euve de Mathématiques
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- Michelle Lortie
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1 Terminales S2 4h00 le 20 décembre 2013 Devoir Surveillé Epre euve de Mathématiques Les exercices peuvent être traités dans l ordre de votre choix à condition de l indiquer clairement sur la copie. Le barème est donné à titre indicatif. La qualité de la présentation et de la rédaction sera prise en compte. L usage de la calculatrice est autorisé. Autorisation de sortie 1 heure avant la fin de l épreuve. Exercice 1 : (4 points) Soit la fonction définie sur \ 2 ;0 par : ( ) ( 1) 2 1. Donner les limites de aux bornes de son ensemble de définition. 2. Justifier que est dérivable et calculer ( ). 3. Donner le tableau de variation de. 4. Tracer la courbe représentative de dans un repère orthonormal d unité graphique 1 cm. On indiquera et on tracera les asymptotes éventuelles à la courbe. 5. Déterminer l équation de la tangente à au point d abscisse 1. Tracer. A.MAGNE-TS-DS3-1/5
2 Exercice 2 : (5 points) (Uniquement pour ceux qui n'ont pas choisi la Spécialité) Partie A : Le Nombre d Or On note le nombre Il y a une infinité de racines imbriquées. 1. Déterminer en fonction de. 2. Résoudre l équation 1 0. En déduire la valeur exacte de. est appelé le Nombre d Or ou la Divine Proportion. On le retrouve en mathématique mais aussi dans le domaine de l art : architecture (la pyramide de Khéops, le Parthénon d Athènes ), la peinture (la Joconde ) etc La valeur approchée du Nombre d Or est : 1,618 Partie B : La suite de Fibonacc ci et les lapins crétins Leonardo Fibonacci publia en 1202 le problème ci-dessous sur la reproduction des lapins. Ce problème conduisit à l étude de la suite dite de Fibonacci. «Partant d un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu après deux mois» Voici le schéma de production des lapins : Couple de lapins venant de naître : Couple de lapins adultes et capable de produire à la fin du mois : 1 ier mois 2 ième mois 3 ième mois 4 ième mois 5 ième mois 6 ième mois A.MAGNE-TS-DS3-2/5
3 1. Soit N correspondant au nombre de mois écoulés. A l aide du schéma précédent, donnez le nombre de couples de lapins pour 1, puis pour 2, 3, 4, 5, 6 et =7. 2. On considère la suite définie pour tout N par : = =1 = + et la suite dé inie pour tout N par : = a Calculer,,,,,, et. b Démontrer par récurrence que la suite est strictement positive et croissante. Pour montrer l hérédité de la démonstration par récurrence, il faudra supposer que la propriété est vraie pour les rangs et +1 et montrer ensuite qu'elle est vraie au rang +2. Cette forme de récurrence s'appelle une récurrence double. c Démontrer que la suite est strictement positive. d Compléter le tableau suivant : = Valeur approchée de e Conjecturez la limite de la suite. f Démontrer que la suite vérifie la relation de récurrence : =1+ 1 g Sachant que la suite est convergente, déduire de la question précédente la limite l de la suite. A.MAGNE-TS-DS3-3/5
4 Exercice 3 : 7 points Le but de l exercice est de démontrer que l équation =1 admet une unique solution dans l ensemble R des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution. Partie A Existence et unicité de la solution On note la fonction définie sur R par = 1. Démontrer que est solution de l équation si et seulement si =0. 2. Etudier le sens de variation de la fonction sur R. 3. En déduire que l équation possède une unique solution sur R, notée. 4. Justifier que appartient à l intervalle ;1. 5. Etudier le signe de sur l intervalle 0 ;. Partie B Deuxième approche On note la fonction dé inie sur l intervalle 0 ;1 par = Démontrer que l équation =0 est équivalente à l équation =. 2. En déduire que est l unique réel vérifiant =. 3. Calculer et en déduire que la fonction est croissante sur 0 ;. Partie C Construction d une suite de réels r ayant pour limite On considère la suite N définie par =0 et, pour tout entier naturel, = 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel : 0 2. En déduire que la suite est convergente. On note l sa limite. 3. Justifier l égalité l =l et en déduire la valeur de l. 4. A l aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de arrondie à la sixième décimale. A.MAGNE-TS-DS3-4/5
5 Exercice 4 : 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est, la note de l exercice est ramenée à zéro. La fonction définie sur R par =2 est telle que : A B C D =4 =2 = 1 2 = Si 2, alors : 1 1 Le nombre + égale 1+ Le nombre : L inéquation <1 a pour solution : L inéquation ln a pour solution : L équation ln +ln 2=0 a pour solution : L équation 3 =6 a pour solution : 1 1 N est jamais R Est toujours 1 +1 N est que si est positif N est que si est 0 ; + ;0 ;0 ; ; + ;2 ; 5 2 ; ;1 =ln2 = 6 = ln6 ln3 Bonus de Noël : Question Défi Cette question facultative est absolument indépendante du devoir. Une fois votre devoir terminé et s il vous reste du temps, vous pouvez y réfléchir et votre raisonnement pourra donner lieu à un point supplémentaire pour ce devoir. Une boule de pétanque étant tombée sur le sol, elle laisse une empreinte ayant la forme d une calotte sphérique ayant une largeur de 5 et une profondeur de 1. A l aide de ces seuls indices, retrouvez le diamètre de la boule responsable du trou. A.MAGNE-TS-DS3-5/5
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