Fonction dérivée.

Transcription

1 Mathématiques :! Analyse et algèbre Activité rappel : étude de fonction 2 Activité 1 : nombre dérivé et variations d une fonction 4 Activité 2 : bassin de rétention 6 Cours 8 Eercices 10

2 Activité rappel! Activité rappel : étude de fonction Objectif : Utiliser la calculatrice afin de dresser le tableau de signe et de variations de différentes fonctions pour résoudre un problème. I. Fonction du premier degré Situation : un jeune couple décide de partir en voyage. Ils disposent de 300 de budget alimentation. Chaque jour, ils dépensent 17 pour manger. Au bout de combien de temps auront-ils dépassé leur budget? 1. Eprimer l argent restant f() en fonction du nombre de jours écoulés. 2. Etude graphique : a) Dresser le tableau de valeurs de cette fonction (Menu TABLE) f() b) En déduire la fenêtre d affichage qu il faut paramétrer pour tracer la fonction f. Xmin :... Ymin :... Xma :... Yma :... (à rentrer dans V-WINDOW) c) Tracer la fonction f à la calculatrice. d) Résoudre graphiquement l équation f()=0. (à l aide de la fonction TRACE) 3. Etude algébrique. a) Résoudre l équation f()=0. b) Quel est le signe du coefficient directeur de la fonction f? positif négatif c) En déduire le tableau de signe de la fonction f. f() Bilan : Répondre à la problématique II. Fonction du second degré Situation : Une jeune créatrice fabrique des bijou fantaisie et vend toute sa production. En un mois, elle fabrique entre 0 et 100 bijou Le bénéfice mensuel obtenu par la vente de n bijou est, en euros : B(n)=-0,5n 2 +52n-500. Pour combien de produits vendus fera-t-elle un bénéfice? Quelle sera son bénéfice maimum et pour combien de produits? 2

3 Activité rappel! 1. Calculer le bénéfice rapporté pour la vente de 20 bijou, puis de 60 bijou. 2. Etude graphique : On considère la fonction f()=-0, a) Dresser le tableau de valeurs de cette fonction (Menu TABLE). f() b) En déduire la fenêtre d affichage qu il faut paramétrer pour tracer la fonction f. Xmin :... Ymin :... Xma :... Yma :... (à rentrer dans V-WINDOW) c) Tracer la fonction f à la calculatrice. d) Résoudre graphiquement l équation f()=0. (à l aide de la fonction TRACE) e) En déduire les solutions de l inéquation f()>0. f) Déterminer graphiquement le maimum de f(). 3. Etude algébrique : a) A l aide des fonctions de la calculatrice, résoudre l équation du second degré : -0, = b) En déduire le tableau de signe de la fonction f. f() c) L abscisse de l etrémum d une fonction du type f()=a 2 +b+c se calcule grâce à la formule P = b. Calculer cette valeur pour la fonction f. 2a d) Calculer f(p). e) En déduire le tableau de variations de la fonctions f. 4. Bilan : Répondre à la problématique f()

4 Activité 1! Activité 1 : nombre dérivé et variations d une fonction Objectif : Etudier les variations d une fonction à partir de l étude du signe de sa dérivée. On considère la fonction f définie sur l intervalle [-5;5] par : f () = A l aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs ci-dessous : , f() 2. Paramétrer la fenêtre de la calculatrice comme indiqué cidessous : Xmin : -5 Xma : 5 Xscl : 1 Ymin : -5 Yma : 45 Yscl : 5 Faire apparaître la courbe C, et vérifier que son allure est celle de l écran ci-contre : 3. A partir du travail réalisé en activité rappel, calculer les solutions 1 et 2 de f()=0 ainsi que l abscisse P du minimum de f(). 4. En observant la courbe C, compléter la tableau de variations de f : -5-1,5 5 f() 4

5 Activité 1! 5. Se placer successivement au points de la courbe d abscisses : -5 ; -3 ; -2 ; -1,5 ; 3 ; 4 et 5 et faire apparaître la tangente à la courbe en ces points. Noter, dans la deuième ligne du tableau suivant, le nombre dérivé f (0), coefficient directeur de la tangente, pour chaque cas , f (0) signe de f (0) Aide : 6. A l aide des questions précédentes, compléter les phrases données en replaçant les mots : croissante - positif - décroissante - nul - négatif - horizontale - Sur l intervalle [-5 ; -1,5], le nombre dérivé est... et la fonction f est... - Au point 0 = -1,5, le nombre dérivé est... et la fonction f est... - Sur l intervalle [-1,5 ; 5], le nombre dérivé est... et la fonction f est A la calculatrice, tracer la droite y=2+3. Pensez-vous que cette fonction peut correspondre à la fonction f ()? Justifier. 5

6 Activité 2! Activité 2 : bassin de rétention Objectif : Utiliser la fonction dérivée pour déterminer les variations d une fonction. Situation : Un éleveur fait appel à une société de travau publics pour creuser un bassin au centre d une de ces parcelles de forme carrée. La mesure du côté de la parcelle est de 30 mètres. Les conditions d implantation du bassin dans la parcelle font que : - une distance de sécurité d, en m, doit être instaurée autour du bassin ; - la profondeur du bassin est égale à la distance de sécurité d ; - la distance de sécurité d doit être au moins égale à 2 m ; - la profondeur du bassin d ne peut dépasser 8 m ; Ce qui se traduit par 2 d 8.! Pour quelle valeur de d le volume du bassin sera maimal sur la parcelle considérée? I. Le volume du bassin est fonction de d. On admet que le volume V (en m 3 ) du bassin s eprime : V = 4d 3 120d d 1. Calculer le volume du bassin si la distance d est de 2 m. 2.Calculer le volume du bassin si la distance d est de 8 m. 3. Ces résultats nous permettent-ils de répondre à la problématique? Pour déterminer les etrema (maima ou minima) d une fonction, une méthode consiste à étudier le signe (lorsqu elle s annule) de sa fonction dérivée. C est l objectif de la suite de l activité. 6

7 Activité 2! II. Etude de fonction Soit f la fonction définie pour tout de l intervalle [ 0 ; 20 ] par : f () = A l aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant : f() 2. Tracer sur la calculatrice la représentation graphique de la fonction f. 3. Déterminer la fonction dérivée f () de la fonction f(). 4. Résoudre avec la calculatrice f () = Etudier le signe de cette dérivée f () et compléter le tableau de signes ci-dessous (Ligne ) 6. Compléter le tableau de variation de la fonction f (Ligne ). 7. Vérifier à la calculatrice les coordonnées du maimum et du minimum de la fonction f Signe de f () Ligne Variations de f() Ligne III. Eploitation et réponse à la problématique La fonction f modélise le volume V du bassin en fonction de la valeur d représentant à la fois la profondeur du bassin et la distance de sécurité autour de ce dernier. 1. Donner la valeur de d en mètres, qui correspond au volume maimal du bassin. 2. Donner la valeur V en m 3, du volume correspondant du bassin. 7

8 Cours! Cours Le but de la fonction dérivée est d obtenir les variations d une fonction sur un intervalle donné. I. Définition Lorsqu une fonction f est définie sur un intervalle, elle admet pour tout un nombre dérivé, noté f (). La fonction notée f est appelée fonction dérivée de f (ou dérivée de f). II. Les dérivées des fonctions de référence Fonctions usuelles de référence u() u () Fonction constante 1 0 Fonction «identité» 1 Fonction carrée ² 2 Fonction cube 3 3 ² Fonction inverse 1 1 ² Fonction racine carrée 1 2 8

9 Cours! III. Les opérations sur les dérivées 1. Dérivée d un produit d une fonction usuelle u() par une constante k Si f() = k u() alors f () = k u () Eemples : Si f () = 3 donc f () = 3 1 alors f '() = 3 0 = 0 Si f () = 2 donc f () = 2 alors f '() = 2 1 = 2 Si f () = 3 2 donc f () = 3 2 alors f '() = 3 (2) = 6 Si f () = 4 3 donc f () = 4 3 alors f '() = 4 (3 2 ) = 12 2 Si f () = 3 donc f () = 3 1 alors f '() = 3 1 = 3 Si f () = 6 donc f () = 6 alors 1 f '() = 6 2 = 6 2 = 3 2. Dérivée de la somme de deu fonctions usuelles u() et v() Si f() = u()+v() alors f () = u ()+v () Eemples : Si f () = alors f '() = = 2 Si f () = 2 3 alors f () = IV. Application à l étude des variations d une fonction Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Pour tout réel appartenant à I : Signe de la dérivée f () Variations de la fonction f Si f () > 0 alors la fonction f est croissante sur cet intervalle I. Si f () < 0 alors la fonction f est décroissante sur cet intervalle I. Si f () = 0 alors la fonction f est constante sur cet intervalle I. Si pour une valeur 0 appartenant à I, f (0) s annule en changeant de signe alors la fonction f passe par un etremum pour = 0 Le tableau de signes de la dérivée f () est donc en lien direct avec le tableau de variations de f(). Signe de f () Variations de f() Intervalle de définition 9

10 Eercices! Eercices Eercice 1 : Déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies par les epressions suivantes : f 1 () = 3 f 2 () = 0,5 2 f 3 () = f 4 () = 2 f 5 () = f 6 () = 9 f 7 () = f 8 () = f 9 () = f 10 () = 2 f 11 () = 3 2 Eercice 2 : Déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies par les epressions suivantes : f 1 () = 2 3 f 2 () = 2 f 3 () = f 4 () = f 5 () = 2 5 f 6 () = f 7 () = f 8 () = f 9 () = f 10 () = 2 Eercice 3 : Après avoir déterminé leurs dérivées, dressez les tableau de variations des quatre fonctions suivantes : f () = g() = h() = i() = A partir des tableau de variations, déterminez les etremums de ces fonctions. Précisez chaque fois la valeur pour laquelle ils sont obtenus. Eercice 4 : Le courbe Cf ci-dessous représente la fonction f sur l intervalle I définie sur ]0;3] par f () = 2 3 2,5 2 1,5 1 0,5 1. Déterminer la dérivée f () de la fonction f. 2. Déterminer le nombre dérivé de cette fonction pour 0=2. 3. Construire en utilisant le nombre dérivé, la tangente à la courbe au point d abscisse , ,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3-0,5 4. Déterminer l équation de cette tangente, graphiquement et par le calcul. -1-1,5-2 10

11 Eercices! Eercice 5 : Soit la fonction f définie sur l intervalle ]0;4] par f () = Déterminer l epression de la dérivée f de la fonction f. 2. Vérifier que f (2) = Construire le tableau de variations de la fonction f sur ]0;4]. 4. Déterminer les coordonnées de l etremum de la fonction f sur l intervalle de définition. Eercice 6 : Pour chacune des fonctions suivantes, définies et dérivables sur l intervalle donné : Déterminer la fonction dérivée ; Etablir le tableau de signe de la dérivée ; Etablir le tableau de variations de la fonction. 1. f () = 6 2 sur [ 2;10] 2. f () = 3 2 sur [ 6;7] 3. f () = sur [ 2;2] 4. f () = 2 2 sur [ 1;3] 5. f () = sur [ 2;5] 6. f () = sur [ 4;3] 7. f () = sur [ 5;2] 8. f () = sur [ 7;7] Eercice 7 : Une entreprise fabrique du matériel médical. Le coût de production, en euros, de q appareils est donné par : C = q 3 120q q Soit f la fonction définie sur l intervalle [0;1000] par : f () = f désigne la dérivée de la fonction f ; déterminer f (). 2. Résoudre f ()=0. 3. Donner le tableau de signe de f et en déduire le tableau de variations de f(). 4. Déduire des résultats précédents le nombre d appareils à construire pour obtenir un coût de production minimum. Donner la valeur de ce minimum. 11