Ch.6ÊPROBABILITÉS _ partie 1

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1 LFA / remère S COURS Gesto de doées Mme MAINGUY I Raels / Lo de robablté Ch6ÊPROBABILITÉS _ arte ere S défto O aelle exérece aléatore toute exérece ayat luseurs ssues (ou évetualtés) ossbles et dot o e eut révor à l'avace laquelle de ces ssues sera réalsée Ces ssues sot otées e ; e ; e 3 ; ; e Leur esemble est oté Ω, aelé uvers { } O a doc Ω = e ; e ; e 3 ; ; e O lace u dé à sx faces : l'uvers est : Ω= { ;;3;4;5;6} déftos Chaque évetualté e est affectée d'ue robablté, c'est-à-dre d'u ombre odéré oté tel que : 0 et = O aelle lo de robablté la doée des vérfat ces codtos S tous les évéemets élémetares ot la même robablté, o dt qu'ls sot équrobables, ou que la lo de robablté est équrobable (ou équréarte) O lace u dé à 6 faces be équlbré Chaque face ayat le même ombre de chaces de sortr, chaque évetualté a ue robablté de La lo de robablté est doc : 6 e Remarque : De maère géérale, s ue exérece aléatore est équrobable et comorte ssues dfféretes, chacue des ssues a ue robablté de Ue ure cotet 0 boules dscerables au toucher : 3 ores, blaches, 5 rouges Ω= ore ; blache ; rouge O tre ue boule au hasard das l'ure L'uvers est : { } L'uvers Ω est mu de la lo de robablté doée ar le tableau suvat: e ore blache rouge 0,3 0, 0,5 / Vocabulare des évéemets déftos U évéemet A est ue arte de Ω O écrt A Ω S e est u élémet de A, o dt que l'ssue e réalse l'évéemet A est l'évéemet mossble Ω est l'évéemet certa

2 LFA / remère S COURS Gesto de doées Mme MAINGUY O lace u dé à 6 faces be équlbré O ote : A = A l'évéemet " obter u ombre ar " : { ;4;6} B l'évéemet " obter u ombre féreur ou égal à " : B = { ;} C l'évéemet " obter 7 " : C = { 7} D l'évéemet " obter u ombre égatf " : D =, évéemet mossble E l'évéemet " obter u ombre féreur ou égal à 6 " : E = { ;;3;4;5;6} =Ω, évéemet certa déftos Soet A et B deux évéemets d'u uvers Ω L'évéemet A B est l'évéemet " A et B " : l est réalsé s A et B sot réalsés tous les deuxue arte de L'évéemet AU B est l'évéemet " A ou B " : l est réalsé s l'u au mos des deux évéemets est réalsé L'évéemet A est l'évéemet cotrare de A ou "o A " Deux évéemets A et B sot comatbles s'ls e euvet se réalser e même tems, c'est-à-dre s AI B = O cosdère u jeu de 3 cartes L'esérece aléatore cosste à trer ue carte au hasard L'uvers Ω est l'esemble des 3 cartes du jeu O cosdère les évéemets A : " la carte trée est u cœur " et B " la carte trée est u ro " AU B évéemet : " la carte trée est u cœur ou u ro " A B = { ro de cœur } A : évéemet " la carte trée est u que, ou trèfle ou carreau A B : évéemet "la carte trée est 'morte quelle carte du jeu à l'exceto du ro de cœur " 3 / Probablté d'u évéemet défto S Ω est u uvers de robabltés mu d'ue lo, alors la robablté d'u évéemet A est la somme des robabltés des ssues qu réalset A Remarques : ( Ω ) = ; ( ) = 0 Das le cas de l'équrobablté, s l'uvers Ω comorte ssues, o a : ombre d elemets de A ombre de cas favorables = et ( A) = = ombre d elemets de Ω ombre de cas ossbles rorété S A et B sot deux évéemets : A B ( ) = ( A) + ( B) ( A B) Cas artculer : s A et B sot comatbles alors : ( A) = ( A) ( U ) = ( ) + ( ) A B A B Das ue ure, o lace 35 éléhats (s, s!) 8 sot des éléhats d'afrque (les autres sot des éléhats d'ase), 8 sot des femelles dot 5 sot des éléhates d'afrque O red u éléhat au hasard Quelle est la robablté our que l'éléhat chos sot d'afrque ou ue femelle? II Modèles de référece : à l'ade d'exemles / Dagrammes Das u groue de 0 ersoes, 0 fot du surf, 8 de la êche, et 3 ratquet les deux O chost au hasard ue ersoe du groue / Calculer la robablté qu'elle s'téresse à la êche ou au surf / Calculer la robablté qu'elle e s'téresse à la êche, au surf

3 LFA / remère S COURS Gesto de doées Mme MAINGUY 3 / Tableau U sttut de sodage a terrogé 800 ersoes qu résdet sot e zoe urbae U, sot e zoe rurale R Ce sodage a eu leu sot ar téléhoe T sot ar etrete E O doe : 30 ersoes ot été terrogées au cours d'u etrete Parm elles, 50 vvet e zoe rurale 30 ersoes ot été terrogées a rtéléhoe et vvet e zoe urbae / Réur les formatos sous forme de tableau à comléter O chost ue ersoe au hasard : / Calculer la robablté des évéemets U et E 3 / Calculer la robablté qu'ue ersoe habte e zoe urbae sachat qu'elle a été sodée ar etrete 3 / Arbre de robablté Règles U arbre de robablté resecte tros règles : la somme des robabltés artat d'ue même race est toujours égale à ; la robablté d'u cheme est égale au rodut des robabltés recotrées sur ce chem ; la robablté d'u évéemet est a somme des robabltés des chems qu réalset cet évéemet U magas de matérels formatques roose deux tyes d'ordateurs : des ordateurs de bureau et des ordateurs ortables Ue equête sur le tye des ordateurs achetés ermet d'affrmer que, das ce magas : 75% des acheteurs d'ordateurs sot des étudats ; 60% des acheteurs étudats chossset u ordateur ortable, 30% des acheteurs o étudats chossset u ordateur ortable O terroge au hasard ue ersoe ayat acheté u ordateur das ce magas O ote E l'évéemet "la ersoe terrogée est u étudat" et E so cotrare O ote A l'évéemet "la ersoe terrogée a chos u ordateur ortable" et A so cotrare / Costrure u arbre odéré / a) Calculer E A b) E dédure ( A ) ( ) et ( E A) 3 / Détermer la robablté our que la ersoe terrogé at chos u ordateur de bureau U grad magas roose u jeu ermettat de gager u bo d'achat de 5 Il s'agt de : lacer u dé à 6 faces, arfatemet équlbré, dot face est jaue, faces sot bleues et 3 faces sot rouges ; us : fare tourer ue roue dvsée e 3 secteurs : u secteur jaue de 50, u bleu de 00 et le secteur restat rouge Le joueur gage lorsque les deux couleurs obteues sot detques / Sot J les évéemets : "obter jaue avec le dé", "obter bleu avec le dé", "obter rouge avec le dé" Calculer les robabltés des évéemets J / Sot J les évéemets : "obter jaue avec la roue", "obter bleu avec la roue", "obter rouge avec la roue" Calculer les robabltés des évéemets J 3 / Reréseter la stuato à l'ade d'u arbre odéré et calculer la robablté d'obter deux fos la couleur jaue, us calculer la robablté deux fos bleu, et ef d'obter deux fos rouge 4 / Sot G l'évéemet "le joueur gage u bo d'achat" Dédure de la questo récédete G ( )

4 LFA / remère S COURS Gesto de doées Mme MAINGUY 4 III La théore : varable aléatore / Itroducto O se souvet que l'uvers robablsable, souvet oté Ω, est costtué de toutes les ssues d'ue exarece aléaore Le terme dscrte tradut le fat que l'o eut déombrer chacue des ssues (o eut leur doer ue valeur récse) ous étuderos e termale S des los de robablté cotues; o e ourra as doer ue valeur à chacue des ssues (ar exemle, o e eut as comter tous les ombres réels comrs etre et 3) U joueur lace fos ue èce équlbrée Il gage ar "PILE" obteu et erd ar "FACE" obteu O modélse Ω= FF ; ; PP ; ; FP ; ; PF ; l'exérece ar la lo équréarte sur {( ) ( ) ( ) ( )} Le ga algébrque du joueur est ue varable aléatore X sur Ω FF ; ; FP ; ; PF ; ; PP, ; les valeurs resectves ;;;4 Elle assoce aux ssues ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) = 4 ( X = ) = ( {( F; P) }) + ( {( P; F) }) = ( X = 4 ) = ( {( P; P) }) = 4 O a alors : ( X ) {( F; F) } défto Sot Ω est l'uvers assocé à ue exérece aléatore E et ue lo de robablté sur Ω O déft ue varable aléatore e assocat à chaque ssue e u ombre réel x X est ue alcato de Ω das X Ω ( ) = { x ; x ; ; x } est alors l'mage de Ω { } est alors l'esemble des valeurs rses ar la varable aléatore X sur l'uvers Ω alors our tout S x ; x ; ; x varat de à : l'évéemet " Xredlavaleurx " est oté : " X = x " la robablté de l'évéemet " X = x " est ( X = x ) Remarque s x Ω alors ( X = x) = et doc ( X x) 0 = = Pot Méthode Défr la lo de robablté d'ue exérece aléatore revet doc à : Ê détermer toutes les valeurs ossbles x ; x ; ; x rses ar X ; Ê détermer les robabltés ; ; ; des évéemets corresodats ; Ê regrouer les résultats das u tableau du tye : Valeurs rses ar X x x K x Probablté corresodate ( X = x ) K Ne as oubler de vérfer que = Alcato Les grecs et les romas utlsaet u jeu d'osselets d'ageaux aelés astragales Pour u astragale doé, dot les faces sot umérotées de à 4, des exéreces statstques ot révélé qu'e règle gééral : l'astragale retombe sur les faces et 4 avec des chaces égales mas deux fos lus souvet sur la face que sur la face o obtet la face 3 avec ue fréquece égale à ue fos et dem celle de la face O lace cet astragale / Prooser ue modélsato de cette exérece aléatore O désgera ar k la robablté que l'astragale retombe sur la face uméro k, our k reat les valeurs à 4

5 LFA / remère S COURS Gesto de doées Mme MAINGUY 5 / Calculer les robabltés des évéemets : a) A : "obter u uméro mar" b) "obter u uméro suéreur ou égal à " c) B ; A B ; AU B 3 / O déft ue varable aléatore X reat our valeurs les gas algébrques de la maère suvate : le joueur mse 5 drachmes Il lace l'astragale S'l obtet u uméro ar, l gage 3 drachmes, s'l obtet le 3, l gage 5 drachmes, et s'l obtet le uméro, l gage 7 drachmes Établr la lo de robablté de la va X / Esérace, varace mathématque et écart-tye Das ce aragrahe, o cosdère ue varable aléatore X dot les ssues sot les ombres x La lo de robablté est alors Valeurs rses ar X x x K x Probablté K défto L'esérace de cette lo est le ombre oté E( X ), égal à : ( ) = x + x + + x = E X x = Das le cas d'u grad ombre de rééttos de l'exérece, l'esérace mathématque rerésete la moyee des valeurs x rses ar X odérées ar leur robablté resectves La varace de cette lo est le ombre oté V( X ) déf ar : ( ) = ( x E( X )) + ( x E( X )) + + ( x E( X )) = ( x E( X )) V X L'écart-tye de cette lo, oté σ, est égal à : ( X) V( X) σ = L'écart-tye mesure la dserso de la varable aléatore autour de sa moyee Remarque O a toujours V( X) 0 doc o eut toujours calculer l'écart-tye De lus σ ( X) = V( X) 0 3 / Léarté de l'esérace À artr des varables aléatores exstates, o eut e créer de ouvelles Avec des otaos usuelles, o obtet : Ê ax Ê X ( ) + b avec a et b réels ( ) + ( Y = x ) + b : x! a X = x + Y : x! X = x = rorétés O cosdère la varable aléatore Y = ax + b, a et b réels quelcoques Alors : EY ( ) = Eax ( + b) = ae( X) + b V( Y) = a V( X) et σ( Y) = aσ( X)