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1 Lycée Secodaire Ali Zouaoui Probabilités 4 Sc-T Loi iomiale: Ue ure cotiet des boules blaches et des boules oires.la - robabilité de tirer ue boule blache au hasard est égale à ; q Aée Scolaire 007/008 est la robabilité de tirer ue boule oire O tire boules au hasard et avec remise ; o étudie la loi de robabilité de la variable aléatoire X égale au ombre de boule blache tirées. La variable aléatoire X eut redre des valeurs etières comrise etre 0et.Détermios la robabilité our que X soit égale à k.l'uivers est costitué des suites des résultats des tirages; la robabilité d'ue suite corresodat au tirage de k boules blaches et k k k boules oires est égale à q, car les tirages sot idéedats ( il y a remise de la boule tirée arès chaque tirage). Le ombre de suites icomatibles corresodat au tirage de k boules blaches est égale au ombre de faços de lacer k boules armi : il y e a k C est la robabilité cherchée est doc : k, 0 k, P X k C q Formule des robabilités totales : Si A, A,, A k k k sot des évèemets o vides deux à deux icomatibles et dot l'uio est égale à ( o dit alors qu'ils formet ue artitio de l'uivers ) alors our tout évèemet o a :

2 Lycée Secodaire Ali Zouaoui Probabilités 4 Sc-T P P A P A P A PA P A PA Rerésetatio à l'aide d'u arbre odéré: PA P A P A P A P A P A P A 3 A A A 3 PA PA P P A A 3 P A P A P A P A P A P 3 3 A 3 P PA 3 Règle de costructio et d'utilisatio des arbres odérés: Sur les remiers braches, o iscrit les PA i. Sur les braches du tye Ai o iscrit P. A i Le roduit des robabilités iscrites sur chaque brache d'u chemi doe la robabilité de l'itersectio des évèemets lacés sur ce chemi. La somme des robabilités iscrites sur les braches issues d'u même œud est égale à ( Loi des œuds ). La robabilité d'u évèemet E est la somme des robabilités des chemis qui aboutisset à E. Aée Scolaire 007/008

3 Lycée Secodaire Ali Zouaoui Probabilités 4 Sc-T Exemle : u sac cotiet des jetios de trois couleurs, la moitié de blacs, le tiers de verts et le sixième de jaues 50% des jetos blacs, 30%des jetos verts et 40% des jetos jaues sot rods. Tous lesautres jetos sot carrés. O tire au hasard u jeto. / Costruire u arbre odéré ( arbre de choix). / Sachat que le jeto tiré est blac, quelle est la robabilité our qu'il soit carré? 3/ Quelle est la robabilité our que le jeto tiré soit rod? 4/ Sachat qu'il est rod, quelle est la robabilité our qu'il soit blac Solutio : / 0,5 rod 3 6 V J 0,5 0,3 0,7 0, 4 0,6 carré rod carré rod carré / La lecture directe de l'arbre ous doe P C 0,5 5 P R 0,5 0,3 0,4 3 6 P R 0,5 3 PR PR 5 5 3/ 4/ Aée Scolaire 007/008 3

4 Lycée Secodaire Ali Zouaoui Probabilités 4 Sc-T 3/5 R Exercice 0: Cocher la réose juste: / A et sot deux évéemets d'u esace robabilisé tels que : P A P A et P A / / 4 / O doe l'arbre odéré ci-cotre où R et G sot deux évéemets d'u esace robabilisé avec G G P G 3 5 /5 R q G G et q 3 et q et q et q 4 4 Exercice 0: Ue classe de 35élèves comorte 0garços. élèves, dot 5filles sot des fumeurs. Aée Scolaire 007/008 4

5 Lycée Secodaire Ali Zouaoui Probabilités 4 Sc-T O choisit, au hasard, u élève das la classe.soit les deux évèemets suivats: A :" l'élève choisi est u garço" :" l'élève choisi est u fumeur " / Calculer P A ; P et P A. / Calculer la robabilité que l'élève choisi soit u garço ou u fumeur. 3/ Calculer la robabilité que l'élève choisi soit u garço qui fume ou ue fille qui e fume as. Exercice 03: Ue ure cotiet 3boules rouges et 5boules blaches. O tire au hasard et simultaémet boules de l'ure. / O aelle X la variable aléatoire réelle qui, à chaque tirage de deux boules, associe le ombre de boules blaches obteues. Détermier la loi de robabilité de X. / O aelle Y la variable aléatoire réelle qui, à chaque tirage de deux boules, associe le ombre de boules rouges obteues. Détermier la loi de robabilité de Y. 3/ Soit Z la variable aléatoire réelle défiie ar Z X Y Détermier la loi de robabilité de Z. Exercice 04: Les questios / et / sot idéedates. O doera les résultats sous forme de fractio irréductible. Ue ure U cotiet 4jetos blacs et 3oirs et ue ure U cotiet 7jetos blacs et 8oirs. / O jette u dé cubique dot chaque face a la même robabilité d'aaraître. Si le- 6aaraît, o tire u jeto de l'ure U,si o o tire u jeto de l'ure U. Aée Scolaire 007/008 5

6 Lycée Secodaire Ali Zouaoui Probabilités 4 Sc-T a) Détermier la robabilité de tirer u jeto blac ( o cosidérera les évéemets : A :" o a obteu 6e jetat le dé " :" o obtiet u jeto blac " b) O a tiré u jeto blac ; calculer la robabilité our qu'il roviee de U. c) O a tiré u jeto oir ; calculer la robabilité our qu'il roviee de U. / O tire successivemet et sas remise les 7 jetos de l'ure U. Soit X la variable aléatoire qui red our valeur k si le remier jeto ième blac aaraît au k tirage. Doer la loi de robabilité de X, uis calculer so esérace mathématique et so écart-tye. Exercice 05: Ue ure cotiet 3boules rouges, 3boules bleues et 4boules blaches idiscerables au toucher. O tire au hasard 3boules ; les boules 'état as remises das l'ure. Pour i,,3 o cosidère ième l'évéemet T i : " le i tirage est tricolore ". O désige d'autre art ar R l'évéemet : " la boule qui reste das l'ure arès les trois tirages est blaches ". O admettra que /a) Calculer PT, uis PT T b) E déduire P T T / Calculer de même P T T T3 3/ Calculer P T T T. R 3 P R 5 Aée Scolaire 007/008 6

7 Lycée Secodaire Ali Zouaoui Probabilités 4 Sc-T Exercice 06: O jette deux dès cubiques discerables et o iés D et D. Chacu de ces deux dès orte sur ses faces les oits de à 6. Soit le oit aaru sur D et le oit aaru sur D. Soit X la variable aléatoire qui associe à tout jet de D et D le réel. / Détermier la loi de robabilité de X. / Détermier la foctio de réartitio F de X et la reréseter grahiquemet. Exercice 07: O disose de deux ures Uet U coteat des boules idiscerable au toucher. * Ucotiet boules blaches et 3boules oires ; U cotiet boules blaches et ue boules oires. O tire ue boule au hasard de Uet o la met das U, uis o tire ue boule au hasard de U et o la met das U ; l'esemble de ces oératios costitue ue éreuve. / Costruire l'arbre odéré de cette exériece aléatoire. / O cosidère l'évèemet A :" arès l'éreuve, les ures se retrouvet chacue das leur cofiguratio de déart". a) Motrer que PA Aée Scolaire 007/ b) Calculer lim PA 3/ O cosidère l'évéemet :" arès l'éreuve l'ure U cotiet ue seule boule blache" Calculer P. 4/ U joueur mise 5 diarset effectue ue éreuve. A l'issue de cette éreuve, o comte les boules blaches das U. 7

8 Lycée Secodaire Ali Zouaoui Probabilités 4 Sc-T Si U cotiet ue seule boule blache, le joueur reçoit cotiet boules blaches, le joueur reçoit 4 diars diars ; si U ; si U cotiet 3 boules blaches, le joueur e reçoit rie. a) Exliquer ourquoi le joueur 'a aucu itérêt à jouer tat que e déasse as 0. Das la suite, o cosidère 0, et o itroduit la variable aléatoire X qui red our valeur les gais algébriques du joueur.o raelle que le gai algébrique red e comte la somme reçue, aisi que la mise iitiale. b) Détermier la loi de robabilité de X. c) Calculer l'esérace mathématique de X. d) Pour quelles valeurs de le jeu est-il favorable au joueur? Exercice 08: Pour tout etier aturel o ul, o ose : u C / Doer u, u et 3 -I- 4 u sous forme de fractio irréductibles. * / Motrer que, our tout o a : u u 3/ Etudier la mootoie de la suite u * covergece. * 4/ Motrer ar récurrece que our tout, o a : u u 5/ Préciser lim. et e déduire sa. Aée Scolaire 007/008 -II- 8

9 Lycée Secodaire Ali Zouaoui Probabilités 4 Sc-T soit u etier aturel o ul. O lace fois ue ièce de moaie équilibrée.o désige ar X la variable aléatoire qui comte le ombre de " Piles " obteus au cours de ces lacers. / Quelle est la loi de robabilité de X. Exrimer so esérace mathématique et sa variace e foctio de / O ote la robabilité d'obteir exactemet " Piles " e laçat la ièce fois. a) Exrimer e foctio de. b) E utilisat 5/-I-, détermier lim. 3/ Détermier la robabilité qu'a l'issue de ces lacers, le ombre de " Pile " soit strictemet suérieur au ombre de " Faces ". Exercice 09: O cosidère la suite v vérifiat our tout etier * v v v v Motrer que -I- est ue suite arithmétique. -II- : Soit u etier aturel fixé suérieur à et u etier tel que 0. Ue articule est lacée sur u axe gradué, iitialemet au oit I d'abscisse. A 0 arret I déart arret O lace autat de fois que écessaire ue ièce de moaie équilibrée. A chaque obtetio de face, la articule avace d'ue uité vers la - droite. A chaque obtetio de ile, la articule recule d'ue uité vers Aée Scolaire 007/008 9

10 Lycée Secodaire Ali Zouaoui Probabilités 4 Sc-T la gauche. Le jeu s'arrête dès que la articule atteit le oit A d'abscisse 0 ou le oit d'abscisse. O ote v la robabilité our que le jeu s'arrête e A. / Que valet v 0et v? / O ote F l'évéemet " obteir face au remier lacer de la ièce " et A l'évéemet : " le jeu s'arrête e A ". Motrer que our tout etier tel que, o a : v v v 3/ E déduire v e foctio de et. 4/ Quelle est la robabilité our que le jeu e s'arrête jamais? Exercice 0: Soit X la variable aléatoire idiquat la " durée de vie " d'u modèle de voiture ( e aées ) ; Imagios que la desité de robabilité de X est doée ar la foctio f x 0, x 0, e si x 0 0 si x 0 / Vérifier que cette foctio est bie ue desité de robabilité. / Calculer la robabilité que la voiture ait ue durée de vie: a) Comrise etre et 6 as. b) Iférieur à as. c) Suérieur à 0as. 3/ E moyee, quelle est la durée de vie de ce modèle de voiture? Exercice : O suose que la durée de vie d'u idividu est ue variable aléatoire t T de desité 00-t si t 0,00 g t Aée Scolaire 007/008 0 si o / Détermier our que g soit ue desité de robabilité. / Calculer E T. 0

11 Lycée Secodaire Ali Zouaoui Probabilités 4 Sc-T 3/ Quelle est la robabilité our qu'u idividu ait ue durée de vie etre 50et 80as. Exercice : Soit X ue variable aléatoire de desité f défiie ar : t si t, f t 0 si o / Détermier. / Exliciter la foctio de réartitio de X. 3/ Calculer E X et V X.. 4/ Exliciter la desité de la variable aléatoire Y X Exercice 3: Exercice age 364 ( Mauel Scolaire ) Aée Scolaire 007/008

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