainte- Anne- de- la- Pocatière

2 Table des matières Chapitre 1 : L étude des fonctions Section 1 : Les propriétés des fonctions Section 2 : Les fonctions définies par parties : la fonction en escalier Section 3 : D autres fonctions définies par parties Chapitre 2 : Les triangles isométriques et semblables Section 1 : Les triangles isométriques Section 2 : Les triangles semblables Section 3 : Les relations métriques dans le triangle rectangle Chapitre 3 : La géométrie analytique Section 1 : La distance et le point de partage Section 2 : La droite et le demi- plan Section 3 : Les positions relatives de deux droites et les propriétés d objets géométriques Chapitre 4 : Les systèmes d équations Section 1 : Les modes de représentation d un système d équations Section 2 : La résolution algébrique d un système Chapitre 5 : L étude des fonctions Section 1 : La modélisation de situations à l aide de fonctions Section 2 : La fonction exponentielle et la fonction quadratique Chapitre 6 : La statistique Section 1 : Les mesures de dispersions et de position Section 2 : L appréciation qualitative d une corrélation linéaire Section 3 : Le coefficient de corrélation linéaire Section 4 : La droite de régression Chapitre 7 : La trigonométrie Section 1 : Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Section 2 : La recherche de mesures dans un triangle rectangle Section 3 : L aire de triangles Chapitre 8 : La probabilité subjective et l espérance mathématique Section 1 : La probabilité subjective 81

3 Section 2 : L espérance mathématique 85

4 Chapitre 1 L étude des fonctions Section 1 : Les propriétés des fonctions Section 2 : Les fonctions définies par parties : la fonction en escalier Section 3 : D autres fonctions définies par parties

5 Chapitre 1, section 1 : Les propriétés des fonctions Une fonction, c est : COMMENT RECONNAÎTRE GRAPHIQUEMENT UNE FONCTION? PROPRIÉTÉS D UNE FONCTION Domaine : Écriture Exemples Chapitre 1 Les propriétés d une fonction Page 1

6 Image : Écriture Exemples Les coordonnées à l origine : L ordonnée à l origine: Écriture Exemples L abscisse à l origine: Écriture Exemples Chapitre 1 Les propriétés d une fonction Page 2

7 Signes de la fonction : Exemple Les extremums : Exemples Chapitre 1 Les propriétés d une fonction Page 3

8 La variation : Exemples Chapitre 1 Les propriétés d une fonction Page 4

9 MISE EN GARDE Pour les signes de la fonction et la variation de la fonction, on peut faire appel à la notion strictement. Exemples Dans la fonction suivante, La fonction est positive pour x [- 2, + [ La fonction est strictement positive pour x ]- 2, + [ Dans la fonction suivante, La fonction est croissante pour x ]-, 1] La fonction est strictement croissante pour x ]-, - 1] Chapitre 1 Les propriétés d une fonction Page 5

10 EXERCICES 1. Fait l étude complète de la fonction suivante. Les signes de la fonction : Les extremums : Domaine : Image : La variation : Coordonnées à l origine : 2. Identifie parmi les graphiques suivants ceux représentant des fonctions. Encercle les lettres. A) B) C) D) E) F) Chapitre 1 Les propriétés d une fonction Page 6

11 DÉTERMINER LA VALEUR DE L IMAGE DE LA FONCTION POUR UNE VALEUR PRÉCISE DU DOMAINE. Je cherche l image de la fonction f(x) = 4x + 2 lorsque x vaut 5. Pour cette même fonction, détermine f(- 4). DÉTERMINER LA VALEUR DU DOMAINE DE LA FONCTION POUR UNE VALEUR PRÉCISE DE L IMAGE. Je cherche la valeur de x lorsque la fonction g(x) = - 3x +15 vaut 3. Pour cette même fonction, détermine x lorsque g(x) = 3. EXERCICES Pour la fonction h(x) = 30 5x a) Détermine h(0) b) Pour quelle valeur de x la fonction vaut 7,5? Chapitre 1 Les propriétés d une fonction Page 7

12 Lexique mathématique Variable discrète : Variable continue : Réciproque d une fonction : Fonction affine : Autres remarques Chapitre 1 Les propriétés d une fonction Page 8

13 Chapitre 1, section 2 : Les fonctions définies par parties : la fonction en escalier Fonction définie par parties : La fonction en escalier est une fonction définie par partie. La fonction en escalier est discontinue : La fonction en escalier possède des valeurs critiques : Exemple Les valeurs critiques sont : ÉTUDE D UNE FONCTION EN ESCALIER Propriété Domaine Valeur Image Abscisse à l origine Ordonnée à l origine Signe Extremums Variation Chapitre 1 La fonction en escalier Page 9

14 LA RÈGLE D UNE FONCTION EN ESCALIER f(x) = TRADUIRE UNE SITUATION PAR UNE FONCTION EN ESCALIER Pierre possède un centre de location d outils. Il loue ses outils selon la charte suivante : Durée de la location Coût de la location Moins d une heure 5$ De 1 à 2 heures 10$ Plus de 2 à 4 heures 15$ Plus de 4 heures jusqu à 8 heures 20$ Plus de 8 heures 40$ Représente par intervalle et graphiquement cette situation. Durée de la location Coût de la location Chapitre 1 La fonction en escalier Page 10

15 Chapitre 1, section 3 : D autres fonctions définies par parties Fonction affine par parties : La fonction affine par parties possède autant de taux de variation. Exemple Propriété Domaine Valeur Image Abscisse à l origine Ordonnée à l origine Signe Extremums Variation La fonction possède parties, donc elle possède taux de variation. COMMENT TROUVER LA RÈGLE D UNE FONCTION AFFINE PAR PARTIES? Chapitre 1 D autres fonctions par parties Page 11

16 EXERCICE Trouve la règle de la fonction affine par parties suivante. Chapitre 1 D autres fonctions par parties Page 12

17 Chapitre 2 Les triangles isométriques et semblables Section 1 : Les triangles isométriques Section 2 : Les triangles semblables Section 3 : Les relations métriques dans le triangle rectangle

18 Chapitre 2, section 1 : Les triangles isométriques Dans ce chapitre, nous utiliserons souvent le terme homologue. Que veut dire ce terme? Deux triangles sont isométriques lorsque. Exemple : Les triangles ABC et DEF sont isométriques, car leurs angles homologues sont isométriques et leurs côtés homologues sont isométriques. A D, B E et C F Le symbole d égalité concerne des nombres, et alors que le symbole d isométrie ( ) concerne des objets géométriques. On a donc On écrit alors ABC DEF. m = m, mais. Remarques : Le symbole se lit «est isométrique à». On nomme des triangles isométriques selon leurs sommets homologues. Donc, si ABC DEF, on peut affirmer que l angle A est homologue à l angle D, que l angle B est homologue à l angle E et que l angle C est homologue à l angle F. LES TROIS CONDITIONS MINIMALES D ISOMÉTRIE DE TRIANGLES. Pour pouvoir affirmer que deux triangles sont isométriques, il n est pas nécessaire de vérifier que tous leurs côtés homologues et tous leurs angles homologues sont isométriques. Il suffit de s assurer que les triangles respectent une des trois conditions minimales suivantes. Chapitre 2 Les triangles isométriques Page 13

19 La condition minimale d isométrie CCC Deux triangles ayant trois côtés isométriques sont nécessairement isométriques. Exemple : ABC DEF, car, et. La condition minimale d isométrie CAC Deux triangles ayant un angle isométrique compris entre deux côtés homologues isométriques sont nécessairement isométriques. Exemple : GHJ KLM, car H L, et. Attention! Le triangle ABC n est pas isométrique au triangle GHJ, car l angle de 40 n est pas compris entre les côtés de 3 cm et de 3,5 cm. La condition minimale d isométrie ACA Deux triangles ayant un côté isométrique compris entre deux angles homologues isométriques sont nécessairement isométriques. Exemple : NPR STU, car N S, P T et. Attention! Le triangle DEF n est pas isométrique au triangle NPR, car le côté de 3 cm n est pas compris entre les angles de 30 et de 125. Chapitre 2 Les triangles isométriques Page 14

20 LA RECHERCHE DE MESURES MANQUANTES Les relations entre les angles L observation de certaines relations entre les angles constitue une étape fondamentale de la recherche de mesures manquantes dans des triangles isométriques. On trouve notamment plusieurs paires d angles isométriques lorsqu une sécante coupe deux droites parallèles. Les angles 1 et 3, 2 et 4, 5 et 7, 6 et 8 sont opposés par le sommet. Les angles 1 et 5, 2 et 6, 3 et 7, 4 et 8 sont correspondants. Les angles 3 et 5, 4 et 6 sont alternes- internes. Les angles 1 et 7, 2 et 8 sont alternes- externes. Le raisonnement déductif Le processus de recherche de mesures manquantes s appuie sur les relations qui existent entre les éléments homologues de triangles isométriques. C est pourquoi il est essentiel de s assurer que les triangles en jeu sont isométriques avant de calculer la mesure en question. Exemple : Quelle est la mesure du segment DE et de l angle D dans la figure ci- contre? Affirmation Justification 1. m = m m = m 2. Des angles opposés par le sommet sont isométriques. 3. ABC ADE 4. Le côté DE est homologue au côté BC, qui mesure 2,1 cm et, dans de triangles isométriques, les côtés homologues sont isométriques. 5. m D 125 Chapitre 2 Les triangles isométriques Page 15

21 Chapitre 2, section2 : Les triangles semblables Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles homologues sont les mesures de leurs côtés homologues sont de proportionnalité correspond alors au rapport de similitude et. Le coefficient des deux triangles. Exemple : Les triangles ABC et DEF sont semblables, car leurs angles homologues sont isométriques et les mesures de leurs côtés homologues sont proportionnelles : A D, B E et C F = = = 2 = k On écrit alors ABC DEF. Remarque : On nomme des triangles semblables selon leurs sommets homologues. Donc, si ABC DEF, on peut affirmer que l angle A est homologue à l angle D, que l angle B est homologue à l angle E et que l angle C est homologue à l angle F. LES TROIS CONDITIONS MINIMALES DE SIMILITUDE DE TRIANGLES. Pour pouvoir affirmer que deux triangles sont semblables, il suffit de s assurer que les triangles respectent une des trois conditions minimales suivantes. La condition minimale de similitude CCC Deux triangles dont les mesures des trois côtés homologues sont proportionnelles sont nécessairement semblables. Exemple : = = = Chapitre 2 Les triangles semblables Page 16

22 La condition minimale de similitude CAC Deux triangles ayant un angle isométrique compris entre deux côtés homologues dont les mesures sont proportionnelles sont nécessairement semblables. Exemple : GHJ KLM, car H L et = = 2 Attention! Le triangle ABC n est pas semblable au triangle GHJ, car l angle de 40 n est pas compris entre les côtés de 3 cm et de 3,5 cm. La condition minimale de similitude AA Deux triangles ayant deux angles homologues isométriques sont nécessairement semblables. Exemple : NPR STU, car N S et P T Remarques : Puisque la somme des mesures des angles intérieurs d un triangle est de 180, on peut conclure que le triangle ABC est semblable au triangle NPR. Une droite parallèle à celle portée par un côté d un triangle détermine des triangles semblables puisque la condition minimale de similitude AA est respectée. Puisque GH // BC, alors AGH ABC. Chapitre 2 Les triangles semblables Page 17

23 LA RECHERCHE DE MESURES MANQUANTES Le raisonnement déductif Le processus de recherche de mesures manquantes s appuie sur les relations qui existent entre les éléments homologues de triangles semblables. C est pourquoi il est essentiel de s assurer que les triangles en jeu sont semblables avant de calculer la mesure manquante. Exemple : Quelle est la mesure du segment BC et de l angle BCA dans la figure ci- contre? Affirmation 1. m ABC = m ADE Justification 2. CAB EAD 3. La condition minimale de similitude AA est respectée. 4. = = = 1,5 m = = = 3,4 m = 3,4 cm 5. m BCA = 48 Remarque : Des sécantes coupées par des droites parallèles sont partagées en segments de longueurs proportionnelles. Puisque DR, ES et FT sont parallèles, alors Chapitre 2 Les triangles semblables Page 18

24 Chapitre 2, section3 : Les relations métriques dans le triangle rectangle LES TRIANGLES RECTANGLES SEMBLABLES DÉTERMINÉS PAR LA HAUTEUR RELATIVE À L HYPOTÉNUSE Dans un triangle rectangle, la hauteur relative à l hypoténuse détermine deux autres triangles rectangles, semblables au premier. Par la condition minimale de similitude AA : ABC CBH puisque ces deux triangles ont un angle droit et qu ils ont l angle B en commun; ABC ACH puisque ces deux triangles ont un angle droit et qu ils ont l angle A en commun. Par la transitivité de la relation de similitude, CBH ACH. La relation de similitude est transitive, c est- à- dire que si ABC DEF et DEF GHJ, alors ABC GHJ. LES RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Établir des proportions à partir des côtés homologues des triangles rectangles semblables permet de trouver plusieurs relations métriques qui facilitent la recherche de mesures manquantes dans un triangle rectangle. Ces relations font intervenir le concept de moyenne proportionnelle. La moyenne proportionnelle Lorsque les deux extrêmes ou les deux moyens d une proportion ont la même valeur, cette valeur est appelée moyenne proportionnelle des deux autres valeurs. Exemple : Dans la proportion =, on dit que b est moyenne proportionnelle de a et de c. Chapitre 2 Les relations métriques dans le triangle rectangle Page 19

25 Exemple 1 : Pour déterminer la hauteur relative à l hypoténuse du triangle rectangle ABC ci- contre : Étape 1. Dessiner les deux triangles rectangles semblables dans lesquels se trouve la mesure manquante en les orientant de la même façon et en reportant les mesures connues et la mesure manquante. 2. Établir une proportion à partir des mesures des côtés homologues. 3. Résoudre la proportion pour trouver la mesure manquante. h 2 =12 Raisonnement = = h = = 3,46 m = 3,5 Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur relative à l hypoténuse est moyenne proportionnelle des mesures des deux segments qu elle détermine sur l hypoténuse. Exemple 2 : Pour déterminer la mesure de la cathète BC dans le triangle rectangle ABC ci- contre, on procède de la façon suivante. Remarque : est la projection de la cathète BC sur l hypoténuse. Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque cathète est moyenne proportionnelle de la mesure de sa projection sur l hypoténuse et celle de l hypoténuse. Étape 1. Dessiner les deux triangles rectangles semblables dans lesquels se trouve la mesure manquante en les orientant de la même façon et en reportant les mesures connues et la mesure manquante. Raisonnement 2. Établir une proportion à partir des mesures des côtés homologues. = = 3. Résoudre la proportion pour trouver la mesure manquante. y 2 =16 h = = 4 m = 3,5 Chapitre 2 Les relations métriques dans le triangle rectangle Page 20

26 Exemple 3 : En calculant l aire d un triangle rectangle de deux façons différentes, on peut déduire une autre relation métrique dans le triangle rectangle. Dans un triangle rectangle, le produit des cathètes égale le produit de l hypoténuse et de la hauteur relative à l hypoténuse. Calcul de l aire d un triangle rectangle Première façon Deuxième façon A triangle = A triangle = On a donc m m = m m Remarque : Il existe plusieurs démarches permettant de déterminer une mesure manquante dans un triangle rectangle. Dans tous les cas, on peut avoir recours aux relations métriques incluant la relation de Pythagore. Chapitre 2 Les relations métriques dans le triangle rectangle Page 21

27 Chapitre 2 Les relations métriques dans le triangle rectangle Page 22

28 Chapitre 3 La géométrie analytique Section 1 : La distance et le point de partage Section 2 : La droite et le demi-plan Section 3 : Les positions relatives de deux droites et les propriétés d objets géométriques

29 Chapitre 3, section 1: La distance et le point de partage LES ACCROISSEMENTS L accroissement des abscisses (Δx) est. L accroissement des ordonnées (Δy) est. EXERCICE Soit les points A(- 2, - 4) et B(3, 5). L accroissement des abscisses est : L accroissement des ordonnées est : LA DISTANCE ENTRE DEUX POINTS La distance entre deux points fait toujours référence permettant de se rendre d un point à l autre et elle est représentée par le segment reliant ces deux points. La distance entre deux points est toujours un nombre. Pour déterminer la distance entre deux points, nous utilisons la formule suivante : Chapitre 3 La distance et le point de partage Page 23

30 Exemple Calcule la distance entre les points A et B, et celle entre les points C et D. La distance entre A et B est de. La distance entre C et D est de. EXERCICE Calcule la distance entre les points suivants : a) A(- 4, - 5) et B(8, 0) Réponse : b) C(- 4, 7) et D(12, - 20) Réponse : Chapitre 3 La distance et le point de partage Page 24

31 LE POINT DE PARTAGE D UN SEGMENT On peut déterminer l emplacement du point de partage à l aide ou. Dans les deux cas le segment est partagé en deux parties. Exemple Voici le segment. On a placé un point P qui partage le segment. On peut dire que le point P est situé au du segment à partir de A. (fraction) On peut dire que le point P partage le segment à partir de A. (rapport) dans un rapport EXERCICE Détermine dans quelle fraction est quel rapport le point P partage les segments suivants. On peut dire que le point P est situé au du segment à partir de A. On peut dire que le point P partage le segment dans un rapport à partir de A. On peut dire que le point P est situé au du segment à partir de B. On peut dire que le point P partage le segment dans un rapport à partir de B. Chapitre 3 La distance et le point de partage Page 25

32 TROUVER LES COORDONNÉES D UN POINT DE PARTAGE Lorsque nous connaissons les coordonnées des points formant les extrémités d un segment, nous sommes capables de déterminer les coordonnées d un point qui partage ce segment à l aide des formules : Les valeurs x 1 et y 1 représentent toujours les coordonnées du point où commence le partage du segment. Exemple Trouve les coordonnées du point P qui partage le segment au à partir de A. Les coordonnées du point P sont :. Chapitre 3 La distance et le point de partage Page 26

33 Le segment est défini par les points A(- 15,20) et B(50, 46). Le point P partage le segment dans un rapport 6 : 7 à partir de A. Quelles sont les coordonnées du Point P? Les coordonnées du point P sont :. Le segment est défini par les points A(- 4,10) et B(12, 22). Le point P partage le segment en deux parties égales. Quelles sont les coordonnées du Point P? Les coordonnées du point P sont :. Lors du dernier numéro, tu as trouvé le point qui est au milieu du segment. Celui- ci est particulier, on peut le trouver plus rapidement à l aide d une formule toute simple. Chapitre 3 La distance et le point de partage Page 27

34 LE POINT MILIEU Pour trouver rapidement les coordonnées du point milieu d un segment, nous utilisons la formule suivante : EXEMPLES Trouve le point milieu du segment si A(3, 1) et B(9, 7). Les coordonnées du point milieu sont : Trouve le point milieu du segment si A(- 5, - 11) et B(12, - 7). Les coordonnées du point milieu sont : Trouve les coordonnées du centre du cercle si est le diamètre du cercle. Les coordonnées du centre du cercle sont :. Chapitre 3 La distance et le point de partage Page 28

35 Chapitre 3, section 2: La droite et le demi-plan LA DROITE En géométrie analytique, la droite se définit comme l ensemble des points d un plan cartésien qui vérifient une équation du premier degré à deux variables. LA PENTE La pente de la droite qui passe par les points A(x 1, y 1 ) et B(x 2, y 2 ) est le rapport de l accroissement des ordonnées à l accroissement des abscisses entre deux points de cette droite. Pente de la droite Exemple : Voici comment calculer la pente de la droite qui passe par les points R(- 2, 5) et S(3, - 15). Pente de la droite RS = L ÉQUATION D UNE DROITE SOUS LA FORME FONCTIONNELLE Une équation de la forme y = ax + b est l équation d une droite sous la forme fonctionnelle. Dans l équation d une droite sous la forme fonctionnelle : le paramètre a représente la pente de la droite ; le paramètre b représente son ordonnée à l origine. L ÉQUATION D UNE DROITE SOUS LA FORME GÉNÉRALE Une équation de la forme Ax + By + C = 0 est l équation d une droite sous la forme générale. Dans l équation d une droite sous la forme générale : l ordonnée à l origine correspond à l abscisse à l origine correspond à la pente correspond à EXERCICE Les lettres qui constituent les paramètres de l équation d une droite sous la forme générale sont des lettres majuscules. Chapitre 3 La droite et le demi- plan Page 29

36 Pour chacune des droites suivantes : détermine si elle est sous la forme fonctionnelle ou générale; trouve la pente, l ordonnée à l origine et l abscisse à l origine. Équations =0 = Forme Pente Ordonnée à l origine Abscisse à l origine TRACER UNE DROITE On procède différemment pour tracer une droite selon la forme d équation présentée. Exemples : EXERCICE Chapitre 3 La droite et le demi- plan Page 30

37 Trace les droites suivantes et identifie clairement tes démarches : = =0 LE PASSAGE D UNE FORME D ÉQUATION À UNE AUTRE Chapitre 3 La droite et le demi- plan Page 31

38 L équation d une droite sous la forme générale est équivalente à l équation de cette droite sous la forme fonctionnelle. Des manipulations algébriques permettent donc de passer d une forme d équation à une autre. Exemples : 1) Il suffit d isoler la variable y d une équation de forme générale pour l exprimer sous la forme fonctionnelle. 3x 4y 12 = 0 = y = - 3x ) Il suffit de rassembler tous les termes du même côté du signe d égalité d une équation de forme fonctionnelle pour l exprimer sous la forme générale. = =0 x + 2y + 18 = 0 EXERCICE Transforme les droites suivantes en forme fonctionnelle ou générale selon le cas =0 1. = = =0 3. = LE DEMI- PLAN En géométrie analytique, un demi- plan se définit comme l ensemble des points d un plan qui vérifient une inéquation du premier degré à deux variables. Chapitre 3 La droite et le demi- plan Page 32

39 Une inéquation Dans une équation on retrouve le symbole. Ex. Dans une inéquation on retrouve un des symboles suivants. Ex. Tracer un demi- plan 1- Pour tracer un demi- plan, on trace d abord la droite qui constitue la frontière du demi- plan. Types de droite frontière : Si on retrouve une égalité ( ), alors la droite frontière est. Sinon ( ), la droite frontière est. 2- Ensuite, on se base sur le signe d inégalité pour déterminer la région à hachurer. (À l aide d un point- test.) Exemple : Voici les étapes à suivre pour tracer le demi- plan d inéquation 3x 4y + 24 > 0. Calculs: Exemples : Représente graphiquement les équations et inéquations suivantes. Chapitre 3 La droite et le demi- plan Page 33

40 y - 2x + 4 2x + 8y 16 > 0 Chapitre 3 La droite et le demi- plan Page 34

41 y > 2x - 6 x + 3y 9 Chapitre 3 La droite et le demi- plan Page 35

42 DÉTERMINER L INÉQUATION QUI DÉCRIT UN DEMI- PLAN Pour déterminer l inéquation qui décrit un demi- plan, on détermine d abord l équation de la droite qui constitue la frontière du demi- plan. Ensuite, on détermine le signe d inégalité qui correspond à la région hachurée du demi- plan. Exemple : Soit le demi- plan tracé dans le plan cartésien ci- contre. Voici les étapes à suivre pour déterminer l inéquation qui décrit ce demi- plan. EXERCICE Détermine l inéquation qui décrit le demi- plan suivant : Chapitre 3 La droite et le demi- plan Page 36

43 Chapitre 3, section 3: La position relative de deux droites et les propriétés d objets géométriques LES DROITES PARALLÈLES Deux droites parallèles ne se coupent jamais. Cette propriété géométrique se manifeste algébriquement par le fait que deux droites parallèles ont. LES DROITES PERPENDICULAIRES Deux droites perpendiculaires se coupent à angle droit. Cette propriété géométrique se manifeste algébriquement par le fait que le des pentes de deux droites perpendiculaires égale. Chapitre 3 La position relative de deux droites et les propriétés d objets géométriques Page 37

44 EXERCICE Associe la paire de droites parallèles et la paire de droites perpendiculaires et explique pourquoi tu fais cette association. A) =4 1 B) =0 C) = 15 1 D) =0 Les droites parallèles sont : parce que Les droites perpendiculaires sont : parce que LES PROPRIÉTÉS D OBJETS GÉOMÉTRIQUES La géométrie analytique permet de vérifier les propriétés de certains objets géométriques. Par exemple, il est possible de montrer que les diagonales d un carré sont isométriques et perpendiculaires à l aide des concepts de distance entre deux points et de perpendicularité de droites. Chapitre 3 La position relative de deux droites et les propriétés d objets géométriques Page 38

45 Chapitre 4 Les systèmes d équations Section 1 : Les modes de représentation d un système d équations Section 2 : La résolution algébrique d un système d équations

46 Chapitre 4, section 1: Les modes de représentation d un système d équations LA MODÉLISATION ALGÉBRIQUE D UNE SITUATION PAR UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ À DEUX VARIABLES Deux contraintes d égalité qu on impose simultanément à deux variables forment un système d équations à deux variables. Pour modéliser une situation à l aide d un système d équations, on doit d abord définir les variables, puis poser les équations. La résolution d un système d équations à l aide de sa représentation graphique Résoudre un système d équations consiste à déterminer les valeurs des deux variables qui vérifient simultanément les deux équations. Si la solution est unique, ces valeurs sont les coordonnées du point de rencontre des droites et sont exprimées sous la forme d un couple- solution (x, y). Exemple : Une tirelire, remplie de pièces de 1 $ et de 2 $, contient 90 $. Il y a en tout 55 pièces de monnaie. Combien de pièces de 1 $ et de pièces de 2 $ y a- t- il dans la tirelire? Remarque : La représentation graphique d un système d équations fournit toujours la solution du système, même si elle ne permet pas toujours de déterminer avec précision ses coordonnées. Chapitre 4 Les modes de représentation d un système d équations Page 39

47 Le nombre de solutions d un système d équations Un système d équations du premier degré à deux variables peut avoir une solution unique, une infinité de solutions ou aucune solution. La représentation graphique d un système d équations ou la comparaison des pentes et des ordonnées à l origine des droites associées aux équations qui le composent permettent de déterminer le nombre de solutions. Chapitre 4 Les modes de représentation d un système d équations Page 40

48 Chapitre 4, section 2: La résolution algébrique d un système d équations LES MÉTHODES ALGÉBRIQUES DE RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ À DEUX VARIABLES Pour résoudre algébriquement un système d équations du premier degré à deux variables, il faut le transformer pour obtenir une équation à une variable. Pour ce faire, on peut employer les méthodes de comparaison, de substitution et de réduction. La méthode de comparaison Exemple : Le billet pour une voiture et un adulte à bord d un traversier coûte 28,25 $. Le billet pour deux voitures et quatre adultes coûte 68 $. Combien coûte le billet pour une voiture à bord de ce traversier? Chapitre 4 La résolution algébrique d un système d équations Page 41

49 La méthode de substitution Exemple : Samedi, il a fait 12 degrés de moins que dimanche. La température moyenne de ces deux jours a été de 5 C. Quelle température a- t- il fait samedi et dimanche? La méthode de réduction Exemple : Dans un club vidéo, la location de trois films et de deux jeux vidéo coûte 20 $. La location de deux films et de cinq jeux vidéo coûte 25,25 $. Combien coûte la location d un film et de deux jeux vidéo? Chapitre 4 La résolution algébrique d un système d équations Page 42

50 Les avantages de chacune des méthodes algébriques de résolution Bien que chacune des méthodes algébriques de résolution permette de résoudre n importe quel système d équations, il y a des avantages à recourir à une méthode plutôt qu à une autre, selon la forme sous laquelle se présente le système. Le nombre de solutions d un système d équations du premier degré à deux variables Lors de la résolution algébrique, l observation de l équation du premier degré à une variable obtenue par transformation permet de déterminer le nombre de solutions du système d équations. Droites Droites Chapitre 4 La résolution algébrique d un système d équations Page 43

51 EXERCICES Résous algébriquement les systèmes d équations suivants à l aide de la méthode de comparaison. =3 +1 = Résous algébriquement les systèmes d équations suivants à l aide de la méthode de substitution. = =0 Résous algébriquement les systèmes d équations suivants à l aide de la méthode de réduction. 2 +2= =0 Chapitre 4 La résolution algébrique d un système d équations Page 44

52 Chapitre 5 L étude des fonctions Section 1 : La modélisation de situations à l aide de fonctions Section 2 : La fonction exponentielle et la fonction quadratique

53 Chapitre 5, section 1: La modélisation de situations à l aide de fonctions LA REPRÉSENTATION D UNE SITUATION À L AIDE D UNE TABLE DE VALEURS OU D UN GRAPHIQUE Les fonctions quadratique, exponentielle et périodique permettent de modéliser une grande variété de situations. Le tableau suivant montre la modélisation de trois situations à l aide des trois types de fonctions. Situation 1 Situation 2 Situation 3 Situation à modéliser L aire d un rectangle dont la hauteur mesure le double de la base Le nombre de bactéries sur une surface si ce nombre double chaque heure La partie décimale d un nombre réel Modèle retenu Fonction quadratique Fonction exponentielle Fonction périodique Représentation à l aide d une table de valeurs Base Aire Temps (h) Nombre de bactéries Nombre Partie décimale 0,56 0,56 0,78 0,78 1,07 0,07 1,14 0,14 1,56 0,56 1,78 0,78 2,07 0,07 2,56 0,56 Représentation à l aide d un graphique Remarque : La table de valeurs est moins utile pour représenter un modèle périodique, à moins qu elle ne contienne un très grand nombre de valeurs. Chapitre 5 L étude des fonctions Page 45

54 LES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS La fonction quadratique La représentation graphique d une fonction quadratique s appelle une «parabole». La parabole possède un sommet situé sur son axe de symétrie. L orientation et l ouverture de la parabole varient selon la situation modélisée par la fonction quadratique. Le tableau suivant décrit les propriétés d une fonction quadratique représentée par une parabole ouverte vers le haut et dont le sommet est (0, 0). Domaine Image Abscisse à l origine (ou zéro) Ordonnée à l origine (ou valeur initiale) Signe Extremums Variation Axe de symétrie IR [0, + [ L abscisse à l origine de la fonction est 0. L ordonnée à l origine de la fonction est 0. La fonction est positive sur tout son domaine. La fonction n a pas de maximum. Le minimum de la fonction est 0. La fonction est croissante pour x [0, + [. La fonction est décroissante pour x ]-, 0]. L axe de symétrie est l axe des ordonnées. Remarque : Lorsque le contexte exige que l on restreigne le domaine à des valeurs positives, la représentation graphique est une demi- parabole. La fonction exponentielle La représentation graphique d une fonction exponentielle est une courbe qui possède une asymptote, c est- à- dire une droite vers laquelle les points d une courbe se rapprochent sans la toucher. L allure de la courbe varie selon la situation modélisée par la fonction. Le tableau suivant décrit les propriétés d une fonction exponentielle dont l asymptote est l axe des abscisses. Domaine Image Abscisse à l origine (ou zéro) Ordonnée à l origine (ou valeur initiale) Signe Extremums Variation IR ]0, + [ La fonction n a pas d abscisse à l origine. L ordonnée à l origine de la fonction est 2. La fonction est strictement positive sur tout son domaine. La fonction n a pas de maximum ni de minimum. La fonction est strictement croissante sur tout son domaine. Chapitre 5 L étude des fonctions Page 46

55 Remarque : Lorsque l asymptote d une fonction exponentielle est l axe des abscisses, la fonction ne possède pas de zéros. Par conséquent, la fonction est soit strictement positive, soit strictement négative. La fonction périodique La fonction périodique est utilisée pour modéliser des phénomènes cycliques comme les marées, le mouvement d un pendule ou les battements cardiaques. La période est définie comme l étendue d un cycle de la fonction. Exemple : La période de la fonction représentée dans le plan cartésien ci- contre est 4. Le tableau suivant montre la représentation graphique et décrit les propriétés d une fonction périodique. Représentation graphique Domaine [ 3, 5] Image [ 3, 3] Abscisse à l origine (ou zéro) Ordonnée à l origine (ou valeur initiale) Signe Extremums Les abscisses à l origine de la fonction sont { 2, 0, 2, 4}. L ordonnée à l origine de la fonction est 0. La fonction est positive pour x [ 3, 2] [0, 2] [4, 5]. La fonction est négative pour x [ 2, 0] [2, 4]. Le minimum de la fonction est 3. Le maximum de la fonction est 3. Chapitre 5 L étude des fonctions Page 47

56 Variation La fonction est strictement croissante pour x [ 1, 1] [3, 5]. La fonction est strictement décroissante pour x [ 3, 1] [1, 3]. Remarque : La relation réciproque d une fonction périodique n est pas une fonction. Exemples 1. Voici trois situations pouvant être modélisées par une fonction exponentielle, quadratique ou périodique. 1 La première journée de la vente de billets pour un festival, 300 billets sont vendus. Les ventes diminuent ensuite de 20 % par jour. On s intéresse au nombre de billets vendus selon le nombre de jours écoulés. 2 On s intéresse à la vitesse d une voiture de formule 1 en fonction du temps sur un circuit en forme de triangle équilatéral. Cette voiture roule en moyenne à 275 km/h dans les lignes droites et ralentit à 150 km/h dans les virages. Il prend 30 secondes pour parcourir un segment du parcours et roule à vitesse constante 15 secondes. 3 Le coût de production d une affiche publicitaire carrée est de 20 $ par mètre carré. a) Complète les tables de valeurs suivantes avec au moins cinq couples pour chaque situation. La vente de billets pour un festival 1 Nombre de jours écoulés Nombre de billets vendus La voiture de formule 1 sur un circuit de forme triangulaire 2 Temps (minutes) Vitesse (km/h) Le coût d une affiche publicitaire carrée 3 Chapitre 5 L étude des fonctions Page 48

57 Mesure du côté de l affiche (m) Coût ($) b) Représente graphiquement chaque situation c) Quel type de fonction permet de modéliser chacune des situations? Pour chacune des tables de valeurs suivantes, indique si elle correspond à une fonction affine, quadratique ou exponentielle. a) x f(x) Chapitre 5 L étude des fonctions Page 49

58 b) x g(x) c) x h(x) Chapitre 5, section 2: La fonction exponentielle et la fonction quadratique La fonction exponentielle : règle de la forme f(x) = a(b) x La fonction exponentielle est une fonction dont la variable indépendante se trouve en exposant dans la règle qui la décrit. La représentation graphique d une fonction exponentielle dont la règle est de la forme f(x) = ab x est une courbe dont l asymptote est l axe des abscisses. Le paramètre a de la règle est l ordonnée à l origine (ou la valeur initiale) de la fonction exponentielle. La valeur de a ne doit pas être égale à 0. Le paramètre b de la règle est la base de la fonction exponentielle. La valeur de b doit être plus grande que 0, sans être égale à 1. Exemples : f(x) = 2 x est la règle d une fonction exponentielle dont la valeur initiale est 1 et dont la base est 2. g(x) = 2(1,3) x est la règle d une fonction exponentielle dont la valeur initiale est 2 et dont la base est 1,3. La réciproque de la fonction exponentielle La réciproque d une fonction exponentielle est une fonction. On peut le vérifier à l aide d une représentation graphique. Chapitre 5 L étude des fonctions Page 50

59 La recherche de la règle Il est possible de déterminer la règle d une fonction exponentielle à partir d une table de valeurs x f(x) 2, x2 x2 x2 x2 x2 Voici les étapes à suivre pour déterminer la règle de cette fonction. Étape 1. Vérifier si le rapport est constant dans la table de valeurs. Si le rapport est constant, il correspond à la base b de la fonction exponentielle. 2. Remplacer la base b par la valeur déterminée à l étape 1 dans la règle f(x) = ab x. Exemple b = 2 f(x) = a(2) x 3. Substituer les coordonnées d un couple de la table de valeurs à x et à f(x) dans la règle. Point (3, 40) 40 = a(2) 3 4. Résoudre l équation afin de déterminer la valeur de a. 5. Écrire la règle sous la forme f(x) = ab x avec les valeurs de a et de b déterminées précédemment. f(x) = 5(2) x Chapitre 5 La fonction exponentielle et la fonction quadratique Page 51

60 Remarque : Cette procédure est également utile lorsqu on dispose de la représentation graphique d une fonction exponentielle dont on connaît les points de coordonnées (x, f(x)) et (x + 1, f(x + 1)). Exemples Trouve la règle des fonctions exponentielles suivantes. x f(x) 0, La règle est : x f(x) La règle est : Chapitre 5 La fonction exponentielle et la fonction quadratique Page 52

61 (3, 40) (4, 80) (5, 160) La règle est : La fonction quadratique : règle de la forme f(x) = ax 2 La fonction quadratique, appelée aussi «fonction polynomiale de degré 2», est une fonction dont la règle est un polynôme de degré 2 à une variable. La représentation graphique d une fonction quadratique dont la règle est de la forme f(x) = ax 2 est une parabole dont le sommet est à l origine du plan cartésien. La valeur du paramètre a ne doit pas être égale à 0. Exemples : f(x) = 3x 2 est la règle d une fonction quadratique dont la valeur de a est 3. g(x) = est la règle d une fonction quadratique dont la valeur de a est La relation réciproque de la fonction quadratique La relation réciproque d une fonction quadratique n est pas une fonction. On peut le vérifier à l aide d une représentation graphique. Chapitre 5 La fonction exponentielle et la fonction quadratique Page 53

62 La recherche de la règle Il est possible de déterminer la règle d une fonction quadratique à partir d une table de valeurs. x f(x) 12,5 0 12,5 50 Voici les étapes à suivre pour déterminer la règle de cette fonction. Chapitre 5 La fonction exponentielle et la fonction quadratique Page 54

63 Étape 1. Substituer les coordonnées d un point de la table de valeurs à x et à f(x) dans la règle f(x) = ax 2. Exemple Point (5, 12,5) 12,5 = a(5) 2 2. Résoudre l équation obtenue à l étape 1 afin de déterminer la valeur de a. 3. Écrire la règle sous la forme f(x) = ax 2 avec la valeur de a déterminée précédemment. f(x)= Remarque : Cette procédure est également utile lorsqu on dispose de la représentation graphique d une fonction quadratique dont la règle est de la forme f(x) = ax 2 et dont on connaît les coordonnées d un point autre que le sommet. Exemples Trouve la règle des fonctions quadratiques suivantes. x f(x) La règle est : x f(x) Chapitre 5 La fonction exponentielle et la fonction quadratique Page 55

64 La règle est : La règle est : EXERCICE Le graphique suivant montre l évolution d un placement à la banque. La valeur du placement est calculée à chaque mois selon un taux d intérêt fixe. Chapitre 5 La fonction exponentielle et la fonction quadratique Page 56

65 a) Détermine l équation traduisant l évolution de ce placement. b) Que vaudra ce placement dans 5 ans? c) Quel est le taux d intérêt mensuel de ce placement? Chapitre 5 La fonction exponentielle et la fonction quadratique Page 57

66 Chapitre 6 La statistique Section 1 : Les mesures de dispersions et de position Section 2 : L appréciation qualitative d une corrélation Section 3 : Le coefficient de corrélation linéaire Section 4 : La droite de régression

67 Chapitre 6, section 1: Les mesures de dispersion et de position LE DIAGRAMME À TIGE ET À FEUILLES Le diagramme à tige et à feuilles est un mode de représentation qui permet une organisation rapide et efficace des données d une distribution. Les feuilles représentent les chiffres qui occupent la position des unités. La tige comprend les chiffres qui occupent une autre position que celle des unités. Le nombre de feuilles correspond au nombre de données. Exemple : Voici les scores de 12 joueurs à un tournoi de golf amateur. Ces scores sont représentés dans le diagramme à tige et à feuilles ci- dessous. Comme l histogramme, le diagramme à tige et à feuilles permet d apprécier la dispersion des données. Si les données sont relativement proches les unes des autres, la distribution est dite «homogène». Si les données sont relativement éloignées les unes des autres, la distribution est dite «hétérogène». Par rapport à l histogramme, le diagramme à tige et à feuilles a comme avantage de présenter la valeur des données tout en les regroupant en classes. Chapitre 6 Les mesures de dispersion et de position Page 57

68 EXERCICE Quelle est la distribution de données du diagramme à tige et en feuilles suivant? Fait le diagramme de quartiles de cette distribution. Pour cette distribution, détermine : - Q 1 : - Q 2 : - Q 3 : - L écart interquartile : - La médiane : - La moyenne : - Le mode : LES MESURES DE DISPERSION Les mesures de dispersion servent à décrire l étalement des données d une distribution. Les mesures de tendance centrale et les mesures de dispersion sont complémentaires. Utilisées ensemble, elles permettent de décrire avec précision une distribution de données. On peut choisir d utiliser la médiane et l écart interquartile ou la moyenne et l écart moyen, selon que la distribution présente ou non des données aberrantes. Chapitre 6 Les mesures de dispersion et de position Page 58

69 L écart moyen L écart moyen, noté «ÉM», est une mesure de dispersion égale à la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne des données d une distribution. Plus l écart moyen est petit, plus les données sont concentrées autour de la moyenne et plus la distribution est homogène. À l inverse, plus l écart moyen est grand, plus les données sont dispersées par rapport à la moyenne et plus la distribution est hétérogène. Le tableau suivant présente les étapes du calcul de l écart moyen des scores obtenus par les 12 joueurs de golf. Remarque : À lui seul, l écart moyen ne fournit pas beaucoup d information. Avant de se prononcer sur l homogénéité ou l hétérogénéité des données, il importe donc de considérer le caractère étudié et la moyenne des données. Ainsi, un écart moyen de 12 coups n est pas très élevé pour des scores de golf, si l on considère que le score moyen est de 109 coups. Cependant, si l on considère, par exemple, que la moyenne des températures extérieures maximales pour une période d un mois est de 20 C, alors un écart moyen de 12 C serait très élevé. Chapitre 6 Les mesures de dispersion et de position Page 59

70 LES MESURES DE POSITION Les mesures de position permettent de caractériser une donnée en la situant par rapport à l ensemble des données ordonnées d une distribution. Ces mesures sont utiles lorsqu on s intéresse non seulement à la donnée elle- même, mais également à son classement par rapport aux autres. Les quartiles Q1, Q2 et Q3, ainsi que les rangs centiles, sont des mesures de position. Le rang centile Le rang centile d une donnée correspond au pourcentage (arrondi à l unité supérieure) des données qui ont une valeur inférieure ou égale à cette donnée. Le rang centile d une donnée X se note R 100 (X). Exemple : Si une donnée occupe le 80e rang centile, cela signifie qu environ 80 % des données sont inférieures ou égales à celle- ci. La proportion suivante permet de déterminer le rang centile d une donnée ou la donnée qui occupe un rang centile particulier dans une distribution ordonnée en ordre croissant. Exemple : La distribution suivante compte 271 données, dont 170 sont inférieures à 84 et 8 sont égales à 84. La recherche du rang centile d une donnée Le rang centile de la donnée 84 se calcule comme suit : Le rang centile de 84 est 66. Cela signifie qu environ 66 % des données sont inférieures ou égales à 84. Chapitre 6 Les mesures de dispersion et de position Page 60

71 La recherche d une donnée qui occupe un rang centile particulier La donnée X, qui occupe le rang centile 66, se calcule comme suit : La donnée recherchée occupe la 178e position de la distribution. Sa valeur est 84. Remarques : Pour une même distribution, deux données de même valeur auront le même rang centile. Les rangs centiles sont signifiants dans la mesure où la distribution présente un grand nombre de données. Exercices Voici les résultats, en pourcentage, de 160 élèves inscrits au cours de mathématique 436, obtenus lors de l épreuve unique de juin 2001, dans une école «X» de Québec. Résultats obtenus par 160 élèves du Québec à l examen de juin 2001 en mathématique Quel est le rang centile de la donnée 80%? Chapitre 6 Les mesures de dispersion et de position Page 61

72 Chapitre 6, section 2: L appréciation qualitative d une corrélation La distribution à deux caractères Lorsqu on étudie simultanément deux caractères, on obtient deux valeurs pour chaque unité statistique d une population ou d un échantillon. Ces valeurs peuvent s exprimer sous la forme d un couple (X, Y). L ensemble des couples (X, Y) constitue une distribution à deux caractères, ou distribution à deux variables. Exemple : On considère la mesure du pied droit et la taille de chacun des joueurs d une équipe de basket- ball. Ces deux mesures sont inscrites dans le tableau suivant. Chacun des joueurs de l équipe de basket- ball est une unité statistique. L ensemble des couples (mesure du pied droit, taille) forme une distribution à deux caractères. Le nuage de points Le nuage de points permet d observer la relation entre les deux caractères d une distribution. Pour faciliter l analyse d une distribution à deux caractères, il importe de graduer les axes de façon à ce que l étendue des valeurs de chacun des caractères soit représentée le plus possible par une même longueur horizontale et verticale dans le plan cartésien, comme l indiquent les pointillés dans le diagramme ci- contre. Chapitre 6 L appréciation qualitative d une corrélation Page 62

73 La corrélation linéaire Lorsque le nuage de points représentant une distribution à deux caractères se rapproche d une droite oblique imaginaire, on dit qu il existe une corrélation linéaire entre les caractères de la distribution. L appréciation qualitative d une corrélation linéaire L observation d un nuage de points permet de connaître le sens et l intensité de la corrélation linéaire entre deux variables. Remarque : On dit que la corrélation est nulle lorsque le nuage de points ne révèle aucun lien évident entre les deux variables. Chapitre 6 L appréciation qualitative d une corrélation Page 63

74 La corrélation non linéaire Tout comme il existe plusieurs modèles mathématiques, il existe plusieurs types de corrélation. Par exemple, le nuage de points ci- contre révèle une corrélation qui n est pas linéaire, mais plutôt quadratique. La nature du lien entre deux variables Le nuage de points et le tableau à double entrée peuvent révéler un lien entre deux variables. Cependant, ils ne fournissent aucune explication quant à la nature de ce lien. Pour bien interpréter une corrélation, il faut utiliser son jugement critique. Les trois types de liens possibles entre deux variables sont présentés dans le tableau suivant. Remarque : Même si une corrélation est forte, cela ne signifie pas pour autant qu il existe un lien de causalité entre les variables. Chapitre 6 L appréciation qualitative d une corrélation Page 64

75 Chapitre 6, section 3 : Le coefficient de corrélation linéaire Le coefficient de corrélation linéaire Le coefficient de corrélation linéaire, noté r, permet de quantifier la corrélation linéaire entre deux caractères. La valeur de r se situe dans l intervalle [ 1, 1]. L interprétation du coefficient de corrélation linéaire On peut connaître l intensité et le sens de la corrélation linéaire en considérant la valeur de r. Complète le tableau suivant qui te permettra de qualifier le coefficient de corrélation linéaire. Nulle Corrélation linéaire positive Nulle Corrélation linéaire négative Faible Faible Moyenne Moyenne Forte Forte Parfaite Parfaite Chapitre 6 Le coefficient de corrélation linéaire Page 65

76 L approximation du coefficient de corrélation linéaire Le calcul du coefficient de corrélation linéaire est fastidieux. Cependant, il est possible d estimer la valeur de r à l aide de la méthode du rectangle, présentée ci- dessous. Exercice Détermine la valeur du coefficient de corrélation linéaire des nuages de points suivants. Qualifie ensuite cette corrélation. Chapitre 6 Le coefficient de corrélation linéaire Page 66

77 Les limites de l interprétation du coefficient de corrélation linéaire Le coefficient de corrélation linéaire, à lui seul, n est pas suffisant pour conclure qu il existe ou non une corrélation linéaire entre deux variables. Afin de porter un bon jugement, on doit respecter les conditions suivantes. 1. Observer la forme du nuage de points et s assurer que le modèle linéaire est le plus approprié. 2. Repérer les points aberrants, s il y a lieu, c est- à- dire les points qui sont très éloignés des autres dans le nuage. Vérifier ce que ces points représentent dans le contexte. S il s agit d anomalies, les exclure de l analyse des données. Exemple : Le nuage de points ci- contre représente la relation entre l âge d enfants du primaire et le temps qu ils mettent à lacer leurs chaussures. La valeur de r indique une corrélation linéaire moyenne et négative. Cependant, la forme du nuage de points (en entonnoir) montre que le lien entre les variables est fort chez les plus jeunes et presque nul chez les plus vieux. De plus, on constate la présence d un point aberrant dans le nuage. Après vérification, on sait que ce point représente un enfant dont les lacets sont brisés. Donc, il vaut mieux l exclure de l analyse des données. Chapitre 6 Le coefficient de corrélation linéaire Page 67

78 Chapitre 6, section 4 : La droite de régression La droite de régression Lorsque le nuage de points d une distribution à deux caractères présente une corrélation linéaire, la relation entre ces caractères peut être modélisée par une droite La droite qui s ajuste le mieux à l ensemble des points est appelée «droite de régression». Il existe plusieurs méthodes pour déterminer l équation d une telle droite. La méthode de la droite de Mayer La droite de Mayer est la droite passant par deux points moyens (P1 et P2) qui sont représentatifs de l ensemble des points de la distribution. Voici les étapes à suivre pour déterminer son équation. Chapitre 6 La droite de régression Page 67

79 Exercice Nous avons interrogé certains élèves afin de connaître le nombre moyen d heures d étude par semaine, de même que le nombre d heures moyen de sports qu ils font par semaine. Voici les résultats obtenus. Nom des élèves Éric Annie Alexandre Josée Marc Pierre Stéphanie Julie Nombre d heures d étude par semaine Nombre d heures de sport par semaine Représente cette situation par un nuage de points. Ensuite, détermine l équation de la droite de régression à l aide de la méthode de Mayer et trace- la dans le plan cartésien. Chapitre 6 La droite de régression Page 68

80 La méthode de la droite médiane- médiane La droite médiane- médiane est la droite définie à partir de trois points médians, M1, M2 et M3, représentatifs de la distribution. Voici les étapes à suivre pour déterminer son équation. Lorsqu on n a pas accès aux technologies pour déterminer l équation de la droite de régression, il est plus simple de déterminer celle de la droite de Mayer. Cependant, il est préférable d avoir recours à l équation de la droite médiane- médiane si la distribution présente des points aberrants, puisque la droite de Mayer est très sensible aux données extrêmes. D autre part, si la distribution compte un très grand nombre de couples, on peut tracer une droite qui semble s ajuster le mieux au nuage de points et déterminer l équation de cette droite à partir de deux points appartenant à celle- ci. Chapitre 6 La droite de régression Page 69

81 Exercice Nous avons interrogé certains élèves afin de connaître le nombre moyen d heures d étude par semaine, de même que le nombre d heures moyen de sports qu ils font par semaine. Voici les résultats obtenus. Nom des élèves Éric Annie Alexandre Josée Marc Pierre Stéphanie Julie Nombre d heures d étude par semaine Nombre d heures de sport par semaine Détermine l équation de la droite de régression à l aide de la méthode médiane- médiane et trace- la dans le plan cartésien. Chapitre 6 La droite de régression Page 70

82 La prédiction à l aide de la droite de régression Lorsqu on a recours à une droite de régression pour estimer la valeur d une variable à partir d une autre, il faut toujours s interroger quant à la fiabilité de la valeur calculée. Généralement, plus la corrélation linéaire est forte, plus il y a de chances que la prédiction soit fiable. Interpolation et extrapolation Une prédiction par interpolation est généralement plus fiable qu une prédiction par extrapolation, puisque rien ne garantit que le modèle linéaire puisse être étendu à l extérieur des limites de l intervalle des données pour lesquelles il a été établi. Plus on s éloigne de cet intervalle, plus le risque d obtenir une prédiction aberrante est grand. Il est donc recommandé, lorsqu on présente une estimation basée sur une extrapolation, de toujours faire la précision «si la tendance se maintient». Exemple : Dans le diagramme ci- contre, un modèle linéaire a été établi à partir des données de l intervalle compris entre 1 mois et 6 mois. On peut voir que ce modèle permet de prédire la masse d un enfant de 5 mois, mais qu il n est pas approprié pour prédire la masse d un enfant de 18 mois. En effet, le modèle ne s applique pas au- delà des limites de l intervalle pour lequel il a été établi, soit [1, 6]. Chapitre 6 La droite de régression Page 71

83 Exercices On considère la mesure du pied droit et la taille de chacun des joueurs d une équipe de basket- ball. Ces deux mesures sont inscrites dans le tableau suivant. a) Détermine à l aide de ta calculatrice le coefficient de corrélation linéaire. b) Qualifie cette corrélation. c) À l aide du nuage de points suivant et de la méthode du rectangle, détermine la valeur du coefficient de corrélation. Le coefficient de corrélation linéaire est : Chapitre 6 La droite de régression Page 72

84 d) Trouve l équation de la droite de régression à l aide des deux méthodes suivantes : La droite de Mayer : La droite médiane- médiane : Chapitre 6 La droite de régression Page 73

85 e) Utilise l équation de la droite de Mayer pour prédire quelle serait la taille d un joueur dont les pieds mesurent 25,5 cm. f) Utilise l équation de la droite médiane- médiane pour prédire quelle serait la grandeur des pieds d un joueur mesurant 184 cm. g) Ces prédictions sont- elles fiables? Explique pourquoi. Chapitre 6 La droite de régression Page 74

86 Chapitre 7 La trigonométrie Section 1 : Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Section 2 : La recherche de mesures dans un triangle quelconque Section 3 : L aire de triangles

87 Chapitre 7, section 1 : Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Puisque tous les triangles rectangles ayant un angle aigu isométrique sont semblables et que les mesures de leurs côtés homologues sont proportionnelles, les rapports entre les mesures des côtés d un triangle rectangle, pour un angle donné, sont uniques. Côté opposé à Côté adjacent à B A Hypothénuse Pour nommer les côtés d un triangle, on utilise normalement la même lettre que celle du sommet opposé, mais en minuscule. Côté opposé à Côté adjacent à A B Dans un triangle ABC rectangle en C : sinus A = ou sin A = cosinus A = ou cos A = tangente A= ou tan A = ou tan A = Le sinus et le cosinus d un angle aigu sont compris entre 0 et 1. La tangente d un angle aigu est positive. La recherche de mesures dans un triangle rectangle Pour trouver une mesure manquante dans un triangle rectangle, il faut connaître, en plus de l angle droit, au moins deux autres mesures, dont une mesure de côté. Chapitre 7 Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Page 75

88 Trouver une mesure manquante dans un triangle rectangle dont on connaît une mesure de côté et une mesure d angle aigu Détermine la mesure des segments AC et BC. Trouver une mesure manquante dans un triangle rectangle dont on connaît deux mesures de côtés Détermine la mesure des angles A et C. Exercices Détermine toutes les mesures manquantes du triangle suivant. (Ceci est résoudre un triangle.) Chapitre 7 Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Page 76

89 Chapitre 7, section 2 : La recherche de mesures dans un triangle quelconque Dans tout triangle, le rapport entre la mesure du côté et le sinus de l angle qui lui est opposé est toujours constant. = = Inverser les rapports de la loi des sinus permet parfois d isoler plus facilement une variable. On peut donc aussi utiliser = =. La recherche de mesures manquantes La loi des sinus permet de résoudre un triangle, et ce, dès qu on connaît la mesure d un angle et celle de son côté opposé ainsi qu une autre mesure d angle ou de côté. La recherche d une mesure de côté Exemple : Résous le triangle ABC ci- dessous. Chapitre 7 La recherche de mesures dans un triangle quelconque Page 77

90 La recherche d une mesure d angle Exemple : Dans le triangle DEF, m F = 47 o, m = 5 cm et m = 4 cm. Détermine les mesures possibles de l angle D. La recherche de mesures manquantes : un cas particulier Dans un triangle quelconque dont on ignore la mesure d un angle et celle de son côté opposé, on ne peut pas utiliser la loi des sinus. Dans ce cas, tracer une hauteur permet d obtenir des triangles rectangles et d avoir recours aux rapports trigonométriques. Exemple : Détermine la mesure de dans le triangle RST ci- contre. Chapitre 7 La recherche de mesures dans un triangle quelconque Page 78

91 Chapitre 7, section 3 : L aire de triangles Selon les mesures d angles et de côtés connues, il est possible de calculer l aire des triangles de différentes façons. Le demi- produit d une base et de sa hauteur relative Lorsque les mesures connues dans un triangle permettent de déterminer une hauteur relative à un côté dont on connaît la mesure, on calcule l aire du triangle à l aide de la formule : A = Exemple : Calcule l aire du triangle ABC. Chapitre 7 L aire de triangles Page 78

92 La formule de Héron Pour calculer l aire d un triangle à l aide des mesures de ses trois côtés, on utilise la formule de Héron : A = où p est le demi- périmètre du triangle et a, b et c sont les mesures de ses côtés. Exemple : Calcule l aire du triangle ABC. Chapitre 7 L aire de triangles Page 79

93 Chapitre 8 La probabilité subjective et l espérance mathématique Section 1 : La probabilité subjective Section 2 : L espérance mathématique

94 Chapitre 8, section 1 : La probabilité subjective LA DISTINCTION ENTRE DIFFÉRENTS TYPES DE PROBABILITÉS Une probabilité peut être théorique, fréquentielle ou subjective selon qu on la calcule à l aide d un modèle, qu on l estime à l aide d une expérience ou qu on l évalue en faisant appel à son jugement. La probabilité théorique Il est possible de calculer la probabilité théorique d un événement lorsqu on peut modéliser une situation sans nécessairement recourir à l expérimentation. Lorsque les résultats d une expérience aléatoire sont équiprobables, la probabilité d un événement se calcule de la façon suivante. La valeur d une probabilité est toujours Probabilité théorique = comprise dans d un événement l intervalle [0, 1]. Exemples : Soit l expérience aléatoire «Sans regarder, tirer une bille du bocal ci- contre et noter sa couleur». La probabilité de tirer : une bille rayée est de ; une bille noire est de ; une bille blanche est de. Soit l expérience aléatoire «Piger une carte d un jeu de 52 cartes et noter la carte pigée.» La probabilité de piger : - une carte rouge est de ; - une carte de trèfle est de ; - une carte étant une figure est de ; - un dix est de ; - un as de cœur est de. Chapitre 8 La probabilité subjective Page 81

95 La probabilité fréquentielle La probabilité fréquentielle est une estimation faite à partir de résultats observés suite à plusieurs réalisations d une expérience aléatoire. On doit avoir recours à une expérience aléatoire lorsqu on ne dispose pas d un modèle permettant de calculer une probabilité théorique. Lorsque l expérience aléatoire est effectuée un grand nombre de fois, la probabilité fréquentielle constitue une bonne estimation de la probabilité théorique d un événement. Probabilité fréquentielle d un événement = Exemple : Soit l expérience aléatoire «Lancer une pièce de 1 cent du toit d un immeuble et noter l endroit où elle s immobilise.» NE PAS TENTER L EXPÉRIENCE S.V.P. Voici la compilation des résultats de 300 lancers. Résultat (endroit où elle touche le sol) Dans la rue Sur le trottoir Sur le gazon Sur une auto Nombre de réalisations Probabilité fréquentielle 0% Remarque : Même si on n a pas observé un des résultats en effectuant l expérience aléatoire, on ne peut pas conclure que ce résultat est impossible. La probabilité subjective Une probabilité subjective reflète l avis d une personne sur la probabilité qu un événement se réalise. La probabilité est subjective puisqu elle fait appel au jugement et correspond à une évaluation personnelle basée à la fois sur des connaissances et des opinions. On évalue une probabilité subjective dans le cas où il est impossible de calculer une probabilité théorique ou d estimer une probabilité fréquentielle. Les prévisions de résultats sportifs et certaines prévisions météorologiques font appel à la probabilité subjective. Remarque : La probabilité subjective qu un événement se réalise peut être évaluée différemment d une personne à une autre. Chapitre 8 La probabilité subjective Page 82

96 LES «CHANCES POUR» ET LES «CHANCES CONTRE» Dans certaines situations, les probabilités théorique, fréquentielle ou subjective sont exprimées en «chances pour» et en «chances contre». Les «chances pour» et les «chances contre» la réalisation d un événement sont exprimées par les rapports suivants. «Chances pour» = «Chances contre» = Exemple : Pour une saison donnée, trois analystes sportifs croient que l équipe des Canadiens de Montréal remportera la coupe Stanley alors que huit autres croient qu une autre équipe de la Ligue nationale de hockey la remportera. Les «chances pour» sont de. Les «chances contre» sont de. Remarque : On exprime généralement les «chances pour» et les «chances contre» à l aide d un deux- points. Ainsi, si les «chances pour» la réalisation d un événement sont évaluées à, on écrit 3 : 8 et on dit : les «chances pour» que l événement se réalise sont de 3 contre 8. De la probabilité aux chances et des chances à la probabilité La relation entre le nombre de cas possibles et le nombre de cas favorables et défavorables à la réalisation d un événement permet d exprimer une probabilité en «chances pour» ou en «chances contre» ou l inverse. Nombre de cas possibles = Nombre de cas favorables + Nombre de cas défavorables Exemples : 1) Pour exprimer la probabilité en «chances pour», on détermine le nombre de cas défavorables à partir du dénominateur qui représente le nombre de cas possibles. Chapitre 8 La probabilité subjective Page 83

97 2) Pour exprimer le rapport «chances contre» 9 : 2 en probabilité, on détermine le nombre de cas possibles à partir du nombre de cas défavorables et du nombre de cas favorables. Remarque: Le rapport «chances pour» est l inverse multiplicatif du rapport «chances contre». EXERCICES 1- La probabilité qu un événement se réalise est de 712. Laquelle des affirmations suivantes est vraies? A) Les chances pour que cet événement se réalise sont de 5 contre 7. B) Les chances pour que cet événement se réalise sont de 5 contre 12. C) Les chances pour que cet événement se réalise sont de 7 contre 5. D) Les chances pour que cet événement se réalise sont de 7 contre Un concessionnaire a 90 voitures en stock. Parmi ces voitures, 17 sont rouges. On choisit au hasard une de ces 90 voitures. Quelles sont les chances pour que la voiture choisie soit rouge? Réponse : 3- Le gouvernement étudiant de l école a distribué 100 billets de tirage aux élèves de 5 e secondaire. Un de ces billets est tiré au hasard. L élève dont le billet est tiré gagne un album de finissant. Guillaume a reçu 7 billets tandis que Mathieu en a reçu 13. Lequel des énoncés suivant est vrai? A) La probabilité que Guillaume gagne a ce tirage est de 793. B) La probabilité que Guillaume gagne a ce tirage est de C) Les chances pour que Guillaume gagne à ce tirage sont de 7 contre 100. D) Les chances pour que Mathieu gagne à ce tirage sont de 13 contre 87. Chapitre 8 La probabilité subjective Page 84

98 Chapitre 8, section 2 : L espérance mathématique L ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE L espérance mathématique est la moyenne pondérée des résultats d une expérience aléatoire dans laquelle les facteurs de pondération sont les probabilités d obtenir chacun des résultats. Il s agit donc de la somme des produits des résultats et des probabilités correspondantes. De façon pratique, l espérance mathématique d une variable aléatoire se calcule ainsi; 1. On multiplie chacune des valeurs possibles de la variable par la probabilité d obtenir cette valeur. 2. On fait la somme de tous les produits obtenus. L espérance mathématique d une variable aléatoire n est pas nécessairement un résultat possible de l expérience aléatoire. Exemple : On fait tourner la flèche de la roulette ci- dessous et on remporte le lot inscrit dans le secteur où la flèche s immobilise. Résultats Probabilité L espérance mathématique de cette roulette est de. Cela signifie qu en faisant tourner la flèche de la roulette un très grand nombre de fois, on peut s attendre à gagner en moyenne chaque fois qu on la fait tourner. Chapitre 8 L espérance mathématique Page 85

99 Remarques : La valeur moyenne des résultats obtenus en répétant une expérience aléatoire un très grand nombre de fois tend vers l espérance mathématique. On note parfois l espérance mathématique avec la lettre E. Par exemple, l espérance mathématique d une roulette peut se noter E(Roulette). L INTERPRÉTATION DE L ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE ET L ÉQUITÉ Dans un jeu qui consiste à effectuer une expérience aléatoire et où il est possible de gagner ou de perdre des points, des objets ou de l argent, il y a trois possibilités. Le jeu est : favorable à la joueuse ou au joueur si l espérance mathématique est positive ; défavorable à la joueuse ou au joueur si l espérance mathématique est négative ; équitable si l espérance mathématique est nulle. L espérance mathématique d un jeu de hasard dépend du prix à payer pour y participer. Exemples : Voici deux façons équivalentes de calculer l espérance mathématique de la roulette ci- contre si on doit payer 5 $ pour en faire tourner la flèche. Toutes les loteries sont des jeux défavorables à la joueuse ou au joueur. 1) Soustraire le prix à payer de chacun des résultats possibles. Résultats 0 $ 2 $ 5 $ 12 $ Résultats - 5 $ - 3 $ 0 $ 7 $ Probabilité Probabilité Calculer ensuite l espérance mathématique du jeu. E(Jeu) = L espérance mathématique de ce jeu est de - 1 $. Chapitre 8 L espérance mathématique Page 86